tai liêu Oxy 2016 1

tài liệu hay wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

Oxy

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

Phiên bản 2016 - NEW NGUYỄN HỮU BIỂN

Tài liệu Oxy phiên bản mới ! (Update từ phiên bản 2015)

* Biên soạn công phu, phân tích tỉ mỉ, giúp học sinh định hướng để tìm lời giải một cách khoa học nhất - nhanh nhất

* Ngắn gọn, súc tích nhưng đầy đủ

* Đúng trọng tâm, không dài dòng và nan giải

* Thời gian học ít nhất nhưng hiệu quả cao nhất

* Chắt lọc tinh túy các kỹ thuật giải phổ biến nhất của hình học Oxy

YÊU CẦU:

* Tài liệu chỉ dành cho học sinh đã nắm được các kiến thức cơ bản trong SGK

* Có ý thức học tập thật sự

* Không tiếc … TIỀN đầu tư cho học tập !

Giá bán: 38.000 đ Tuy nhiên do thanh toán bằng thẻ cào nên nhà cung cấp dịch vụ trừ chiết khấu 24% (tức 12.000 đ) nên học sinh mua phải nạp bằng thẻ mệnh giá 50.000 đ

Hãy click và đặt mua ngay: http://goo.gl/forms/Q34af8cKxH

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm H 1; 2( )

là hình chiếu vuông góc của A lên BD Điểm M 9;3

(d): 4x + y - 4 = 0

H(1;2) M( 9 2 ;3)

C

B A

+ Khi vẽ xong hình minh họa cho bài toán, ta nhận thấy ngay có thể chứng minh được

AK ⊥ KM (K là giao điểm của (d) với DB), và đây cũng là yếu tố quyết định của bài toán dạng này

+ Thật vậy, khi có được AK ⊥ KM ta sẽ lập được phương trình đường thẳng MK là: 2x 8y 15 0 − + = (do MK đi qua M và vuông góc với (d))

+ Tiếp theo ta tìm được tọa độ K là 1; 2

2

  (do K (d) MK = ∩ và giải hệ phương trình)

⇒ phương trình BD là: y 2 0 − = (do BD đi qua 2 điểm K và H)

⇒ phương trình đường thẳng AH là: x 1 0 − = (do AH đi qua H và vuông góc với BD) ( )

A 1;0

⇒ (do A (d) AH = ∩ và giải hệ phương trình)

( )

D 0; 2

⇒ (do K là trung điểm của DH)

⇒ phương trình đường thẳng AD là: 2x y 2 0 + − = (do AD là đường thẳng đi qua 2 điểm

+ Việc chứng minh AK ⊥ KM cũng khá đơn giản, thầy có thể nói lại cách chứng minh như sau:

- Gọi P là trung điểm của AH ⇒ KP là đường trung bình của ∆ AHD

KP / /AD AD KP

SAU ĐÂY LÀ BÀI TOÁN CÓ CÁCH GIẢI TƯƠNG TỰ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Qua điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại H Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng CH, BH và

AD Biết E 17 29; , F 17 9; ,G 1;5( )

    Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABE

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979

G(1;5)

F

E H

C D

+ Gọi A x ; y( A A), do ta chứng minh được EFAG là hình bình hành nên

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD với A 2;0(− ), đường thẳng (d)

có phương trình 3x 4y 6 0− + = cắt đoạn thẳng BC Khoảng cách từ B và D tới đường thẳng (d) lần lượt là 1 và 3 Đỉnh C thuộc đường thẳng x y 4 0− + = và có hoành độ không

B

3 1

A(-2;0)

+ Ta thấy nếu tìm được tọa độ C thì sẽ tìm được tọa độ I (I là trung điểm AC) và từ đây

sẽ lập được phương trình đường thẳng DB qua I và vuông góc với AC

+ Khi có được phương trình BD ta sẽ sử dụng B BD∈ để tham số hóa tọa độ B, giải phương trình d(B; d( ) )= 1 ta sẽ tìm được tọa độ B ⇒ tọa độ D (do I là trung điểm BD)

