BỘ CÂU HỎI 9 ĐIỂM THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Suy ra ph ng trình vô nghi m.

B CÂU H I PH N 1

3x log x 2x 3 9x m log 2 x m 2

2 8 2







Câu 4 Trong m t x ng c khí có nh ng thanh s t dài 7, 4m Do đ n đ t hàng c a khách, x ng c n cung c p 1000

đo n 0,7m và 2000 đo n 0,5m Ng i ch yêu c u các th c a mình c t m i thanh s t 7, 4m thành các đo n dài 0,7m

và 0,5m đ đ m b o s l ng cho đ n đ t hàng, đ ng th i đ a ra h ng d n cho th dùng ít nh t s thanh s t 7, 4m Theo b n s thanh s t 7, 4m mà x ng đã dùng cho đ n đ t hàng trên là bao nhiêu ? và c t nh th nào ? (các thanh

s t không đ c n i l i v i nhau)

Câu 5 Khi ch i trò ch i con súc s c có hai cách ch i nh sau:

Cách 1: Gieo đ ng th i 1 l n 4 con súc s c, n u xu t hi n m t m t 6 ch m là th ng

Cách 2: Gieo 24 l n 2 con súc s c, n u l n gieo nào c 2 con súc s c đ u xu t hi n 6 ch m thì th ng

V y n u b n là ng i ch i b n s ch n cách nào ?

Câu 6 Trong m t cu c thi v “b a n dinh d ng”cho các gia đình Ban t ch c yêu c u đ đ m b o l ng dinh

d ng thì m i gia đình c n ít nh t 900 đ n v Protein và 400 đ n v Lipit trong th c n hàng ngày Bi t 1 kg th t bò

ch a 800 đ n v Protein và 200 đ n v Lipit, còn 1 kg th t l n ch a 600 đ n v Protein và 400 đ n v Lipit M i gia đình ch đ c mua t i đa 1,6 kg th t bò và 1,1 kg th t l n Giá 1 kg th t bò là 100.000 VND và 1 kg th t l n giá 70.000 VND K t thúc cu c thi đã có m t gia đình giành gi i nh t khi kh u ph n th c n cho m t ngày đ m b o ch t dinh

d ng và chi phí b ra là ít nh t có th H i gia đình đó đã mua s kg th t bò, th t l n là bao nhiêu ?





2

1

x

Câu 9 Gi i h ph ng trình

2

2

1

1

xy y

y y











x y,  





m

1

2

2

z y

PH N 1

Giáo viên: Nguy n Thanh Tùng

Câu 11 Gi i h ph ng trình 3  







( ,x y )







(x y,  )







( ,x y )

Câu 1.Tìm đ ph ng trình sau có b n nghi m th c phân bi t: 2    

3x log x 2x 3 9x m log 2 x m 2

Gi i

3x x log x 2x 3 3 x m log 2 x m  2

2 2 3  2  2 2  

3x x log x 2x 3 3 x m .log 2 x m 2

Xét hàm đ c tr ng f t( )3 logt 3t v i t 2

Ta có: '( ) 3 ln 3.log3 3 0

.ln 3

t t

t

   v i    t 2 f t( ) đ ng bi n v i   t 2

2 2

2



+) Ph ng trình (1) có hai nghi m phân bi t khi và ch khi

+) Ph ng trình (2) có hai nghi m phân bi t khi và ch khi

+) G i là nghi m chung c a (1) và (2) khi đó ta có:

V y đ ph ng trình (*) có b n nghi m th c phân bi t thì ph ng trình (1) và (2) đ u có hai nghi m phân bi t trong

đó (1) và (2) không có nghi m chung

m

1

2

3

2

0

x

2

0

0

1

x

1 2

3 3

2 2

1 1

m

m m

m m

  



   

 





Câu 2.Cho , tìm t t c b ba s th c sao cho th a mãn ph ng trình :

Gi i

Suy ra

D u đ ng th c x y ra khi và ch khi ho c

Câu 3 Tìm s nghi m th c c a h ph ng trình sau:  4 6  4 6 2 3

2 8 2







Gi i

i u ki n: 2

0

x y 

Bi n đ i :  4 6  4 6  2 3 2 2 32  2 3 2 2 32

2 x y  3 2x y  x y  x y  2x y 2 x y

 2 32  2 32 2 3 2 3 2 3 2 3

D u “=” x y ra khi x2  , khi đóy3 (1)x2  y3

t x   , khi đó ph ng trình t3 y t2 (2) có d ng: t4  t3 t 2016 0 (3)

