25 đề thi THPT quốc gia 2015 môn toán cực hay (có đáp án và lời giải chi tiết) của thầy Đặng Thành Nam

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là y−3= 0... Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn Câu 5 1,0 đi

Câu% 6(1,5% điểm)% Cho% hình% lăng% trụ% ABC.A’B’C’% có% đáy% ABC% là% tam% giác% vuông% cân% tại% A,%

BC = 2a %Hình%chiếu%vuông%góc%của%A’%lên%mặt%phẳng%(ABC)%là%trung%điểm%cạnh%AB,%góc%giữa%

đường%thẳng%A’C%và%mặt%đáy%bằng%600.%Tính%thể%tích%khối%lăng%trụ%ABC.A’B’C’%và%khoảng%cách%từ%điểm%B%đến%mặt%phẳng%(ACC’A’).%

Câu%8(1,5%điểm)%Giải%hệ%phương%trình

4x − xy2− x3= (x2+ y2−4)( x + y −1) (x − y)(x −1)( y −1)(xy + x + y) = 4

%

kkkHẾTkkk%

+%Nếu% x >0khi%đó% VT > 4+ln(x +1) −2>0,%pt%vô%nghiệm.%

+%Nếu% x <0%khi%đó% VT ≤ 4+ln(x +1) −2<0,%pt%vô%nghiệm.%%%%

A = (−3+ 2i)

2−(4−i)2 = (5−12i)−(15−8i) = 10+ 4i = 2 29.%%%%

Chú%ý.%Một%số%học%sinh%tính%toán%sai%giá%trị%của%A%nên%bước%tính%toán%các%em%đặc%biệt%lưu%ý.% Câu%5(1,0%điểm)%Một%trò%chơi%quay%số%trúng%thưởng%với%mâm%quay%là%một%đĩa%tròn%được%chia%

đều%thành%10%ô%và%được%đánh%số%tương%ứng%từ%1%đến%10.%%Người%chơi%tham%gia%bằng%cách%quay%liên%tiếp%mâm%quay%2%lần,%khi%mâm%quay%dừng%kim%quay%chỉ%tương%ứng%với%ô%đã%được%đánh%số.%Người%chơi%trúng%thưởng%nếu%tổng%2%số%kim%quay%chỉ%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%chia%hết%cho%3.%Tính%xác%suất%để%người%chơi%trúng%thưởng.%%

+%)%Số%cách%xuất%hiện%kết%quả%của%trò%chơi%là% 10.10=100.%%

+%)%Ta%tìm%số%kết%quả%để%tổng%2%số%nhận%được%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%chia%hết%cho%3.%Trước%tiên%phân%chia%10%số%ban%đầu%thành%3%loại:%Loại%I%gồm%các%số%chia%hết%cho%3%có%3%số%(3,6,9);%loại%II%gồm%các%số%chia%3%dư%1%có%4%số%(1,4,7,10);%loại%III%gồm%các%số%chia%3%dư%2%số%có%3%số%(%2,5,8).%Vậy%có%các%khả%năng%sau:%

+%Cả%2%lần%kim%quay%đều%chỉ%số%loại%I%có%3.3=9%cách.%

+%Có%1%lần%quay%chỉ%số%loại%II%và%1%lần%quay%chỉ%số%loại%III%có%2!.4.3=24%cách.%

Vậy%số%số%kết%quả%để%tổng%2%số%nhận%được%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%chia%hết%cho%3%là%9+24=33%cách.%

%

Gọi%H%là%trung%điểm%cạnh%AB%theo%giả%thiết%ta%có%

A' H ⊥ (ABC ) %

4 ≤ 4bằng%biến%đổi%tương%đương%hoặc%

Khoá%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Môn%Toán%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%% Cách%3:%Khi%đó%để%hệ%(1)%có%nghiệm%ta%phải%có:%

Ta%có%%

a ≥7.max b,c{ }.%Việc%chặn%thêm%điều%kiện%này%chỉ%nhằm%mục%đính%bài%toán%có%kết%quả%đẹp.%Dạng%toán%này%bạn%đọc%tham%khảo%cuốn%“Kỹ$thuật$giải$Bất$đẳng$thức$bài$toán$Min8Max”%cùng%tác%giả.%Để%rèn%luyện%bạn%đọc%thử%sức%với%bài%toán%mức%độ%vừa%phải%%sau%