Vậy ta có các bước giải cụ thể như sau:

- Vì C thuộc đường thẳng x y 4 0 − + = ⇒C c;c 4( + ), giải phương trình d C; d( ( ) )= 2

* Với b 1 = ⇒ B(1;1) ⇒ D( 3;3)− (do I là trung điểm của BD)

* Với b 2 = ⇒ B( 1; 2) − (trường hợp này loại vì kiểm tra thấy B và C cùng phía đối với đường thẳng (d)) Vậy B(1;1), D( 3;3) −

Lưu ý: Để kiểm tra được B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng (d), các em cần nhớ

lại công thức sau đây :

Cho điểm A x ; y , B x ; y( A A) ( B B) và đường thẳng (d) : Ax + By C 0 + =

- Nếu (AxA+ByA+C ) (AxB+ByB+C)>0 thì A và B cùng phía đối với (d)

- Nếu (AxA+ByA+C ) (AxB+ByB+C)<0 thì A và B khác phía đối với (d)

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ ABC có A(4:6) phương trình đường cao và trung tuyến kẻ từ C lần lượt là 2x - y +13 và 6x - 13y + 29 = 0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

2x - y + 13 = 0 6x - 13y + 29 = 0

H M

C B

A(4;6)

* Ta thấy ∆ ABCkhông có yếu tố đặc biệt (tức là không phải tam giác vuông, cân hay đều) Vì vậy để viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC ta có 2 hướng:

- Hướng 1: Lập phương trình 2 đường trung trực 2 cạnh của ∆ ABC

- Hướng 1: Tìm tọa độ 3 đỉnh của ∆ ABC

* Đối với bài tập này, ta có thể giải theo cả 2 hướng trên, cụ thể như sau:

+ Ta tìm được tọa độ M(6;5) (do M AB CM = ∩ và giải hệ phương trình)

+ Lúc này ta sẽ lập được phương trình d1 là trung trực của AB ⇒ d : 2x y 6 01 − − =

(do d1đi qua M và d1 ⊥ AB) + Tương tự ta lập được d2 là trung trực của AC Và giải hệ I=( ) ( )d1 ∩ d2 ⇒I(2; 3)− là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC ⇒ R IA = = 85

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC là: (x 2 − )2+(y 3 + )2 = 85

Hướng 2: Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC và (C ) có phương trình là:

2 2

x + y − 2ax 2by c 0 − + =+ Lập phương trình tương tự như trên ta sẽ tìm được tọa độ A, B, C

+ Giải hệ phương trình A (C); B (C ); C (C ) ∈ ∈ ∈ ta tìm được a = 2; b = -3 và c = -72

2 2

⇒ = + − = ⇒ (C) : x 2( − )2+(y 3+ )2 =85

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ ABCcó phương trình chứa trung tuyến và phân giác trong đỉnh B lần lượt là d :2x +y -3 = 0 và 1 d : x y 2 02 + − = Điểm M (2:1) nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB, đường tròn ngoại tiếp ∆ ABCcó bán kính bằng 5 Biết đỉnh

A ó hoành độ dương Xác định tọa độ các đỉnh của ∆ ABC

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

B

* Căn cứ vào đề bài ta có ngay B d = 1∩ d2; giải hệ phương trình ⇒B 1;1( )

+ Lập được phương trình đường thẳng AB là: y - 1 = 0 ( do AB đi qua B và M)

+ Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua d2⇒M ' 1;0( ), mà M ' BC ∈ ⇒ ta lập được phương trình đường thẳng BC là: x - 1 = 0 (do BC đi qua B và M’)

vuông cân tại B

⇒ I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC

- Việc phát hiện ra ∆ ABC vuông cân tại B là yếu tố khá quan trọng để làm bài

- Để tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua d2, em hãy xem Bài 17 nhé

