Phương pháp nâng lũy thừa giải phương trình vô tỉ đoàn việt hùng

Phương trình vô tỉ là một trong những dạng toán khó trong đề thi thpt quốc gia hàng năm. Để giải được loại phương trình này, ngoài các kiến thức cơ bản, đòi hỏi học sinh cần phải có các phương pháp kỹ năng đặc biệt.

Trang 1

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1. Giải phương trình x4 −4x3−10x2 +37x−14=0

Lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với: 4 3 2 2 ( 2 )2 2

2

∗

⇔ x − x+ x + −x =

5 17 2

1 29 2



⇔

 = − ±





x x

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm kể trên

Lời giải:

2

Có ( ) ( ) (2 ) ( 2 )

∗

∗ ⇔ x + +x = x + x+ = x+

⇔ x + + −x x− x + + +x x+ = ⇔ x − −x x + x+ = 1 21

2

±

Ví dụ 3. Giải phương trình x4 +6x3+12x2 +14x+ =11 0

Lời giải:

04 PP NÂNG LŨY THỪA GIẢI PT VÔ TỈ CƠ BẢN

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

Trang 2

Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95

2

Có ( ) ( ) (2 ) ( 2 )

3α 7 2α 3 α 11 0 α 4

∗

∗ ⇔ x + x+ = x + x+ = x+

2

⇔ x + x+ − x− x + x+ + x+ = ⇔x + − x+ = ⇔ =x

Ví dụ 4. Giải phương trình x4 +6x3−2x2 −42x−35=0

Lời giải:

⇔ x + x − x + x + = x + x+ ⇔ x + x− = x+

7

1

5

 = ±

x

Ví dụ 5. Giải phương trình x4 −4x3+10x2 −28x+21=0

Lời giải:

3

=



x

Ví dụ 6. Giải phương trình sau x4 +x3 −2x2 −13x− =5 0

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương

x − x −x + x − x − x+ x − x− = ⇔ x x − x− + x x − x− + x − x− =

2



Vậy phương trình đã cho có nghiệm x= +1 2;x= −1 2

Ví dụ 7. Giải phương trình sau x4 +2x3 −7x2 −26x−20=0

Trang 3

Lời giải

2



Vậy phương trình đã cho có nghiệm x= +1 5;x= −1 5

Ví dụ 8. Giải phương trình sau x4 −x3 −6x2 −30x−36=0

Lời giải

2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 3 33; 3 33

Ví dụ 9. Giải phương trình sau x4 −3x3 −15x2 −38x−36=0

Lời giải

2

Lời giải

2

Trang 4

Ví dụ 11. Giải phương trình x4−8x3+21x2−20x+ =5 0

Lời giải:

ĐK: x∈ℝ (*)

2

x





thỏa mãn (*)

Ví dụ 12. Giải phương trình x4−6x3+5x2+8x+ =2 0

Lời giải:

ĐK: x∈ℝ (*)

x

 = ±

= ±

 thỏa mãn (*)

Ví dụ 13. Giải phương trình x4−9x3+17x2+13x+ =2 0

Lời giải:

ĐK: x∈ℝ (*)

2 5

4 1 5 2 0 5 33

2

x



=



thỏa mãn (*)

Ví dụ 14. Giải phương trình x4+3x3−3x2−7x+ =6 0

Lời giải:

ĐK: x∈ℝ (*)

1

3

x

=





⇔ + − + − = ⇔ = −



thỏa mãn (*)

Ví dụ 15. Giải phương trình x4−6x3+10x2− − =3x 2 0

Lời giải:

ĐK: x∈ℝ (*)

1

3 13 2

x



 =



±

 =



thỏa mãn (*)

Ví dụ 16. Giải phương trình x4−3x3−2x2+5x+ =3 0

Lời giải:

ĐK: x∈ℝ (*)

Trang 5

( )( ) ( 2 )

