Ý tưởng của bài toán – dùng BĐT để đánh giá 3 Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có.
Trang 1DẠNG 1 PP ĐẶT ẨN PHỤ
Ví dụ 1 [ĐVH]: Giải phương trình 2( ) ( 2 )
4x x+ +2 3 2x −4x−3 4x+ = −3 6x
Lời giải:
ĐK: 3
4
x≥ −
PT ⇔ x + x x+ + x − x− x+ =
4x +2xy +3 2x −y y= ⇔0 4x +6x y+2xy −3y =0
2
2
x
x
≥
Vậy PT có nghiệm duy nhất là: 3
2
x=
Ví dụ 2 [ĐVH]: Giải phương trình 4x2 6x 3 2 2 3x 1 2x 1
x
− + = + − −
Lời giải:
ĐK: 1
2
PT ⇔ x − x− x= x− + x x−
4x −3xy =2 3x +y y⇔4x −6x y−3xy −2y =0
x y x xy y x y x x
0
x
≥
− + =
Vậy nghiệm của PT là: x= ±4 12
Ví dụ 3 [ĐVH]: Giải phương trình 2
2
− + − = +
Lời giải:
ĐK:
2
2
1
x
x
− ≥
− ≥
Khi đó do VT>0 nên x>0
Đặt 2 ( )
2
1
2
t x t
x
= + ≥ ta có: 10− +t 2 26 5− = + ⇔ − = −t 8 4t 2 5t 2 26 5− t
2
1
x
⇔ − + − − = ⇔ − = ⇔ = ⇒ + = ⇒ = >
Vậy x=1 là nghiệm duy nất của PT đã cho
Ví dụ 4 [ĐVH]: Giải phương trình 2 x− +3 x2+4x+ =3 4x2+3x−15
Lời giải:
CÁC PP TRỌNG TÂM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 2( )( )( ) 2 ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( )
3u −4uv v+ = ⇔0 3u v u− − =v 0
2
u=v⇒x − − = ⇔ =x x +
18
u= ⇔v x − x− = ⇔ =x +
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm trên
Ví dụ 5 [ĐVH]: Giải phương trình x+ +1 2 4x2−2x+ =2 24x2−2x+14
Lời giải:
u= +x v= x − x+ v> ta có: u+2v= 4u2+5v2
u v
u v u v u v
u uv v u v
+ ≥
1 1
3
x x
x
x x
=
≥ −
=
− + =
5
x
≥ −
Kết luận: Vậy PT đã cho có 3 nghiệm 1; 1; 10 65
x= x= x= − +
Ví dụ 6 [ĐVH]: Giải phương trình ( 2 )
x
+ =
Lời giải
Điều kiện:
2
0
− ≥ ⇔ ≥
≠
x x
x
Phương trình tương đương với 2x 2 1 2 x
− + − =
Đặt
2
2 2
2 1
− =
x
a x x
x
a b
a b x
x b
x
( )2
⇔a + = a⇔ a− = ⇔ = ⇔a x− =
x
2 1
⇔ − = ⇔x x − x− = ⇔ = +x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= +1 2
Ví dụ 7 [ĐVH]: Giải phương trình
x x x
x x x x x
+
Lời giải:
Trang 3Điều kiện:28 1 0 1
28 + ≠ ⇔ ≠ −
Ta có x=0 không là nghiệm của phương trình
Với x≠0 phương trình tương đương với
x x
x x x
x x x
+
Đặt t= 1
3
⇔ −t − t − t+ = +t t+ t− + −t t+
Đặt a= −t 1;b= 32t2+ −9t 1 ta có hệ phương trình
3
2
0 8
− + + = +
= + + + +
a b t a b a
b a ab b t
v t t t t
+) Nếu
+ + + + = ⇔ + + + + =
=
− − = ⇔ + − = ⇔ = − ⇔
=
=
= ⇔ −
= + − ⇔
x t
a b t t t
Vậy phương trình có tập nghiệm 1;1
6
= −
S
Ví dụ 8 [ĐVH]: Giải phương trình 2−x 3− +x 3−x 6− +x 6−x 2− =x x
Lời giải:
Điều kiện: x≤2
Đặt
2 2
2 2
2 2
2
3
6
6
+ + =
= −
ab bc ca x
c ab bc ca c a c b
