Cơ học kết cấu tập 2 phần 1

D o đ ó theo 5-1 bậc siêu lình cúa hệ rằng: Liên kết n g à m tại D tương đương ba liên kết thanh có thể xem là liên kết tliừa \'l khi bị loại bỏ và thay bằng các lưc tương ứng như trên h

TS IMGUYỄN VĂN PHƯỢNG

Cơ HỌC KẾT CẤU

T Â P I I

N H À X U Ấ T B Ả N XÂY D ự N G

HÀ N Ò I - 2 0 1 0

LỜI NÓI ĐẦU

dụ hệ d ầ m và hệ khung trẽn hình 5.1c, d Mỗi hệ có thể xem là m ột m iến g cứng nhưng

đ cu được nối với mặt đất bằng bốn liên kết ihanh nên với ba phương trình cân b ằng'tĩnh học chưa đủ đc tìm được bốn phản lực Irong bốn liên kết ihanh, d o đ ó cũng không thê xác định được nội lực trong hệ Riêng phần đầu thừa CD trong k hu n g trên hình 5.1d là

ũ n h định nên có thê xác định được nội lực trong phần hệ nàv lừ ba phương trình cân bàng tĩnh học

Về cấu tạo hình học đế là hệ bất biến hình mỗi hệ chí cần nối với mặt đất bằng ba licn kết thanh được b ố trí hợp lí là vừa đủ Như vậy mổi hệ thừa một liên kết thanh ktiông cẩn thiết cho sự cấu tạo hình học nhưng vẫn cần cho sự làm việc của hệ N hũ ng

hệ kếl cấu có chung những đặc điểm irên được gọi là hộ siêu tĩnh Vậy:

Hộ siêu tĩnh là hệ nếu chi dùng các phưưiia trình cân bằnỉz lĩnh học thi chưa thó x á c

đ ịn h được các phàn lực và nội lực troníí toàn hệ hay trong một \'ài phán cứa hõ

Hệ siêu tĩnh là hệ bất biên hình \’à có liên kết thừa

2 B ậc siêu íĩnh

Đ ế đặc trưng cho số lièn kết thừa của hệ siêu lĩnh, irong cơ học kcì cấu sử dune khái niệm bậc siêu tĩnh

B ậ c s i ê u t ĩ n h c ủ a h ệ sièii t ĩ n h b à n g s ố l i ê n k ẽ ì i h ừ a tu' ưng d ư ư n u s ô l i cn k c ì t h a n h

ngoài số liên kết cần thiốl \'ừa đii để hệ là bất biến hình

N ếu kí hiệu bậc siêu lĩnh là n thì từ công thức (1-5) trong chưưng 1 suy ra cỏniỉ ihiit xác đ ịn h bậc siêu tĩnh n của hệ siêu tĩnh là;

s ẽ n h ậ n dưực d ầ m lĩnh clịnh iưoìiu Uìig như trên hình 3 la, c,

L iên kết thanh nằm ngang lai aối tựa A

hay B trong k h u n g siêu lĩnh trèn liình 5.1d có

th ể xem là liên kếl thừa vì Iiếu bị loại bỏ

c h ẳ n g hạn lại gối B khung \ầ n là hệ bất biến

hình và đú liên kết như trên hình 5.1 b

• Xét hệ siêu ũ n h trên hình 5.2a Có thê’

XCITT hệ g ồ m hai miếno cứng nối \'ới nhau

b ằ n g m ột k h ớ p tại c nên H = 0 K = 1,

T = 0, D = 2 và được nối với mặt dất bằng sô

liên k ết tương đương số liên kêì thanh C() = 7

D o đ ó theo (5-1) bậc siêu lình cúa hệ rằng:

Liên kết n g à m tại D tương đương ba liên kết thanh có thể xem là liên kết tliừa \'l khi

bị loại bỏ và thay bằng các lưc tương ứng như trên hình 5.2b thì hệ vẫn bãì biến hình \'à

dủ liên kết

• K hi hệ siêu tĩnh có đủ số Hôn kết lựa nối với mặt đất thì liên kết thừa Iiằm iroim hệ đé’ nối các cấu kiện của hệ \ ới nhau, ví dụ như hệ siêu tĩnh trên hình 5.3a, b, Nếu cắl lién kcì