Bài%toán.%Cho%a,b,c%là%các%số%thực%không%âm%thoả%mãn% a+b +c =1.%Tìm%giá%trị%lớn%nhất%và%nhỏ%

nhất%của%biểu%thức% P = a(b−c)3+ b(c −a)3+ c(a −b)3.%%

Đánh%giá%chung%về%đề%thi%và%bài%làm%của%học%sinh%cho%đề%số%01/50:%%

Lưu$ý:%Phần%đánh%giá%này%dựa%vào%phản%hồi%của%học%sinh%khi%làm%bài.%

Đề%thi%ở%mức%tương%đối%khó%với%đa%số%thí%sinh%và%nếu%không%có%cách%trình%bày%tốt%sẽ%

không%có%đủ%thời%gian%để%làm%các%câu%khó.%Các%câu%từ%câu%1%đến%7.1%đề%cho%mức%độ%vừa%phải%riêng%có%câu%1.3%;%câu%2.2%và%câu%5%đòi%hỏi%tư%duy.%Với%câu%2.2%cần%so%sánh%nghiệm%với%0%(có%thể%

xét%hàm%số%tuy%nhiên%dài).%Câu%5%đòi%hỏi%các%em%phải%tư%duy%phân%chia%tập%hợp%10%số%thành%3% loại%%với%số%dư%khi%chia%cho%3.%Chú%ý%nếu%yêu%cầu%thay%đổi%chia%cho%m%thì%ta%phân%chia%tập%hợp%

thành%các%loại%với%số%dư%khi%chia%cho%m%(có%thể%giải%bằng%pp%liệt%kê%số%kết%quả%Ç%tuy%nhiên%khi%tăng%số%lần%quay%lên%3,4,…%lần%thì%sẽ%dài%thì%theo%lời%giải%trên%ta%có%cách%giải%tối%ưu)%.%Đây%là%một%bài%toán%cũng%tương%tự%như%khi%tung%đồng%thời%các%con%xúc%sắc%vậy.%Tuy%nhiên%thầy%thấy%một%số%bạn%trình%bày%cách%dài%do%vậy%chiếm%phần%lớn%thời%gian%để%giải%quyết%các%câu%này%mà%chưa%có%thời%gian%tập%trung%suy%nghĩ%các%bài%khó%từ%(7.2%đến%9).%Câu%7.2%nút%thắt%quan%trọng%của%bài%toán%là%phát%hiện%IN=IA.%Câu%số%8%về%hệ%phương%trình%sẽ%khá%lạ%với%nhiều%bạn.%Hầu%hết%tìm%được%x^2+y^2=4%từ%phương%trình%đầu%tuy%nhiên%không%xử%lý%được%vế%còn%lại(chiếm%80%%số%điểm%của%câu%hỏi)%–%Bằng%kỹ%năng%biến%đổi%kết%hợp%đánh%giá%cơ%bản%ta%có%kết%quả%bài%toán.%Chú%ý%thêm%câu%8%là%điều%kiện%x>=0%và%y>=1%là%cần%thiết%để%hoàn%thiện%lời%giải%cho%hệ%

(1).%Riêng%câu%số%3%một%số%bạn%mắc%sai%lầm%ở%công%thức%tính%thể%tích%khối%tròn%xoay%về%điểm%

này%các%em%cần%lưu%ý.%Câu%9%thầy%xuất%phát%từ%một%ý%tưởng%cũ%+%bài%toán%mới%tuy%nhiên%đòi%hỏi%khéo%léo%trong%quá%trình%tiếp%cận%và%hiểu%đề%đến%trình%bày%lời%giải.%%

Mức%điểm%trong%khoảng%14k16%điểm%sẽ%đạt%yêu%cầu.% %

Qua%đây%có%một%kinh%nghiệm%là%các%loại%toán%quen%thuộc%các%em%cố%gắng%hoàn%thiện% lời%giải%theo%hướng%tối%ưu%để%tiết%kiệm%thời%gian%làm%bài.%Để%làm%được%điều%này%đòi%hỏi%các% em%cần%rèn%luyện%ngay%từ%bây%giờ%bằng%cách%giải%chi%tiết%+%suy%nghĩ%mở%rộng%các%hướng%có% thể%tiếp%cận%bài%toán%+%theo%dõi%khoá%học%sát%sao%để%giải%đề%ngay%khi%đề%được%phát%hành%với% việc%căn%thời%gian%làm%bài%đúng%180%phút.%Sau%đó%so%sánh%đáp%án%chi%tiết%kèm%Video%thầy% phát%hành%sau%đó!%%%%