1

2

x



 = −



±

 =



thỏa mãn (*)

Ví dụ 17. Giải phương trình x4−2x3−8x2+3x+ =6 0

Lời giải:

ĐK: x∈ℝ (*)

1

3 21 2

x



 =



±

 =



thỏa mãn (*)

Ví dụ 18. Giải phương trình x4−9x3+24x2−19x+ =3 0

Lời giải:

ĐK: x∈ℝ (*)

1

5 21 2

x



 =



±

 =



thỏa mãn (*)

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Câu 1: Giải các phương trình sau:

a) 3x− = −2 x 2 b) x2 +6x=2x−1

c) x3+3x+ −5 2x=1. d) 3 x3+3x2+7x+ = +1 x 1

1

x

− b) 2

4 3

1

4 2

x

+ + −

c)

2

1 3 1 3

2

x

2 1

x x

− − − − = −

a) 2x− − =4 2 3x+1 b) 3x+ −7 2x=2

a) 3x+ −1 x = 4x−3 b) 5x− −1 x− =1 3x+1

2 10 1 3

1

Trang 6

a) 3+ +x 3x+ =1 2 x+ 2x+2 b) 3x− +4 4x+ =1 2x+ +2 5x−5

c) 5x− +2 2x− =1 6x+ +1 3x+2 d) 3x+ +7 x = 2x+ +1 2x+6

a) x2− + =4 2 x− +2 x b) x+ 2x2+5x+ =3 5 x+ −1 1

a) x2+2x+ −6 x2+ + =x 2 1 b) x2 + +8 x2− + =3x 6 5

c) 5x2+4x = 5x2−2x+ +1 1 d) x2+ + −x 2 2x− =1 x2− +x 1

11x+ −5 x 4− =x x +30 b) ( ) 2

7x+ −x 2 x+ =3 3x +2

x− x + + + =x x d) 3 ( 2 ) 2

1− +x x −1 x+ =3 x −x

a)

2

x

b)

2

x

a) x2−2x+ x2−4x = 3x2 +x b) x2 + +x x2 −2x= x2−5x.

a) x− −1 2 x− +2 x+ +7 6 x− =2 4 b) x−4 x− +4 x− +3 2 x− =4 3.

a) x− x2 − +1 x+ x2− =1 x2+3 b)

3

2

1

x

3

x

+

− = +

− b) 2 ( ) 2

4 7

2

x

−

− = −

+ .

a) 2x+ + − − =1 x2 x 1 0 b) x2+ x+ =2 2

LỜI GIẢI BÀI TẬP

a) 3x− = −2 x 2 b) x2 +6x=2x−1

c) x3+3x+ −5 2x=1 d) 3 x3+3x2+7x+ = +1 x 1

Lời giải

3

x≥ Phương trình đã cho tương đương

6 1; 6

x

≥





Trang 7

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=6

b) Điều kiện : x2 +6x≥0 Phương trình đã cho tương đương

2

1

5 22 2

3

5 22

3

x



±

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 5 22

3

x= +

c) Điều kiện : x3 +3x+ ≥5 0 Phương trình đã cho tương đương

3

2

3 5 2 1

 + + = +  − − + =



Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=1;x=4

d) Điều kiện : x∈ℝ Phương trình đã cho tương đương

( )3

x + x + x+ = x+ ⇔ x + x + x+ =x + x + x+ ⇔ =x

1

x

− b) 2

4 3

1

4 2

x

+ + −

c)

2

1 3 1 3

2

x

2 1

x x

− − − − = −

Lời giải

1

x x

+ ≥





≠

 Phương trình đã cho tương đương

( )2

3 5

3 8 2 3 3 3 8 5 3

3 8 5 3

x



≥



+ − = − ⇔ + = − ⇔



3

33 989 5

50

33 989

50

x



≥

±



50

b) Điều kiện : x2 + + − ≠x 4 2 0 Phương trình đã cho tương đương

2 2

1 4

4 4 1

x



≥



− = + + − ⇔ + + = − ⇔

 + + = −



Trang 8

1

3 29 4

10

3 29

10

x



≥

±



10

x= +

c) Điều kiện :