Xét hàm s

4 3

4 3

4 3

f t t t t





+) Khi t , ta có: 0 3 2

'( ) 4 3 1 0

f t  t  t   (*)

+) Khi t , ta có: 0 3 2

'( ) 4 3 1

f t  t  t  ; 2

''( ) 12 6

0

2

t

t







  



1

2

2

z y

4

x y  z x y   x y  xy xy

x y xyzxy x y z  xy

z y

log (a xy) 2 0

2

y xy

z xy













2 1 2 1 1 4

a x y z

 



  





 











Suy ra f t'( )0,   t 0 (2*) T (*) và (2*) ta có b ng bi n thiên:

T b ng bi n thiên, suy ra ph ng trình f t( )0 có 2 nghi m trái d u

Vì ng v i m i giá tr t , cho ta duy nh t m t b ( ; )x y

Do đó h ph ng trình đã cho có đúng 2 nghi m

Câu 4.Trong m t x ng c khí có nh ng thanh s t dài 7, 4m Do đ n đ t hàng c a khách, x ng c n cung c p 1000

đo n 0,7m và 2000 đo n 0,5m Ng i ch yêu c u các th c a mình c t m i thanh s t 7, 4m thành các đo n dài 0,7m

và 0,5m đ đ m b o s l ng cho đ n đ t hàng, đ ng th i đ a ra h ng d n cho th dùng ít nh t s thanh s t 7, 4m Theo b n s thanh s t 7, 4m mà x ng đã dùng cho đ n đ t hàng trên là bao nhiêu ? và c t nh th nào ? (các thanh

s t không đ c n i l i v i nhau)

Nh n xét

Nh v y yêu c u bài toán là ph i c t đ s đo n và ph i dùng s thanh 7, 4m ít nh t Do v y ta c n tìm cách c t theo yêu c u và ch n cách c t ti t ki m nh t

Gi i

Mu n ti t ki m v t li u thì ta ph i c t m i thanh 7, 4m thành x đo n 0,7m và y đo n 0,5m không d *

( ,x y ) Ngha là ta có ph ng trình : 0, 7x0, 5y7, 47x5y74 15 2 1

5

x

(2 1) 5

y  x  (1)

M t khác: 747x5y7x  0 x 10 (x thì 0 *

y ), suy ra 1 2 x 1 21 (2)

Do 2x là s l và k t h p (1), (2), suy ra 1  

2 12

7 5

x y x

x y

 







 





V y ta có hai cách c t m t thanh 7, 4m ti t ki m là :

c t thành 2 đo n 0,7m và 12 đo n 0,5m (ki u I) ho c thành 7 đo n 0,7m và 5 đo n 0,5m (ki u II)

G i a b, l n l t là s thanh đã c t theo ki u I và ki u II Khi đó:

+) S đo n 0,7m là: 2a7b

+) S đo n 0,5m là: 12a5b



Khi đó ta c t đ c 2a7b998 đo n 0,7m và 12a5b1992 đo n 0,5m

V y ta ch c n c t thêm 1 thanh 7,4m theo ki u I s đ m b o đ c đ n đ t hàng

Suy ra đã dùng t t c : 121 108 1 230   thanh 7, 4m Ta s ch ra đây là cách ti t ki m nh t Th t v y:

T ng đ dài c a 1000 đo n 0,7m và 2000 đo n 0,5m là: 0, 7.1000 0, 5.2000 1700

Ta có 1700 : 7, 4229, 73, ngha là ph i dùng ít nh t 230 thanh 7, 4m

Tóm l i ta c n cách 122 thanh 7,4m theo ki u I (c t thành 2 đo n 0,7m và 12 đo n 0,5m)

và 108 thanh 7,4m theo ki u II (c t thành 7 đo n 0,7m và 5 đo n 0,5m)

Câu 5.Khi ch i trò ch i con súc s c có hai cách ch i nh sau:

Cách 1: Gieo đ ng th i 1 l n 4 con súc s c, n u xu t hi n m t m t 6 ch m là th ng

Cách 2: Gieo 24 l n 2 con súc s c, n u l n gieo nào c 2 con súc s c đ u xu t hi n 6 ch m thì th ng

V y n u b n là ng i ch i b n s ch n cách nào ?

