Kế hoạch học tập hợp lý :sẽ giúp bạn tiết kiệm được thời gian, công sức và có kết quả học tập tốt nhất. Sau khi nghe giảng, bạn cần thu xếp học bài trong thời gian sớm nhất có thể. Bạn cần đọc, tìm hiểu kỹ sách giáo khoa, sau đó làm bài tập áp dụng. Khi đã hiểu rõ vấn đề mới làm phần bài tập nâng cao. Việc thu xếp thời gian học bài sớm sau khi nghe giảng sẽ giúp tri nhớ bạn mau chóng tiếp thu bài, đỡ tốn nhiều thời gian hơn là bỏ bẵng 1 thời gian sau đó bạn mới học lại. Như vậy bạn rất dễ quên, kiến thức được khôi phục lại khó khăn hơn.
Trang 1HỆ PHƯƠNG TRÌNH
(Chuyên đề lưu hành nội bộ dành cho lớp dạy :10 toán chuyên)
Đối Xứng Loại 1
Bài 1 Giải hệ phương trình
30 35
x y xy
x y
Lời giải Đặt S xy, P xy, điều kiện 2
4
S P Hệ phương trình trở thành:
2
2
30 P
90 S(S 3P) 35 S S 35
S
S 5 x y 5 x 2 x 3
Bài 2 Cho hệ phương trình 2 2
3 9
x y xy m
x y xy m
a) Giải hệ phương trình khi m = 4
b) Tìm tham số m để hệ có nghiệm
Lời giải, Câu b. x2 y xy2 m (x y) xy m
xy(x y) 3m 9
x y xy 3m 9
Đặt S = x + y, P = xy, S 2 4P. Hệ phương trình trở thành: S P m
SP 3m 9
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình t 2 mt 3m 9 0
P m 3 P 3
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2 2
3 4(m 3) 21
(m 3) 12 4
Bài 3 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 2 2
3 x y 2xy 2 x y 15
Lời giải Đặt S xy P, xy, với 2
4
S P
Hệ trở thành
2 2
3 2 8 15 0
4 8 4
Từ 3S2 2S 8P 15 0 3S2 2S 15 8P 2S2 S2 2S 15 0 3 S 5
Trang 2Từ hệ suy ra S 2S 15 4m
Vậy để hệ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình 2
S S m có nghiệm 3 S5
Tiếp tục giải , ta có 7 25;
2 2
m
Bài 4 Tìm m để hệ phương trình
3
Lời giải Đặt S xy P, xy, với S2 4P
Hệ viết lại
2
3
Nhận thấy
Lại có 3 0 ( ;0) (1; )
1
S
Do đó để hệ có nghiệm thì khi và chỉ khi phương trình
2
1
m
S
có nghiệm
4;
S Tiếp tục giải ta có m 16;
Bài 5 Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2 2
Lời giải
Nhận thấy nếu (x0;y0) là nghiệm của hệ thì (y x0; 0) cũng là nghiệm của hệ Do đó nếu (x0;y0) là nghiệm duy nhất của hệ thì x0 y0, hay x0 là nghiệm của phương trình
2
x x m (1)
Vì vế trái của (1) là hàm số đồng biến và nhận giá trị trên 2;
, nên (1) có nghiệm duy nhất
Xét m thỏa m 2 1
Trừ hai phương trình của hệ ta có: x y y 2 x 2 0
x y
Khi đó hệ trở thành: x x 2 m2 1
Vì phương trình này có nghiệm duy nhất nên hệ đã cho có nghiệm duy nhất
Trang 3Vậy m 2 1 là những giá trị cần tìm
Bài 6 Giải hệ phương trình
x + y + z = 9 (1)
xy + yz + zx = 27 (2)
1 1 1 + + = 1 (3)
x y z
Lời giải ĐK: x, y, z ≠ 0 Từ (3) xy + yz + zx = 1
xyz
Do (2) xyz = 27 Vậy hệ
