Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định.. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học 2014 – 2015
Môn thi: Toán Ngày thi: 23 tháng 6 năm 2014 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm).
1) Tính giá trị biểu thức : khi x = 9.
2) Cho biểu thức với
a) Chứng minh
b) Tìm giá trị của x để 2P =
Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập
phương trình:
Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Bài III (2,0 điểm).
1) Giải hệ phương trình 2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = - x + 6 và parabol (P): y
= x2 a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P)
b) Gọi A, B là giao điểm của (d) và (P) Tính diện tích tam giác OAB
Bài IV (3,5 điểm).
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt cắt các đường thẳng AM, An lần lượt tại các điểm Q, P
1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật
2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn
3) Gọi E là trung điểm của BQ Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF
4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đương kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất
Bài V (0,5 điểm).
Với a, b, c là các số dương
thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
-Hết -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh Số báo danh:
Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học 2014 – 2015
Môn thi: Toán Ngày thi: 23 tháng 6 năm 2014 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm).
1 1
x A x
+
=
−
.
P
x > 0; x ≠ 1
1
x P
x
+
=
2 x + 5
5 1
1 1
Q = a bc + + b ca + + c ab +
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 21) Tính giá trị biểu thức : khi x = 9.
2) Cho biểu thức với
a) Chứng minh
b) Tìm giá trị của x để 2P =
Bài 1.1
(0,5 điểm)
Với x = 9 thì
0, 5
Bài 1.2.
(1,5 điểm)
a) Chứng minh
- Với ta có
0, 25
0, 25
=
- Vậy vớita có 0, 25
b) - Với ta có:
- Để 2P = nên
0, 25
- Đưa về được phương trình
0, 25
- Tính được thỏa mãn điều kiện
- vậy với x = 1/4 thì 2P
=
0, 25
Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Bài 2
(2,0 điểm)
- Gọi mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất số sản phẩm theo là x ( sản phẩm; đk x nguyên dương)
Khi đó trên thực tế mỗi ngày phân xưởng làm được số sản phẩm là x + 5 (sp)
0, 5
- Số ngày làm theo kế hoạch là: ngày
Số ngày làm trên thực tế là: ngày
0,5
Vì thời gian thực tế ít
kế hoạch 2 ngày , ta có phương trình: 0,25
+ Giải phương trình tìm
Vì nên thỏa mãn điều kiện của
ẩn, không thỏa mãn điều kiện của ẩn
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng làm được 50 sp 0,25
1 1
x A x
+
=
−
.
P
x > 0; x ≠ 1
1
x P
x
+
=
2 x + 5
3 1 4
3 1 2
−
1
x P
x
+
.
P
.
P
=
.
P
=
1
x x
+
x > 0; x x ≠ 1 1
P
x
+
=
x > 0; x x ≠ 1 1
P
x
+
=
2 x + 5
2 x 1
x + =
2 x + 5
2 x + 3 x − = 2 0
2
x x
x > 0; x ≠ 1
2 x + 5
1100
x
1100 5
x +
1100 1100
2 5
+
x = − x =
0
x >
1 50
x2 = 55
x = −
Trang 3Bài III (2,0 điểm).
1) Giải hệ phương trình
2)Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường
thẳng (d) : y = - x + 6 và parabol (P): y = x2
a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P)
b) Gọi A, B là giao điểm của (d)
và (P) Tính diện tích tam giác OAB
Bài 3.1
(1,0 điểm)
Giải hệ phương trình đk
0,25
- Lấy (1) trừ từng vế cho (2) ta được:
- Thay y = 2 vào (1)
ta tính được x = -1 Vậy hệ pt có nghiệm là (x; y) = ( - 1; 2 )
0, 5 0,25
Bài 3.2.