1
2
+ =
⇒ + + + = ⇒ + = ⇒ + + = ⇒ = ⇒ =
+ =
a b
a b b c c a b c a b c c x
c a
(thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm x=2
Ví dụ 9 [ĐVH]: Giải phương trình ( ) 2
2 1+ x = +x 5x −24x+20
Lời giải
Điều kiện: 20
≥
− + ≥
x
x x
2− +x 2 x = 5x −24x+20
Đặt = −2
=
a x
Trang 42 2
2
=
+) Nếu a= − ⇔ − = −b 2 x x ⇔ −x x− = ⇔ =2 0 x 4 (t/m)
+) Nếu a=2b⇔ − =2 x 2 x ⇔ +x 2 x− = ⇔ = −2 0 x 4 2 3 (t/m)
Vậy pt có tập nghiệm S={4; 4−2 3}
Ví dụ 10 [ĐVH]: Giải phương trình
2
1
x x
Lời giải
Điều kiện: 2
2
0
≥
x
Phương trình tương đương với 2 x + − = −x 1 2 6x2−33x+54
2
Đặt = −3
=
a x
5
=
a b
2
+
= − ⇔ − = − ⇔ − − = ⇔ =
10
−
= ⇔ = − ⇔ + − = ⇔ =
Vậy phương trình vô nghiệm
Ví dụ 11 [ĐVH]: Giải phương trình 3+ 2x+ = +1 x 5x2−32x+44
Lời giải
Điều kiện:
2
1 2
≥ −
x
x x
Phương trình tương đương với 3− +x 2x+ =1 5x2−32x+44
Đặt 3
= −
= +
a x
0 0
5
2
+ ≥
+ ≥
= −
a b
a b
a ab b
≤
x
≥
− + =
x
Vậy phương trình có tập nghiệm 4 2 2;13 29
4
Ví dụ 12 [ĐVH]: Giải phương trình x+ +2 2 2− =x 8x2+31x+34
Lời giải
Trang 5Điều kiện: 22
≤
+ + ≥
x
x x
Đặt 2
2
= +
= −
a x
b x ta được
≥ −
+ + =
x
2
205 3 793 98
≤ −
Vậy phương trình có tập nghiệm 205 3 793; 17
9
5
=
−
S
Ví dụ 13 [ĐVH]: Giải phương trình
2
1
Lời giải
Điều kiện: 2
2
3 4
≥
+ − ≥
+ − ≠
x
x x
x x
Phương trình tương đương với: 3x− +1 4x− =3 9x2+6x−8
Đặt 3 1
= −
= −
a x
3
2
0
+ ≥
⇔
=
a b
b ab
4
= ⇔ =
+) Nếu
2
1
≥
= ⇔ − = − ⇔
− + =
x
x x
vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 3
4
=
x
Ví dụ 14 [ĐVH]: Giải phương trình x− + + =1 x 1 2 3x2+4x+5
Lời giải
Điều kiện: 21
≥
+ + ≥
x
x x
1
= −
= +
a x
b x ta được
0 0
+ ≥
+ ≥
=
+
−
a b
a b
a b
Trang 6+) Nếu 1 1 2 1
≥ −
= ⇔ + = − ⇔
+ + =
x
a b x x
1
≤ −
= − ⇔ − = − + ⇔
x
Vậy phương trình vô nghiệm
Ví dụ 15 [ĐVH]: Giải phương trình 2 1 ( )
x
Lời giải
Điều kiện
( 2 )
0
x
x x
≠
− ≥
Đặt 2x 1 t t, 0
x
− = ≥ thu được
( )( ) 2
0
;1
t t
t
t t
t t
≥
− − =
2
x
x
= ⇔ = ⇔ − − = ⇔ − + = ⇔ ∈ −
x
x
Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình đã cho có bốn nghiệm 1;1;1 129 1; 129
x + −
Ví dụ 16 [ĐVH]: Giải p ươn trìn 8 7 2 7 6 ( )
x x
L ờ i gi ả i.
2
2
+ = + − + −
⇔ − + − − − + − + − − + − + + =
⇔ − + − − − − + − − + = Đặt − +x2 7x− − =6 x t ta th được
( )
2 2
2
x x x
x x x
− + − = +
− + = ⇔ − − = ⇔ ∈ ⇔
− + − = +
Xét hai trườn hợp xảy ra
1
x
2
x
Vậy p ươn trìn đã ch v n hiệm
Ví dụ 17 [ĐVH]: Giải p ươn trìn 3 2 ( ) 2 2 ( )
x
L ờ i gi ả i.
