BÀI TOÁN THỰC TẾ Bài toán 1: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài d gấp hai lần chiều rộng r và k
Trang 1BÀI TOÁN THỰC TẾ
Bài toán 1: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ nước bằng gạch và xi măng có dạng
hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài d gấp hai lần chiều rộng r và
không nắp, có chiều cao là h và có thể tích 4 3
3m Hãy tính kích thước của hồ nước
sao cho chi phí xây dựng thấp nhất
Bài giải :
Gọi x là chiều rộng đáy x 0;
Ta có chiều dài đáy là 2 x
3
22
3
h
x
Diện tích vật liệu làm khối hộp là S Sđ S xq 2 x x 6 x h 2 4
2
S x x
x
2
x với x 0;
4
x
Cho S x' 0 x 1
2x
x h
Trang 2Bảng biến thiên
X 0 1 +
S’(x) – 0 +
S(x) + +
6
Từ bảng biến thiên suy ra minS 6 khi x 1 Vậy: Để chi phí thấp nhất thì hồ nước cần làm có kích thước là đáy có chiều rộng là 1m, chiều dài là 2 ,m chiều cao của khối hộp là2 3m Bài toán 2: Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe honda Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là 27 (triệu đồng) và bán với giá 31 (triệu đồng) mỗi chiếc Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 (triệu đồng) mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất?
Bài giải: Gọi x ( x > 0, đơn vị: triệu đồng) là giá bán mới Khi đó: - Số tiền đã giảm là 31 x - Số lượng xe tăng lên là 200(31 x) Vậy tổng số sản phẩm bán được là 600 + 200(31 x) = 6800 – 200x Doanh thu mà doanh nghiệp sẽ đạt được là (6800 – 200x)x Tiền vốn mà doanh nghiệp phải bỏ ra là (6800 – 200x).27 Lợi nhuận mà công ty đạt được sẽ là: L(x) = Doanh thu – Tiền vốn = (6800 – 200x).x – (6800 – 200x).27 = –200x2 + 12200x – 183600 L’(x) = 400x12200 L’(x) = 0 x 30,5 BBT: X 0 30,5 +
L’(x) + 0 –
L(x) 2450
Dựa vào BBT ta thấy lợi nhuật lớn nhất khi x = 30,5
Vậy giá bán mới là 30,5 (triệu đồng)
Trang 3Bài toán 3: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng : Nếu trên mỗi
đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n)
= 480 – 20n (gam) Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ?
Hướng dẫn giải:
Gọi n là số con cá trên một đơn vị diện tích hồ ( n > 0) Khi đó :
- Cân nặng của một con cá là : P(n) = 480 – 20n
- Cân nặng của n con cá là : n.P(n) = 480n – 20n2
Xét hàm số : f(n) = 480n – 20n2
trên (0 ;+)
Ta có : f’(n) = 480 – 40n
f’(n) = 0 n 12
BBT :
n 0 12 +
f’(n) + 0 -
f(n) 2880
Dựa vào BBT ta thấy số cá phải thả trên một đơn vị diện tích hồ để có thu hoạch nhiều nhất
là 12 con
Bài toán 4: Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm cho bởi công thức :
( ) 2290, 4
0,36 13, 2 264
v
f v
Trong đó, v (km/h) là vận tốc trung bình của các xe khi vào đường hầm Tính vận tốc trung
bình của các xe khi vào đường hầm sao cho lưu lượng xe là lớn nhất và tính giá trị lớn nhất
đó
Hướng dẫn giải:
Xét hàm ( ) 2290, 4
0,36 13, 2 264
v
f v
với v > 0
Ta có:
2
0,36 264 '( ) 290, 4.