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : 3x 2y 4 0 + − = và 2 điểm

B C

∆ là: 2x 3y 7 0 − − = (do AC đi qua A và AC ⊥ ∆)

+ Từ đây ta sẽ xác định được tọa độ điểm M 2; 1( − ) là trung điểm của AC (do

M AC = ∩ ∆ và giải hệ phương trình)

+ Do G là trọng tâm ∆ ABC nên giải phương trình BG 2.GM=







ta sẽ có B 5; 1( − )+ Tiếp theo ta sẽ tìm được tọa độ N 2; 2( − ) là trung điểm của AB, từ đó sẽ lập được phương trình đường trung trực của AB là ∆1: 3x y 4 0 + − =

+ Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC vậy I = ∆ ∩ ∆1 , giải hệ phương trình này ta có 4

Bài 6: ∆ ABC nội tiếp đường tròn tâm I(2;1), bán kính R = 5 Trực tâm H(-1;-1), độ dài

BC = 8 Hãy viết phương trình BC

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

+ Đây là 1 bài toán quen thuộc “tam giác nội tiếp đường tròn, cho biết trực tâm”, vậy ta

sẽ nghĩ ngay đến việc tạo ra hình bình hành bằng cách kẻ đường kính AD ⇒ BHCD là

hình bình hành (*) ⇒ MI là đường trung bình của ∆ AHD

AH 2.MI

⇒ = (một kết quả rất quen thuộc)

+ Với các suy luận trên, ta sẽ tìm được tọa độ A trước tiên Thật vậy, gọi A(x;y)

* Chú ý: Chứng minh BHCD là hình bình hành (*) như sau:

- Do H là trực tâm ∆ ABC nên CH ⊥ AB, mà ABD 90  = 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I) ⇒ BD ⊥ AB ⇒ CH / /BD

- Chứng minh tương tự ta cũng có BH / /DC ⇒ tứ giác BHCD là hình bình hành

Bài 7: (tương tự ) ∆ ABC nội tiếp đường tròn tâm I(-2;0), A(3;-7), trực tâm H(3;-1) Xác định tọa độ C biết C có hoành độ dương

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

+ Hoàn toàn với phương pháp lập luận như bài trên, ta cũng có được kết quả

AH 2.MI= ⇒AH 2.IM


=


, nếu gọi M(x;y) thì giải phương trình AH 2.IM=






x 2, y 3 M( 2;3)

+ Đường thẳng BC đi qua điểm M, vuông góc với AH ⇒ BC : y 3 0− =

+ Đường tròn (C) tâm I, bán kính R = IA có phương trình : (x 2 + )2+ y 2 = 74

+ Tọa độ B, C là giao của BC và (C), giải hệ ta sẽ có C 2(− + 65;3) (chú ý xC > 0 nhé)

Như vậy qua bài toán trên, các bạn cần ghi nhớ 1 kết quả quan trọng sau: Nếu H,

I lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC, M là trung điểm BC thì ta có:

AH 2.IM=






(đây là điểm nút của vấn đề) Tiếp theo mạch tư tưởng đó, ta nghiên cứu bài sau cũng có cách khai thác tương tự

Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, qua B kẻ đường thẳng

vuông góc với AC tại H Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng CH, BH và

AD Biết E 17 29; ; F 17 9; ,G 1;5( )

    Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABE

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

Để phân tích tìm ra các bước giải cho bài này, trước hết các bạn cần ôn lại tính chất sau

“Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm, kẻ đường kính AA’, M là trung điểm

+ Từ (1) và (2) ⇒ tứ giác BHCA’ là hình bình hành, mà M là trung điểm đường chéo BC

⇒ M là trung điểm của A’H⇒ OM là đường trung bình của ∆ AA 'H⇒AH 2.OM


=





Áp dụng tính chất trên, ta phân tích các bước suy luận của lời giải như sau

M I

E

+ ∆ ABE có F là trực tâm, vậy nếu gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABE, M là trung điể AB thì ta đã chứng minh được EF =2.IM