Chúc$các$em$có$kết$quả$tốt$trong$các$đề$tiếp$theo!$

Thân$ái!$ Đông$Hà$Nội$ngày$22.01.2015$

Đặng$Thành$Nam$

Khoá  giải  đề  THPT  Quốc  Gia  –  Thầy:  Đặng  Thành  Nam  

Môn:  Toán;  ĐỀ  SỐ  02/50  Ngày  thi  :  25/01/2015   Thời  gian  làm  bài:  180  phút,  không  kể  thời  gian  giao  đề   Liên  hệ  đăng  ký  khoá  học  –  Hotline:  0976  266  202    

Câu  1  (2,0  điểm).  Cho  hàm  số   y = 2x3−3x2+1 (1)  

1 Khảo  sát  sự  biến  thiên  và  vẽ  đồ  thị  hàm  số  (1)  Gọi  A,B  là  2  điểm  cực  trị  của  (1)  Chứng  minh  rằng  tam  giác  AOB  vuông  cân  (với  O  là  gốc  toạ  độ)  

2 Viết  phương  trình  đường  thẳng  d  tiếp  xúc  với  (1)  tại  điểm  có  hoành  độ   x1> 0  và  cắt  (1)  tại  điểm  có  hoành  độ   x2thoả  mãn   2x1x2= −1  

Câu  2  (1,0  điểm)  Giải  các  phương  trình    

Câu  5  (1,0  điểm).  Cho  hình  chóp  S.ABC  có AB = a,AC = a 3,BC = 2a,SA=SB =SC  và  tam  giác  

SBC  vuông  Tính  thể  tích  khối  chóp  S.ABC  và  khoảng  cách  giữa  hai  đường  thẳng  SA  và  BC      

Câu  6(1,0  điểm).  Trong  không  gian  với  trục  toạ  độ  Oxyz  cho  mặt  phẳng   (P): x + y−z +1= 0và  

Câu  7  (1,0  điểm).  Trong  mặt  phẳng  toạ  độ  Oxy  cho  tam  giác  ABC  có  phương  trình  đường  phân  

giác   trong   góc   A   là   y−3= 0  Gọi   M(1;4),N(3;1) lần  lượt  là  các  điểm  thuộc  các  đường  thẳng  

AB,AC  Tìm  toạ  độ  các  điểm  B,C  biết  trọng  tâm  tam  giác  ABC  là  điểm  

3;

83

ab + bc + ca + 5  

-­‐‑-­‐‑-­‐‑HẾT-­‐‑-­‐‑-­‐‑  

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN – BÌNH LUẬN

Thang  điểm  tương  ứng:    

Câu  1:  1.1(1,5  điểm);  1.2  (0,5  điểm)  

Câu  2:  2.1  và  2.2  mỗi  ý  0,5  điểm  

Câu  4:  4.1;  4.2  mỗi  ý  (0,5  điểm)  

Câu  1  (2,0  điểm).  Cho  hàm  số   y = 2x3−3x2+1 (1)  

1 Khảo  sát  sự  biến  thiên  và  vẽ  đồ  thị  hàm  số  (1)  Gọi  A,B  là  2  điểm  cực  trị  của  (1)  Chứng  minh  rằng  tam  giác  AOB  vuông  cân  (với  O  là  gốc  toạ  độ)  

2 Viết  phương  trình  đường  thẳng  d  tiếp  xúc  với  (1)  tại  điểm  có  hoành  độ   x1> 0  và  cắt  (1)  tại  điểm  có  hoành  độ   x2thoả  mãn   x1x2= −1/ 2  

1 Bước  khảo  sát  vẽ  đồ  thị  học  sinh  tự  làm  

+  Hai  điểm  cực  trị  của  hàm  số  là   A(0;1),B(1;0) ⇒ A∈Oy,B ∈Ox ⇒OA⊥OB,OA=OB =1  

Vậy  tam  giác  AOB  vuông  cân  tại  O  (đpcm)  

2 Phương  trình  đường  thẳng  d  là  tiếp  tuyến  của  (1)  tại  điểm   x1  

Suy  ra  tiếp  điểm  M(1;0)  và  có  đường  thẳng  d  cần  tìm  là  tiếp  tuyến  của  (1)  tại  M  suy  ra  d: y = 0        

Câu  2  (1,0  điểm)  Giải  các  phương  trình    

Vậy  phương  trình  có  nghiệm  là   x =− 3;x = 3;x =1+ 2    

2 Điều  kiện:   sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ,k ∈!  