(0,36 13, 2 264)
v
f v
f’(v) = 0 264
0, 6
v
BBT:
v
0 264
0, 6 +
f’(v) + 0 -
f(v) 8,9
Dựa vào BBT, ta thấy vận tốc để lưu lượng xe vào đường hầm lớn nhất là 264
0, 6
và lưu lượng xe khi đó là 8,9 (xe/giây)
Trang 4Bài toán 5: Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn chứa dầu hình trụ bằng tôn có thể
tích 16 (m3) Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra ít tốn nguyên
vật liệu nhất
Hướng dẫn giải :
Gọi x (m) là bán kính đáy của hình trụ ( x > 0)
Ta có: V = 2
2
16
x h h
r
Diện tích toàn phần của hình trụ là: S(x) = 2 2 32
2 x 2 x h 2 x
x
Khi đó: S’(x) = 4 x 322
x
S’(x) = 0 x 2
BBT:
x 0 2 +
S’(x) - 0 +
S(x)
24 Dựa vào BBT, ta thấy diện tích đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 2 (m) nghĩa là bán kính là 2(m)
Bài toán 6: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm Chi phí gởi trong kho là 10$
một cái mỗi năm Để đặt hàng chi phí cố định là 20$ cộng thêm 9$ mỗi cái Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất?
Gợi ý:
- Phân tích bài
Gọi x là số ti vi mà cửa hàng đặt mỗi lần ( x1; 2500, đơn vị: cái )
Số lượng ti vi trung bình gởi trong kho là
2
x
nên chi phí lưu kho tương ứng là 10
2
x
= 5x
Số lần đặt hàng mỗi năm là 2500
x và chi phí đặt hàng là : 2500
x (20 + 9.x)
Khi đó: chi phí mà cửa hàng phải trả là:
Trang 5C(x) = 2500
x (20 + 9.x) + 5x = 5x + 50000
x + 22500
C’(x) = 5 - 500002
x ; C’(x) = 0 x 100
- Lập bảng biến thiên và kết luận: đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái ti vi
Bài toán 7: Một xí nghiệp có thề dùng ba loại nguyên liệu A; B; C để sản xuất ra một loại sản phẩm
theo hai công nghệ khác nhau là CN1 và CN2 Cho biết tổng khối lượng nguyên liệu mỗi mỗi loại xí nghiệp hiện có, định mức tiêu thụ mỗi loại nguyên liệu trong một giờ sản xuất theo mỗi công nghệ trong bảng
Nguyên liệu Tổng khối lượng hiện
có
Định mức tiêu thụ trong 1 giờ
Tìm kế hoạch sản xuất sao cho tổng số sản phẩm thu được nhiều nhất
Hướng dẫn giải
Gọi x, y lần lượt là thời gian ( giờ) sẽ sản xuất theo công nghệ CN1; CN2
x0;y0 Tổng khối lượng nguyên liệu mỗi loại sẽ sử dụng để sản xuất là
A: 4x + 3y (đơn vị nguyên liệu)
B: 3x + 5y (đơn vị nguyên liệu)
C: 9x + 5y (đơn vị nguyên liệu)
Để không bị động trong sản xuất thì tổng khối lượng nguyên liệu mỗi loại sẽ sử dụng để sản xuất không thể vượt quá tổng khối lượng nguyên liệu mỗi loại xí nghiệp hiện có nên ta có điều
kiện:
4 3 200
3 5 280
9 5 350
0; 0
x y
x y
x y
x y
Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị lớn nhất của hàm F = 30x + 35y
Trang 6Xác định miền nghiệm
Ta có miền nghiệm là tứ giác OABC kể cả cạnh Với O(0;0) suy ra F = 0
Với 350; 0
9
A
suy ra
3500 3
F Với 35; 49
3
B
suy ra F 2065
Với 0;280
5
C
suy ra F = 1960 Vậy sản xuất theo phương án :
35
3 giờ theo công nghệ CN1 và 49 giờ theo công nghệ CN2 thì tổng số sản phẩm thu được là nhiều nhất F = 2065
Bài toán 8
Một nhà máy dùng hai loại nguyên liệu là khoai mì và ngô để chế biến ít nhất
140 kg thức ăn cho gà và 90 kg thức ăn cho cá Từ mỗi tấn khoai mì giá 4 triệu đồng, có thể chế biến được 20 kg thức ăn cho gà và 6 kg thức ăn cho cá Từ mỗi tấn ngô giá 3 triệu đồng, có thể chế biến được 10 kg thức ăn cho gà và 15 kg thức ăn cho cá Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí nguyên liệu là ít nhất biết rằng kho nguyên liệu của nhà máy còn lại 10 tấn khoai
mì và 9 tấn ngô
Hướng dẫn giải
Gọi x y, (tấn) lần lượt là khối lượng khoai mì và ngô được sử dụng
Ta có chi phí nguyên liệu là T x y , 4x 3y
Theo các giả thiết trên ta có hệ bất phương trình
Vẽ đồ thị biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình trên
Khi đó ta được T x y , min 32T 5, 4
Vậy để chi phí là thấp nhất thì nhà máy nên sử dụng 5 tấn khoai mì và 4 tấn ngô
Trang 7Bài toán 9: Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định một trạm trung
chuyển hàng hóa C và xây dựng một con đường từ C đến D Biết rằng vận tốc trên đường sắt là v1 và trên đường bộ là v2 (v1 < v2) Hãy xác định phương án
chọn địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D là ngắn
nhất?