+ Do tọa độ E, F đã biết, vậy để có I ta cần tìm tọa độ M, mà M là trung điểm AB nên ta

cần tìm tọa độ A, B (đây là điểm nút của bài toán này)

+ Ta thấy ngay EF là đường trung bình của ∆HCB⇒AG FE


=

 Như vậy nếu gọi A(x;y) thì giải phương trình AG FE


=

⇒ x 1; y 1= = ⇒A(1;1)

+ Tiếp theo lập được phương trình đường thẳng AE đi qua A, E ⇒ AE : 2x y 1 0 − + + =+ Đường thẳng AB qua A và vuông góc với EF ⇒ AB : y 1 0− =

+ Đường thẳng BH qua F và vuông góc với AE ⇒ BH : x 2y 7 0+ − =

E

Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có D 4;5( ), M là trung điểm của AD, đường thẳng CM có phương trình x 8y 10 0 − + = Điểm B nằm trên đường thẳng 2x y 1 0 + − = Tìm tọa độ các đỉnh A, B và C biết C có tung độ nhỏ hơn 2

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

+ Căn cứ đề bài ta tính ngay được khoảng cách ( 1)

+ Vì điểm B d∈ 2 ⇒B b; 2b 1( − − ), mà d B;d( 1)=BH, ta có BH BG 4 2

DK =DG = 2= ( 1)

b 2 52

b 65

Bài 10: Cho đường tròn (C) : x 4( − )2+ y2 = 4 Tìm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (C) (A, B là 2 tiếp điểm) Biết AB đi qua E(4;1)

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

Bài tập này sẽ cung cấp cho các bạn 1 phương pháp lập phương trình đường thẳng dựa theo ý tưởng quỹ tích

Bài 11: Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn tâm O(0;0) Gọi M(-1;0, N(1;1) lần lượt là các chân đường vuông góc kẻ từ B, C của ∆ ABC Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của ∆ ABC, biết điểm A nằm trên đường thẳng ∆ có phương trình : 3x + y - 1 = 0

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

Để giải bài tập này, trước hết ta cần chứng minh một tính chất hình học quan trọng sau đây: Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn (O), BH và CK là 2 đường cao của ∆ ABC

C B

A

+ Ta thấy A ∈ ∆ ⇒ A(a;1 3a) − , bây giờ cần thiết lập 1 phương trình để tìm a

+ Ta có AO ⊥ MN

+ Giải phương trình : AO.MN 0 = ⇒ = ⇒ a 1 A(1; 2) −







+ Đường thẳng AB đi qua A, N ⇒ AB : x 1 0 − =

+ Đường thẳng AC đi qua A, M ⇒ AC : x y 1 0 + + =

+ Đường cao BM đi qua M và vuông góc với AC⇒ BM : x y 1 0 − + =

+ Tọa độ B AB BM = ∩ ⇒ B(1; 2), tương tự ⇒ C( 2;1)−

Như vậy điểm quan trọng nhất đối với bài này là phát hiện ra AO ⊥ MN, trong quá trình làm bài, các bạn cần chứng minh tính chất này kèm lời giải

CÁC BẠN QUAN SÁT LỜI GIẢI CỤ THỂ NHƯ SAU

+ Theo đề bài ta có A ∈ ∆ ⇒ A(a;1 3a) −

+ Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại A   AC

+ Đường thẳng AC đi qua 2 điểm A, M tương tự AC có phương trình x y 1 0 + + =

+ Đường cao BM đi qua điểm M và vuông góc với AC nên vec tơ pháp tuyến của BM là

Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm I, bán kính bằng 2, điểm M

thuộc đường thẳng d : x y 0 + = Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là các tiếp

điểm) Viết phương trình của đường tròn (C) biết AB : 3x y 2 0 + − = và khoảng cách từ I đến d bằng 2 2

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

+ Gọi K d AB, E MI AB = ∩ = ∩

+ Gọi I(a; b), ta có: d(I;d) AH 2 2 = = ⇒ a b+ =4 (1)

