chuyên đề môn toán 12 ôn thi hay

Xác định m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng d y=-2x CT... c.Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến đi qua điểm A0, -2 Ví dụ

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

Chủ đề 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1.1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

 y  0 Hàm số đồng biến trong ( a ; b )

 y  0 Hàm số nghịch biến trong ( a ; b )

 Hoặc y0 Hàm số đồng biến trong ( a ; b )

Vấn đề 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Phương pháp Để tìm khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x)

 Tìm tập xác định D

 Tìm y’ Tìm các giá trị x D i mà tại các điểm đó y = 0 hoặc không xác định

 Lập bảng xét dấu của y’

 Căn cứ dấu của y’ để kết luận

Vấn đề 2: Tìm m để hàm số đơn điệu trong tập X

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

1.2 C C TR ỰC TRỊ Ị

1.2.1 Vấn đề 1: Tìm cực trị của hàm số y = f(x)

Qui tắc 1 ( Dùng y’ ) a; Tìm tập xác định D b; Tìm y’

 Cho y’ = 0 tìm nghiệm x0 ( hay điểm x0 Dmà y x 0

không tồn tại)

 Lập bảng xét dấu của y’

 Căn cứ bảng xét dấu của y’ nếu khi x đi qua x0 mà :

+ y’ đổi dấu từ ( + ) sang (–) thì hàm số đạt cực đại tại x0 ; yCĐ = y0 = f(x0)

+ y’ đổi dấu từ (–) sang ( + ) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 ; yCT = y0 = f(x0)

x xo x1

y ’ + – – +

y y0

CĐ CT

Qui tắc 2 ( Dùng y”) a; Tìm tập xác định D b; Tìm y’ Cho y’ = 0 tìm nghiệm x0 ; x1 ; …

c ; Tìm y” Tính y”(x0) Nếu :  y”(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0  y”(x1) > 0 thì hàm số đat cực tiểu tại x1 Lưu ý :  Nếu y”(x 0 ) = 0 hay tại x 0 mà y’(x 0 ) không tồn tại thì không dùng được qui tắc 2  Hàm số y = 1 1 2 b x a c bx ax    đạt cực trị tại x0 Có y0 = 1 0 2 a b ax   Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực trị tại x0 khi tính y0 gặp khó khăn ta chia y cho y’ được thương P(x) và số dư px + q Ta có : y = y’.P(x) + px + q nên y0 = y’(x0).P(x0) + px0 + q = px0 + q (vì x0 là nghiệm của y’ = 0) 1.2.2 Vấn đề 2 : Tìm tham số để hàm số đạt cực trị tại x0 Phương pháp Hàm số đạt cực trị tại x0 khi y’(x0) = 0 hoặc không tồn tại từ điều kiện này suy ra giá trị của tham số Kiểm tra lại bằng cách xét dấu y’ hoặc dùng y” Qua việc thử lại cho ta cụ thể hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại x0  Nếu đồ thị hàm số có điểm cực trị M(x0 ; y0) thì thêm y0 = f(x0)  Trong vài trường hợp cụ thể ta có thể sử dụng 1;     0 0 ' 0 " 0 f x f x       Hs đạt cực trị tại x0 2;     0 0 ' 0 " 0 f x f x       Hs đạt cực đại tại x0

3;

 

 

0 0

" 0

f x

f x









  Hàm số đạt cực tiểu tại x0

Nếu f”(x 0 ) = 0 không kết luận mà phải xét dấu y’

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có nghiệm x0 (hoặc ykhông tồn tại tại x0D) và y’ đổi dấu khi x đi qua x0 Phương trình y’ = 0 có bao nhiêu nghiệm và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm

Tìm m để các điểm cực đại ,cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=x+2

VD5: Cho hàm số y= x3-3x2-mx+2 Tìm m để

a Hàm số có cực đại ,cực tiểu trong khoảng (0;2)

b Hàm số có cực đại ,cự tiểu và các điểm cực đại ,cực tiểu cách đều đường thẳng y=x-1

a CMR hàm số có cực đại cực tiểu với mọi m

b Xác định m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng (d) y=-2x

CT

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

VD7.Cho hàm số y x 3 (2m1)x2(m2 3m2)x4

a Tìm m để hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía khác nhau của trục tung

b Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu

2 3(2 1) 6 ( 1) 1

y x  m x  m m xa.Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m hàm số luôn đạt cực đại và cực tiểu tại x x 1, 2

và x2 x1 không phụ thuộc vào tham số m

 (Cm) CMR với mọi m (Cm) luôn có cực đại cực

tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 20 ( B – 2005)