2

1 3 0 0

x x



≠

2 2

1

x

≥ −



0 0; 2

x

= = −

d) Điều kiện :

2

1 0

x

 − − ≥



+ ≠

6

x − x − − − =x x x − − ⇔x x − − = ⇔x x − − = ⇔ =x x ±

a) 2x− − =4 2 3x+1 b) 3x+ −7 2x=2

Lời giải

a) Điều kiện: x≥2 Phương trình đã cho tương đương

( )

2x− =4 3x+ + ⇔1 2 2x− =4 3x+ +5 4 2x+ ⇔ + +1 x 9 4 2x+ =1 0 vn

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

b) Điều kiện: x≥0 Phương trình đã cho tương đương

3x+ =7 2x+ ⇔2 3x+ =7 2x+ +4 4 2x ⇔ + =x 3 4 2x

( )

13 4 10

x

= −

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=13+4 10

c) Điều kiện: 1− ≤ ≤x 1 Phương trình đã cho tương đương

9 2

1 10 6 1 2 9 6 1

2 9 36 1

x



≥





Trang 9

( )

vn

d) Điều kiện: x≥ −2 Phương trình đã cho tương đương

2 x+ =3 x+ + ⇔2 2 4 x+ = + +3 x 6 4 x+ ⇔2 3x+ =6 4 x+2

2

9 3

x x

= − + =



Vậy phương trình đã cho có nghiệm 2; 2

9

x= x= −

a) 3x+ −1 x = 4x−3 b) 5x− −1 x− =1 3x+1

2 10 1 3

1

Lời giải:

a) 3x+ −1 x = 4x−3

4

x≥ (*)

Khi đó (1) ⇔ 3x+ =1 x+ 4x− ⇔3 3x+ =1 5x− +3 2 x(4x−3)

2

2 4 3 4 2 4 3 2

1

4

3 4 0

4 3 2

3

x

=



− ≥

= − + − =

− = −

Kết hợp với (*) ta được x=1 thỏa mãn

Đ/s: x=1

b) 5x− −1 x− =1 3x+1

ĐK: x≥1 (*)

Khi đó (1) ⇔ 5x− =1 x− +1 3x+ ⇔1 5x− =1 4x+2 (x−1 3)( x+1)

1

x

≥





≥

=

 + = −  + =



thỏa mãn (*)

Đ/s: x=1

Trang 10

ĐK:

1

2

x



(*)

Khi đó (1) ⇔ 3x+ −1 2x− +1 x =2 3x+ −1 2 2x−1

2 1 3 1 3 1 2 2 1 3 1

1

2

x

=





= −



Kết hợp với (*) ta được x=1 thỏa mãn

Đ/s: x=1

ĐK:

1

10

x



(*)

Khi đó (1) ⇔2 10x− −1 3 x =2 x+ −3 x ⇔2 10x− =1 2 x+ +3 2 x

10 1 3 10 1 2 3 2 3

( )2

2

1

1 2

x



− ≥

thỏa mãn (*)

Đ/s: x=1

a) 3+ +x 3x+ =1 2 x+ 2x+2 b) 3x− +4 4x+ =1 2x+ +2 5x−5

c) 5x− +2 2x− =1 6x+ +1 3x+2 d) 3x+ +7 x = 2x+ +1 2x+6

Lời giải:

a) 3+ +x 3x+ =1 2 x+ 2x+2

ĐK: x≥0 (*)