Trang 7Điều kiện ( 3 )
x x + x+ ≥ x≠ Phư n trìn đã ch tư n đươn với
2
+ + + = + + +
⇔ + + − + + + − + + + + =
⇔ + + − − + + − + =
x
+ + − = ta th được
( )
2
2
2
2
2
x
x
+ + = +
− + = ⇔ − − = ⇔ ∈ ⇔
+ + = +
Xét hai trườn hợp xảy ra
x
≥ −
x
≥ −
Vậy p ươn trìn đã ch có b n n hiệm kể trên
Ví dụ 18 [ĐVH]: Giải p ươn trình ( ) 7 ( 2 ) ( )
x
Lời giải
Điều kiện x>0
Phương trình đã cho tương đương với ( ) 2 ( 2 )
x+ x + = x + x
2x + =7 u; x =v u>0;v>0 ta có ( 2 ) ( 2 ) ( )( )
3
u v
v u u v u v uv
uv
=
+ = + ⇔ − − = ⇔ =
o u= ⇔v 2x2− + =x 7 0 (Vô nghiệm)
uv= ⇔ x + x− = ⇔ x− x + x+ = ⇔ =x
So sánh điều kiện ta thu được nghiệm S ={ }1
Ví dụ 19 [ĐVH]: Giải p ươn trìn ( 2) 2 ( )
2
x
Lời giải
Điều kiện
2
0
x
x − ≥
− Đặt 3x2− =1 u;5x− =3 v⇒3x2+ = +3 u 4;5x− = +2 v 1 Với 4 0
1
u
v+ ≥ + , phương trình đã cho trở thành
Trang 8( ) ( )
4
1
4
4
u u v u v v u v uv u v
uv
uv u v u v uv u v
u v
+
=
=
uv= ⇔ x − x− = ⇔ x − x − x− = ⇔ x− x + x+ = ⇔ =x
u= v⇔ x − = x− ⇔ x − x+ = ⇔ =x + x= −
Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình đã cho có các nghiệm 1; 10 67; 10 67
x= x= + x= −
x + x + x+ − + =x +x x∈ℝ
Lời giải
Điều kiện
1
x
≥ −
Bất phương trình đã cho tương đương với
( )( )
x + x+ =u x − + =x v u≥ v> ta thu được
4
u − v = uv⇔ u−v u+ v = ⇔ = ⇔u v x + x+ =x − + ⇔ = −x x
Thử lại, kết luận nghiệm duy nhất 1
4
S
= −
Ví dụ 21 [ĐVH]: Giải p ươn trình 3 2 2 ( )
x x x
x x
Lời giải
Điều kiện 4x3−8x2+ ≠1 0 Phương trình đã cho tương đương với
3
3
2x+ =1 u; 4x −8x + =1 v ta thu được hệ phương trình
u v x x v u
u uv v x x
+ + + − + =
o u= ⇔v 2x+ =1 34x3−8x2+ = ⇔1 v 8x3+12x2+6x+ =1 4x3−8x2+1
− + − −
Trang 9o 2 2 ( 2 ) 1 2 3 2 ( 2 )
u uv v x x u v v x x
+ + + − + = ⇔ + + + − + =
⇔ + + + + − + = ⇔ + + − = −
Kết luận phương trình đã cho có ba nghiệm kể trên
Ví dụ 22 [ĐVH]: Giải p ươn trìn 2 2 20 ( )
3
x
Lời giải
Điều kiện 20− < <x 20
20− =x u; 20+ =x v u, >0,v>0 ⇒x=20−u = −v 20
Phương trình đã cho trở thành
( 2 )
v u
u v
− −
Ta thu được hệ phương trình
40
u v uv uv u v
u v
+ =
Đặt u+ =v t t, >0 thì
2
2
8
t
t t
=
+ + =
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x= −16;x=16
Ví dụ 23 [ĐVH]: Giải p ươn trìn 4 2 4 2 4 ( )
4x− −1 2x + 2x −2x+ =1 2 x x∈ℝ
Lời giải
Điều kiện
2
0
x
≥
Nhận thấy x=0không thỏa mãn phương trình đã cho Với x>0ta biến đổi về dạng
4
2
2
u uv v
u v
uv u v
uv u v u v uv uv uv
+ + = + =
Rõ ràng u v; ∈[ ]0; 2 ⇒uv≤4, vậy loại trường hợp uv=7 Đặt 2x 1 u u, 2 2, x 0
x
+ = ≥ ∀ >
uv= ⇔ −t t− = ⇔ − + = ⇔ −t t t = ⇔ =t
2
x
⇒ + = ⇔ − + = ⇔ = =
Trang 10Đối chiếu điều kiện thu được nghiệm 1; 1
2
x= x=