Phương  trình  tương  đương  với:  

2(1+ sin x) + 3.cos x

sin x = 0 ⇔ 2sin x(1+ sin x) = − 3 cos x

⇒ 4sin2x(1 + sin x)2= 3cos2x= 3(1−sin2x)

⇔ (sin x +1)(2sin x −1)(2sin2x + 3sin x + 3) = 0

tử  có  thể  bình  phương  hai  vế  để  đưa  về  phương  trình  đa  thức  một  ẩn  (của  sinx  hoặc  của  cosx)  

Câu  3  (1,0  điểm).  Tính  tích  phân  

1+ cos xdx0

π

2

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn

Câu  5  (1,0  điểm).  Cho  hình  chóp  S.ABC  có AB = a,AC = a 3,BC = 2a,SA=SB =SC  và  tam  giác  

SBC  vuông  Tính  thể  tích  khối  chóp  S.ABC  và  khoảng  cách  giữa  hai  đường  thẳng  SA  và  BC      

Ta  có   AB2+ AC2= BC2= 4a2nên  tam  giác  ABC  vuông  tại  

A  

Mặt  khác  do   SA = SB = SC nên  S  nằm  trên  đường  thẳng  

đi  qua  tâm  đường  tròn  ngoại  tiếp  tam  giác  ABC  và  vuông  góc  với  mặt  đáy  (ABC)  

Gọi  H  là  trung  điểm  cạnh  BC,  thì  H  là  tâm  đường  tròn  

ngoại  tiếp  tam  giác  ABC  Suy  ra   SH ⊥ (ABC)  

Tam  giác  SBC  vuông  nên  

Kẻ  Ax  song  song  với  BC  và  kẻ  HK  vuông  góc  với  Ax  tại  K;  kẻ  HT  vuông  góc  với  SK  tại  T  dễ  có  

HT ⊥ (SAK )    Kẻ  AI  vuông  góc  với  BC  tại  I  Ta  có   HK = AI = AB.AC BC =a.a 3 2a =a 32  

Chú  ý   BC //Ax ⇒d(BC;SA) = d(BC;(SAK )) = d(H;(SAK )) = HT  

Tam  giác  vuông  SHK  có  

Câu  7  (1,0  điểm).  Trong  mặt  phẳng  toạ  độ  Oxy  cho  tam  giác  ABC  có  phương  trình  đường  phân  

giác   trong   góc   A   là   y−3= 0  Gọi   M(1;4),N(3;1) lần  lượt  là  các  điểm  thuộc  các  đường  thẳng  

AB,AC  Tìm  toạ  độ  các  điểm  B,C  biết  trọng  tâm  tam  giác  ABC  là  điểm  

3;

83

Gọi  M’,N’  lần  lượt  là  các  điểm  đối  xứng  của  M,N  qua  phân  giác  trong  góc  A  Ta  có  M’  thuộc  

AC,  N’  thuộc  AB  

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn

Dễ  tìm  được   M '(1;2),N '(3;5)    

Đường  thẳng  AB  đi  qua  M,N’  có  phương  trình  là   x −2y+7= 0  

Đường  thẳng  AC  đi  qua  điểm  N,M’  có  phương  trình  là   x +2y−5= 0  

Toạ  độ  điểm  A  là  nghiệm  của  hệ  phương  trình  

Vậy  toạ  độ  điểm  cần  tìm  là   B(5;6),C(7;−1)    

Nhận   xét:   Đề   bài   thầy   chỉ   yêu   cầu   các   em   cần   vận   dụng   tính   chất   đối   xứng   của   điểm   qua  

đường  phân  giác  trong  của  tam  giác    

Câu  8  (1,0  điểm).  Giải  hệ  phương  trình  

ab + bc + ca + 5  

Vì  ba  biến  đối  xứng  nên  không  mất  tính  tổng  quát  giả  sử   a = max a,b,c{ }⇒ a ∈ 1;2⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥  