Khi đó (1) ⇔(2 x− 3x+ +1) ( 2x+ −2 x+ =3) 0

0

Đ/s: x=1

Trang 11

b) 3x− +4 4x+ =1 2x+ +2 5x−5

3

Khi đó (1) ⇔( 5x− −5 4x+ +1) ( 2x+ −2 3x−4)=0

0

x

6

5 5 4 1 2 2 3 4 (2)

x

=



⇔

Ta có (2) ⇔( 5x− −5 3x− +4) ( 4x+ −1 2x+2)=0

0

x

1 2

x

⇔ = không thỏa mãn (*) nên (3) ⇔ =x 6 thỏa mãn (*)

Đ/s: x=6

c) 5x− +2 2x− =1 6x+ +1 3x+2

2

Khi đó (1) ⇔( 6x+ −1 5x− +2) ( 3x+ −2 2x− =1) 0

6 1 5 2 3 2 2 1

0

6 1 5 2 3 2 2 1

0

Phương trình vô nghiệm với 1

2

x

∀ ≥ Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

d) 3x+ +7 x = 2x+ +1 2x+6

ĐK: x≥0 (*)

Khi đó (1) ⇔4x+ +7 2 x(3x+7)=4x+ +7 2 (2x+1 2)( x+6)

3x 7x 4x 14x 6 3x 7x 4x 14x 6 x 7x 6 0

Phương trình vô nghiệm với ∀ ≥x 0

Trang 12

a) x2− + =4 2 x− +2 x b) x+ 2x2+5x+ =3 5 x+ −1 1

Lời giải:

a) x2− + =4 2 x− +2 x

ĐK: x≥2 (*)

(x 2) ( x 2) (x 2) 1 2 x 2 0 (x 2 3 2) ( x 2) 0

2

17

4

x

=



Đ/s:

2

17

4

x

=





 =



b) x+ 2x2+5x+ =3 5 x+ −1 1

ĐK:

2

1

1 0

1

x x

x

≥ −

Khi đó (1) ⇔ + +x 1 (x+1 2)( x+ =3) 5 x+1

1 2 3 5 (2)

x

= −



x x

−

3

x x

= −



⇔

=

 thỏa mãn (*)

3

x

= −



 =



a) x2+2x+ −6 x2+ + =x 2 1 b) x2 + +8 x2− + =3x 6 5

c) 5x2+4x = 5x2−2x+ +1 1 d) x2+ + −x 2 2x− =1 x2− +x 1

Lời giải:

a) x2+2x+ −6 x2+ + =x 2 1

ĐK: x∈ℝ (*)

Khi đó (1) ⇔ x2+2x+ =6 x2+ + + ⇔x 2 1 x2+2x+ =6 x2+ + +x 3 2 x2+ +x 2

Trang 13

( ) ( )

2

2 2

3

x

≥ −



+ + = +



2

1 3

1

3

x x

x

=



≥ −

= −

− − =





thỏa mãn (*)

Đ/s:

1

3

x

=





 = −



b) x2 + +8 x2− + =3x 6 5

ĐK: x∈ℝ (*)

Khi đó (1)

2

x





2 2

2

2 2

8 25

8 5

3 27 0

x x

x



2

91

x

=



thỏa mãn (*)

Đ/s:

1

71

91

x

=





 =



c) 5x2+4x = 5x2−2x+ +1 1

ĐK:

2





− + ≥

Khi đó (1) ⇔5x2+4x=5x2−2x+ +2 2 5x2−2x+1

2 5x 2x 1 6x 2 5x 2x 1 3x 1

2

4 4 0

5 2 1 3 1

x



thỏa mãn (*)

Đ/s: x=1

d) x2 + + −x 2 2x− =1 x2− +x 1

2

Khi đó (1) ⇔ x2+ + =x 2 2x− +1 x2− +x 1

Trang 14

8

2 2

thỏa mãn (*)

Đ/s: x=1

11x+ −5 x 4− =x x +30 b) ( ) 2

7x+ −x 2 x+ =3 3x +2

x− x + + + =x x d) 3 ( 2 ) 2

1− +x x −1 x+ =3 x −x

Lời giải :