Ví dụ 24 [ĐVH]: Giải phương trình 2 ( ) 2 ( )
10x + = +6 x 7 5x −x x∈ℝ
Lời giải
Điều kiện x(5x− ≥1) 0 Đặt 2 ( ) 2 2
5x − =x t t≥0 ⇒5x = +t x Phương trình đã cho trở thành
2 2
2
2
; ;1 3
t x x t t x t x
x x
x x
x x
+ + = + ⇔ − + + + =
⇔ − − − − − = ⇔ − − − =
− − =
− = + − − = Đối chiếu điều kiện thu được nghiệm 9 ; 4;1
= − −
Ví dụ 25 [ĐVH]: Giải phương trình 3 ( ) 3 ( )
x − x= + x− x + x+ x∈ℝ
Lời giải
Điều kiện x3+3x+ ≥1 0
x + x+ =t t≥ ⇒x = − −t x Phương trình đã cho tương đương với
3
t x x x t t x t x
t
t x
− − − = + − ⇔ − − − − =
= −
⇔ + − + − + = ⇔ − − + ⇔
= +
• Loại giá trị t= − <3 0
• 3 1 33 1 0 2 33 1 20 0;9 93 9; 93
Đối chiếu điều kiện đi đến đáp số 0;9 93 9; 93
S + −
Ví dụ 26 [ĐVH]: Giải phương trình 2 ( ) 2 ( )
2x +2x+ =5 4x−1 x +3 x∈ℝ
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương với
4x +4x+ =10 2 4x−1 x + ⇔3 4 x + −3 2 4x−1 x + +3 4x− =2 0
x + =u x− =v u≥ ta thu được
1
2
x
x
− + − = ⇔ − − − = ⇔ − − + =
≥ ⇒ − ≠ ⇒ + = − = − ⇔ + = −
− ≥
+ = − +
Kết luận bài toán vô nghiệm
Ví dụ 27 [ĐVH]: Giải phương trình ( 2 ) ( )
4x+ +1 4 x +3x−4 x+ −4 x− =1 45
Lời giải
ĐK: x≥1
Trang 11PT đã cho tương đương với ( 2 ) ( )
5 4x+ +1 4 x +3x−4 =45 x+ +4 x−1 ( 2 ) ( )
⇔ + + + − − + + − − = Đặt t= x+ +4 x−1 (t>0) 2 ( )( ) 2
⇒ = + + − + + − = + + + − 2
5
2
t
PT t t
t loai
=
⇒ ⇔ − − = ⇔ −
=
0
>
+ + − +
(thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm làx=5
Ví dụ 28 [ĐVH]: Giải phương trình x2 6x 4 x x 4
x
Lời giải
ĐK:x>0
Dox=0không là nghiệm của phương trình đã cho nên chia cả 2 vế của phương trình choxta được
Đặt t x 4
x
t x
x
t
PT t t
t loai
=
⇒ ⇔ − − = ⇔
= −
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=2
Ví dụ 29 [ĐVH]: Giải phương trình x2−2x− +3 2 x− =2 5x2−14x−7
Lời giải
ĐK:
2
2
7 2 21
5
x x
x x
− − ≥
+
− − ≥
PT ⇔ x − x− + x− = x − x− − x−
2
= − − > ⇒ = − −
= − > ⇒ = −
0
>
x t m
x loai
=
= ⇒ − − = − ⇔ − + = ⇔
=
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=5
Ví dụ 30 [ĐVH]: Giải phương trình 3 2( 3 2 )
4x +10x− =8 x 5 3 5+ x −10x+8
Lời giải
PT ⇔ x − x − x+ − x x − x+ =
Trang 12Đặt 3 2 3 2
t= x − x+ ⇒t = x − x+
0
>
Với x=t⇒x= 35x2−10x+ ⇔8 x3−5x2+10x− = ⇔ =8 0 x 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=2
Ví dụ 31 [ĐVH]: Giải phương trình 11x2 + + =x 2 6x 3x2+ +x 2
Lời giải
PT ⇔ x + + −x x x + + +x x =
t= x + +x t> ⇒t = x + +x
4
t x
PT t xt x t x t x
t x
=
⇒ ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔
=
2
2 1
2
0
0
x
x
x
≥
2 2
2
2 0
0
x
x
≥
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=4và 1 105
2
x= +
Ví dụ 32 [ĐVH]: Giải phương trình ( ) ( ) ( ) 2