x + y + z = 9
xy + yz + zx = 27 xyz = 27
Do đó (x; y; z) là nghiệm của phương trình: X3 - 9X2 + 27X - 27 = 0 (X - 3)3 = 0 X = 3 Vậy hệ có nghiệm là (3; 3; 3)
Bài tập tương tự
Bài 1 Cho hệ phương trình 1
1 3
a) Giải hệ phương trình khi 1
4
m b) Định tham số m để hệ có nghiệm
Bài 2 Cho hệ phương trình 4 1 4
3
1) Giải hệ phương trình khi m = 5
2) Định m để hệ có nghiệm
Bài 3 Giải hệ phương trình 2 2 2
x + y + z = 2
x + y + z = 6
x + y + z = 8
Bài 4 Giải hệ phương trình
x + y + z = 9 (1)
xy + yz + zx = 27 (2)
1 1 1 + + = 1 (3)
x y z
Đối Xứng Loại 2
Bài 1 Cho hệ phương trình
2 2
y x x m
(I)
Trang 4a Giải hệ khi m = 1
b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
c Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Lời giải (I)
2 2
x = ± y
x - y = y - y - x + x
x = y - y + m
x = y - y + m
x = y x = y
x = y - y + m x - 2x + m = 0
x = - y x = - y
x = y - y + m y + m = 0
a) Hệ phương trình có nghiệm
' x ' y
Δ 0 1 - m 0 m 1
m 0
- m 0 m 0
Δ 0
b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
' x ' y ' x ' y
Δ = 0
Δ < 0
Δ < 0
Δ = 0
1 - m = 0
- m < 0
1 - m < 0
- m = 0
m = 1.Vậy m = 1
Bài 2 Giải hệ phương trình
2 2 2
x + 2yz = x (1)
y + 2zx = y (2)
z + 2xy = z (3)
Lời giải Bằng cách cộng (1), (2), (3) và lấy (1) trừ đi (2) ta có hệ đã cho tương đương với hệ
2
2
x + 2yz = x
(x + y + z) = x + y + z
(x - y)(x + y - 2z - 1) = 0
Hệ này đương tương với 4 hệ sau:
x + y + z = 0 (I) x + y + z = 0 (II)
x + 2yz = x x + 2yz = x
x + y + z = 1 (III) x + y + z = 1 (IV)
x =y x + y - 2z - 1 = 0
Lần lượt giải 4 hệ trên ta có kết quả
Bài Tập Tương Tự
Trang 5Bài 1 Cho hệ phương trình
2 ( ) 2 ( ) 2
a Giải hệ với m = 0
b Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
Bài 2 Tìm m để hệ:
7 7
có nghiệm duy nhất
Bài 3 Giải hệ phương trình
x + y + z = 1
x + y + z = 1
x + y + z = 1
Bài 4 Giải hệ phương trình
2 2 2
2 2 2
x x y y
y y z z
z z x x
Hệ Đẳng Cấp
Bài 1 Giải hệ phương trình : 2 2
2 3 9 *
4 5 5
Lời giải + Với x = 0: Hệ phương trình đã cho vô nghiệm
+ Với x ≠ 0: Đặt y = tx Hệ phương trình tương đương với
1 2 3 9 1
1 4 5 5 2
Lấy (1)(2) ta được: 15t213t+2=0 2
3
t ; 1
5
t
Với 2
3
t : ta có 3
2
y x, thay vào (*) ta được nghiệm (3;2), (3;2)
Với 1
5
t : ta có 1
5
y x, thay vào (*) ta được nghiệm 5 2; 2 , 5 2; 2
Bài tập tương tự
Bài 1 Cho hệ phương trình
2 5 25
a) Giải hệ khi m = 1
b) Định m để hệ có nghiệm
Bài 2 Giải hệ phương trình
x xy y
x xy y
Trang 6II.DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
Phương Pháp Đưa Về Dạng Tích ( Nhân Tử Chung)
Bài 1 Giải hệ phương trình:
HD: ĐK: xy 1 0 Ta biến đổi phương trình (1) làm xuất hiện nhân tử chung
Tiếp tục giải…
Bài 2 Giải hệ phương trình:
2
2
1 (1) (2)
xy
HD: ĐK: xy0 Ta có
1 (3) 2
0 (4)
xy
Bài 3 (Ta xem như phương trình bậc hai)
Giải hệ phương trình:
2
2 2 2 (1)
2 2 4 8 2 34 15 , (2)
Lời giải
Điều kiện: 2 2
0
x y
1 2 2 2 0
x y
Tiếp tục giải…
Bài 4 Giải hệ phương trình
3 2 2 3 2 0 (1)
5 2 5 3 3 2 0 (2)
Lời giải Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 rồi trừ theo vế cho (2), ta được phương
trình: 4x2 4xy y 2 6x 3y 2 0 (2x y )2 3(2x y ) 2 0 2 1
x y
x y
Tiếp tục
Bài 5 Giải hệ phương trình:
3 6 3 2 3 7 2 7
xy y y x y x
Lời giải Điều kiện: x 0 1 , y 6 2 , x 3 y 7 0 (*)
Nhận thấy
1
0
y
x
không là nghiệm của hệ phương trình y 1 x 0
Trang 7Khi đó, PT 2 1
1
y x ( ) x(y ) (y )
y x
1 1 1
1
y x (y )(x y )
y x
1
1
(x y ) y
y x
x y y x
(do (*))
Thay vào PT (2) ta được: 3 5x3 5x42x7 ĐK: 4 5 / x 5 (**)
3 5 x (7 x) 3( 5x 4 x) 0
4 5 3 4 5
0
x x ( x x )
x ( x) x x
3 5 7 5 4
( x x )
x ( x) x x
2
(do (**)
(thỏa mãn (*),(**)) Vậy nghiệm: ( ; ), ( ; ) 1 2 4 5
Bài 6 Giải hệ phương trình:
HD: Nếu x=0, (1) trở thành 1=0, vô lí Vậy x khác 0 Nhân hai vế của (1) với 6, hai vế của
(2) với 19x ta được:
Cộng vế với vế ta được: 6x y3 319x y2 2 19xy 6 0, giải phương trình bậc ba này ta
xy xy xy Tiếp tục giải…
Bài 7 Giải hệ phương trình :
1
3 1 2
1
7 1 4 2
x
x y
y
x y
Lời giải ĐK có nghĩa của hệ : x 0,y 0 và 2 2
0
x y
Dễ thấy , nếu x y, là nghiệm của hệ đã cho thì phải có x >0, y>0 Do đó :
Hệ đã cho
1 2 1
3
1 4 2 1
7
1 1 2 2
1
3 7
1 2 2
3 7
Nhân (1) với (2) theo vế ta được :
1 1 8
3 7 xy x y y x y x y x y x
xy x y ( vì x >0, y>0)
Thay vào (2) và giải ra ta được : 11 4 7, 22 8 7
Thử lại ta thấy thoả mãn yêu cầu bài toán
Phương Pháp Thay Thế
Trang 8Bài 1 Giải hệ phương trình sau
3 2 3 2 2
(x 2 )(2y x y 1) 0 x 2y
Thay vào (2) ta có phương trình
2
4x x 6 2x 1 5 x 1 (3)
2
2
1
x
2
4 6 1 2 1
1 0 1
(4)
Kết hợp (3) và (4) ta được
2
1
2 7
2 1 2 1 2
2
4 8 3 0
x
Bài 2 (HSG QG – 2001) Giải hệ phương trình: 7 2 5 (1)
Lời giải: ĐK: 7 0
, từ (2) ta suy ra 2x y 2 yx, thế vào (1) ta được
7x y 3 x y Do đó ta có hệ
1
Dễ thấy nghiệm x y1 thỏa mãn hệ còn nghiệm kia thì không
7 1 1 1 1
1 1 13 12
7
y
y
(Do y 7
không là nghiệm của phương trình)
5 33 36 0
1 3 5 12 0
3
y y
Bài 4 (HSG QG – 2004) Giải hệ phương trình:
Lời giải : Từ (2) suy ra y2 x28xy8y17x, thế vào (1) ta có
Lời giải Điều kiện: x 1, ,x y
7
y x
y
vào (2) ta được 2 2 2 2
1 1 7 13 1 7
phương trình:
Trang 9-Nếu x=0 thì (1) vô lí
-Nếu x=-1 thì hệ trở thành y2 16 y 4
-Nếu x 1&x0 thì từ (3) suy ra
2
24
