-Lấy ra một số phần tử k trong tập hợp sau đoán hoán đổi vị trí của các phần tử trong tập hợp k.. Bài 6 CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYESI.Công thức xác suất đầy đủ : PA= II..
Trang 1BÀI 1: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
I.Hoán vị:
Câu 1: Thế nào là hoán vị ?
- Hoán vị là hoán đổi vị trí của các phần tử theo những cách khác nhau nhưng không làm thay đổi
số lượng
Câu 2: Giai thừa ?
Pn=n!=n.(n-1).(n-2)….1
II Chỉnh hợp :
Câu 3: Thế nào là chỉnh hợp ?
-Lấy ra một số phần tử k trong tập hợp sau đoán hoán đổi vị trí của các phần tử trong tập hợp k (k<n)
Câu 4: Số chỉnh hợp ?
Ak
n=n!/(n-k)!
III Tổ hợp
Câu 5: Thế nào là tổ hợp ?
-Lấy ra k phần tử từ tập hợp gồm n phần tử không hoán đổi vị trí
Câu 6: Tổng số tổ hợp ?
Ck
b=n!/(n-k)!k!
BÀI 2 : ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT
I.Phép thử, biến cố ?
Câu 6: Phép thử là gì ?
-Là một hành động đáp ứng điều kiện nào đó
Câu 7 : Không gian mẫu là gì ?
-Là tất cả khả năng kết quả có được theo biến cố/
Câu 8 : Biên cố là gì ?
-A là tập hợp con của Ômêga do đó A là biến cố
+n(A) =1 biến cố sơ cấp
+n(A) >1 biến cố ngẫu nhiên
+ A = { } = rỗng ko thể xảy ra
+ A= Omega biến cố chắc chắn
Trang 2II Khái niệm xác suất cổ điển :
Câu 9 : Định nghĩa xác suất cổ điển ?
P(A)=n(A)/n(Omega) ( 0<=P(A)<=1)
III.Khái niệm xác suất theo quan điểm thống kê
Câu 10: Công thức xác suất thống kê theo quan niệm thống kê ?
P(A)=
+m là biến cố
+n là số lần phép thử
BÀI 3 MỐI QUAN HỆ CÁC BIẾN CỐ
I.Phép tính biến cố :
1.Tổng các biên cố ( Hợp)
Câu 11 : Thế nào là tổng các biến cố ?
-Ít nhất có A hoặc B xảy ra
VD1: Tung súc sắc
A={1} B={3,5} => AUB={1,3,5}
VD2:
A là BC chọn đúng nam cận thị
B là BC chọn đúng nam không cận thị
AUB chọn nam
2.Trừ biến cố ( A\B)
Câu 12: Thế nào là trừ các biến cố ?
-Là biến cố xảy ra khi A xảy ra nhưng B không xảy ra
VD: Tung súc sắc
A={1,2,3,4}
B={3,4,5,6} A\B={1,2}
3.Tích biến cố ( Giao)
Câu 13: Thế nào là tích các biến cố ?
-là biến cố cả A,B đồng thời xảy ra
VD: Chọn 1 bạn nữ
Trang 3A là BC bạn nữ
B là BC bạn cận -= > A.B = nữ cận thị
II Mỗi quan hệ giữa các biến cố
1.Kéo theo
Câu 14: Thế nào là quan hệ kéo theo ?
-Khi A xảy ra thì B xảy ra
VD:
A={2}
B={2,4,6} => A kéo theo B
2 Tương đương
Câu 15: Thế nào là quan hệ tương đương của hai biến cố ?
- Nếu A kéo theo B và B kéo theo A
VD :
A mặt lẻ
B không xuất hiện mặt chẳng
3 Xung khắc
Câu 16: Thế nào là quan hệ xung khắc ?
-Nếu A xảy ra thì B không xảy ra
-Nếu B xảy ra thì A không xảy ra
VD:
Bạn nam mặc áo xanh
Bạn nữ mặc áo đỏ
A là BC chọn nam
B là BC áo đỏ
C là BC áo xanh
D là BC bạn nữ => A, B xung khắc, C,D xung khắc, A =C, B=D
4.Đối lập :
Câu 17 : Thế nào là mối quan hệ đối lập giữa hai biến cố ?
-Nếu A xảy ra thì B không xảy ra và B xảy ra thì A không xảy ra
Trang 4Bài 4 TÍNH XÁC SUẤT THEO QUAN ĐIỂM CỔ ĐIỂN
Câu 18 : Chú ý về tính xác suất theo quan điểm cổ điển ?
-Các biến cố xung khắc nhau từng đôi một
-Đồng khả năng xảy ra
Câu 19 : Luật tích ?