Nh n xét

Nhìn vào bài toán khó có th xác đ nh cách nào s th ng d h n Do v y ta c n ngh đ n vi c so sánh xác su t đ

th ng theo cách 1 và cách 2

Gi i

i v i cách 1:

G i A là bi n c 1 “ đ c ít nh t m t m t 6 ch m” trong phép th “ giao đ ng th i 1 l n 4 con súc s c”

Khi đó A là bi n c 1 “ không đ c m t 6 ch m” trong phép th “ giao đ ng th i 1 l n 4 con súc s c”

1 1

1

( ) 5.5.5.5 5 ( ) 6.6.6.6 6

n A

P A

n

 

      

V y xác su t đ th ng theo cách 1 là:   4

5

6

 

i v i cách 2:

G i A là bi n c “ít nh t m t l n xu t hi n 2 m t 6 ch m” trong phép th “ gieo 24 l2 n đ ng 2 con súc s c” Khi đó A là bi n c “không l n nào xu t hi n 2 m t 6 ch m” trong phép th “ gieo 24 l2 n đ ng 2 con súc s c”

2 2

2

( ) 35.35 35 35 ( ) 36.36 36.36 36

n A

P A

n

 

 

V y xác su t đ th ng theo cách 2 là:   24

35

36

Nh v y P A( 1)P A( 2) V y ta nên ch i theo cách 1

Câu 6 Trong m t cu c thi v “b a n dinh d ng”cho các gia đình Ban t ch c yêu c u đ đ m b o l ng dinh

d ng thì m i gia đình c n ít nh t 900 đ n v Protein và 400 đ n v Lipit trong th c n hàng ngày Bi t 1 kg th t bò

ch a 800 đ n v Protein và 200 đ n v Lipit, còn 1 kg th t l n ch a 600 đ n v Protein và 400 đ n v Lipit M i gia đình ch đ c mua t i đa 1,6 kg th t bò và 1,1 kg th t l n Giá 1 kg th t bò là 100.000 VND và 1 kg th t l n giá 70.000 VND K t thúc cu c thi đã có m t gia đình giành gi i nh t khi kh u ph n th c n cho m t ngày đ m b o ch t dinh

d ng và chi phí b ra là ít nh t có th H i gia đình đó đã mua s kg th t bò, th t l n là bao nhiêu ?

Gi i

G i x y, l n l t là s kg th t bò và th t l n mà m t gia đình tham d cu c thi đã mua Khi đó:

+) S đ n v Protein đã dùng là: 800x600y (đ n v ) +) S đ n v Lipit đã dùng là: 200x400y (đ n v )

Theo gi thi t thì

(*)

Chi phí b ra đ mua nguyên li u là: T x y( ; )100000x70000y (VN )

Lúc này ta c n tìm x y, th a mãn (*)đ T x y( ; ) đ t giá tr nh nh t

Trong m t ph ng Oxy ta s bi u di n ph n m t ph ng ch a các đi m M x y( ; ) th a mãn đi u ki n (*)

Ta xét 4 đ nh c a mi n khép kín th a mãn đi u ki n (*) là :

(0, 3;1,1)

A , B(1, 6;1,1), C(1, 6; 0, 2) và D(0, 6; 0, 7)

Ta có T A( ) 107000 VN , T B( )237000 VN ,

( ) 174000

T C  VN và T D( ) 109000 VN

Suy ra T đ t giá tr nh nh t b ng 107000 VN khi x0, 3 và y1,1

V y gia đình giành gi i nh t đã mua 0, 3kg th t bò và 1,1kg th t l n

Câu 7.Gi i h ph ng trình 2 2  





Gi i

i u ki n :

1 4 0

x

y

 





 



(1)2(4x 12xy9y ) 5 6 xy 2x3y 12xy 0

 2    2

2 2x 3y 5 6xy 2x 3y 2 6xy 0

y=1,1

x=1,6

x+2y=2

8x+6y=9 O

0,7

0,2

A

1,1

0,3

1,5

1

D

C B M

t 2 3

6







 , khi đó (3) có d ng:

2a 5ab2b 0 (2 )( 2 ) 0 2

2

a b

a b a b





+) V i 2ab , suy ra

2

Do 1

4

2 15

y

    

  Suy ra ph ng trình vô nghi m

2x3y2 6xy  2x 2 2 3x y 3y  2x 3y  0  2x  3y 2x3y

Thay 3y2x vào (2) ta đ c: 2 3

8x 4x 4 4x 1 3 2x (*)

2

x

(2*)

T (*) và (2*), suy ra: 8x24x 4 4x 2 4x24x  1 0 (2x1)2 0

2 1 0 1 1

       th a mãn đi u ki n

V y h ph ng trình có nghi m ( ; ) 1 1;

2 3

 .

