đề và lời giải HSGQG12

Đặt : Ta chung minh : That vay , khong mat tinh tong quat gia su ta co : Vay ta chi can chung minh bat dang thuc trong truong hop Dat va khac!. Ta co : Cách 1 : biến đổi tưong đương chứn

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA

LỚP 12 THPT N M 2008 – Môn TOÁNĂ

Câu 1:Hãy xác đị nh s ố nghi ệ m c ủ a h ệ ph ươ ng trình ( ẩ n ) sau:

Câu 2:Cho tam giác ABC có góc là góc nh ọ n,trong ó E là đ

trung i đ ể m c ủ a AB.Trên tia EC l ấ y i đ ể m M sao cho

.Kí hi ệ u là s ố o c đ ủ a góc ,hãy tính t ỉ s ố theo

Câu 3: Đặ t H ỏ i có t ấ t c ả bao nhiêu s ố t ự nhiên n mà

và chia h ế t cho m?

Câu 4:Cho dãy s ố th ự c đượ c xác đị nh nh ư sau:

và v ớ i m ọ i

Ch ứ ng minh r ằ ng dãy có gi ớ i h ạ n h ữ u h ạ n khi Hãy tìm

gi ớ i h ạ n ó đ

Câu 5:H ỏ i có t ấ t c ả bao nhiêu s ố t ự nhiên chia h ế t cho 9 mà m ỗ i

s ố g ồ m t ố i a 2008 ch đ ữ s ố và trong ó có ít nh đ ấ t 2 ch ữ s ố 9?

Câu 6:Cho x,y,z là các s ố th ự c không âm , ôi m đ ộ t khác

nhau.Ch ứ ng minh r ằ ng

H ỏ i d ấ u b ằ ng x ả y ra khi nào?

Câu 7:Cho tam giác ABC,trung tuy ế n AD.Cho đườ ng th ẳ ng d vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng AD.Xét i đ ể m M n ằ m trên d.G ọ i E,F

l ầ n l ượ t là trung i đ ể m c ủ a MB,MC Đườ ng th ẳ ng i qua E và đ

vuông góc v ớ i d c ắ t đườ ng th ẳ ng AB ở P, đườ ng th ẳ ng i qua F đ

và vuông góc v ớ i d c ắ t đườ ng th ẳ ng AC ở Q.CMR đườ ng th ẳ ng

i qua M vuông góc v

đ ớ i đườ ng th ẳ ng PQ luôn i qua 1 i đ đ ể m c ố

đị nh ,khi i đ ể m M di độ ng trên đườ ng th ẳ ng d.

Lời giải của một số học sinh 11 chuyên toán trường Quốc Học Huế.

Bạn có thể trao đổi qua forum ở trang web:

http://toan.edu.ms/forum/viewtopic.php?f=78&t=172

Theo phân công lao độ ng thì mình s ẽ post gi ả i bài 4,5,6 trình (pi3.14) gi ả i bài 1,2 và b ạ n Nh ậ t s ẽ gi ả i bài 3,7 Ph ầ n vi ệ c c ủ a mình

Bài 4

B ằ ng qui n ạ p ta có V ớ i m ọ i n.

Xét v ớ i

Ta có

Mà do ó đ t ng , t ă ươ ng t ự ta có gi ả m

Xét dãy b ằ ng qui n ạ p ta có b ị ch ặ n trên b ớ i 2, theo trên nó là dãy t ng nên có gi ă ớ i h ạ n

Đặ t

Khi ó đ t ừ ó có đ

T ươ ng t ự dãy gi ả m, b ị ch ặ n d ướ i b ở i 0 nên có gi ớ i h ạ n Ta

c ũ ng có gi ớ i h ạ n là 1

V ậ y

Bài 5

G ọ i các s ố ph ả i tìm có d ạ ng

Do s ố này chia h ế t cho 9 nên t ổ ng các ch ữ s ố chia h ế t cho 9

B ướ c 1 Tìm t t c ấ ả các s ố chia h ế t cho 9

Có 10 cách ch ọ n các ch ữ s ố , 10 cách ch ọ n ch ữ s ố , , 10 cách ch ọ n ch ữ s ố ứ ng v ớ i các

cách ch ọ n này có 9 cách ch ọ n ch ữ s ố để tho ả mãn bài toán

V ậ y có s ố chia h ế t cho 9

B ướ c 2 Tìm s các s ố ố chia h ế t cho 9 không có ch ữ s ố 9 trong nó

Có 8 cách ch ọ n các ch ữ s ố có 9 cách ch ọ n do ó có đ

t ấ t c ả s ố

B ướ c 3 Tìm s các s ố ố chia h ế t cho 9 mà trong nó ch ỉ có duy

nh ấ t m ộ t ch ữ s ố 9

Có s ố có n-1 ch ữ s ố tho ả bài toán, ta đư a ch ữ s ố 9 vào s ố

trên thì đượ c 1 s ố tho ả bài toán Có (n-1) v ị trí có th ể đư a ch ữ s ố

9 vào

Nh ư v ậ y có s ố

Cu ố i cùng s ố các s ố ph ả i tìm là

Tính t ổ ng ni thì d ễ dùng c ấ p s ố nhân v ớ i đạ o hàm là ok

n c

Ă ơ m cái ã, tí n đ ữ a post ti ế p

Bài 6

Gi ả s ử

Ta có

Và

T ừ ây ta suy ra: đ

V ậ y ta s ẽ ch ứ ng minh r ằ ng:

Cái ni thì hi ể n nhiên úng theo Cauchy đ

T ừ ó suy ra pcm đ đ

D ấ u b ằ ng x ả y ra khi ch ỉ khi:

Bài 6

Cách ni của m ột anh bên TPHCM ý tưởng c ũng tương tự, post lên xem th ử

Cho là các số không âm khác nhau ôi mđ ột , tìm hằng số k tốt nhất của bất đẳng thức

Đặt :

Ta chung minh :

That vay , khong mat tinh tong quat gia su ta co :

Vay ta chi can chung minh bat dang thuc trong truong hop Dat va khac !