Hướng dẫn giải
Gọi t là thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D
Thời gian t là:
tan sin
.cot
sin
l
t
Xét hàm số
.cot
i
(
s n )
dụng Đạo hàm ta được t( ) nhỏ nhất khi 2
1
cos v
v
Vậy để t nhỏ nhất ta chọn C sao
1
cos v
v
Bài toán 10 Một nhà sản xuất sơn tường cần thiết kế một thùng đựng sơn dạng
hình trụ có nắp đậy và có dung tích 10000 cm3 Hãy xác định các kích thước của hình trụ để nhà sản xuất tiết kiệm vật liệu nhất
Hướng dẫn giải
Gọi x cm là bán kính của hình trụ ĐK: x0
Thể tích của hình trụ là: V x h2 h V2 100002
Diện tích toàn phần của hình trụ:
Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 xh 2 x2 2 x.100002 2 x2 20000 2 x2
Nhà sản xuất tiết kiệm vật liệu nhất Diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ
B
D
E
h
Trang 8nhất
Xét hàm số 20000 2
2
BBT:
Dựa vào BBT, Stp nhỏ nhất khi 3 5
10
x
3 2 3
100 100
25 5
h
(cm)
Nhà sản xuất tiết kiệm vật liệu nhất khi thùng sơn hình trụ có bán kính đáy là
3 5
10
x
và chiều cao
3
100 25
h
Bài toán 11 Một công ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi
hàng hoá (1 sản phẩm mới của công ty) cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng Nơi thuê chỉ có hai loại xe A và B Trong đó xe loại A có 10chiếc, xe loại
B có 9 chiếc Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu, loại B giá 3 triệu Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp nhất Biết rằng xe
A chỉ chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng; xe B chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng
Hướng dẫn giải
Gọi x, y lần lượt là số xe loại A và loại B cần phải thuê *
,
x y
Số tiền thuê xe là T 4x3y (triệu đồng)
x
f’(x)
f(x)
5
10
-
2000 200 5
Trang 9Khi đó ta được hệ phương trình:
x y
Giải hệ phương trình trên, ta tìm được miền nghiệm là tứ giác ABCD (như hình
;9 , 10;9 , 2
A B
C10; 2 , D 5; 4
T đạt giá trị thấp nhất tại các đỉnh của ABCD
Vậy cần thuê 5 xe loại A và 4 xe loại B
Bài 12:Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người
nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là: f(t) = 45t2 – t3 (t = 0, 1, 2, , 25) Nếu coi f là hàm số xác định trên đoạn [0; 25] thì f’(t)
được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t Xác định ngày mà
tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đó
Hướng dẫn giải
Bài 13: / Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4m được đặt ở độ cao 1,8m so với
tầm mắt (tính đến mép dưới của màn ảnh) Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất Hãy xác định vị trí đó
Bài 14: Trong một xưởng cơ khí chỉ có những thanh sắt cùng kích cỡ dài 7,4
mét Người chủ muốn các thợ của mình cắt mỗi thanh sắt thành các đoạn 0,7 mét
và 0,5 mét để tiện cho việc sử dụng Công việc cần 1000 đoạn 0,7 mét và 2000 đoạn 0,5 mét Hãy trình bày phương án cắt các thanh sắt trên sao cho tiết kiệm vật liệu nhất
Bài 15: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 5km
Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7km Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến một điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km/h Xác định vị trí của M để người canh hải đăng đến kho
nhanh nhất