tiiaiih EF và thay bằng lực dọc N chưa

biế) như trên hình 5.3c, d thì hệ vẫn là

bất biến hình N hư vậy, tiong mỗi hệ

liên kêì thanh E F được xem là liên kết

thừa và mỗi hệ có bậc siêu tĩnh n = 1

Nếu chỉ dùng ba phương trình cân

bằng tĩnh học thì chỉ xác định được

các phán lực tại các liên kết lựa A, B

\'à nội lực irong các phần AE, BF của

hộ eòn nội lực trong phần hệ EFC chưa

thể xác định được vì chưa biết lực dọc

N trong thanh EF

Xél hệ siêu tĩnh trẽn hình 5.4a, hệ

có đủ số liên kết tựa nôi \'ới mặt đất

\ii có m ột chu vi kín CDEF Nếu cắt

liôii kèì hàn (tương đương với ba liên kết thanh) lại liết diện K nào đó thuộc chu vi kín (-D E F \'à lliav bàng ba cạp lực iương ứng bằng nhau \'à ngược chiều như trẽn h ìn h 5.4b tliì hệ vẫn bất biến hình và đủ liên kết Do đó liệ có ba bậc siêu lĩnh hay có thê nói một chu \ i kín luôn có ba bậc siêu lĩnh

nh ư trên hình 5.4d thì hệ vẫn bất biến hình và đủ liên kết Do đó hệ có hai bậc siêu tĩnh hav có thể nói nếu mộl chu vi kín có một khớp đơn giản thì bậc siêu tĩnh của chu vi kín iiiám đi m ột đơn \'ị

N hư vậy nếu hệ có sỏ' chu vi kín là V ihì bậc siêu tĩnh của hệ là 3V, nếu trong V chu

vi kín có K khớp đơn giản thì bậc siêu tĩnh của hệ giám đi K đơii vị D o đó bậc siêu ũnli

n của hệ siêu tĩnh có thể được xác định theo cóng thức đơn giản sau;

K = 5 T h e o (5-2) bậc siêu tĩnh của hệ bằng:

n = 3 3 - 5 = 4

3 T í n h c hấ t c ủ a hệ siêu tĩnh

So với hộ tĩnh định lương ứng dược tạo thành sau khi loại bỏ tất cá các lién kêl thừa lừ

hệ siêu tĩnh thl hệ siêu tĩnh có những tính chất sau:

1 C h u y en vị biến d ạ n g và nòi lực trong hệ siêu tĩnh nói c h un g nhó hoìi trong hệ lĩnh định có cùng kích thước và tiii trọng

V í dụ so sánh dầm đơn giản lĩnh định có hai đầu tựa khớp và dầm siẽu tĩnh có hai đáu

n g à m , có c ù n g đ ộ cứng El, chicLi dài nhịp ỉ và cùng chịu tải trọn^ phân bô đều q như

trên hình 5.6a, b, dễ d à n g thấy chuyển vị và nội lực trong d ầ m siêu tình nhỏ hơn trong

^ Í í ĩ í í í 5

24

q/'

ĩ ỉ i n h 5.6

2 Trong hệ siêu tĩnh phát sinh nội lực do sự

thay đổi nhiệt độ, sự chu y ển vị gối tựa, sự c h ế tạo

và lắp ráp k hô ng chính xác gây ra Ví dụ:

- Khi chịu sự thay đổi nhiệt độ, dầm tĩnh định

trcn hình 5.7a bị biến dạng tự do vì nhiệt nên trong

dầm không phát sinh p hản lực và nội lực, còn dầm

sièu tĩnh trên hình 5.7b k h ô n g thể biến dạng tự do,

vì c ó liên kết thừa tại B ngăn cản Tại các liên kết

xuất hiện các phản lực và trong dầm xuất hiện các

nỏi lực vì nhiệt

- Khi liên kết lựa có chu y ển vị cưỡng bức, dầm

tĩnh định trên hình 5.8a chỉ bị nghiêng tự do, trong

d ầ m có chu yên vị nhưng k hô ng xuất hiện biến

d ạ n g và nội lực, còn dầm siêu tĩnh trên hình 5.8b

kliông thể ngh iêng tự do vì có liên kết thừa tại c

n g ã n cản D ầm bị biến dạng Tại các liên kết xuất

hiện các phản lực và trong dầm xuất hiện-các nội

lực do ch u y ển vị gối tựa gây ra

- Khi hệ siêu tĩnh có sự c h ế tạo và lắp ráp không

ch ín h xác, c h áng hạn chiều dài chế tạo của thanh

E F trong hệ siêu tĩnh trên hình 5.9 ngắn hơn chiều

dài thiết k ế m ột đo ạn A, thì sau khi lắp ráp thanh

E F bị dãn ra và làm thanh A B bị uốn cong, do đó

tại các liên kết xuất hiện các phản lực và trong hệ

xuất hiện các nội lực do sự c h ế tạo không chính xác gây ra

Tính chất này của hệ siêu tĩnh có thê được sử dụ n g để trước khi hệ chịu tải trọ ng tạo

ra trong hệ trạng thái biến d ạng và nội lực ban đầu ngược chiều với trạn g thái biến d ạ n g

và nội lực trong hệ khi chịu tải trọng, làm cho biến dạng và nộ i lực tổ n g c ộ n g tron g hệ

n h ỏ hơn và phân bố hợp lí hơn Do đó tiết kiệm được vật liệu hoặc tăng k h ả n ă n g chịu lực của hộ K ết cấu có trạng thái chuyển vị và nội lực ban đầu trước khi c h ịu tải trọng được gọi là kết cấu có ứng suất trước hay gọi tắt là kết cấu ứng suất trước

