Khoá giải đề đặc biệt Thầy: Đặng Thành Nam Đề 50+12015 Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = 1 4 x 4 − 2x2 + 2 − m (1) với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho với m = 2 . 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt, và chứng minh rằng khi đó tất cả các giao điểm đều có hoành độ nhỏ hơn 3. Câu 2 (1,0 điểm). a) Cho tana + cot a = −18 7 , − π2 ⎛ < a < 0 ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ . Tính A = sina −cosa . b) Cho số phức z thoả mãn z = 5 −i 2 −i . Tìm phần thực và phần ảo của w = 5z . Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình 6log4 x + log x 8 = 10 . Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình x +1+10 3 4 + 3 3− x = 9 3 3− x − x3 + 3x2 + 2x + 4 .
Trang 1Khoá giải đề đặc biệt Thầy: Đặng Thành Nam
Đề 50+1/2015
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y= 1
4x
4 − 2x2+ 2 − m (1) với m là tham số thực
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho với m= 2
2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt, và chứng minh rằng khi đó tất cả các giao điểm đều có hoành độ nhỏ hơn 3
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Cho tan a + cota = −18
7 , − π
2 < a < 0
⎛
⎝⎜ ⎞⎠⎟ Tính A = sina − cosa b) Cho số phức z thoả mãn z= 5− i
2− i Tìm phần thực và phần ảo của w = 5z
Câu 3 (0,5 điểm) Giải phương trình 6 log4x+ logx8= 10
Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình
x +1+10 4 + 3− x3 3 = 9 3− x3 − x3+ 3x2+ 2x + 4
Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I= x2.e x
2 −1+ ln x
1
2
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và SC Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và DN
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I(1;2), có
góc BAC! = 600, phương trình đường phân giác trong góc A là x + y −1 = 0 Tìm toạ độ đỉnh A và viết phương trình đường thẳng BC
Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng Δ có phương trình
là x+ 2
−1 =
y
−2 =
z− 4
3 , hai mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − 3 = 0,(Q) :2x + y − 2z − 4 = 0 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc Δ và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P), (Q)
Câu 9 (0,5 điểm). Có ba phong bì giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 10 câu hỏi khác nhau được đánh
số từ 1 đến 10 và bộ 10 câu hỏi trong mỗi phong bì là giống nhau Người ta phát ba phòng bì này cho
ba học sinh Nga, Sơn và Khánh mỗi người một phong bì và yêu cầu mỗi bạn bốc thăm ra trong mỗi
Trang 2-HẾT -
Trang 3PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y= 1
4x
4 − 2x2+ 2 − m (1) với m là tham số thực
3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho với m= 2
4 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt, và chứng minh rằng khi đó tất cả các giao điểm đều có hoành độ nhỏ hơn 3
1 Học sinh tự giải
2 Phương trình hoành độ giao điểm:
1
4x
4− 2x2+ 2 − m = 0
Đặt t = x2≥ 0 , phương trình trở thành: t2− 8t + 4(2 − m) = 0 (*)
Để (1) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm dương phân biệt 0< t1< t2 ,
⇔
Δ' = 16 − 4(2 − m) > 0
S= 8 > 0
P = 4(2 − m) > 0
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇔ −2 < m < 2
Khi đó hoành độ bốn giao điểm là x1= − t2, x2 = − t1, x3= t1, x4 = t2
Ta có: x4 = t2 = 4 + 8 + 4m < 2 2 < 3,∀m ∈(−2;2)
Vậy tất cả các giao điểm có hoành độ nhỏ hơn 3 (đpcm)
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Cho tan a + cota = −18
7 , − π
2 < a < 0
⎛
⎝⎜ ⎞⎠⎟ Tính A = sina − cosa b) Cho số phức z thoả mãn z= 5− i
2− i Tìm phần thực và phần ảo của w = 5z
a) Ta có: tan a + cota = sin a
cos a+cos a
sin a = 1
sin a cos a= 2
sin 2a =18
7 ⇒ sin2a = 7
9
Và, (sin a − cosa)2 = 1− sin2a = 1+7
9 =16
9
Vì −π
2 < a < 0 ⇒ sin a< 0
cos a> 0
⎧
⎨
⎩ ⇒ sina − cosa < 0
Do đó A= −4
3
b) Ta có: z= 5− i
2− i=
(5− i)(2 + i)
5 =11+ 3i
5 ⇒ w = 5z = 11− 3i Vậy w có phần thực bằng 11, phần ảo bằng -3
+ log = 10
Trang 43t2−10t + 3 = 0 ⇔
t= 3
t=1 3
⎡
⎣
⎢
log2x= 3 log2x=1
3
⎡
⎣
⎢
x= 8
x= 23
⎡
⎣
Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình
x +1+10 4 + 3− x3 3 = 9 3− x3 − x3+ 3x2+ 2x + 4
Điều kiện: x3+ 3x2+ 2x + 4 ≥ 0
Phương trình tương đương với:
− x3+ 3x2+ 2x + 4 − x +10 3− x3 = (1+ 3− x3 )+10 3+ (1+ 3− x3 3 ) (*)
Xét hàm số f = t +10 3+ t3 ⇒ ′f (t)= 1+ 10
3 (t3 + 3)2 > 0,∀t ∈!