Khi  đó      

a3+ b3+ c3≤ a3+ (b + c)3= a3+ (3−a)3= 9(a −2)(a −1) + 9 ≤ 9;  

và   11−a2−b2−c2=11−(a + b + c)2+ 2(ab + bc + ca) = 2(ab + bc + ca +1)  

Đẳng  thức  xảy  ra  khi   a = 2;b =1;c = 0hoặc  các  hoán  vị  

Vậy  giá  trị  nhỏ  nhất  của  P  bằng  -­‐‑20/21  

Chú  ý  Nút  thắt  của  bài  toán  là  đánh  giá   a3+ b3+ c3≤ 9;ab + bc + ca ≥ 2  Nhiều  học  sinh  mắc  sai  lầm  khi  chỉ  ra  f(t)  đạt  min  tại  t=1  Bởi  vì  khi  đó  dấu  bằng  không  xảy  ra  

Cho  a,b,c  là  các  số  thực  thoả  mãn   a,b,c∈ 0;2⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥,a + b + c = 3    

1) Tìm  giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức  

P=

211−a2−b2−c2+ab + bc + ca

a3+ b3+ c3      

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn

2) Tìm  giá  trị  lớn  nhất  của  biểu  thức  

P=

a2+ b2+ c2

ab + bc + ca  3) Tìm  giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức  

P=

2(18−a4−b4−c4)11−a2−b2−c2 − a3+ b3+ c3

ab + bc + ca +7      4) Cho   a,b,c   là   các   số   thực   thoả   mãn   a,b,c∈ 0;2⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥;a + b + c = 3   Tìm   giá   trị   nhỏ   nhất   của   biểu  thức  

P=

211−a2−b2−c2− a3+ b3+ c3

  a3+ b3+ c3≤ a3+ (b + c)3= a3+ (3−a)3= 9(a −2)(a −1) + 9 ≤ 9;  

và   11−a2−b2−c2=11−(a + b + c)2+ 2(ab + bc + ca) = 2(ab + bc + ca +1)  

Môn:)Toán;)ĐỀ)SỐ)03/50)

Ngày)thi):)29/01/2015) Thời)gian)làm)bài:)180)phút,)không)kể)thời)gian)giao)đề) Liên)hệ)đăng)ký)khoá)học)–)Hotline:)0976)266)202))

Câu)1)(2,0)điểm).)Cho!hàm!số! y = x4−2x2+1 (1).!

1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!Tìm!m!để!phương!trình! x4−2x2= mcó!bốn!nghiệm!phân!biệt.!!

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn

⎟(cos2x−sin2x) = 2(cos x −sin x)

⇔ (cos x −sin x) 2−(cos x + sin x)sin 2x − π

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn

Giả!sử! C(a;b;7−a−b)∈(P) là!một!điểm!thuộc!d.!

Vì! CA=CB ⇔ (a−3)2+ (b −3)2+ (6−a −b)2= a2+ (b −2)2+ (6−a −b)2.!

7 !

Dấu!bằng!xảy!ra!khi!và!chỉ!khit=17⇒ M⎛17;47;17

⎜⎜ ⎞⎟⎟⎟

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn

72GE! "!!.GF! "!! = (3BA! "! + BD! "!!)(5BA! "! −4BD! "!!)

=15BA2−7BA.BD −4BD2=15a2−7a2−8a2= 0.!!!Vì!vậy!GF!vuông!góc!với!GE.!

Toạ!độ!điểm!G!là!hình!chiếu!của!F!trên!GE!thoả!mãn!hệ!

11x −7y + 6 = 0

7 x+136

y=13

BG2=2a2

9 =809

a+13

Suy!ra! (a+b)8≥ 64a2b2(a2+ b2)2≥ 64a2b2(a2+ b2).2ab =128a3b3(a2+ b2).!

Bất!đẳng!thức!đúng,!đẳng!thức!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi! a = b !

Tương!tự!ta!có:!