-Có hai việc A1,A2 khác nhau liên tiếp
Có K1 cách thực hiện việc A1
Có K2 cách thực hiện việc A2
Có K1.K2 cách thực hiện A1,A2 liên tiếp
Câu 20 : Cách lấy k phần tử từ n phần tử ?
-Lấy cung lúc k phần tử ( ko hoàn lại) => Tổ hợp=>Ck
n=n!/k!(n-k)!
-Lấy từng phần tử k ( ko hoàn lại)=> Chỉnh hợp => Ak
n=n!/(n-k)!
-Lấy có hoàn lại từng phần tử: n.n.n….n=nks
Bài 5 CÔNG THỨC CỘNG VÀ NHÂN XÁC SUẤT
I.Tổng hai biến cố:
P(AUB)=n(AUB)/n= PA+PB-P(A.B) -Khi A,B xung khắc A.B=rỗng => P(A.B)=0 =>P(AUB)=P(A)+P(B)
-Khi A =B -> AUB=AUA= Omega
P(AUA)=1=P(A)+P(A) => P(A)=1-P(A)
II.Tổng ba biến cố:
P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+(ABC)
-A,B,C xung khắc từng đôi =>P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)
III.Nhân xác suất có điều kiện:
P(A/B)=n(A.B)/n(B) =P(AB)/P(B)
P(AB)=P(A/B).P(B)
-Chú ý A.B=B.A
P(AB)=P(BA)=P(B)P(A/B)=P(A)P(B/A)
Trang 5Bài 6 CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES
I.Công thức xác suất đầy đủ :
P(A)=
II Công thức Bayes
P(Bk/A)=
Bài 7 DÃY PHÉP THỬ BERNOULI
I.Điều kiện:
- Các phép thử độc lập
- Có A và A
-P(A)=hằng số không đổi
II.Tần số suất hiện của biến cố :
Xác suất A xuất hiện m lần(m<=n)
Pn(m,p)=CnmPm(1-p)n-m
0<=m<=n III.Số có khả năng nhất:
Cho rằng m=m0 thì P(m0,p) max => m0 là số có khả năng nhất
-n.p+p-1 nguyên: m0=np+p-1
- n.p+p-1 thập phân : m0=[np+p-1] +1
Bài 8 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
X nhận các giá trị x với xác suất p
P(X=x)=p
I.Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc:
-Số giá trị xi là hữu hạn
-Số giá trị xi là vô hạn mà đếm được
Bảng phân phối xác suất ( Sử dụng dãy phép thử Bernouli)
II Đại lượng ngẫu nhiên liên tục:
P(x) là hàm mật độ xác suất
Trang 6P(x thuộc (a,b))=
+P(x)>=0
+
Bài 9 HÀM PHÂN PHỐI TÍCH LŨY XÁC SUẤT
I.Khái niệm:
-Hàm phân phối tích lũy xác suất là hàm tổng các giá trị xác suất nhỏ hơn x0
F(x)=P(X<x)
+ Rời rạc :
+ Liên tục:
VD: X là số chấm xúc xắc
Bảng phân phối xác suất
P(X) 1/6 1/6 1/
6 1/6 1/6 1/6
Hàm phân phối tích lũy x
x<
1
1<=
x<2 2<=x<3 3<=x<4 4<=x<5 5<=x<6
P(
X) 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6
II Tính chất :
-Xác định với mọi x
-0<=F(x)<=1
- Không giảm x2>x1 => F(x2)>=F(x1)
-P(a<x<b)==F(b)-F(a)
III Nhận xét:
-Khi mặt độ xác suất liên tục p(x)=F’(x)
- Khi F(x) liên tục tại x0 P(x=x0)=0=F(x0
Trang 7)-Bài 10 CÁC THÔNG SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
là giá trị trung bình , giá trị kì vọng, kỳ vọng toán
µ==E(M)= ( rời rạc)=(liên tục)
i=|mi-|=>= sai số
: phương sai =DX=Var X=E(X2)-E(X)2
Bài 11 PHÂN PHỐI RỜI RẠC: PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
VÀ PHÂN PHỐI POISSON
I.Phân phối nhị thức
*Công thức:
P(k)=Pn(k,q)=Ck
npk(1-p)n-k Hình dạng phụ thuộc vào n,p
*Kỳ vọng:
µ=EX=np
*Phương sai :
2=DX=np(1-p)
II Phân phối Poisson :
Ý nghĩa : Phân phối trong một không gian hay một khoảng thời gian Biến cố diễn ra trong lamđa lần