(1,0 điểm)
a) - Xét phương trình hoành độ giao điểm:
0, 25
- Chỉ ra:
- Kết luận: A(2;4) và B(-3;9) 0, 25
- b) Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A và B xuống trục hoành
Ta có
Ta có A’B’ = , AA’ =, BB’ =
0, 25
Diện tích hình
thang : (đvdt) (đvdt); (đvdt)
(đvdt)
- Kết luận
0, 25
5 1
1 1
5(1) 1
4(2) 1
; 1.
x ≠ y y ≠
9
−
+
3
x
=
= −
= ⇒ =
= − ⇒ =
OAB AA 'B'B OAA ' OBB'
S∆ = S − S∆ − S∆
B' A ' B' A '
x − x = x y yAB− = = x 9 4 = 5
AA'B'B
S
AA ' BB' 9 4 65
.A 'B' 5
OAA '
S∆
A 'A.A 'O
= 1 S∆OBB' =
B'B.B'O 4 2
OAB AA'B'B OAA ' OBB'
65 27
Trang 4Bài IV (3,5 điểm).
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt cắt các đường thẳng AM, An lần lượt tại các điểm Q, P
1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật
2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn
3) Gọi E là trung điểm của BQ Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF
4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đương kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất
Hình vẽ:
0,25
1
(0,75 điểm)
- Tứ giác AMBN có 4 góc vuông, vì là 4 góc nội tiếp chắn nửa
2
(1 điểm)
Ta có (cùng chắn cung AM của
- Vì nên MNPQ nối tiếp (do
có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc
3
(1,0 điểm)
*/ Chứng minh: F là trung điểm của BP
- Chỉ ra OE là đường trung bình của tam giác ABQ
- Chứng minh được OF // AP nên OF là đường trung bình của tam giác ABP Suy ra F là trung điểm của BP
0,25 0,25
ANM ABM =
ABM AQB =
ANM AQB =
ANM AQB =
P
Q
O
F
E
N
M
Trang 5*/ Chứng minh: ME // NF
Mà AP vuông góc với AQ nên OE vuông góc OF
Xét tam giác vuông NPB có F là trung điểm của cạnh huyền BP
Xét 2 tam giác NOF = OFB (c-c-c) nên
Tương tự ta có nên ME // NF vì cùng vuông góc với MN
0,25 0,25
4
(0,5 điểm)
- Ta thấy :
- Tam giác ABP đồng dạng tam giác QBA suy ra
Nên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có
0,25
- Ta có = 2R2
Do đó, Suy ra Dấu bằng xảy ra khi AM =AN và PQ = BP hay MN vuông góc AB
0,25
Bài V (0,5 điểm).
Với a, b, c là các số dương
thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(0,5 điểm)
- Ta có
Mà (Do a + b +c
= 2) (Áp dụng bất đẳng thức với 2 số dương a+b và a+c)
Vậy ta có (1)
0,25
Tương tự ta có : (2)
(3) Cộng (1) (2) (3) vế theo vế Khi a = b = c = thì Q = 4 vậy giá trị lớn nhất của Q là 4
0,25
Lưu ý khi chấm bài:
- Điểm toàn bài không được làm tròn.
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
- Với bài 4, nếu học sinh không vẽ hình thì không chấm.
ONF 90 =
OME 90 =
2S = 2S − 2S 2R.PQ AM.AN 2R.(PB BQ) AM.AN
2
PB BQ 2 PB.BQ 2 (2R) + ≥ = = 4R
2
AB AB = BP.QB BP ⇒
QB = BA
AM.AN
+
MNPQ
2S ≥ 2R.4R 2R − = 6R2
MNPQ
S ≥ 3R
Q = a bc + + b ca + + c ab +
Q = 2a bc + + 2b ca + + 2c ab +
2a bc + = (a b c)a bc + + +
2
a ab bc ca
(a b) (a c) (a b)(a c)
2
+ + +
2a bc +
(a b) (a c) 2
+ + +
≤
2b ca +
(a b) (b c) 2
+ + +
≤
2c ab +
(a c) (b c) 2
+ + +
≤ Q 2(a b c) 4
2 3