Hệ phương trình cơ bản và ôn thi đại học

các dạng bài tập và phương pháp giải chúng Phương pháp chung để giải hệ phương trình là người làm Toán cố gắng đưa hệ phương trình về dạng chuẩn để giải chúng.. Phương pháp biến đổi đồn

(1) ( , ) ( , ) (2)

Tõ ph−¬ng tr×nh (1) tÝnh x theo y thay vµo (2) → t×m ®−îc y → t×m

®−îc nghiÖm (x,y) cña HÖ ph−¬ng tr×nh

* nếu (x0, y0) là nghiệm của hệ thì (y0, x0) cũng là nghiệm của hệ

ii các dạng bài tập và phương pháp giải chúng

Phương pháp chung để giải hệ phương trình là người làm Toán cố gắng đưa hệ phương trình về dạng chuẩn để giải chúng

A Phương pháp biến đổi đồng nhất

Loại 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x,y → ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại (Dạng 2 phần lý thuyết)

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

2 2

4 8 2

2 x x

Loại 3: Một phương trình của hệ là phương trình bậc 2 theo một ẩn

(chẳng hạn ẩn y) Lúc đó ta xem x là tham số và biểu diễn được y theo x bằng cách giải phương trình bậc 2 ẩn y

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình

( )( )2

( )( ) ( )

4

5 5

x y x

v = g(x,y) có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một

số phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0 để đưa hệ về dạng đơn giản hơn

2 2

x

y x y

§Æt 2 1

,

x u

Ta cã HÖ ph−¬ng tr×nh

1 2 1

phương pháp hàm số

loại 1: Một phương trình trong hệ có dạng f(x) = f(y)

phương trình còn lại giúp ta giới hạn được x.y để trên hàm f đơn điệu

Loại 2: Hệ đối xứng loại 2 mà khi giải thường dẫn đến một trong 2

phương trình của hệ có dạng f(x) = 0 hoặc f(x) = f(y) Trong đó f là

t

t+ + + +

và 2

1

t + > 2

t ≥ ư →t f(x) >0 ∀t

Nªn hµm g(a) nghÞch biÕn vµ do ph−¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm a = 0

nªn ta cã nghiÖm ban ®Çu cña hÖ lµ (x = 1; y= 1)

C¸c bµi tËp t−¬ng tù Bµi 1: ( Khèi A n¨m 2010)

+

VÝ dô 11 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1

x

y x

y

z y

z

x z



Lêi gi¶i:

NÕu x = 0 → y = 0 →z = 0 → hÖ cã nghiÖm (x; y; z) = (0; 0; 0) NÕu x ≠ 0 → y > 0 → z > 0 → x > 0

3

2

2 9 2

2 9

xy

x x xy

T−¬ng tù víi x ≤ 2 ta còng suy ra ®iÒu m©u thuÉn

VËy nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh lµ x = y = 2

vi c¸c ph−¬ng ph¸p kh¸c

1 Ph−¬ng ph¸p sö dông ph−¬ng tr×nh hÖ qu¶

VÝ dô 13: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh

123

Trõ theo vÕ cña (4) cho (1) → z = 2

Trõ theo vÕ cña (4) cho (2) → x = 1

Trõ theo vÕ cña (4) cho (3) → y = 0

2 1 1

2 1 3

2 1 5

x y z

2 Phương pháp sử dụng hệ thức Viet mở rộng

Ta sử dụng kết quả: nếu x, y, z thoả mãn

x y z a

xy yz xz b xyz c



 + + =



Lời giải: Bình phương hai vế của (1) rồi trừ cho (2) ta có:

Phần iii Các bài toán liên quan

1 Bài toán giải phương trình

Bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp, ta được bài toán giải phương trình về giải hệ phương trình

2 Bµi to¸n nghiÖm nguyªn

VÝ dô 16: T×m nghiÖm nguyªn cña hÖ:

2 2

⇒(xy + x - 3)2 ≤ 0 ⇒xy + x = 3 ⇒x(y + 1) = 3

Giải các trường hợp ta tìm được nghiệm nguyên của hệ là:

(x= -1; y = - 4; z = 5)

iv một số sai lầm khi giải

1 Làm mất nghiệm của hệ phương trình:

Ví dụ 17: Giải hệ phương trình

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1

x

y x

y

z y

z x z

Nếu không xét trường hợp x = 0, y = 0, z = 0 ⇒biến đổi hệ về dạng:

2 Chän nghiÖm ngo¹i lai cña hÖ

1 1 1

⇔ ( 3 4 1 ) 1 3 1

4 1

x − x = ↔ x =

−VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt 3 1

⇔(ax + bx + ab)(x + a + b) = abx

⇔(ax + bx + ab)( a + b) + (ax + bx)x + abx = abx



 = −

Víi t = 1 ta cã ph−¬ng tr×nh: 2

KÕt luËn: tËp nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ 5 13 ; 5 13

VËy ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm khi: 6 < x < 8

Tãm l¹i tËp nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ: {6 ; 8}

VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 1

VÝ dô 11: Gi¶i ph−¬ng tr×nh

2 3

Bµi 3: T×m nghiÖm nguyªn cña hÖ: 2 2 2

221962008