VD14.Cho hàm số yf x( )x3 (2m1)x2(2 m x) 2 Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và

các điểm cực trị có hoành độ dương ( CĐ – D – 2009)

VD15 Cho hàm số 4 2

2( 1)

y x  m x m(1) m là tham số a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho OA=BC; trong đó O là gốc tọa độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung, B,C là hai điểm cực trị còn lại ( B – 2011)

m x f b a x

thì  ;

min

a b y

= m 2; Cách tìm

a; Tìm miền giá trị của hàm số từ đó suy ra max y , min y

b; Dùng đạo hàm

 Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trong ( a;b )

Phương pháp

Tìm y’ Tìm xlima f(x)  xlimb f(x)

Lập bảng xét dấu của y’ Căn cứ bảng xét dấu để kết luận

 Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trong [ a;b ]

  là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên

Ví dụ: Tìm GTLN,GTNN ( nếu có ) của các hàm số sau:

3 10 20( )

7.yf x( ) 5cos x c os5x trên ,

9.yf x( ) 1 sinx  1cosx 10.yf x( )2cos 2x c osx-3

11.y 2 x 1 x x2 x 2 12.y2sin cosx xsinx cosx

y x  x trên 2, 4 16.ysin3x c os3x 3sin 2x

1.4 TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

I/- Tiệm cận đứng

Cách tìm Tìm tập xác định D

1 Nếu D =  \ x0;x1;  Tìm

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

xlim   lim 

II/- Tiệm cận ngang

Cách tìm Tập xác định D

 Nếu D không chứa  thì không có tiệm cận ngang

 Nếu lim ( ) lim ( )

 có tiệm cận đứng qua điểm M(-3,1)

Ví dụ 2 Cho đường cong (Cm): ( ) 1 3 2

a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A có hoành độ là 2

b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d)

a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có tung độ bằng 3

b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với góc phần tư thứ hai

c.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0, -2)

Ví dụ 3.Cho hàm số yf x( )x4 x26.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1

c Tiếp tuyến song song với đường thẳng : x y  3 0

d Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 4 x y 10 0

e Tiếp tuyến đi qua điểm M(2,0)

1.5 CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ

TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ( C ) : y = f(x)

Lí thuyết

 P trình tiếp tuyến của ( C ) tại M(x0 ; y0) : y – y0 = f’(x0)(x – x0)

 ( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x) tiếp xúc với nhau

x g x f

có nghiệm ( nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm )

1.5.1 Vấn đề 1 : Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M( x y )0; 0

Phương trình tiếp tuyến y – y 0 = k( x – x 0 )

Cách 2 : Gọi (d) : y = kx + b là tiếp tuyến của ( C )

k x f

có nghiệm

Giải (1) tìm x thế vào (2) tìm b

Lưu ý Cho (d) : y = a.x + b nếu :

 (d1) song song với (d) thì (d1) có hệ số góc k = a

Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm.Tính y0 = f(x0) và f’(x0) theo x0 Phương trình tiếp tuyến của (C)

tại M là : y – y 0 = f’(x 0 )( x – x 0 ) (1) Vì tiếp tuyến đi qua A(x y1; 1) nên y

1 – y 0 = f’(x 0 )( x 1 – x 0 ) giải

phương trình tìm x0 thay vào (1)

Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng đi qua A có hệ số góc k

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

Ta có :(d) : y – y 1 = k( x – x 1 ) (1) là tiếp tuyến của (C)

k x f

có nghiệmThế k từ (1) vào (2) giải tìm x thế vào (1) tìm k và thay vào phương trình (1)

a.Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phan biệt A(0,1), B, C

b.Tìm m để các tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau

Ví dụ 3.Cho hàm số 3 2

yf x x  x  x (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm

số biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến

cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A và B và tam giác OAB cân tại O ( Khối A – 2009)

c Tiếp tuyến tạo với : y x một góc 600

a Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB

b Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi

c Tìm tọa độ điểm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất

Ví dụ 15 Cho hàm số 1

2 1

x y x

 





a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y x m  luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

A và B Gọi k k lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với ( C) tại A và B Tìm m để tổng 1, 2 k1k2 đạt giá

trị lớn nhất ( Khối A – 2011)

Phương pháp: Giả sử ta cần biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) đi qua ( , A x y A A)

1.Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A với hệ số góc k.