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn

Khoá  giải  đề  THPT  Quốc  Gia  –  Thầy:  Đặng  Thành  Nam  

Môn:  Toán;  ĐỀ  SỐ  04/50  Ngày  thi  :  01/02/2015   Thời  gian  làm  bài:  180  phút,  không  kể  thời  gian  giao  đề   Liên  hệ  đăng  ký  khoá  học  –  Hotline:  0976  266  202    

1 Khảo  sát  sự  biến  thiên  và  vẽ  đồ  thị  hàm  số  (1)  với   m = 2  

2 Tìm  m  để  đường  thẳng   y = 2x −1cắt  (1)  tại  hai  điểm  phân  biệt  A,B  sao  cho  tam  giác  OAB  

có  diện  tích  bằng   3    (với  O  là  gốc  toạ  độ)  

Câu  2  (1,0  điểm)  

1 Giải  bất  phương  trình   log2x−logx64<1    

2 Giải  phương  trình   cos4x +2cosx −3= 2sin2x(cosx −sinx −1)  

Câu  3  (1,0  điểm).  Tính  tích  phân  

1 Tìm  nghiệm  phức  của  phương  trình   z2−i.z =1  

2 Một  hộp  đựng  10  chiếc  thẻ  được  đánh  số  từ  0  đến  9  Lấy  ngẫu  nhiên  ra  3  chiếc  thẻ,  tính  xác  để  3  chữ  số  trên  3  thẻ  được  lấy  ra  có  thể  ghép  thành  một  số  chia  hết  cho  5        

Câu  5  (1,0  điểm).  Cho  hình  chóp  S.ABCD  có  đáy  ABCD  là  hình  vuông  cạnh  2a  Gọi  M,N  lần  

lượt  là  trung  điểm  cạnh  AB,AD,  H  là  giao  điểm  của  CN  và  DM  Biết   SH = 3a và  vuông  góc  

với  mặt  đáy  (ABCD)  Tính  theo  a  thể  tích  khối  chóp  S.CMAD  và  khoảng  cách  giữa  hai  đường  thẳng  MD  và  SC      

Câu  6  (1,0  điểm)  Trong  không  gian  với  trục  toạ  độ  Oxyz  cho  hai  điểm  A(0;2;1),  B(2;2;0)  và  

mặt  cầu   (S): x2+ y2+ z2−2y + 2z −2 = 0  Viết  phương  trình  mặt  phẳng  (P)  đi  qua  A,B  và  tiếp  xúc  với  (S)    

Câu  7  (1,0  điểm)  Trong  mặt  phẳng  với  trục  toạ  độ  Oxy  cho  tam  giác  ABC  có  phương  trình  

đường  phân  giác  trong  góc  kẻ  từ  A  và  đường  cao  kẻ  từ  B  lần  lượt  là   3x + y = 0;x − y−2= 0   Giả  sử  điểm   E(6;4)là  điểm  đối  xứng  của  B  qua  C  Tìm  toạ  độ  các  đỉnh  tam  giác  ABC  

Câu  8  (1,0  điểm)  Giải  bất  phương  trình   (3+ 7x −63 )(4+ 7−3x ) ≤−x2+ 4x + 21    

Câu  9  (1,0  điểm).  Cho  x,y,z  là  các  số  thực  dương  thoả  mãn   x2y2+ y2z2+ z2x2= 3  Tìm  giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức  

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn

PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

  Câu  1  (2,0  điểm)  Cho  hàm  số  

y=

1 Khảo  sát  sự  biến  thiên  và  vẽ  đồ  thị  hàm  số  (1)  với   m = 2  

2 Tìm  m  để  đường  thẳng   y = 2x −1cắt  (1)  tại  hai  điểm  phân  biệt  A,B  sao  cho  tam  giác  OAB  

có  diện  tích  bằng   3    (với  O  là  gốc  toạ  độ)  

1 Giải  bất  phương  trình   log2x−logx64<1    

2 Giải  phương  trình   cos4x +2cosx −3= 2sin2x(cosx −sinx −1)  

2 Phương  trình  tương  đương  với:  

Coi  đây  là  phương  trình  bâc  hai  của  sin2x  ta  có  

  Δsin 2x = (cos x −sin x −1)2−4(1−cos x) = −(sin x + cos x −1)2≤ 0  

Vì  vậy  

(1)⇔ sin x

+ cos x −1= 0 sin 2x= −cos x −sin x −1

Vậy  phương  trình  có  nghiệm   x = k2π,k ∈!        