Ta co :

Cách 1 : biến đổi tưong đương chứng minh tươnng đương với

Hiển nhiên úng !đ

Cách 2 :

Tu do ta tim duoc gia tri nho nhat cua la va dat duoc tai 2 diem la va

vay hang so tot nhat can tim la va dau bang xay ra tai hai diem la

va Bài 2

Lấy iđ ểm sao cho là hình bình hành

Ta có thẳng hàng

Do ó: tam giác đ cân tại Suy ra

Trên tia lấy iđ ểm sao cho

Do óđ

Suy ra

Suy ra tam giác cân tại

Lấy là trung iđ ểm thì

Vậy

Bài 2 ngắn gọn, đơn giản, mình giải trước:

Từ C kẻ CF song song với BM (F thuộc cạnh BC, cái này dễ thấy, chắc các bạn không thắc

mắc)

Khi ó CE là phân giác cđ ủa góc ACB

Áp dụng định lí Talet và tính chất phân giác, ta có

mặt khác theo công thức tính diện tích

suy ra

Từ ó suy ra đ

Theo phân công lao độ ng thì mình s ẽ post gi ả i bài 4,5,6 trình (pi3.14) gi ả i bài 1,2 và b ạ n Nh ậ t s ẽ gi ả i bài 3,7 Ph ầ n vi ệ c c ủ a mình

Bài 4

B ằ ng qui n ạ p ta có V ớ i m ọ i n.

Ta có

Xét dãy b ằ ng qui n ạ p ta có b ị ch ặ n trên b ớ i 2, theo trên nó là dãy t ng nên có gi ă ớ i h ạ n

Đặ t

Khi ó đ t ừ ó có đ

T ươ ng t ự dãy gi ả m, b ị ch ặ n d ướ i b ở i 0 nên có gi ớ i h ạ n Ta

c ũ ng có gi ớ i h ạ n là 1

V ậ y

Bài 5

G ọ i các s ố ph ả i tìm có d ạ ng

Do s ố này chia h ế t cho 9 nên t ổ ng các ch ữ s ố chia h ế t cho 9

B ướ c 1 Tìm t t c ấ ả các s ố chia h ế t cho 9

Có 10 cách ch ọ n các ch ữ s ố , 10 cách ch ọ n ch ữ s ố , , 10 cách ch ọ n ch ữ s ố ứ ng v ớ i các

cách ch ọ n này có 9 cách ch ọ n ch ữ s ố để tho ả mãn bài toán

V ậ y có s ố chia h ế t cho 9

B ướ c 2 Tìm s các s ố ố chia h ế t cho 9 không có ch ữ s ố 9 trong nó

Có 8 cách ch ọ n các ch ữ s ố có 9 cách ch ọ n do ó có đ

t ấ t c ả s ố

B ướ c 3 Tìm s các s ố ố chia h ế t cho 9 mà trong nó ch ỉ có duy

nh ấ t m ộ t ch ữ s ố 9

Có s ố có n-1 ch ữ s ố tho ả bài toán, ta đư a ch ữ s ố 9 vào s ố

trên thì đượ c 1 s ố tho ả bài toán Có (n-1) v ị trí có th ể đư a ch ữ s ố

9 vào

Cu ố i cùng s ố các s ố ph ả i tìm là

Tính t ổ ng ni thì d ễ dùng c ấ p s ố nhân v ớ i đạ o hàm là ok

n c

Ă ơ m cái ã, tí n đ ữ a post ti ế p

Nhầm hết rồi

ính chính l

Gọi các số phải t“m có dạng

Do số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số chia hết cho 9

B ướ c 1 T“m tấ t c ả các số chia hế t cho 9

Có 10 cách chọn các chữ số , 10 cách chọn chữ số , , 10 cách chọn chữ số ứng với các

cách chọn này có 1 cách chọn chữ số để thoả mãn bài toán Vậy có số chia hết cho 9

B ướ c 2 T“m số các số chia hế t cho 9 không có chữ s 9 trong nóố

Có 8 cách chọn các chữ số có 9 cách chọn,chữ số a_n có duy nhất 1 cách

chọn.Do ó có tđ ất cả số

B ướ c 3 T“m số các số chia hế t cho 9 mà trong nó chỉ có duy nh t mấ ộ t chữ s ố 9

Nếu số 9 đứng đầu: Có số( và có 1 cách chọn)

Nếu số 9 không đứng đầu : Có (Lấy số có chữ số không có số 9 nào r�“i thêm số 9 vào)

Còn ây là bài 1đ

Giả sử hệ có nghiệm (x,y) Ta có x,y>0

Suy ra

Đặt

Ta có

(2)

Lại xét hàm

Ta có

từ ó, g(t) là hàm đ đồng biến trên ođ ạn (3)

Nhận xét: Từ (1) nếu a<0 thì b<0 Khi ó dđ ễ thấy (loại)

nếu a>0 thì b>0 suy ra và

Từ (2) (3) suy ra

Mặt khác ta có kết hợp với bảng biến thiên suy ra phương trình

có 2 nghiệm, từ ó dđ ễ dàng suy ra hệ có 2 nghiệm

Bài 7 thì mình sử dụng phương pháp tọa độ, tuy nhiên lời giải hơi dài, sẽ post sau

Còn ây là bđ ảng biến thiên của bài 1 mình giải ở trên