d: y k x x (  A)y A (1) 2.d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương tình sao có nghiệm

yf x x  x  có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm mà từ

đó kẻ được đến đồ thị (C) của hàm số hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Ví dụ 5.Cho hàm số yf x( )x4 2x2 có đồ thị (C)

f Viết phương trình tiếp của (C) đi qua gốc tọa độ O

g Tìm điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến với (C) tại M còn cắt (C) tại hai điểm A và B sao cho A là trung điểm của MB

h Tìm điểm M trên trục tung sao cho qua M có thể kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Ví dụ 6.Cho hàm số yf x( )x3 3x24 có đồ thị (C) Tìm những điểm trên trục Ox sao cho từ đó

có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Ví dụ 7.Cho hàm số yf x( )x33x22x1 có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng y2x1 các điểm kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Ví dụ 8.Cho hàm số 3 2

yf x x  x  có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng y3x2các điểm

kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị (C)

Ví dụ 10.Cho hàm số yf x( )x33x2 có đồ thị (C).Tìm các điểm thuộc trục hoành mà từ đó có thể

kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

 Tìm m để từ điểm A(1,2) kẻ được hai tiếp tuyến AB,AC đến

đồ thị hàm số sao cho ABC đều ( Với B, C là hai tiếp điểm )

Ví dụ 12.Cho hàm số 3

yf x x   m x có đồ thị (C)

a.Viết phương trình tiếp tuyến  tại giao điểm của (C) và trục Oy

b.Tìm m để  chắn trên hai trục Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 8

Chủ đề 2. SỰC TRỊ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

i Chứng minh rằng với mọi m, (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

j Giả sử (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm A và B Tìm m để độ dài đoạn AB nhỏ nhất

( Khối B – 2010)

Ví dụ 9 Cho hàm số 3 2

yf x x  x   m x m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x x x thõa mãn điều kiện 1; ;2 3 2 2 2

 có đồ thị (C) Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d: y

= m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA vuông góc với OB (Với O là gốc tọa độ )

Ví dụ 12.Chứng minh rằng nếu đồ thị hàm số yf x( )x3ax2bx c (C) cắt trục hoành tại ba điểm cách đều nhau thì điểm uốn nằm trên trục hoành

Ví dụ 13 Cho hàm số 2 1

1

x y x







a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho

b Tìm k để đường thẳng y kx 2k1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho

khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau ( Khối D – 2011)

y

O

 I

a < 0

a > 0Dạng 2: hàm số không có cực trị  ?x

x O

I

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

2 Cách đều hai tiệm cận của đồ thị hàm số

3 Cách đều hai điểm A(0;0) và B(2;2)

4 Tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất

Dạng 2 Một số bài toán liên quan đến khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b Khi a thay đổi biện luận số nghiệm phương trình: x3 3x2 6 a

Ví dụ 6.Cho hàm số yf x( )x33mx23(1 m x m2)  3 m2

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 (C1)

b Tìm k để phương trình x33x2k3 3k2  có ba nghiệm phân biệt 0

c Viết phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị của đồ thị hàm số (C1)

Chủ đề 4 : PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Ⓐ HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:

◙ Hàm số lũy thừa:

● Tính chất của lũy thừa:

▪ Về cơ số; khi xét lũy thừa a

: +  Î ¥ : a

xác định  a  ¡ .+  Î ¢- : a

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

◙ Hàm số mũ:

▪ Hàm số mũ y = a x (a > 0, a ≠ 1) có tập xác định là ¡ ; tập giá trị là

* +

▪ Khi a > 1 hàm số y = a x đồng biến trên ¡ .

▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = a x nghịch biến trên ¡ .

phải chú ý điều kiện a > 0; a ¹ 1 vµ x > 0.

Trong phần này, ta giả thiết mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa (có thể yêu cầu học sinh nêu

các điều kiện để các biểu thức có nghĩa như: Mẫu khác 0, cơ số a, b thỏa 0 < a,b ≠ 1, đối số của logarit

log

b a

b

x x

▪ Hàm số y = log a x xác định và liên tục trên (0 ; + ∞ )

▪ Nếu a > 1: lim loga ; lim loga

◙ Phương trình, bất phương trình logarit:

▪ Trước hết ta cần đặt điều kiện để phương trình có nghĩa

4.1 Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng : a f x( )a g x( ) (1)

Nếu cơ số a là một số dương khác 1 thì (1) f x( )g x( )

Nếu cơ số a thay đổi (có chứa biến hoặc chứa tham số) thì

0(1)

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

Đặt t a f x( ),t0 với a và ( )f x thích hợp để đưa phương trình biến số x đã cho về phương trình mới

với biến t, giải phương trình này tìm t (nhớ so điều kiện t > 0) rồi từ đó tìm x

Bài 1 : Giải các phương trình sau

4.3 Dạng 3 : Phương pháp lôgarit hóa

Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng sau :

Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất)

Đưa phương trình đã cho về dạng ( )f x g x( ) (*)

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

 Bước 1 : Chỉ ra x là một nghiệm của phương trình (*)0

 Bước 2 : Chứng minh ( )f x là hàm đồng biến, ( ) g x là hàm nghịch biến hoặc ( ) f x là hàm đồng

biến, ( )g x là hàm hằng hoặc ( ) f x là hàm nghịch biến, ( ) g x là hàm hằng Từ đó suy ra tính duy nhất

nghiệm

Cách 2 :

Đưa phương trình đã cho về dạng ( )f u f v( ), rồi chứng minh f là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn

nghịch biến trên D) Từ đó suy ra ( )f u f v( ) u v

5.1 Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng

Bài 1 : Giải các phương trình sau

1log (4 15.2 27) 2log 0

2log xlog log ( 2x x 1 1) (ĐH Thủy Lợi-1998) ĐS : 1; 4

5 log2xlog3xlog log2x 3x (ĐH Đông Đô-1999) ĐS : 1; 6

6 log5xlog3xlog 3.log 2255 9 (ĐH Y Hà Nội-1999) ĐS : 3

7 log (4 x1)2 2 log 2 4 xlog (8 x4)3 (ĐH Bách Khoa HN-2000) ĐS :

Biến đổi phương trình về dạng chỉ chứa một loại hàm số lôgarit, đặt ẩn phụ t để đưa phương trình biến

số x đã cho về phương trình mới với biến t, giải phương trình này tìm t rồi từ đó tìm x

Bài 1 : Giải các phương trình sau

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

13 log4(log2x) + log2(log4x) = 2 (đặt t= log x ) 4

Bài 2 : Giải các phương trình sau

2log ( x x) log x (ĐH Kiến Trúc TPHCM-1991) ĐS : 16

Bài 2 : Giải các phương trình sau

1 x log (9 2 ) 32  x  (ĐH Huế-2000) ĐS : 0; 3

2 log5xlog (7 x2) (ĐH Quốc Gia HN-2000) ĐS : 5

3 log7xlog (3 x2) (ĐH Thái Nguyên-2000) ĐS : 49

Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất)

Đưa phương trình đã cho về dạng ( )f x g x( ) (*)

 Bước 1 : Chỉ ra x là một nghiệm của phương trình (*)0

 Bước 2 : Chứng minh ( )f x là hàm đồng biến, ( ) g x là hàm nghịch biến hoặc ( ) f x là hàm đồng

biến, ( )g x là hàm hằng hoặc ( ) f x là hàm nghịch biến, ( ) g x là hàm hằng Từ đó suy ra tính duy nhất

nghiệm

Cách 2 :

Đưa phương trình đã cho về dạng ( )f u f v( ), rồi chứng minh f là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn

nghịch biến trên D) Từ đó suy ra ( )f u f v( ) u v

Bài 1 : Giải các phương trình sau

Bài 2 : Giải các phương trình sau

1 log22x(x1)log2x 6 2x (ĐH Đông Đô-1997) ĐS : 1;2

42

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

7.1 Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

Bài 1 : Giải các bất phương trình sau :

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

1

2 2

 Nếu a 1 thì loga f x( ) log a g x( ) f x( )g x( ) 0

 Nếu 0a1 thì loga f x( ) log a g x( ) 0 f x( )g x( )

Tổng quát :

0log ( ) log ( ) ( ) 0; ( ) 0

II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Giải các bất phương trình sau :

x x

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

dx



Chú ý : Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa, ta phải biến đổi hàm số này

thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đơn giản đã biết hoặc có thể tìm được nguyên hàm.

Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số :

(trong đó p x  là hs đa thức; q x là hàm số logarit)

Trong trường hợp này ta đặt :

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

Chú ý : Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng

hoặc hiệu của những hàm số đã biết hoặc có thể tìm được nguyên hàm.

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

Công thức tổng quát :

b a

Các dạng tích phân tính bằng phương pháp đổi biến số thường gặp :

Tương tự như trong phần nguyên hàm

Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần thường gặp :

Tương tự như trong phần nguyên hàm

9.3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi :  C1 :yf x  ; C2:y g x x a x b a b  ;  ;    

(trong đó hai đường thẳng x a x b ;  có thể thiếu một hoặc cả hai)

Công thức :

   

b a

a b;  (nếu có) Những nghiệm không thuộc đoạn a b;  phải loại bỏ.