y
x
Thế lại phương trình (2) ta được 2
2
Phương trình cuối cùng vô nghiệm, chứng tỏ hệ chỉ có hai nghiệm (-1;4) và (-1;-4)
Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
Bài 1 Giải hệ phương trình:
1 4 (1)
Lời giải.: Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ Với y khác không, chia cả hai vế của (1) và (2)
cho y ta được:
2
2 2
1
4
1
x
y
x
y
Đặt 2 1
x b y
ta được
Từ đây ta tìm được x và y
Bài 2 Giải hệ phương trình
Lời giải điều kiện
2
1 1
2 4 0
x y
Đặt a 2x1 ; b y a b; , 0, thay vào pt (1) của hpt ta được
a b a ab b a b y x thay vào pt (2) ta được
x x x x x x 3 x22x 3 x 3 x1
Đặt t x 3 x 1;t 0 ta có pt 2 4
2 8 0
2( )
t
Tiếp tục giải
Trang 10Bài 3 Giải hệ phương trình:
Lời giải: Nhận thấy x=0 không thỏa mãn hệ Chia cả hai vế của (1) và (2) cho x2 ta được hệ
2
2
2 2
2
1
6 6
y
x x x
x
y
Đến đây ta đặt
2
1
x
P x
Giải hệ này ta tìm được S và P, từ đó ta tìm được x và y
Bài 4 Giải hệ phương trình:
49
1 1 ) (
5 1 1 ) (
2 2 2
2
y x y
x
xy y
x
Lời giải : Hệ tương đương
5
49
, và nếu đặt
1 1
x
y
thì ta được
5 53
Đến đây ta có một hệ quen thuộc
Bài 5 Giải hệ phương trình
3 (1)
10 15 3 46 0 (2)
Lời giải
2 xy2xy 2 4(xy3x4y12)(x 1)(y 2) 4(x 4)(y 3) 1 2 4
Ta được:
3 (1)
1 2 4 (2)
3 4
u ; ( 0); v ; ( 0)
Hệ pt đã cho trở thành: 3
2
u v
Tiếp tục giải…
Trang 11Bài 6 Giải hệ phương trình:
5 4 5 (1 2 )
4
HD Đặt
2
Phương Pháp Dùng Bất Đẳng Thức Để Đánh Giá
Bài 1 Giải hệ phương trình :
698
(1) 81
3 4 4 0 (2)
Lời giải : Giả sử phương trình có nghiệm Phương trình (2) viết lại :
x y x y
Để phương trình có nghiệm ẩn x ta có : 32 4 22 0 1 7
3
(3)
Phương trình (3) viết lại : 2 2
y x yx x
Để phương trình có nghiệm ta có : 2 2 4
4 4 3 4 0 0
3
(4)
Từ (3) và (4) ta có : 4 2 256 49 697 698
81 9 81 81
x y , không thỏa mãn (1) Vậy hệ phương trình vô nghiệm
Bài 2 Giải hệ phương trình
1 2( 3) ( 1)( 1) 3
2
Lời giải Điều kiện x 3. Áp dụng bất đẳng thức vectơ, ta có
2
1
y
Đẳng thức xảy ra khi xyxy 0 và x 0. Khi đó thay vào phương trình đầu của hệ ta được
2
Trang 12Suy ra 3 1
2
x x x x x
3
1
2 1 3
2
x
3
3
1
2 1 3
2 1
(2 1) 2( 1) 0 1 2
2
x
Với 3
3
1
2
x thì
3
1 2 3
y Đáp số:
3 3
3
1 1 2 ( ; ) 1 2 ;
3 2
x y
Bài 3 Giải hệ phương trình
2 4
4
2 2 6 2 2
2 2 6 2 2 8 2
Giải Điều kiện 0x6, cộng hai vế phương trình của hệ rồi biến đổi ta được
2x 2 6 x 2x 2 6 x y 2 6 3 2 6 3 2
Áp dụng BĐT Bunyakovsky cho hai bộ hai số dương ta có
2 2 6 2 1 2 2 12 2 36
2 2 6 6
Đẳng thức xảy ra khi x = 2
2 2 6 1 2 2 2 6 18
2 2 6 3 2
Đẳng thức xảy ra khi x = 2
Từ đó suy ra 2x 2 6 x 4 2x 2 6 4 x 6 3 2
Do đó hệ có nghiệm x 2,y 2