5−x 4− =x x −11x+30

x x

=



Vì

2

− − − + = − −  + > ∀

  nên phương trình ( )∗ vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=5

x− x+ = x − x+

( )2

2

3 1 0

1

3 3 1

x

=



− =

⇔ − + = − − ⇔ + = − ⇔ ⇔ =

+ = −





Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=1; x=2

x− x + + =x x −

2

2 2

1

1 0

2 1

x x

x

=



− =

+ ≥





+ + = +

x − x+ =x +x − −x

2 2

2

1 0

1

x

+ ≥









Trang 15

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=1; x= −1

a)

2

x

b)

2

x

Lời giải :

a) Điều kiện: x≥3 Nên phương trình đã cho tương đương với: 2 x2 −3x − + − =x 1 x 3x+1

2

≥



b) Điều kiện:

2 1 1

2

x x

≥





 ≥ >



Nên phương trình đã cho tương đương với: 2 ( )

2+ x −3x+ +2 2 2x− =1 3x+2

2

≤





a) x2−2x+ x2−4x = 3x2 +x b) x2 + +x x2 −2x= x2−5x.

Lời giải :

a) Điều kiện:

4 1 3

≥





 ≤ −



x

x Phương trình đã cho tương đương với:

2

2 2

2

x





=

⇔ − − = + ⇔ − − = + ⇔ = +

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 0; 19 2 203

3

Trang 16

1

x x

≥



 ≤ −

 Phương trình đã cho tương đương với:

2

2 2

2

0

2 2 3

x





=



= −

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=0; x= −2 2 3

a) x− −1 2 x− +2 x+ +7 6 x− =2 4 b) x−4 x− +4 x− +3 2 x− =4 3

Lời giải :

2 2







Nên phương trình đã cho tương đương với: ( ) (2 )2

≥ ≥



x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là S=[ ]2; 3

2 2







Nên phương trình đã cho tương đương với: ( ) (2 )2



x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là S=[ ]4;8

Trang 17

a) x− x2 − +1 x+ x2− =1 x2+3 b)

3

2

1

x

Lời giải :

x− x − + x− x − x+ x − + +x x − =x +

( )2

⇔ + = + ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = ( thỏa mãn điều kiện )

2

8x − =1 2x−1 4x +2x+1

8x − − − =1 x 1 4x +2x+ −1 2x−1 x+1

2x 1 4x 2x 1 x 1 4x 2x 1 x 1 2x 1 x 1

2

2 2

2

4 2 1 1 0

x

+ + = + =



( thỏa mãn điều kiện )

3

x

+

− = +

− b) 2 ( ) 2

4 7

2

x

−

− = −

+

Lời giải :

a) Điều kiện: x∈ −∞ − ∪( ; 3] (3;+∞)

Phương trình đã cho tương đương với: ( )( ) ( )

( )2

3 0 3

x x

3

= −

− = − −



x

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là 3; 11; 1

3

b) Điều kiện: x∈ −∞ − ∪( ; 2] (2;+∞)

Phương trình đã cho tương đương với: ( )( ) ( )

( )2

2 0 2

x x

Trang 18

2

2 7

=



=

⇔ + = − ⇔ + = − ⇔  =

+ = −



x

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x=2; x=5

a) 2x+ + − − =1 x2 x 1 0 b) x2+ x+ =2 2

Lời giải:

2

≥ −

x Đặt y+ =1 2x+ ≥ ⇔1 0 y2 +2y+ =1 2x+ ⇔1 y2 =2x−2y

Khi đó, ta có hệ phương trình

2

0



⇔



2

0 0

= =



= =





Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x=0; x= −1 2

y x y x Khi đó, ta có hệ phương trình

2

0



⇔



2

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là 1; 1 5

2

−

= − = −

Thầy Đặng Việt Hùng

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	308,1 KB