1
20 BÀI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN ÔN THI 2017 Bài 1: Giải bất phương trình x2 2x 3 2 x 1 2x25x31
Giải
Điều kiện: x 1
Đặt
b
b b
2 2 2
2 5
Khi đó phương trình đã cho tương đương với
a b a b a b a b
a
a b
b a b a b
0 2
2 1
2
0
a 2b a b 1 0
( Do a b 2x 3 x 1 0 x 1 )
a b
2
1 0
• TH1: a 2b 2x 3 2 x 1 2x 3 4x 4 x 1
2
•TH2: a b 1 0 2x 3 x 1 1 2x 3 x 2 2 x 1 x 1 2 x1
x x x
x
1
1 1 2 0 3
Vậy phương trình có 3 nghiệm x 1;x 1;x 3
2
Bài 2: Giải phương trình x x x x
2
4
Điệu kiện
x
12 4
7
Phương trình đã cho tương đương với
x
2
2
2
1
11
27,
1
2)
1
(
(2)3 4 12 7 16 Đặt 24 x a x a b
x b
2 2
12
Trang 22
( Do a b3 ) 0
x
16 23 2 12 7
3 633 191
128
Vậy phương trình có 2 nghiệm x 1;x 3 633 191
128
Bài 3: Giải phương trình 7x225x 19 x22x 35 7 x2
Điều kiện
x
2
2
7
7
19
0 35 2
Phương trình đã cho tương đương với:
2
2
0
(1) 3 4 7 0 3 4 0 3 4
Với a b x25x 14 x 5 x 3 2 7 ( Do x 7 )
Với a3 4b 3 x2 5x 14 4 x 5 x 61 11137
18
Bài 4: Giải phương trình 5 x 1 x 5 4x x2 x x 6
2
Điều kiện 5 x 1
2 2 2
2
Phương trình đã cho tương đương với:
PT 2 6 a 2 6 b a2 2a b2 2b 6,(
Xét hàm số f t( )t22t6,t0; '(f t) 2t 2 0t0 Suy ra hàm số f t() đồng biến trên 0;
2 2
2 5 4
Trang 33
x
x
x
x x
4 5
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2 41 8
5
Bài 5:Giải bất phương trình phương trình 2x 3 1 x3x2 2x25x 3 16,(1) Điều kiện x 1
Đặt x2 3 1 x a 0 a2 3x2 2x25x3 4
Khi đó 1 a a 2 20 a 4a 5 0 a 5 2x3 1 x 5
x
x
x
x
0
5
2
3
3 3
Vậy nghiệm của bất phương trình là: x 5
Bài 6: Giải phương trình 5 1 x31x x24 225x18
Điều kiện x 1
PTx x2 4 225x18 5 x31 5 0
x x2 4 2 25x 18 5 5 x2 x 1 x2 x 1 2 x 1 5 x2 x 0
x
x
x
x x x x
2 2
2 2
1 1 5
3
3 0
10
1 5
2
Vậy phương trình có nghiệm x 5 7
2 3
Bài 7: Giải phương trình
2
Điều kiện
x
3 2
Trang 4
4
x x
BPT
1
2
2
1
Xét hàm số f t( )t t 1 ;2 t f t'( )6t2 4 1 0t t
Suy ra hàm số f t() đồng biến và liên tục trên
Dễ thấy (1) có dạng f x f 2x3 1 x 2x3 1 x 1 2x3
x
2
1
2
Vậy nghiệm của BPT là x 2 6
Bài 8: Giải phương trình 2 3 32x3 3x2 1 x 1 7 2x x2
Phương trình đã cho tương đương với
x x
x
3
2
(1
2
Xét hàm số f t( )t32t2;t f t'( )3t2 2 0t
Suy ra hàm số f t() đồng biến trên
(1) 2 3 1 1 2 3 1 1
x
x
x
x
3
3
2 3 3
3
1 0 2
3
1
2 1
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 3 1
2 1
Bài 9: Giải phương trình x x x x
2
13
Điều kiện x 1
2
Phương trình đã cho tương đương với
Trang 55
x
x
x
x
x
2
2
5
2 3 ,(2) 13
6 3
3
2 x26x13x2x3 2 x 1 3
x 3 x32 4 2x 1 3 2x13 4
Xét hàm số f t( )t t( 24);t f'(t) 3 t2 4 0t Suy ra f(t) đồng biến và liên tục
x
2
3 ( 3
1 0 ) 2
Vậy phương trình có nghiệm x5;x 4 6
Bài 10: Giải bất phương trình x24x53x1 x2
Bất phương trình đã cho tương đương với x123x1 x 2 2 x220
x 1 x 2x 1 2 x 2 0
x
x 2 1 2 x 2
x
x
x
x
x
x
x
2
0
5 1
1 2 2
2
5 1 2
Vậy nghiệm của bất phương trình là 521 x 1 2 2
Bài 11: Giải phương trình 2x1x x22x1 x22x3 0
Phương trình đã cho tương đương với
t
2
2
2
;
và liên tục trên Dễ tháy (1) có dạng f x 1 x x 1 x x 1