3 Nội lực trong hệ siêu tĩnh phụ thuộc vào vật liệu và hình dá n g , k íc h thước tiết d iệ n cúa các cấu kiện trong hệ

Nội dung được trình bày trong các mục tiếp theo sẽ cho th ấ y rõ là đ ể xác đ ịn h được các phản lực và nội lực trong hệ siêu tĩnh thì ngoài các phưcíng trình c â n b ằ n g tĩnh học cần bổ sung th êm các phương trình biểu thị điều kiện biến d ạn g và c h u y ể n vị tại m ộ t sốtiết diện trong hệ Biến dạn g và chuyến vị lại phụ thuộc vào vật liệu, hln h d á n g và kíchthước các tiết diện của các cấu kiện, tức là phụ thuộc vào các độ cứ ng E A , EI, G A của

H ìn h 5.9

các cấu kiện Do đó việc tính hê siêu lĩnh phức tạp hưn việc tính liệ tĩnh dịnh, cụ th£- là cần giả định trước hình dáng và kích thước của các tiêì diện và chọn vật liệu Trẽn cơ S(V

đó xác định nội lực và c h uyển vị, rồi theo các kết quá nhận được kiếm tra lại kích Uuiớc tiết diện đã chọn

Hệ tương ứng được suy ra từ hệ siêu tĩnh bằng cách loại bò bớt các liên kéì thừa dưi.íc gọi là hệ cơ bản

Nếu chí loại bỏ một số liên kếl thừa thì hệ cư bản là siêu tĩnh cỗ bậc sièu tĩnli th.ip hơn Nếu loại bỏ tất cả các liên kết Ihừa Ihì hệ cơ bản là tĩnh định nên có ihế dẻ dàng xac định được nội lực và c huyến vị Vì váy Irong đa sô các trường hợp thường chon dùng liệ

cơ bán tĩnh định

Có nhiều cách loại bỏ tất cả các liên kết thừa để có hệ cơ bán tĩnh dinh Trên hình 5.10b c, d thế hiện m ột số hò cơ bán lĩnh định được suy ra từ hệ siêu tĩnh trên liìiih 5.1 Oa Vì quá trình tính được thực hiện trên hệ cơ bản nên thường chọn hệ cư bán cho phép dễ dàng xác định được nội lực chẳng hạn chọn hệ cơ bản là hệ tĩnh định dưn giản

có một liên kết ngàm tại B nh ư trên hình 5 lOb

Đ ể thiết lập các đ iểu kiện bổ sung cần so sánh hệ siêu tĩnh và hệ cơ bán sao cho hai

hệ làm việc giống nhau về lực và chuyên vị

- Vc lực: Tại các vỊ trí loại bó liên kết trên hệ cơ bản không có các lực, còn trên hệ siêu lĩnh tại các \'ị trí tương ứng nói chung đều có các phản lực Do đó trẽn hệ c ơ bản cần đặtcác lực tưoìig ứng \'ào vị trí các liên kết bị loại bỏ và kí hiệu là X |, X , X5 như trênhìiìh 5.11 Nhữiig lực này chưa biết chiều và trị sô' nên được giả định có chiều bất kì và xem

là các án số cần tìm VI lấy lực làm ẩn số nên phương pháp được gọi là phương pháp lực

• Vể chuyển vị;

Cliuvèn vị tại vỊ trí và theo phương các liên kết bị loại bỏ trên hệ cơ bản đều tồn tại, còn tròn hệ siêu tĩnh các chuyến vị tương ứng đều bằng không Do đó trên hệ cơ bản cần thiêì lập các điểu kiện là chuyến vị tưoTig ứng với vị trí và phương của các liên kết bị loại b(') phái bằng khòng, hay nói cách khác là trong hệ cơ bán chuyển vị tương ứng với vị tn'

\’ù phương cúa ấn s ổ lực X |, X , do các lực X |, X2 X5 và lải trọng đã cho gây

X x„ , , , = 0 - ™ K = I 2 K , , n (5-3)

II điều kiện (5-3) dược gọi là liệ phương trình cơ bản của phưcíng pháp lực Hệ phương trình này nghiệm đúng với tất cả các hệ luân theo cũng như không luân theo ng uyên lí

c ộn g lác dụng

Sau khi giải n phương trình cơ bản và tìm được các ẩn số lực X |, Xị, X|<; x ^ ,

các lực này được xem là ngoại lực tác dụng trên hệ cơ bản Lúc này các lực trên hệ cơ bản đã biết nên có thể dễ dàng tìm được nội lực và chuyển vị trong hệ c ơ bản, đó cũng

c hính là nội lực và chuyến vị trong hệ siêu tĩnh do tải trọng gây ra vì các lực với