Bài 4 Giải hệ phương trình
2
Trang 13Lời giải ĐK
, 0
2 0
x y
Ta có phương trình đầu tương đương
2
0 ( ) 2
0 ( ) 2
x y
Ta chứng minh trong ngoặc dương , xét từ phương trình thứ hai ta có
2
2
2
4
1 2
1
x
x
Suy ra trong dấu ngowacj dương vậy phương trình có nghiệm x = y
Thế vào phương trình 2 ta có 3 2 2
2 3 4 0 1 4 0
x x x x x x
Phương Pháp Tính Đơn Điệu Hàm Số
Bài1 (KA-2010) Giải hệ phương trình:
2
2 2
(4 1) ( 3) 5 2 0
Lời giải ĐK : 3
4
x Đặt u = 2x; v 5 2 y Phương trình (1) trở thành u(u2 + 1) = v(v2 +1) (u - v)(u2 + uv + v2 + 1) = 0 u = v
3 0
4
2 5 2
5 4 2
x
x y
Thế vào (2) ta được: 25 2 4
6 4 2 3 4 7 (*)
4 x x x
Xét hàm số 4 2 25
( ) 4 6 2 3 4
4
f x x x x trên 0;3
4
'( ) 4 (4 3)
x
< 0 Mặt khác : 1 7
2
f
nên (*) có nghiệm duy nhất x = 1
2 và y = 2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = 1
2 và y = 2
Bài 2 Giải hệ phương trình:
Trang 14Lời giải: ĐK x0,y0 Ta thấy đây là một hệ đối xứng loại 2, nên trừ vế cho vế và biến đổi ta được: 2 x2 52 x 1 x2 2 y2 5 2 y 1 y2(3)
Xét hàm số f t( )2 t2 52 t 1 t2trên [1;+ ) , dễ thấy f’(t)>0 trên (1;)nên f(t)
đồng biến trên [1;+ ) và do đó (3) tương đương với x=y Thế vào (1) ta được
2 x 5 2 x 1 x Giải bằng MTCT ta được x=2 Do đó ta biến đổi như sau
2
2
1 1
x x
2
2
2 (4)
1 1
x
x
x x
x
Phương trình (4) có VP>3, VT<2 nên (4) vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm x=y=2
Bài 3 Giải hệ phương trình:
7 6 2 4 9
1 3 1 2 2
2 2 2 3
y x y
x x
x y y
Lời giải ĐK: x1, ta có:
2y y 2x 1 x 3 1 x 2y y 2 1 x 1 x
Xét hàm số f t 2t3t đồng biến trên R, nên phương trình trở thành
( ) ( 1 ) 1
f y f x y x Thế vào pt kia ta được pt: 2
2x 6x 1 4x5
2
4x 8x 4 4x 5 2 4x 5 1 2x 2 4x 5 1
1 5 4
2
2
x x vì x 1 x1
Bài 4 Giải hệ phương trình:
2
8 1
2 1 3
4 7
Lời giải. Điều kiện x 1;y 2
Đặt x 1 a; y 2 b a b , 0, từ (1) ta có:
1 2 0
a b
(do a b, 0 1 2ab 0 x 1 y2 yx3
Thế vào (2) ta được:
Trang 15
1 1 3
2
8
*
4 7 1 3
x
+ x 8 y 11;
+ 2
* x 1 3 x 4 x 1 x 4x 7
Xét hàm số 2
3 3
f t t t với t có 2
' 3 1 0
f t t t nên f t đồng biến
trên Do đó ** 1 2 1 2 2 2
x
2
2
5 3 0
x
x
, Khi 5 13 11 13
Vậy hệ đã cho có nghiệm x y; là 8;11 và 5 13 11; 13
Bài 5 Giải hệ phương trình:
5 2
( 3) 2 ( 3 ) 2
9 16 2 2 8 4 2
Lời giải.Đk: 0 2 (*)
2
x y
.Với đk(*) ta có (1)
( 1) ( 3) 2 ( 1) 0 1
( 3) 2 ( 1) (3)
x
Với x = 1 thay vào (2) ta được: 2 2 8 1 31( )
8
y y loai
Ta có: 3
3 (3) y 2 y 2 ( x) x (4) Xét hàm số
( ) '( ) 3 1 0;
f t t t f t t t Hàm số f(t) là hs đồng biến, do đó:
4) f( y2) f( x) y2 x y x 2 thay vào pt(2) ta được:
2
4 2 x 2 2x 4 9x 16
32 8x 16 2(4 x ) 9x 8(4 x ) 16 2(4 x ) (x 8 )x 0