Vậy hàm số f(t) đồng biến trên ! Vì vậy phương trình (*) tương đương với:
− x3+ 3x2+ 2x + 4 + f (−x) = f (1+1 3− x3 )⇔ f (−x) − f (1+1 3− x3 )− x3+ 3x2+ 2x + 4 = 0 (**)
Vì x3+ 3x2+ 2x + 4 = (x +1)3+ 3− x ≥ 0 ⇒ 3− x3 ≥ −x −1, hay
−x ≤ 1+ 3− x3 ⇒ f (−x) ≤ f (1+ 3− x3 )
Do đó, VT(**)≤ 0 = VP(**), do đó dấu bằng phải xảy ra, tương đương với:
3+ 3x2+ 2x + 4 = 0
−x = 1+ 3− x3
⎧
⎨
⎪
3= x − 3
⇔ (x +1)3− (x +1) + 4 = 0 ⇔ x = −1− 18− 321
9
9 3
Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I= x2.e x
2 −1+ ln x
1
2
Ta có: I = x.e x2 −1dx
1
2
x dx
1
2
+) x.e x2−1dx
1
2
2 d(e
x2−1) 1
2
2 −1 2
2
1= e3−1
2 , +) ln x
x dx
1
2
∫ = ln xd(ln x)
1
2
2ln
2
x2
1 =ln22
2
Vậy I= e3−1+ ln22
2
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và SC Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và DN
Trang 5Gọi H là trung điểm AB, ta có: SH ⊥ AB
Vì (SAB) vuông góc (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD)
Ta có, SH = SA.sin600 =a 3
2 ,S ABCD = a2
Nên V S.ABCD =1
3SH S ABCD =1
3.
a 3
2 .a
2= a3 3
6 (đvtt)
+) Trong không gian chọn hệ trục với H(0;0;0), trục Ox trùng với
AB, trục Oy qua H và song song với AD, trục Oz trùng với SH khi đó,
A( a
2;0;0), B(− a
2;0;0),C(− a
2;a;0), D(
a
2;a;0),S(0;0;
a 3
2 )
Vì M,N lần lượt là trung điểm SA và SC nên M ( a
4;0;
a 3
4 ), N(− a
4;
a
2;
a 3
4 ) Suy ra,
BM
! "!!!
= (3a
4 ;0;
a 3
4 ), DN
! "!!
= (−3a
4 ;−a
2;
a 3
4 ), MN
! "!!!
= (−a
2;
a
2;0)
BM
! "!!!
, DN! "!!
a 3
4
−a 2
a 3
4
;
a 3
4
3a
4
a 3
4 −3a
4
;
3a
3a
4 −a 2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
= (a2 3
8 ;−3a2 3
8 ;−3a2
8 )
Ta có, d(BM; DN )= BM
! "!!!
, DN! "!!
⎡⎣ ⎤⎦.MN! "!!!
BM
! "!!!
, DN! "!!
a2 3 4
3a4
64 +27a4
64 +9a4 64
= 2a 3
39
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I(1;2), có
góc BAC! = 600, phương trình đường phân giác trong góc A là x + y −1 = 0 Tìm toạ độ đỉnh A và viết phương trình đường thẳng BC
Gọi D là giao điểm thứ hai của phân giác trong góc A với đường tròn (ABC)
Ta có D là điểm chính giữa cung BC và
BDC! = 1200
, BIC ! = 2BAC! = 1200 ⇒ BDC ! = BIC!
Do đó BDCI là hình thoi, nên ID cắt BC tại trung điểm M của BC Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên phân giác AD, thì H là trung điểm AD và toạ độ điểm H là nghiệm của hệ:
x + y −1 = 0
x − y +1 = 0
⎧
⎨
Trang 6Vì M là trung điểm ID nên D(-a;a-1)
Ta có: IA = ID ⇔ (a −1)2+ (a +1)2 = (a +1)2+ (a − 3)2 ⇔ a = 2 ⇒ A(2;−1), M (−3
2;
3
2), D(−2;1) Suy ra, ID
! "!
= (−3;−1) Đường thẳng BC qua M vuông góc ID có phương trình là 3x + y + 3 = 0
Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng Δ có phương trình
là x+ 2
−1 =
y
−2 =
z− 4
3 , hai mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − 3 = 0,(Q) :2x + y − 2z − 4 = 0 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc Δ và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P), (Q)
Tâm của mặt cầu (S) là I , và I ∈Δ ⇒ I −2 − t ; − 2t ; 4 + 3t( )
Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P), (Q)⇔ d I, P( ( ) ) = d I ; Q( ( ) )⇔1
39t+ 3 = 1
310t+16 ⇔ t= −13
t= −1
⎡
⎣
Từ đó suy ra: I1= 11 ; 26 ; − 35( ) ; I2(−1 ; 2 ; 1)⇒ R1= 38 ; R2 = 2
Vậy, có hai mặt cầu cần tìm: (S 1 ): (x - 11)2 + (y - 26)2 + (z + 35)2 = 382, và
(S 2 ): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 4