+ Ta có c (MIH ) IH 2 2

os = = (*), mà MIH K= (cùng phụ với KMI), mặt khác K còn

là góc tạo bởi đường thẳng d và AB Vậy thay vào (*) ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

1;1 3;1 2 2

MI 1;1 3;1

d:x+y=0

Đáp số: (x 1 − )2+(y 3 − )2 = 4; x 1( − )2+(y 5 + )2 = 4; x 3( − )2+(y 5 + )2 = 4; x 5( − )2+(y 9 − )2 = 4

Bài 13: ABC ∆ nội tiếp đường tròn đường kính AD, M(3; 1) − là trung điểm cạnh BC Đường cao kẻ từ B của ∆ ABC đi qua điểm E( 1; 3) − − , điểm F(1;3) nằm trên đường thẳng

AC Tìm tọa độ đỉnh A và viết phương trình cạnh BC biết D(4; 2) −

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

F(1;3) H

M(3;-1)

E(-1;-3)

D(4;-2)

C B

+ Với bài toán này ta sẽ tạo ra điểm H là trực tâm ∆ ABC ⇒ ta chứng minh được BHCD

là hình bình hành (xem chứng minh trong phần đóng khung bên dưới)

+ Ta có ABD 90  = 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) ⇒ BA ⊥ BD, mà

BA ⊥ CH ⇒ BD / /CH (1) Chứng minh tương tự ta cũng có CD / /BH (2)

+ Từ (1) và (2) ⇒ tứ giác BHCA’ là hình bình hành

+ Công việc chuẩn bị đã xong, bây giờ ta sẽ làm theo các bước suy luận sau nhé:

- Thấy ngay H là trung điểm AC ⇒ H(2;0)

- Lập được phương trình BH (qua 2 điểm H và E) ⇒ BH : x y 2 0 − − =

- Lập được phương trình DC (qua D và // BH) ⇒ DC : x y 6 0 − − =

- Lập được phương trình AC (qua F và ⊥ BH) ⇒ AC : x y 4 0 + − =

- Tọa độ C AC DC = ∩ , giải hệ ⇒ C(5; 1) −

- Lập phương trình BC đi qua 2 điểm M và C ⇒ BC : y 1 0+ =

- Lập phương trình AH (qua H và ⊥ BC) ⇒ AH : x 2 0 − =

- Tọa độ A AH AC = ∩ , giải hệ ⇒ A(2; 2)

(trên đây chỉ là các bước phân tích sơ đồ tư duy tìm ra lời giải, phần còn lại chỉ là tính toán - các em tự làm để so sánh đáp số nhé)

Bài 14: Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn, D(1;-1) là chân đường phân giác của A, AB có phương trình 3x 2y 9 0 + − = , tiếp tuyến tại A có phương trình ∆:x 2y 7 0 + − = Hãy viết phương trình BC

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

∆

3x+2y-9=0 x+2y-7=0

+ Với dữ kiện đề bài cho, trước hết ta xác định được ngay tọa độ A = ∆ ∩ AB ⇒ A(1;3)+ Đường thẳng BC đi qua D(1;-1) nên để lập phương trình BC ta cần tìm tọa độ một điểm nữa thuộc BC Gọi E = ∆ ∩ BC⇒ ∈ ∆ ⇒E E 7 2x; x( − )

+ Bây giờ cần thiết lập 1 phương trình để tìm x, vẽ hình chính xác sẽ cho ta dự đoán EAD

∆ cân tại E ⇒ giải phương trình ED = EA sẽ tìm được x 1 = ⇒ E(5;1)

(chứng minh ∆ EAD cân tại E như sau: D1= C1+ DAC (góc ngoài ∆ ADC), mà

= = , DAC A =2⇒ D1= A1+ A2 =EAD ⇒ ∆ EAD cân tại E)