Cách  2:  Ta  có  thể  đánh  giá  phương  trình  như  sau:  

cos4x + 2cos x −3 = 2sin 2x(cos x −sin x −1)

−2sin22x + 2cos x −2 = 2sin 2x cos x −2sin 2x(sin x +1)

⇔ sin22x + 2sin 2x cos x + sin22x −2sin 2x(sin x +1) = 2cos x −2

⇔ (sin 2x + cos x)2+ (sin 2x −sin x −1)2= 2cos x −2+ cos2x + (sin x +1)2

⇔ (sin 2x + cos x)2+ (sin x +1−sin 2x)2= 2(sin x + cos x)

Sử  dụng  bất  đẳng  thức  Cauchy  –  Schwarz  ta  có:  

(sin 2x + cos x)2+ (sin x +1−sin 2x)2≥1

2⎡⎣⎢sin 2x + cos x + sin x +1−sin 2x⎤⎦⎥2

2(sin x + cos x +1)2

≥ 2(sin x + cos x)

 Đẳng  thức  xảy  ra  khi  và  chỉ  khi    

sin x + cos x =1 sin 2x + cos x = sin x +1−sin 2x

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn

2 Một  hộp  đựng  10  chiếc  thẻ  được  đánh  số  từ  0  đến  9  Lấy  ngẫu  nhiên  ra  3  chiếc  thẻ,  tính  xác  để  3  chữ  số  trên  3  thẻ  được  lấy  ra  có  thể  ghép  thành  một  số  chia  hết  cho  5        

+)  Số  cách  lấy  ra  3  thẻ  không  gồm  thẻ  mang  chữ  số  0  và  5  là   C83  

+)  Số  cách  lấy  ra  3  thẻ  gồm  có  thẻ  mang  chữ  số  0  hoặc  mang  chữ  số  5  là   C103 −C83  

Câu  5  (1,0  điểm).  Cho  hình  chóp  S.ABCD  có  đáy  ABCD  là  hình  vuông  cạnh  2a  Gọi  M,N  lần  

lượt  là  trung  điểm  cạnh  AB,AD,  H  là  giao  điểm  của  CN  và  DM  Biết   SH = 3a và  vuông  góc  

với  mặt  đáy  (ABCD)  Tính  theo  a  thể  tích  khối  chóp  S.CMAD  và  khoảng  cách  giữa  hai  đường  thẳng  MD  và  SC      

Vì  vậy  

d(DM ;SC ) = d(DM ;(SCE)) = d(H ;(SCE))    

Tam  giác  vuông  SHC  có  

Câu  6  (1,0  điểm)  Trong  không  gian  với  trục  toạ  độ  Oxyz  cho  hai  điểm  A(0;2;1),  B(2;2;0)  và  

mặt  cầu   (S): x2+ y2+ z2−2y + 2z −2 = 0  Viết  phương  trình  mặt  phẳng  (P)  đi  qua  A,B  và  tiếp  xúc  với  (S)    

Mặt  cầu  (S)  có  tâm  I(0;1;-­‐‑1),  bán  kính  bằng  2  

Mặt  phẳng  (P)  đi  qua  A,  B  có  dạng:   ax +b(y−2)+c(z −1) = 0,a2+ b2+ c2> 0  

Vì  B  thuộc  (P)  nên   2a−c = 0 ⇔ c = 2a ⇒(P):ax +b(y−2)+2a(z −1) = 0  

Vì  (S)  tiếp  xúc  với  (P)  nên    

Câu  7  (1,0  điểm)  Trong  mặt  phẳng  toạ  độ  Oxy  cho  tam  giác  ABC  có  phương  trình  đường  

phân  giác  trong  góc  kẻ  từ  A  và  đường  cao  kẻ  từ  B  lần  lượt  là   3x + y = 0;x − y−2= 0  Giả  sử   điểm   E(6;4)là  điểm  đối  xứng  của  B  qua  C  Tìm  toạ  độ  các  đỉnh  tam  giác  ABC  

Giả  sử  đường  phân  giác  trong  AD;  đường  cao  BH  

7x − y −6t −2 = 0 3x + y = 0

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn

Vậy  toạ  độ  ba  đỉnh  tam  giác  ABC  là   A(−1;3),B(−2;−4),C(2;0)      

Câu  8  (1,0  điểm)  Giải  bất  phương  trình   (3+ 7x −63 )(4+ 7−3x ) ≤−x2+ 4x + 21    

Điều  kiện:  

x≤

7

3  Đặt  

33

Kết  hợp  với  điều  kiện  suy  ra  tập  nghiệm  của  bất  phương  trình  là  

Chú  ý  Trong  trường  hợp  có  hai  căn  thức  có  bậc  khác  nhau  ta  ưu  tiên  phép  đặt  ẩn  phụ  một  ẩn  

(Xem  chi  tiết  Video  lời  giải  hoặc  Bài  giảng  chuyên  đề  Phương  trình  –  bất  phương  trình  vô  tỷ  trên  www.mcalss.vn  )  

Câu  hỏi  đặt  ra  là  tại  sao  ghép  (t^2-­‐‑7)  với  căn  thức  bậc  3?  