Câu 8.Gi i b t ph ng trình sau trên t p s th c: 2 2 2

2

1

x

Gi i

2

x





 Khi đó b t ph ng trình t ng đ ng:

2

2

1

x

 Xét hàm s ( )

t

f t

t



  v i t 0; 4

Ta có

 2

f t



Suy ra f t( ) đ ng bi n v i  t  0; 4

f x   x f x x x  (2*)

 Ta xét hai tr ng h p sau:

 V i

2

1 0

x

x



    

 



2

1 0

x



 

 V i

2

1

x

x

 



2

1 0

x



 

 V y b t ph ng trình có nghi m 1; 1 17

2

Câu 9.Gi i h ph ng trình

2

2

1

1

xy y

y y











x y,  

Gi i

i u ki n: ( ;0) 1; 

y

x





  





1

x y

2

1

1 1

y

y

 

1

1 1 3y 0

1 3x 0

x  x  , suy ra y0

2 1

(2*)

2

1

t

t



 2 

2

1

1

t

t



Mà

'( ) 0

f t









, suy ra f t( ) đ ng bi n v i t 

Khi đó (2*) f 1 f x( ) 1 x y 1

 

Thay (3*) vào (2) ta đ c:  2

2

32 (2x 1) 1 x

2

x 

32x2(1x2)(2x21)2   và x 1 0 1

2

x 

2

     Do đó ta đ t xcost v i 0;

4

  , khi đó ph ng trình có d ng: và

32 cos (1 cos )(2 cost  t t1) cost  1 0

8sin 2 cos 2t t cost 1 0 2sin 4t cost 1 0

9

t

t t k

k

t







 





Khi đó h có 2 nghi m là: ( ; ) (1;1), cos2 ; 1

2 9

cos 9



Câu 10.Gi i h ph ng trình: 2 2





Gi i

i u ki n: x 0; 2

(2)2x y(  1) 3 (x y 1) 3(y 1) y x(  1) 5(x 1)

2 2

(y 1)(2x 3x 3) (x 1)(y 5)

Xét hàm s

2

( )

1

f x

x



 v i x 0; 2 ta có  

 

0;2 0;2

min ( ) 1

m ax ( ) 3

x

x

f x

f x















Do f x( ) liên t c trên đo n  0; 2 , suy ra 1 f x( )3 ( ) 1 2 5 3 1 2

1

y y



Cách 1.1 ( Nguy n Thanh Tùng)

02xx   1 (x 1)  1 2xx 2xx   x x (3*)

Khi đó t (1)  y 2 2xx2  (x x2)   0 y 2  (2*) y 2   x 0

Cách 1.2 ( Lê Anh Tu n)

(1)   x y 2 2xx2(1 2xx2)0 2 2

2

x x x

x y

x x

V i x 0; 2 và(2*)   x y 2 0 x(4*)0;2 y 2;x 0

 



Cách 1.3 ( Nguy n Th Duy)

0;1

x

 



Do x32x22x 2 x x2(  2) 2(x  v i 1) 0  x  0;1 nên(5*)  0;1

0 0

x

x x

 





Cách 2 ( Châu Thanh H i)

(1)  y 2 2xx 1 1 ( x 1)  x 0 v i  x  0; 2  y 2

(2)M 2(2xx )(y 1) x y(   y 4) (y1)(y2)0 (6*)

0;2

2

x

y

 

 



Th l i ta đ c nghi m c a h là ( ; )x y (0; 2)







( ,x y )

Gi i

 i u ki n: 1  (*) x 2

V i đi u ki n (*) ta có 2

(2) y (3x2)2x1 2 2 1

x y x





Xét hàm s ( ) 2 1

x

f x

x





 v i x 1; 2 Ta có '( ) 1 2 0

(3 2)

f x

x



 v i  x  1; 2  f x( ) ngh ch bi n trên  1; 2  f x( ) f(1) 1 hay y2      (2*) 1 1 y 1