K = 1 ,2 , n thoả mãn hệ phương trình c ơ bán (5-3) tức là thoả m ã n điều kiện làm việc giôn g nhau giữa hệ siêu tĩnh đã cho và hệ cơ bản tương ứng

Ỗnl^l + ^ „2X2 + + Ỗ,,|^Xk- + + Ỗ„^X,^ + A„p = 0

Trong đó: ôị^i^ - được gọi là hộ số chính;

với K Tí: m được gọi là hệ số phụ;

A|<^p - được gọi là số hạng tự do

N hư vậy, các hệ số chính, hệ số phụ và số hạng tự do trong hệ phương trình chính tắc của phưoíng p háp lực đều là chuyển vị, do đó để xác định cần vận d ụn g các c ông thức

c huyển vị trong chương 4

a) C ách tìm hệ sô 'p h ụ vù hệ số ch iiilì

Theo công thức c huyển vị (4-18), thay "p" bằng "m" và Aị^p = , có:

_ M - N - QChia hai vế của biểu thức trên cho và đặt = - ^ , N|^

- Hệ số phụ ôị^n-, có the có giá trị âm hoặc bằng không hay dương và theo định lí

M axw ell có = ỗn,|< nghĩa là các hệ số phụ bằng nhau từng đỏi m ộ t tại các vị trí đốixứng q u a dường chéo chứa các hệ sô' chính trong hệ phượiig trình ch ín h tắc (5-4)

- Hệ số chính ôị^i^ luôn luôn có giá trị dưcíng

Các cô ng thức tính hệ số phụ (5-5) và tính hệ số chính (5-6) có thể viết dưới dạng

Do dó Aị^p có thế xác định theo công thức chuyến vị ( 4 - ỉ8), ngoài ra để thể hiện ^Kp

là d o tái trọng gây ra trong hệ cơ bản, thêm chỉ số 0 vào các biểu thức nội lực do tải trọng Côiiíỉ thức xác định số hạng tự do là:

Sau khi giải hệ phương trình chính tắc và tìm được các ẩn số lực X |, X ,, X(^, x„,

đế tìm nội lực và chuyển vị tại tiết diện bất kì trong hệ siêu lĩnh có thể thực hiện n hư sau:

a) C ách tính trực tiếp

X em các lực đã tìm được X |, X , Xị^, x „ như ngoai lưc tác dụng trên hệ c ơ hiin,

Vì hệ cơ bản là tĩnh đ ịnh và làm \'iêc giống hệ siêu tĩnh nên nội lực và chuyển \'ị tại niộltiết diện bất kì trên hệ c ơ bản do các lực X | X|^ X,, và tải trọng gây ra có thế dẻdàng xác định được theo các phưtmg pháp đã quen biết, kết quá nhận được cũng chính là nội lực và chuyển vị tại tiết diệii tưoìig ứng trên hệ siêu tĩnh do tải trọng gây ra N hư vậy:

- Biểu đồ nội lực trong hệ c ơ bản do các lực X |, X2, Xị.^ x „ và tải trọng gày ra

c ũ n g chính là biểu đồ nội lực trong hệ siêu tĩnh do tải trọng aây ra

- Đ ể tìm chu yển vị tại tiết diện K bất kì trên hệ siêu tĩnh d o tải trọng gây ra chí cần tạo trạng thái khả d ĩ "K" trên hệ cơ bản suy ra từ hệ siêu tĩnh Đ ồ n g thời nhận thấy là có nhiều cách chọn hệ c ơ bản khi tính hệ siêu tĩnh theo phương pháp lực, tuy nhiên hệ cơ bản nào cũng luôn phải làm việc giống hệ siêu tĩnh nên khi tìm chuyển vị trong hộ siêu tĩnh có thể tạo trạng thái khả dĩ "K" trên hệ cơ bản bất kì suy ra từ hệ siêu lĩnh T iếp đó

M p, N p, Qp - biếu thức nội lực trong hộ siêu tĩnh do tải trọng gây ra hay trong hệ cơ bản tương ứng do các lực X |, X2 và tải trọng gây ra.

