Bài tập ôn tập giải tích II

Bài tập ôn tập môn Giải tích II 1... Trong trường hợp 3 này có áp dụng công thức Green được không?. k Tìm điều kiện của m để tích phân đường  AB đường cong nối A1;3 và B2; 4.. Hãy tính

Bài tập ôn tập môn Giải tích II

1 Xét tính liên tục của hàm số

4 ,

f x y







 



2 1 1 sin cos

,

x

f x y

x y



 



2 2

2 2

2 2

4

,

f x y





 



2 2

2

,

x y

f x y

x y





 



2 2

2 2

,

f x y







 





2 Tìm cực trị của hàm số

2

ux y  xy

2 2

2

c) ux3y2z23x22y

d) u3x y2 x3y4

e) uarctanx2y22y

f) ux2y2z22x4y6z

3 Tìm cực trị có điều kiện của hàm số

a) ux2y2z2 với điều kiện

2

4

y

1

  







2 2

4

4

x y z





 

 d) u2x y z với điều kiện

2

4

y

4 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

a) u2x y2 xy23xy trong miền đóng 0x1, 0 y2

b) u4x2y22x2y trong miền D:x0,y0, 2xy2

c) ux2y212x16y trong miền D{(x,y): x2y236}

5 Tính vi phân, đạo hàm theo hướng của hàm nhiều biến, đạo hàm của hàm ẩn

a) Cho z là hàm ẩn xác định bởi zye x z/ 0 Tính dz0; 1 

u  x  y  z và điểm A1;1; 1 , B(0;3;1) Tính đạo hàm của u tại điểm A theo

hướng AB

Tìm giá trị lớn nhất của U A 





 c) uxsin(3yz)Xác định Grad u

và u



 tại M0(1;1;0) với  i 2j 2k

d) zz x y( , ) là hàm ẩn hai biến xác định bởi hệ thức: yze zxe y 0 Tính dz1; 0 Áp dụng tính gần đúng z0, 95; 0, 05

e) y = y(x) là hàm số ẩn xác định từ biểu thức: 3 1 0

27

x

    Tính d y2 tại điểm x 0

6 Tính tích phân bội

a) x2 y2

V

 với V xác định bởi

2 2

4







D

xy xy dxdy

xy xy xy  xy

c)

2 2

2 4

D

x dxdy

d)

V

xyzdxdydz

 với V là miền

2

1

z

V

V

 trong đó V là miền giới hạn bởi mặt trụ x2y2 2 , 0x z4

7 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt

1

zx y  và z  3

b) x2y2z223xyz nằm trong góc

x y z 

zx y y z

(x y z ) 4 (z x y ) nằm trong góc

x y z 

e) 2zx2y z2,  8 x2y2 f) (x2)2y2 4,x2y2z2 16 g) x2y2 4 và x2z2 4

8 Tính diện tích

a) Hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2 2 2 3

(x y ) 2x

b) Hình phẳng giới hạn bởi đường cong

2

2

xy

(x0, y0)

c) Hình phẳng giới hạn bởi đường cong  2 22  2 2

2

d) Mặt paraboloid zx2y2 nằm trong mặt trụ x2y2 4

e) Mặt cầu x2y2z29 nằm trong mặt trụ x2y2 3x

9 Tính tích phân đường, tích phân mặt

a)



2

AB

x y ds

 với AB là nửa phía trên trục hoành của cung tròn x2y2 1

S

yz dydz zx dzdx xy dxdy

x y z z có pháp

tuyến hướng ra phía ngoài

S

x dydzy dzdxz dxdy

x y z z có pháp tuyến hướng ra phía ngoài

C

yz dx zx dy xy dz

4

  chiều lấy tích phân ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía dương của trục Oz

e)

S

xdydzydzdxzdxdy

 với S là mặt ngoài của hình trụ x y 4, 0z2 có pháp tuyến hướng

ra phía ngoài



OA

x e  dxxe  dy

x y  x y theo chiều từ O(0,0) đến A(2,0)

S

V x  y z x có pháp tuyến hướng ra phía ngoài



OA

y xy dx xy  x y dy

 với OA là nửa cung tròn x2y22 ,y x0 chiều từ O(0,0) đến A(0,2)

L

I  x y dxy xy x x y dy

 trong đó L là đường tròn x22y22 lấy 4 theo chiều dương

2 2

C



 với C là đường tròn bán kính R  bao quanh gốc tọa độ Trong trường hợp 3 này có áp dụng công thức Green được không?

k) Tìm điều kiện của m để tích phân đường



AB

đường cong nối A(1;3) và B(2; 4) Hãy tính tích phân đó

10 Giải phương trình, hệ phương trình vi phân

a) y3y2y 4xe x

y y y x e

c) y" 4 ' yyx2

d) y" 6 ' 8 y  ye xe2x

e) y" 4 yxsin 2x

f) y"ysinx

g) y" 2 y4x e2 x2

h) y5y4ye xx3

e

 

 với y 0 1, y 0  2

y y yxe

  





  



4

  





  













 



o) '

 





 

 p) y' 1 y lnx

sin

xy yx x

1x y dxx yx dy 0 s) (1x2) ' 2y  xy(1x2 3) t) (1x y2) 'xy1, y(0)0

u) (1x y dx2 ) x y2( x dy) 0

v) y xsin y x ysiny

w) sin2yx2dxxsin 2ydy0 bằng cách nhân thêm thừa số tích phân 12

x

x) xy y xsin y

x

   với điều kiện  1

2

y) xy2yxye x bằng phép đổi biến zx y z) 2

" '

x y xyyx bằng phép đổi biến t

xe