 Cách 1 (Nguy n Th Duy) Bi n đ i (1) ta đ c:    2   

y y   y x  y x (3)

Do y1 không là nghi m c a(3) nên

2

1

1

y

y





 (3*)

T (2*) và (3*) suy ra: y 1, khi đó x th a mãn h 1

V y nghi m c a h là ( ; )x y (1; 1)

(1) (1 y) x 1 (y1) 2 x y  y 2 0 (3)

Theo (*) và (2*) ta có:

y x x

 



1

x

y





 (th a mãn h )

V y h có nghi m ( ; )x y (1; 1)

 Cách 3 (V c Tùng) Ta có (2)x(3y22)2y21 2 22 1

y x y



 

 (3) v i

2 2 3

V i đi u ki n 1 x 2 1 2 22 1 2 1 1

y

y y



 Thay (3) vào (1), ta có:

3

2 2

Vì   1 y 1 nên 1 y 0 và ta có

2

y   y y   

nên

2 2

Do đó y     (th a mãn) Thay 1 0 y 1 y 1 vào (3) ta đ c x (th a mãn) 1

V y h có nghi m ( ; )x y (1; 1)

Chú ý: Ví d trên ta có th ch ra 2

1

y  b ng cách phân tích: 2 2 1 2 1 2 1

1

x y



Câu 12.Gi i h ph ng trình 3 2  3







(x y,  )

Gi i

i u ki n : xy0 (*) Ta s ch ra h có nghi m y0 b ng hai cách sau :

 Cách 1: (Dùng ph ng pháp đánh giá)

(2)x3  6(x22x  1) 2 xy3 3 2 3

       ( vì xy3  y xy2 0 – theo (*))  x 0 , k t h p v i (*) suy ra y0 (3)

 2

2

            y 8 8 y 0 (4) T (3) và (4) suy ra: y0

 Cách 2: (Dùng k thu t nhân liên h p và đánh giá bi u th c không âm)

(1) xy 2y 2xy2y  y 8 2 0  2

2

y

 2  

2 3

1

y

0

y

  ( vì  

 

2

2 3

1

y

   ,  xy 0 )

 Khi đó h có d ng: 22 2









2x x 6x 12x 8

 3

3

3

2

 V y nghi m c a h là: 3

2

Câu 13.Gi i h ph ng trình   







( ,x y )

Gi i

B c 1: Ta s khai thác ph ng trình (1) đ chi ra y x b ng hai cách sau :

2

5

5

 

Xét hàm s f t( ) t2  5 t 2

5

t t

f t



suy ra f t( ) đ ng bi n và liên t c trên 

Khi đó (*) f x( ) f(y)   x y hay y x (3)

Cách 2:

2 2

2

2 2

2

5 5

5 (1)

5 5

5 5



C ng v v i v ( )a và ( )b ta đ c: 2(xy)   0 y x (3)

7 x 2 5 x  4 2x 7x 10x14 5 x  4 0 (2*)

Cách 1: Ta có:







Nên (2*)(x22x 2) 6(x22x 2) 5 (x22x2)(x22x2) 0

+) t

2 2





 a b, 0 ph ng trình có d ng:

2 2

a  b  ab (a2 )(b a3 )b  0 a2b ho c a3b

+) V i a3ba2 9b2: x22x 2 9(x22x2)8x220x16 (vô nghi m) 0

+) V i a2ba2 4b2: 2 2 2 4( 2 2 2) 3 2 10 6 0 5 7

3

Thay vào (3) ta đ c nghi m c a h là: ( ; ) 5 7; 5 7 , 5 7; 5 7

x y          

Cách 2: (S d ng k thu t nhân liên h p)

(3*) 2  2 4 

 2   2 4   2 4  2 4 

3x 10x 6 4x 8 5 x 4  3x 6 (10 )x  0

3x 10x 6 4x 8 5 x 4 (3x 10x 6)(3x 10x 6) 0

3x 10x 6 4x 8 5 x 4 (3x 10x 6) 0

3x210x  (4*)6 0 ho c x210x 2 5 x4  4 0 (5*)

+) C ng (5*) v i (2*) ta đ c: 2

8x 20x160 (vô nghi m)

+) Ta có (4*) 5 7

3

Thay vào (3) ta đ c nghi m c a h là: ( ; ) 5 7; 5 7 , 5 7; 5 7

x y          

GV: Nguy n Thanh Tùng