Tổng hợp phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

Giải bất phương trình 1... Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 1; .. Giải hệ phương trình 1... Lần 2 – THPT Thuận Châu Giải: Điều kiện: Xét phương trình: Đặt ta được phương

TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH–

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

(Trích các Đề thi thử năm 2015 – 2016)

Phần 1

I.Giải phương trình

II Giải bất phương trình

1.( Lần 1 – THPT Anh Sơn 2 – Nghệ An)

1x x  1 x  x 1(1 x  x 2)

Giải:

Bất phương trình đã cho tương đương :

(x x  1 x  x 1 x    x 2) (1 x   x 1) 0

2

0

x

 

        

(x 1).A 0

   (1) với

2

A

 

Nếu x0thì

2

2

    



   



Nếu x>0 , áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

1

             





 



2

x A

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (1;  )

Chú ý : Cách 2 Phương pháp hàm số

Đặt u x2 x1u2 x2 x1 thế vào bpt đã cho ta có

1 1

) 1 1

( 1

2 2

2 2

2 2

2

2































x x x x u

u

u

u

u u

x x x

x

u

Xét f(t)t2 tt t2 1)

t t

t t

t

f'( )(  2 1)2  2 10 nên hàm nghịch biến trên R

Do đó bpt u  x  x 1

III Giải hệ phương trình

1.( Lần 3- THPT Lương Tài 2 – Bắc Ninh)

Giải:

Pt(1) x 3 x3y  1 x 2y 1 y1

Đặt 3 , 0 , (1)

1

a b

  



 

2 2

2 1 0

a b





+ a2b 1 0 vô nghiệm do ,a b0

+ Xét a = b    y x 2 thay vào (2) ta được:

x x  x x   x 

1 2

x

x



 

3 5( )

  







              

Xét hàm số      2 

f t  t t  , t  0 có

Suy ra f t  đồng biến mà f  x 1 f x  1 x  1 x 1

2

1

3x 0

x

x





Vậy hệ phương trình có nghiệm:  3;5

2.(Lần 2 – THPT Lê Lợi – Thanh Hóa)

2

          





       



Giải:

Điều kiện : y2x 1 0, 4x  y 5 0,x2y 2 0,x1







* Xét trường hợp: x 1,y 1 Đưa pt (1) về dạng tích ta được:

2 ( 2)(2 1)

2 1 3 3

x y

 

1

   

* Thay y 2 x vào pt (2) ta được x2   x 3 3x 7 2x

2

2 3 7 1 2 2

3 7 1 2 2

3 7 1 2 2

3x 7 12 2 x   x

* x       2 0 x 2 y 4 (Thỏa mãn ĐK)

Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( ; )x y   ( 2; 4)

3 (Lần 2 - THPT Sông Lô)

Điều kiện : | | 2

3

x 

(1) 2016 ( 2 ) 2016 ( 2 )

ln 2016 ln( 2 ) ln 2016 ln[ ( ) 2 ( )]



Xét hàm số : f t( )tln 2016 ln( t2 2 t), tR có :

Do đó hàm số đồng biến trên R,

do đó x y

Thay vào (2) ta có :

2

2

18

25 9 9 4 2

1

x

x

 (3)

3

2

18

1

x

x

3

x  thì

4 2 18

25 9 9

1



Đặt 12 (0 9)

4

x

   ta được

18 18

25 9 9 4 2 12 2 4 9 9 4 9 0

t



2

t









4

9 4 1

t

2

t

  Suy ra : 1, 1

x  y

Vậy hệ phương trình có nghiệm :

4.( Lần 1 – THPT Chuyên Quang Diêu)

2 2

3 2 2 3 2 0 (1)







Giải:

Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 rồi trừ theo vế cho (2), ta được phương trình:

4x2 4xyy2 6x3y 2 0

(2xy) 3(2x  y) 2 0 2 1

x y

x y

Nếu 2x y 1 thì y 1 2x, thay vào (1) ta được:

2

   



       



Nếu 2x y 2 thì y 2 2x, thay vào (1) ta được:

2

   



       



Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là     5 3 4 6

0;1 ; 1; 0 ; ; ; ;



   

5 ( Lần 2 – Thuận Thành số 1 – Bắc Ninh)

 

 

2

2x y 1 3y 1 x x 2y 1

x x 3y 17 6 x 7 2x 3y 1 0 2







Giải:

ĐK:

x 0

1 y

3 2x y 1 0

x 2y 0







  





   





 1  2x  y 1 x  3y 1  x2y 0

* Nhận xét:

- Nếu

 

x 0 2x y 1 0

y 1 L

- Nếu

2 x

1

3

 



Thay vào PT(2) thấy không thỏa mãn

0 2x y 1 x 3y 1 x 2y

  



 



+ TH1: x     y 1 0 y x 1 Thế vào PT (2) ta được:

2

x 4x 14 6 x   7 2x 3x 2 0 (3) ĐK: x 2

3



2 6 x 7 x 16  x 4 3x 2 3x 2  x 4x 4 0

6 x 7 x 16 4 3x 2 3x 2

6 x 7 x 16 4 3x 2 3x 2

x 2

  (TM)  y 1 (TM)

+ TH2: 2x  y 1 x  3y 1  x2y

2x y 1 x 3y 1 x 2y







Trừ hai vế tương ứng của hai phương trình ta được:

x  3y 1 3y x 1

Thế vào PT (2) ta được:

2

x 2x 16 6 x   7 2x x 0 (4) ĐK: x0

x 7 3 0 x 2

x 0

x x 0



     (vô lý) PT vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: (x; y) = (2; 1)

6 ( Lần 2 – THPT Thuận Châu)

Giải:

Điều kiện:

Xét phương trình:

Đặt ta được phương trình:

Từ phương trình ta có thay vào phương trình ta được:

Ta có:

Xét hàm số

Do đó hàm số đồng biến trên

Từ

Ta có:

+) Với

+) Với

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:

7 ( THPT Lệ Thủy – Quảng Bình)

(1) 9

1 ( 1) (2)

2









(x,yR) Giải:

Đk: 1

0

x

y





 



y x

      



          

  

Do đó x=y thay vào pt (2) : 1 ( 1) 9

2

x x x  x x 

t x x t  t x  x x

Pt trở thành t2+1+2t=9 hay t2+2t-8=0 chỉ lấy t=2  x  1 x  2

5

25

16

x

 



 Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (x;y)=(25 25;

16 16) 8.( THPT Hà Huy Tập – Khánh Hòa )

2

2

x

     



     



Giải:

Điều kiện: 1

1

x y

 



  



3

x x x

 

 

3

3

Xét hàm số   3

f t  t t trên R có   2

3 1 0

f t  t    t R suy ra f(t) đồng biến trên R

      

2

3x 8x 3 4x x1

2

2

1

x

x

  



      













   



Ta có

2

1 1

x

y

x



2

x   y 

x    y 

C c nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm

; 3 2 3;

2

  

9.( Phan Bội Châu – Khánh Hòa)

2

2( 1) 2 3 2 4 (2)







Giải:

        

2

0,

 x     x x x R

Nên 2 2

2

2

2

 

Thế y x2 2 x vào (2) :

( 1) 1 ( 1) 2 ( ) 1 ( ) 2 (*)

                

            

Xét hàm số f t( )t(1 t2 2)

2 2

2

2



t

t đồng biến trên R.

1

2

         

2

x  

thì y  1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 1;1

2

 