N ếu sử d ụ n g công thức chuvển vị ở dạng nhân biểu đồ, có:

Ak p= ( M Ỉ ) ( Mk) + ( N ° ) ( Np) + ( Q ° ) ( Qp) (5-12)

T ro n g đó:

( M ^ ) , ( N ^ ) , (Qị^) - biểu đồ nội lực ở trạng thái khả dĩ "K" được tạo ra trên hệ cơ bản bất kì suv ra từ hệ siêu tĩnh do P|<; = 1 hay M(^ = 1 gâv ra;

(M p ), (N p ), (Q p) - biểu đổ nội lực trong hệ siêu tĩnh do tải trọ n g gây ra

- N ên c họ n hệ cơ bản để tạo trạng thái k hả dĩ "K" cho phép tìm c h u y ển vị đơn giản và

dề d àng nhất

h) Ccìch á p dun g nguyền lí cộng tác dựng

Kí hiệu:

Sp - đ ại lượng nghiên cứu (phản lực, nội lực, chuyển vị) tại m ộ t tiết diện nào đó trên

hệ siêu tĩnh d o tải trọng gây ra

Sp - đại lượng nghiên cứu tại tiếl diện tưcíng ứng irên hệ c ơ bản do riêng tải trọng gây ra

S|< - đại lượng nghiên cứu lại tiết diện tương ứng trên hệ cơ b ản do riêng lực X|<; = 1

(M p ) = ( M ,) X , + ( M2) X , + + ( M k ) X k + + ( M J X „ + ( M ' ; ) (5-14)

c) C á c h v ẽ hiển d ổ lực cắt theo hiểu đ ổ m ỏm en uốn

Sau khi đã vẽ được biếu đồ m ôm en uốn (Mp) trong hệ siêu tĩnh, biểu đồ lực cắt (Qp)

c ó thể vẽ theo biểu đồ m ôm en uốn (Mp) như sau:

- T ách từng đoạn th an h trong đó

tải trọng tác d ụng là liên tục ra khỏi

hệ Từ biểu đồ m ô m e n uốn dễ dàng

xác đ ịn h được m ô m e n uốn tại từng

tiết diện ở hai đầu đoạn thanh

- Sử d ụ n g hai phương trình cân

bằng là tổn g m ô m e n c ủ a các lực tác

dụn g trên đoạn thanh lấy với từng tiết

diện ở đầu đoạn thanh, sẽ lìm được

lực cắt tại từng tiết d iệ n ở hai đầu

đoạn thanh T heo kết q u ả n h ậ n được

vẽ biểu đổ lực cắt trong đ o ạ n thanh

Đ ế tiện lợi trong tính toán, lực cắt

tại từng tiết diện ở hai đ ầ u đo ạn thanh

trong m ột số trường hợp thường gặp,

trục, các nội lực tại tiết d iệ n ở hai đầu

đ oạn thanh được giả thiết là dương

theo q u y định và được kí hiệu như

cl) C á ch vẽ l)ìểii (lồ lực dọc ílieo hiểu dồ lực cắt

Đê xác định lực dọc tại các liết diện đầu thanh cần Ihực hiện n h ư sau:

- Tách lừng núl ĩấ khói hệ

- Tại mỗi nút tliổ hiện tái trọng (nếu có) và lại các tiết diện đầu thanh quy tụ tại nút, tlieo quy định chung Ihc liiện: lực cắt đã biết, lực dọc đã biết và lực dọc cần lìm được giá thiết là dircmg 1'ừ hai phương liình cân bằng là lổng hình chiếu của các lực đặt tại nút lên hai phưcíng giao nhau được chọn Irước phái bằng khống sẽ xác dịnh dược các lực dọc cần tìin

Đ ể tính toán đơn giản và dỗ dàng nên tách nút theo thứ tự sao c h o tại mỗi nút chi có hai iực dọc cần tìm, đồng thời cần chọn trục chiếu sao cho phương trình cân bằng chỉ

c h ứ a một lực dọc chưa biết

V í d ụ 5.2: Vẽ các biếu dồ nội lực và tìm góc xoay tại nút K trong khu ng siêu tĩnh

cliịu tải trọng cho trên hình 5.13a

Áp dụng các công thức (5-7), (5-8) và (5-12) T ro ng hệ k hu ng , dầm khi tính c h uy ên

vị có thể bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt nên chỉ cần vẽ các biếu đồ inôm en uốn đơn vị ( M | ) , ( M 2) và biếu đồ m ô m en uốn (M p ) lần lượt do X | = 1, X2 = ] và lải trọnggâv ra trên hệ c ơ bản n hư trên hình 5.14a, b, c

Tlianh AK: chịu tải trọng phân bố đều nên biểu đồ mỏincn uốn là đường cong bậc hai,

M|^.^ = —q a ' +0 - —qa" = —1- q a " (căng bên trái)

Biêu đồ m ô n ie n uốn (M,,) đưưc vẽ như trên hình 5.15c

7 Vẽ biểu đồ lực cắt theo biếu đồ m ô m e n uốn

T han h KB: Lực cắl là hàn g số, theo (5-18) với c o s a = 1 có:

qa 0

4

= - ỷ c , a

N in h 5.16

8 Vẽ biểu đồ lực dọc theo biểu đồ lực cắt

Trong trường hợp này lực dọc trong các thanh là m ột hằn g số T á c h nút K ra khói hệ

và theo quy đ ịnh thê hiện các lực cắt đã biết tại các tiết diện đầu thanh q u y tụ lại nút các lực dọc N(^|J, chưa biếl được giả sử là dương n hư trên hình 5.16b T ừ các phương trình cân bằng của nút K:

Biểu đồ lực dọc được vẽ nh ư trên h ình 5 ló c

Tách nứt B và nút A và cũ ng thực hiện tương tự n hư đối với nú t K, sẽ tìm được các phản lực tại ng à m B và khớp A n hư trên h ình 5.16d, e Dễ d à n g thấy ngoại lực và các phán lực trên hệ siêu tĩnh thoả m ãn các điểu kiện cân bằng của hệ (hình 5 1 7a)

9 Tiin góc xoav lại nút K

T ạ o irạnu ihái khả dĩ "K": Trên hộ cơ bản tại tiếl diện K đặt m ô m e n Mk = I, vẽ biếu (ỉổ (M'|^) như licn hình 5 1 7b Tlieo (5-12) có:

56 E1

N hư vậy các dầu ihanh qu v lụ tại

IIÚI cứng K đéu xoav ngược chiều

kim đ ổ n g hổ một góc như nhau và

làm hệ bị biến dạiig tlieo dường dứt

néi n hư trêii hình 5.1 7a

V í d ụ 5.2: Vẽ các biêu dồ nội lực và tìm chuvển vị thánt> tương đối theo phương

Iigang giữa hai khớp F \'à 1 irong khung siêu tĩnh chịu tái trọng n hư trên hình 5 18a

R»=

Hình 5.18

B à i giải:

1 Bậc siêu tĩnh: n = 1

Hê có đủ số liên kết tựa nối \'ới mật đất nên từ ba điểu kiện cân bàng tĩnh học của hệ

dỏ dàng lìm được các phản lực H \ = 1/3P; R|j = 1/3P n h ư trên hình 5.18a

2 C họn hệ cơ bản tĩnh dịnli: cắt ihanh có kliớp ờ hai đấu FI và thay bàng lực dọc chưa biêì X| Iihưirên hình 5.18b

5 , , X , + A ,p = 0

3 Phưưnu trình chính tác:

4 T ính hệ số ỗ | I và số liạng lự do A|p:

- Vẽ bicu đổ m ôm en uốn (M | )do riêng X| - 1 gây ra và ( M p ) do riêng tái trọng gây

ra trong liệ cơ bản như trên hình 5.19a, b

- Khi lính c h u v ển vỊ chi có thè bỏ qua lực dọc và lực cắt irong các thanh chịu Liỗn

nhưng không được bó qua lực dọc trong thanh có khớp ờ hai dầu chỉ chịu kéo hay Iiéii, Trên hệ cơ bản lực dọc Irong thanh F1 do X| = 1 gáv ra bằna N| = X| = I còn d o táitrọng gây ra bằng Np = 0 Do đó:

5 Giải phương irình chíiih tác: 5 — X| + tìm (iược X| = - —

6 Biểu đồ m ô m e n uốn (M|,) trong hệ siêu tĩnh được võ Ihco biếu thức:

hay:

5Kết quả nhận được biểu đồ (Mp) như trên hình 5.20a

7 Vẽ biếu đổ lực cắt (Qp) và lực dọc (Np)

T heo công thức (5-18) và theo biểu đồ m ôm en uốn (M |J, biểu đồ lực cắt (Q|,) được vẽ

n hư trên hình 5.20b Tách các nút của hệ như irẽn hình 5.20c và ihco biếu đồ lực cắt (Qp), dễ dàng vẽ được biếu đồ lực dọc (Np) như Irẽii hình 5.20d

8 T im chuyển vị thẳng tương đối iheo phương imang aiữa hai khóp F và I

Tạo trạng thái khả dĩ "K" Irèn hệ cơ bán: tại hai khớp F \'à I theo phương ngang dặt hai lực Pị^; = 1 ngược chiều nhau \'à vẽ biểu dồ (M'|^) như trên hình 5.20e

EA = const, do đó biến dạng dài trons thanh bằng:

A.r, = - ^ P - ^ = - — Dấ u trừ nghĩa là thanh FI bị co lại

B À I T Ậ P L U Y Ệ N T Ậ P

Vẽ các biếu đổ m ô m e n , lực cắt, lực dọc \'ìi lìm c h u y ển vị tại liếl diện K Irong hệ siêu

tĩnh chịu tải trọng cho trên h ình 5.2.1

p = 4qa

K D

|3 a B

T ư ơng lự n h ư khi tính hệ c h ịu tải trọ n g , hệ c ơ bản c ũ n g được c h ọ n bàn g c á c h loại

bò bót các liên kết thừa T h ô n g thường loại bỏ tâì cả các liên kếl thừa đế có hệ cơ bản tĩnh định