Ví dụ : Lúc 8 giờ ngày 1/1/1 tại quán cafe A ta quan sát số lượng khách đến là 80 người ( trong 1h)
Lúc 8 giờ ngày 2/1/1 tại quán cafe A ta quan sát số lượng khách đến là 85 người (trong 1h) Lúc 8 giờ ngày 3/1/1 tại quán cafe A ta quan sát số lượng khách đến là 90 người (trong 1h) Biết trung bình trong khoảng thời gian trên có 83 khách Thì ta có thể tính được xác suất trong 1 giờ có k khách đến
*Hàm phân phối xác suất:
P(k,lamđa)=
*Kỳ vọng,phương sai
EX=DX=Var= lamđa
Trang 8Bài 12 PHÂN PHỐI LIÊN TỤC PHÂN PHỐI ĐỀU PHÂN PHỐI MỦ
I.Phân phối đều :
1.Hàm mật độ xác suất :
P(x)=
+ 1/(b-a) khi a<=x<=b
+0 khi x không thuộc [a,b]
2.Hàm phân phối tích lũy xác suất:
F(x)=
+x-a/b-a khi x thuộc [a,b]
+ 0 khi không thuộc [a,b]
3 Kì vọng toán:
4.Phương sai:
=DX=(b-a)^2/12
*Khi tính P(x<=a)=F(a)
II.Phân phối mủ:
1.Hàm mật độ xác suất:
P(t)=
+lamđa.với t>=0
+0 với t<0
2.Hàm phân phối tích lũy:
F(t)=1-3.Kì vọng:
=EX=1/lamđa
4.Phương sai:
=1/lamđa^2
Bài 13 PHÂN PHỐI LIÊN TỤC
Trang 9PHÂN PHỐI CHUẨN VÀ PHÂN PHỐI CHUẨN HÓA
I.Phân phối chuẩn (X=N(
1.Hàm mật độ xác suất :
P(x)=
2.Hàm phân phối tích lũy :
F(x)=P(X<x0) =
II.Phân phối chuẩn hóa(X=N(0, 1))
1.Hàm mật độ chuẩn hóa:
2.Hàm phân phối tích lũy chuẩn hóa:
Bài 14 MẪU NGẪU NHIÊN
I.Khái niệm :
-Tiến hành n quan sát độc lập của biến ngẫu nhiên X
Xi là kết quả của lần thứ i
(X1,X2,X3…Xn) là mẫu ngẫu nhiên , n là cỡ mẫu
(x1,x2,x3…xn) là n giá trị cụ thể quan sát được của X
II Lấy mẫu :
1.Đối tượng nghiên cứu là Tổng thể thống kê :
-Gồm lượng lớn đơn vị
- Cần phân tích định hướng để tìm quy luật
VD : hộ gia đình, thu nhập
2.Đơn vị tổng thể( đơn vị cá biệt) :
- Phần tử nhỏ nhất không thể chia
-Có đặc điểm chung hình thành tổng thể
VD : 1 hộ gia đình, 1 người…
3.Tiêu thức thống kê ( thuộc tính) :
-Đặc điểm của đơn vị tổng thể
-Có đặc điểm chung hình thành tổng thể
Trang 10VD :
+phân tử khí -> tốc độ, vị trí…
+người-> giới tính, tuổi…
4.Mẫu phải có tính đại diện
5.Thực tế chọn mẫu :
- Xác suất đều,không đều,nhóm trội
=> Kích thước mẫu càng lớn càng tốt
II.Thu thập thông tin :
-Từ thông tin có được trên một nhóm đối tượng -> quy luật toàn thể -Thông tin phải chính xác:
+Đo đack, có thể chủ động
+Thông tin XH
-Phương pháp:
+ Trực tiếp
.Do, lời: dụng cụ đo, phỏng vấn Quan sát hành vi
+Gián tiếp: văn bản: phân tích dữ liệu có sẵn
III.Biểu đồ tần suất:
Mẫu ngẫu nhiên(x1,x2,….xn) là n giá trị quan sát được của X
mi là số các giá trị bằng xi xếp các giá trị khác nhau, tăng dần
fi=
n là số lượng mẫu
Từ đó ta vẽ được biểu đồ tần suất
III.Phân phối thực nghiệm:
Mẫu ngẫu nhiên(x1,x2,….xn) là n giá trị quan sát được của X
M(x) là số các giá trị xi<x
Fn(X)= hàm phân phối thực nghiệm mẫu
Từ đây vẽ ra được biểu đồ
F(X)= hàm phân phối lý thuyết của biến X
*Định lý Glivenco :
Trang 11Limm->∞=|Fm(X)-F(X)|=0
IV Tổ chức đồ : xem cho biết