+ Đường thẳng BC đi qua 2 điểm E và D ⇒ BC : x 2y 3 0 − − =

Bài 15: Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn (C), đường phân giác trong và ngoài của A cắt đường tròn (C) lần lượt tại M(0; 3), N( 2;1) − − Tìm tọa độ các điểm B, C biết đường thẳng

BC đi qua E(2; 1) − và C có hoành độ dương

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

+ Trước hết ta thấy ngay AN ⊥ AM (tính chất phân giác của 2 góc kề bù)

⇒ Đường tròn (C) sẽ có tâm I( 1; 1) − − là trung điểm MN, bán kính R MN 5

2

( )2 ( )2(C) : x 1 y 1 5

H

I E(2;-1)

N(-2;1)

M(0;-3)

C B

A

Nếu vẽ hình chính xác thì ta sẽ dự đoán được BC ⊥ MN !!! (ta sẽ chứng minh như

sau: A1 = A2⇒ MB MC = ⇒ M là điểm chính giữa BC  ⇒ H là trung điểm BC

(H MN BC = ∩ ) ⇒ BC⊥MN (quan hệ giữa đường kính và dây cung - hình học lớp 9)) + Như vậy, tóm lại, đường thẳng BC qua E, ⊥ MN ⇒ BC : x 2y 4 0 − − =

+ Cuối cùng, ta chỉ cần giải hệ phương trình gồm (C) BC B( 2; 3),C 6; 7

Bài 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ ABC có đỉnh A(1;5) Tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp ∆ ABC lần lượt là I(2; 2), K 5;3

2

  Tìm tọa độ các điểm B, C

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

Mỗi bài hình học tọa độ phẳng trong thi THPT Quốc gia đều có một “nút thắt” riêng, làm thế nào để tìm được “nút thắt” đó và “cởi nút thắt” Câu trả lời là : Phải học nhiều, làm nhiều, chịu khó tổng hợp kiến thức và tư duy theo kinh nghiệm đã tích lũy

SAU ĐÂY TA SẼ ĐI TÌM “NÚT THẮT” CỦA BÀI TOÁN LẦN TRƯỚC NHÉ ! Trước khi giải quyết bài này, ta cùng chứng minh lại 1 tính chất của hình học THCS

Tính chất: Cho ∆ ABC, gọi O và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC, AI cắt đường tròn (O) tại D ⇒ DB DI DC= =

Hướng dẫn chứng minh:

1 3 2 1

2 1

I O

C D

Như vậy tính chất vừa chứng minh bên trên đã giúp ta mở “nút thắt” trong bài này, sau

đây ta sẽ cùng phân tích từng bước của kỹ thuật giải

+ Trước hêt, ta lập được ngay đường tròn (C) ngoại tiếp ∆ ABC có tâm K, bán kính AK

(C)

2 1

3 2 1

K( 5

2 ;3) I(2;2)

C

D B

B(1;1),C(4;1)







Bài 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ ABC có tâm đường tròn bàng tiếp của góc A

là K(2; 9) − , đỉnh B( 3; 4), A(2;6) − − Tìm tọa độ đỉnh C

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

Trước khi làm bài này, các bạn cần nhớ lại tính chất và chú ý sau

Tính chất: Az là tia phân giác của góc xAy, M nằm trên tia Ax khi đó nếu gọi M' là điểm đối xứng với M qua phân giác Az thì điểm M' nằm trên tia Ay.

z

M' M

y x

A

Kinh nghiệm làm bài: khi có 1 điểm (đã biết tọa độ) nằm trên 1 cạnh của góc (đã biết phương trình) và 1 tia phân giác của góc đó (đã biết phương trình) thì tư duy là lấy điểm đối xứng với điểm đã cho qua tia phân giác

Ở bài này, chúng ta sẽ suy luận làm bài theo trình tự các bước tư duy sau đây

K(2;-9)

B(-3;-4)

A' C B' E A(2;6)