2 Hệ p h ư ơ ng trình c hí nh tác

Từ việc so sánh sao cho hộ c ơ bán và hệ siêu tĩnh làm việc g iố n g nhau, cần:

- Trên hệ cơ bán tại các vị trí loại bỏ liên kết đặt vào các ẩn số lực tương ứng X |,

X,,

- Trên hệ cơ bân thiết lập các điều kiện chuyển \'ị tương ứng \'ới vỊ tn' và phương của án

số X |, X ^ X | , do các lực X |, X , x „ và sự thay đổi nhiệl đ ộ gây ra phải bằng không;

"^K(X|,X x„.t) - 0 ''ới K - 1, 2 n

Hay:

Lần lưọl cho K = 1 2 n sẽ nhận được hệ phương trình chính tắc:

Ô.ịX, + Ô32X , + + Ô2n^n + " ^2l = 0

+^^n2^2 + - + ỗnn^n +

T ro n g dó:

Các hệ sô chính c\|^ và các hệ số phụ ỗKni theo các công thức (5-5)

và (5-6) hay (5-7) \’à (3-8) N hư vậv các liệ số cùa hệ phương tiìn h chính tắc trong phương pháp lực chi phụ thuộc vào cấu tạo của hệ siêu tĩnh và các h c họn hệ cơ bán

N g u vên nhân tác dụng được thê hiện qua số hạng tự do

A|^, - chuycìi \'Ị tương ứng với vị trí và phươiig của lực X|^ do sự thay đổi nhiệt độ gây

ra irong hệ c ư bán ncMi được xác định theo c òng Ihức chuyên \ Ị (4-17) N ếu hệ c ơ bản là lĩnh đ ịn h thi A|^| dược xác định ihco c ò n a thức (4-22):

3 X á c định nội lực và c h u y ế n vị trong hệ siêu tĩnh

Sau khi giái hệ phương trình chính tắc và tìm được các án số lực X |, Xt Xj^ vì hệ

c « bản làm việc giông hệ siéu tĩnh nên nội lực và chuyển vị tại tiết diện bất kì trên hệ cơbũn do các lực X | X2 và sự thav đổi nhiệt độ eây ra c ũ n g chính là nội lực vàcliuycn vị tại tiết diện tương ứng trên hệ siêu tĩnh do sự thav đổi nhiệt độ gây ra Do đó;

s, = s ,x , +S2X, + + S „X ,+ S ;’ ( 5 - 21 )

T ro n g đó:

Sj - đại lượng nehiên cứu trên hệ siêu tĩnh do sự Ihay đối nhiệt độ gây ra;

S|^ - đại lượna nghiên CÚII trên hệ cơ bản do riêng lực X|^ = 1 gây ra;

s | ’ - đại lượno nghiên cứu trên hệ c ơ bản do riêng sự thay đổi nhiệt độ gây ra

N ếu clion hê cơ bán tĩnh đinh thì:

• Vẽ các biểu đồ nội lực

Sự ihay đổi nhiệt độ k h ô n g gây ra nội lực trong hệ ũ n h đ ịn h nên = 0 côn g thức (5-21) viết dưới dạng biểu đ ồ nội lực là:

(S ,) = (S ,)X , + ( S , ) X , + + ( S J X „ (.V22)Nếu biểu đồ m ô m e n uốn (M() được vẽ trước thì biếu đồ lực cắt (Qị) được vẽ theo biếu

đồ m ỏ m e n uốn (Mj) và biểu đồ lực dọc (N() được vẽ theo biểu đồ lực cắt (Q|) tương lự như trường hợp tính hệ siêu tĩnh chịu tải trọng

• T im chu yển vị tại tiết diện K

Vì hệ cơ bản làm việc giống hệ siêu tĩnh nên chỉ cần tạo trạng thái khả dĩ "K" trên hệ C(í bản như khi vẽ biểu đồ nội lực, đồng thời vì sự thay đổi nhiệt độ còn gây ra chuyến vị trong

hệ cơ bản tĩnh định nên theo công thức chuyển vị (4-17) và nguyên lí cộng tác dụng, có;

Kt

a ( t , - t , )

Q -,) + Ỵ 'at^Q-(i - thành phần ch u y ển vi tai tiết diên K trong hè cư

bản lĩnh định do sự thay đổi nhiệt độ gây ra

Q - „ và Q-(| - diện tích biểu đồ m ô m e n uốn ( M ‘|^ )v à biểu đồ lực dọc (N'|^) trongtừng thanh của hệ cơ bản tĩnh định ở trạng thái khả d ĩ "K" do lực 1 \ = 1 hay m ô m c n

V í d ụ 5.3: Vẽ biểu đồ m ôm en uốn và tìm

độ di động của gối c trong khung siêu tĩnh

chịu sự thay đổi nhiệt độ như trên hình 5.21a

Cho biết EI = const Hệ số dãn nở vì nhiệt

của vật liệu là a Tiếl diên củ a các thanh là

hình chữ nhật có chiều cao h = const

Biêu đổ m ôinen uốn (Mị) vẽ như trên hình 5.22c.