Rất  đơn  giản:  Dùng  máy  tính  bỏ  túi  tìm  được  3  nghiệm  của  phương  trình  là  1,2,4  do  vậy  biểu  

thức  ngoài  căn  ta  cần  có   (t −1)(t −2)(t −4) = t3−7t2+14t −8  Do  vậy  so  sánh  với  

x + y + z +1;96z2

Thật  vậy  không  mất  tính  tổng  quát  giả  sử   x ≥ y ≥ z ⇒1≤ xy ≤ 3  

Theo  giả  thiết  ta  có:  

Từ  đó  suy  ra   P ≥ f (t)≥ f (3) = 23  Dấu  bằng  xảy  ra  khi  và  chỉ  khi   x = y = z =1  

Vậy  giá  trị  nhỏ  nhất  của  P  bằng  23  

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!

Khoá)giải)đề)THPT)Quốc)Gia)–)Thầy:)Đặng)Thành)Nam)

Môn:)Toán;)ĐỀ)SỐ)05/50)

Ngày)thi):)04/02/2015) Thời)gian)làm)bài:)180)phút,)không)kể)thời)gian)giao)đề) Liên)hệ)đăng)ký)khoá)học)–)Hotline:)0976)266)202)

Câu)5)(1,0)điểm).!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!thoi!cạnh!2a,!

BAD! = 600,SA = a.!Tam!giác!SAB!vuông!tại!S!và!nằm!trong!mặt!phẳng!vuông!góc!với!mặt!đáy!(ABCD).!Gọi!M,N!lần!lượt!là!trung!điểm!cạnh!AB,BC.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.CDN!và!côsin!góc!giữa!hai!đường!thẳng!SM!và!DN.!

Câu)8)(1,0)điểm).!Giải!hệ!phương!trình!

(x − y)2= 2y2+ 8x +1 (x −2y)(x − y)2= ( y +1)2−2x

)PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

cos2x −sin x = 3 cos x + 2sin x cos x( )

⇔ cos2x − 3 sin 2x = sin x + 3 cos x

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!

a) Giả!sử! z = x + y.i(x,y ∈!)theo!giả!thiết!ta!có:!

!

(2+ 3i)(x + yi + 2(x − yi)) = 2+7(x + yi)

⇔ (2+ 3i)(3x − yi) = 7x + 2+7yi

Do!đó!w!là!số!thực!với!mọi!n!tự!nhiên!(đpcm).!

b) Thí!sinh!vượt!qua!bài!thi!riêng!nếu!đạt!8,0!điểm!hoặc!9,0!điểm!hoặc!10,0!điểm!trong!đó!hoàn!thành!ít!nhất!một!câu!hỏi!khó.!

+)!Thí!sinh!đạt!8,0!điểm!có!các!khả!năng:!

 Hoàn!thành!2!câu!hỏi!khó,!bỏ!một!câu!hỏi!dễ!loại!2,0!điểm!có!1.1.1=1!cách.!

 Hoàn!thành!2!câu!hỏi!khó,!bỏ!2!câu!hỏi!trung!bình!khá!có! 1.1.C42= 6cách.!!

 Hoàn!thành!2!câu!hỏi!khó,!bỏ!1!câu!hỏi!dễ!loại!1,0!điểm!và!1!câu!hỏi!trung!bình!khá!loại!1,0!điểm!có! 1.C21.C41= 8cách.!

!

Kẻ!SH!vuông!góc!với!AB!tại!AB,!do!mặt!phẳng!(SAB)!vuông!góc!với!mặt!phẳng!(ABCD)!nên!

a 3 4a =

Suy!ra!!

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!

Đường!thẳng AD :a(x +3)+b(y−1) = 0(a2+ b2> 0).!

y=543481

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!+)!Với!

x2=t+ 23