2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1
2
Bài 12: Giải phương trình 2x2 x 1 x2 x 1 3x
Trang 66
Nhận xét: 3x 2x2 x 1 x2 x 1 0 3x 0 x 0
Phương trình đã cho tương đương với
2x2 x 1 2 x2x1 1 31 x 0
x
x
x
x
x
1
x
x x
2 2
2
2
1 1
1
1
2 0
2
2
Với x 0 thì
x
1
1 1 2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1
Bài 13: Giải phương trình 2x3x23 2x3 3x 13x 1 3x22
Phương trình đã choi tương đương với
2 3 1 2 3 1 2 2
Xét hàm số f t( )t3 t t; f t'( ) 3 t210 Suy ra hàm số f(t) đồng biến và liên tục
x
x
1
2
1
2
2
Trang 7
7
Vậy phương trình có nghiệm x 1;x 1 5
Bài 14: Giải phương trình 7x213x 8 2x x2 3 1 3 x 3x2
Nhận thấy x 0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả 2 vế của phương trình cho x3 ta được:
PT
x
2
3
3
3
3 3
Xét hàm số f t( )t32 ;t t f t'( ) 3 t2 2 0 t Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên
x
t
x
x t
x t
3
3
3
2
2 2
3 3
3 3
89
8
1
1
1
16 5
9 5 16
Vậy phương trình có nghiệm x 1 x 16
89
; 5
Bài 15:Giải phương trình 1 x1 2x22x 1 x 1 x x
Điều kiện x 0
Xét x 0 là 1 nghiệm của phương trình
Xét x 0 chia cả hai vế cho x x :
x
2
2
2
1 1,(1)
Trang 8
8
Đặt a a
x
b
x
1 , 0
1 1
Khi đó: 1 a a21b b2 1 1
2
2
2 2
1
1 1
1
1
2
1
(
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên Suy ra f a f b a b x
x x
2
Vậy phương trình có nghiệm x0;x 3 2 5
Bài 16: Giải phương trình x3 x2 x x
3
Điều kiện x a trong đó a là nghiệm của phương trình x33x2 1 0
Phương trình đã cho tương đương với
x x x
x
2
2
2
3 3
3
3
2 2
2
2 2
1
1
3 3
1
3 3
3
6
3
6
x
3
3
3
3
2
1 0
2
3
1
1
3 3
2
3
1
Trang 99
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 3 1
2 1
Bài 17: Giải bất phương trình 8x3 2x 4 x1x 14 8 x1
Điều kiện x 1
Bất phương trình đã cho tương đương với
8 4 1
2x 3 2x 4 x 1 3 4 x 1 ,(1)
Xét hàm số f t( )t3 t t; 2 f t'( ) 3 t2 1 0 t 2 Suy ra hàm số f(t) đồng biến t 2
Dễ thấy (1) có dạng f x 2 f4 x1
x
x
x
1 17 1
4
17 17
8
Vậy nghiệm của bất phương trình là x 17 17
8
Bài 18: Giải phương trình 1 x1 2 x3 x130
Điều kiện x 1
1
Phương trình đã cho tương đương với
3
x x
1
1 0
Nếu b 0 chia (1) cho b a a
b b
2 4
2
,(1) 2 4 3 0
a t b
3 2
t
t3 t2 t
2
Trang 1010
Mà với t0t36t228t 52 t3 6t228t520 Suy ra t a x
1
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2
Bài 19: Giải phương trình x x x x
x
3
2 2 1 1
3
1 1
4
Phương trình đã cho tương đương với
x
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
3 3
3
3
3
3
2
2
1 2
1 2
1 2
1
2
6
3
3
3
Xét hàm số f t( )t3 t t; f t'( ) 3 t2 1 0 t Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên
(2) 2 1 1 2 1 1
x x
x
Vậy phương trình có 2 nghiệm x0;x 5 12
Bài 20: Giải phương trình x22 15 x2 x 15 3 15x x 3 4 x
x
x
2
Phương trình đã cho tương đương với
15 4 2 15 3 15 0,(1)
Trang 1111
Đặt x a
x2 b b
,
0
0
a b
a b
2
2
4
Với a b2 2 x 15 x2 4x 15 x2 x 19 2
Với a b 2 x 15 x2 2,(2)
VP
x
V
2
15 2 (2) 15
(2)
2 2
Vậy (2) vô nghiệm
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x 19 2
_
Một buổi tối buồn!-TSTV
Trang 1212