x
−
Lời giải:
ĐK: 2
0
1
0
x
x
x
≠
− ≥
x
−
⇔ + + + − + = +
2
−
⇔ + + − + = + ⇔ + + + − = + −
2
2
⇔ + − − = + −
Đặt x 1 a; 1 x b
2
b a
a b ab a ab b a b a b
b a
= −
− = ⇔ − − = ⇔ + − = ⇔
=
(3)
Trang 13Mặt khác
− + + − = − + + > ⇒
• TH2
2
x x
+
− = + − = − +
>
x x
x
>
+ − = = − ±
Đ/s: x= 2 1.−
Ví dụ 33 [ĐVH]: Giải phương trình 1 1 9 2 1 1 ( )
5
+ + − = + − − ∈
Lời giải:
ĐK: x 0; x 1 0; x 1 0
5
x
⇔ + + − = + − −
Phương trình (2) trở thành ( 2 2) ( ) 9( 2 2) ( )
5
a −b a b+ = a +b a b−
2
a b
a b
=
• TH1
0
x x
+ = − =
• TH2
2
1
0
x
+ = − + = −
Trang 140
5
3
3
x x
x
≥
>
Đã thỏa mãn (*)
• TH3
2
2
1
0 0
x x
+ = − + = −
Đ/s: 5
3
x=
Ví dụ 34 [ĐVH]: Giải phương trình 2 27 2( )2
8
x+ x − = x− x− x∈ℝ (1)
Lời giải:
ĐK: 2
2
1
x
(*)
4
( )2 27( )2
4
4
⇔ + + − = − − (2)
a= x+ x− =b a≥ b≥ ⇒a −b = (3)
4
a b+ = b ⇔ b = a b+ Kết hợp với (3) ta có 5 ( 2 2)2( )
Với b=0 thế vào (4) ta được ( 2 )2( )
a − a+ = ⇔ =a loại vì a≥ 2
Với b≠0 ta có
2 2
2
⇔ = − +
Đặt a t t( 0)
b = ≥ ⇒ phương trình mới ( )2 2( ) ( ) ( 4 2 )
27= t −1 t+ ⇔ +1 t 1 t −2t + =1 27
2
t
=
• TH1
( )
1
3
x x
a
≥
− ≥
Đã thỏa mãn (*) 5
3
x
⇒ = là một nghiệm của (1)
Trang 15Với ĐK (*) có 1 1 1 2 1 VT (5) 1 3 4 6 13 1 0 (5)
1
t
= = = = + > ⇒ > + + + − = > ⇒
Đ/s: 5
3
x=
Ví dụ 35 [ĐVH]: Giải phương trình 2 ( ) 2 26 13
5
x
x x + + +x x + x+ = + x∈
ℝ (1)
Lời giải:
ĐK:
( )
2 2
2 2
1 0
1 0
x x
x
+ ≥
+ ≥
1 2
1 1
2
a b x
x x a x b a b a b x
a b x
= − −
+ + = + = ≥ ⇒ − = + ⇒
− +
+ =
a b a b
b − − +a − + = a −b
( 2 3 ) ( 3 2 ) 26( 2 2)
5
a b b b a ab a a b
( 3 3) ( 2 2) 26( 2 2) ( )
0 5
a b a b ab a b a b
0 5
a b a ab b ab a b a b a b a b
a b a ab b ab a b a b a b a b
⇔ − + + + − − + = ⇔ − + − + + =
5
a b
a b a b a b a b
a b
=
⇔ − + − + − = ⇔ + =
+ =
• TH1
2 2
2
2
x x
x
+ ≥
+ ≥
= − + = + +
Đã thỏa mãn (*) 1
2
x
⇒ = − là một nghiệm của (1)
a b+ = ⇒ x + + x + x+ = (2)
5
x + + x + x+ > + > ⇒ vô nghiệm
• TH3 a b+ =5⇒ x2+ +2 x2+2x+ = ⇔3 5 x2+2x+ = −3 5 x2 +2
Trang 16( )
2
2
2
x
+ = −
2
6
x x
x
Đã thỏa mãn (*)
Đ/s: 1
2
x= − hoặc 3 5 6
6
x=− ±
Ví dụ 36 [ĐVH]: Giải phương trình 5 17 2
2 1
x
Lời giải:
ĐK:
2
1
4
17
2
x
x x
≥
− + ≥
(*) Khi đó
2
2
x x
( 1) (4 1) ( 1) (2 4 1)2 1 4 1
2
Đặt x+ =1 a; 4x− =1 b a b( , ≥0 ) Khi đó (2) trở thành
2
a b
a +b = + +ab
(3)
4
x≥ có a= x+ >1 0 Do đó
4
1
2
Đặt b t t( 0)
a = ≥ ⇒ phương trình mới
1
1
t t
t t t t
=
− + − + =
3
x x
b
x x
≥
− ≥
Đ/s: 2
3
x=
Cách 2 Ý tưởng của bài toán – dùng BĐT để đánh giá (3)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có
Trang 17( ) 4 4 4 4 2 4 4
Dấu " "= xảy ra ⇔ =a b Khi đó (3)⇔ =a b