+ Ta thấy C AC BC = ∩ , vậy ta cần đi tìm phương trình đường thẳng AC và BC

* Bước 1: Tìm phương trình AC

- Đường thẳng AC đi qua A và B’ (trong đó B’(7;-4) là điểm đối xứng của B qua phân

giác AK: x - 2 = 0) ⇒ AC : 2x 5y 34 0 + − =

(Trong quá trình học ta đã có được kinh nghiệm: khi gặp đường phân giác và 1 điểm, ta

sẽ lấy điểm đối xứng qua đường phân giác - hy vọng bạn còn nhớ)

* Bước 2: Tìm phương trình BC

Suy luận tương tự ta cũng có: Đường thẳng BC đi qua B và A’ (trong đó A’ là điểm đối

xứng của A qua phân giác BE)

+ Giải hệ C AC BC = ∩ Đáp số C(5;0)

Chú ý: trên đây chỉ là phân tích và hướng dẫn con đường tư duy tìm ra lời giải một cách ngắn gọn để các bạn có được sự nhìn nhận về các bước làm một cách hệ thống nhất, trong hướng dẫn trên có bước tìm điểm B’ đối xứng với B qua AK, A’ đối xứng với

A qua BE , các bạn theo dõi cách làm mẫu với tìm điểm B’ như sau:

Bài 18: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD, BD 2.AC = , BD có phương trình

x y 0 − = M là trung điểm CD và H(2; 1) − là hình chiếu vuông góc của A trên BM Viết phương trình đường thẳng AH

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

- Nhận xét thấy đường thẳng AH đi qua điểm H(2; 1) − , vậy để lập phương trình AH ta phải tìm 1 điểm nữa thuộc AH, phương án này khó thực hiện, do đó trong trường hợp này ta nghĩ đến cách gọi VTPT của AH là 2 2

1

n = (a; b),a + b > 0



- Để tìm a, b trong trường hợp này ta thường nghĩ đến việc thiết lập góc giữa đường thẳng

AH và BD (BD đã có sẵn phương trình là x y 0 − = rồi ⇒ VTPT củu BD là n2 = (1; 1) −

E H(2;-1)

D

C B

A

- Ta có góc tạo bởi 2 đường thẳng AH và BD là AEI , mà AEI BEH = (đối đỉnh), mặt

khác BEH và HBE là 2 góc phụ nhau nên ()  () 

Bài 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có M đối xứng với B qua

C Điểm N(5; 4) − là hình chiếu vuông góc của B trên DM Điểm C nằm trên đường thẳng 2x y 5 0, A( 4;8) + + = − Tìm tọa độ của B và C

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

+ Ta dễ dàng chứng minh được IN IA = , giải phương trình này ⇒x 1= ⇒C 1; 7( − )

+ Đến đây ta sẽ lập được phương trình AC (đi qua 2 điểm A và C), điểm B là điểm đối xứng của N qua AC ⇒ B( 4; 7) − −

CÁCH KHÁC

+ Điểm C d ∈ ⇒ C(x; 2x 5) − −

+ Vẽ hình chính xác, dự đoán được ngay rằng: AN⊥NC⇒AN.NC 0





= , giải phương trình này sẽ ⇒ ⇒ x C

Chứng minh AN ⊥ NC như sau:

Chứng minh ADMC là hình bình hành ⇒ AC⊥NB Trong ∆ ANM có C là trung điểm

BM, EC // NM ⇒ E là trung điểm BN ⇒ ∆ ABC = ∆ ANC ⇒ ANC 90  = 0

Bài 20: Cho ∆ ABC có trực tâm H, đường tròn ngoại tiếp ∆ HBC có phương trình (x 1 + )2+ y 2 = 9 Trọng tâm G của ∆ ABC thuộc Oy Tìm tọa độ các đỉnh của ∆ ABC biết

BC có phương trình x y 0 − = và B có hoành độ dương

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

C B

+ Bây giờ việc khó khăn sẽ là tìm tọa độ A(x;y) theo trình tự suy luận sau:

- Điểm G(0;a) thuộc Oy là trọng tâm ∆ ABC, sử dụng công thức trọng tâm ta có