Thể tích của khối tròn xoay.

x a x b có thể thiếu một hoặc cả hai) Quay hình phẳng này xung quanh trục Ox Khi đó thể tích

của khối tròn xoay được sinh ra là :

Nếu đề bài đã cho đầy đủ cả a và b thì không cần giải phương trình f x   0.

Nếu để bài không cho a và b thì giải phương trình f x   0 để tìm Phương trình này có thể có nhiều

hơn hai nghiệm Trong trường hợp này nghiệm nhỏ nhất là a, nghiệm lớn nhất là b, các nghiệm còn lại không cần chèn vào trong quá trình tính tích phân.

1 2 0

2

x dx

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

sin 3xdx



2 5 0





2 0

1 osos

0

sin

1 os

x dx

2 3

0 (1 )

x dx x



 ; 4

3 2



 ; 10

1 3 2

x dx

e dx

2 1

4 2x dx 

 ; 3

3 2

2 3 0

(1  x dx )

 ; 4

2

2 0

8

 ; 5

3 2

3 x

dx x

1 2

x dx x



 ; 3

6 2 2

2

1 2

x dx x

1

3  x dx

 ; 3

1 2

x dx

x 

 ; 4

3 22

1 3

x dx x

2 3

2 2



;2

1

2 1

2 2 2

2

4

x dx x



 ;4.

2 2

4

x dx x

2 3 1

2 1

dx x

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

2 xe dxx

 ; 3

1

2 0

(1 3 ) x e dxx



 ; 4

1 2 0

ln(x  x dx)

2 2 1

 ; 10

2 2 1

ln

dx x

 Với P(x), Q(x) là các hàm đa thức, khi đó ta có các trường hợp sau:

+ Nếu bậc P(x)  bậc Q(x) thì ta lấy P(x) chia cho Q(x)

3 2( 1)

x 

2 5

2 1( 2)

1( 2)

x 

 ;13

3 4 6 1

11

x dx x

1sin x dx





 ; 3 3

6 0

0

13sinx 4 cosx 5dx

Ta xét: a sin cos cos sinx

dx x

dx x

dx x

x dx x

x dx x







Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

2 Khi gặp tích phân dạng: 2

0

sinsin os

 =J Hai tích phân I và J là hai tích phân liên hợp với

nhau và bằng nhau, ta muốn tính I ta làm như sau :I+J=2I=

0

sinsin os

x dx

0

ossin os







Chú ý: Nếu tìm nguyên hàm thuộc dạng này thì ta cũng làm như thế

TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM ĐẶT BIỆT :

Các bài tập mẫu :

VD 1: Chứng minh

2

2 2

0

4 sin

xdx I

0

4 sin

xdx I

4 sin

x

dx x

a dt a

t f a dx a

x f

t t

t

1

1 1 1

) ( 1

a

x f

2

1 1 ) (

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017

4 4

1

1

4

12

21

21

t dx

x

t t

4 4

1

t dt

Nhận xét : Bằng cách làm tương tự hãy chứng minh các công thức

1) Nếu f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì T, liên tục trên [0;T]; [a;a+T] thì  

a

a

dx x f dx x f

0

) ( )

dx x f

2

1 1

) (

3) Nếu f(x) liên tục trên [0; ] thì i/ xf x dx  f(sinx)dx

2 )

2

0

)(cos)

(sin





dx x f dx x

1 cos 1 cos 1 cos 1 cos

cos 1

dx x

2 1

sinx 1

x

dx x

3) x= y ; x+y-2=0 ;y=0 (ĐS: (

6

5đvdt)) ; 4) y=x2 ; y=

x y

; 8

2

 (ĐS: 8ln3)

5) y=x2 ; y=

x y

; 27

2

 (ĐS: 27ln3) ;6) y=x2 ; x=y2 7) y=ex ; y=e-x ;x=1

Tài liệu ôn tập thi THPTQG năm học 2016 – 2017 Bài 2 : Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi quay miền (D) giới hạn bởi các đường:

1.y=4-x2 ; y=2+x2 quanh Ox (ĐS : 16) ; 2 y=x2 ; x=y2 quanh Ox

3 y=2x-x2 ; y=x2-2x quanh Ox (ĐS : )

5 331

x x



 ; 6

 5

2

1

ln ln ln

e e

dx

3 2 2

1:2

x x

e

dx KQ e

:15

22 CĐ2003

3

3 1

:15

e

dx KQ x

x

dx KQ x

:101

x

dx KQ x

2 0

0

:15

1 3cos

dx KQ x

2 0