Đ ộ di động của gối c chính là chuvển vị theo phương n ga n g tại tiết diện c Do đó cần tạo trạng thái khá dĩ "K" trên hệ cơ bản như khi vẽ biểu đồ (Mj), tại c theo phương ngang đặt lực P|< = 1, tiếp đó vẽ các biểu đồ ( M k ) và (N^J^) n hư trên hình 5.22d, e Theo (3-24) và chi kc đến ánh hưởng của m ỏ m e n uốn có:

A,, = ( M " ) ( M , ) + a "

( K m ) = ị j a > ( 1- + / / 9 , ( 1 ^

■a(2t - t ) /./ 2t + t , , , - — + a — — • l./ = a t / I 3

th u ộ c các ỉiên kết tựa tại ngàm B có c h uy ến vị cư ỡng bức và thay bằng các án số lực X |,

X , X-, n hư trên hình 5.23b, thì điều kiện c h u y ể n vị tương ứng với lực X | X t X3 do các lực X |, X ,, X3 gây ra trên hệ cơ bản sẽ khác k h ô n g và phải bằng các c huyến vị tương ứng tại ngàm B có c h u y ể n vị cưỡng bức trên hệ siêu tĩnh D o đó;

^1(X| x , X,) = A,X, + ^ 1X, ^= ỗ,,x, + 0,2X2 + Ô , , X3 = - a

^2(X, , X T , X3) + ^2X + ^ 2X3= ô,_,x, + S22X, + Ô23X,:= b (a)

^?(X|, X T , X3) = A.,X, + ^3X3 + ^3Xì = Ô3,X, + Ô32X, + 0,3X3 == (p

Nếu chọn hệ cơ bàn bằng cách cắt các liên kết ihừa thuộc các liên kếl tựa tại ngàm B

và thay bằng các cặp lực tương ứng X |, Xj, X3 bằng nhau và imược chiều như irên hình ‘S.23c, ihì điều kiện chuyên vị lương ứng với cặp lực X |, X-, X3 do các lực X |, X ,, X3 và

ch uyển vị cưỡng bức của liên kêì tựa gây ra trên hệ cơ bản sẽ luôn luôn bằng không vì các c h uyến vị này là chuycn vị tương đối giữa hai điểm m và n thuộc tiết diện bị cắt

Do đó:

' ^ l í X , Xn X- ; Z) “ ' ^ I X | ' ^ 1X2 ■*' ^ I X , + ^ I Z ~ ^1 1 ^ 1 + ^' ^12^2 ^ 1 3 ^ 3 ■*" ^ 1 Z “ ^

‘^2(X| Xt X’ /,) ~ ‘^2X| '^2X1 '^2Xì ^ '^2Z “ ^21^1 ^22^ ; ^23^3 ~ ^

A? ( X | X : , x , / ) “ ' ^3 X| ■^■'^3 X2 " ■ ^ 3 1 ^ 1 ■ • ■ ^ 3 2 ^ 2 ^ : í Z

Aự^y với K = 1, 2 3 là chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của cặp lực X|<; do

c huycn vị cưỡng bức tại các liên kết tựa gây ra trong hệ cơ bản tĩnh định nên được xác định theo còng ihức chuvcn vị (4-21):

A k z = - I R , k A

( J )

(5-25)

Trong đó;

R - phán lực tại gối tựa l h ứ j do riêng lực X|<; = 1 gây ra trong hệ c ơ bản;

Aj - chuyển vị cưỡng bức tương ứng với R j | ^ tại gối tựa thứ j

Trên hình 5.23d, e, f thể hiện các phản lực khác không tại ngàm B có chuyển vỊ cưỡng bức lần lượt do X| = 1, X2 = 1 và X3 = 1 gây ra trong hệ c ơ bản T heo (5-25) có:

= a

Thay các giá trị này vào hệ phương trình (b) và c h u yển sang vế pliái sẽ n h ậ n được hệ phương trình (a).

Như vậy, khi tính hệ siêu tĩnh chịu c huyển vị cưỡng bức của các liên kết tựa, để vè' phải của hệ phương trình c h ín h tắc luôn luôn bằng khôn g thì hệ cư bàn phải được chọn bằng cách cắt liên kết thừa tại các liên kết tựa có c h u yển vị cưỡng bức m à không loại b(’)

- Đối với các liên kết thừa tại các liên kết tựa kh ông có c h u y ể n vị cưỡng bức thì có thế loại bỏ và thay bằng các ẩn số lực tương ứng

- Đối với các liên kết thừa tại các liên kết tựa có c h uy ển vị cưỡng bức hay là các thanh có sự c h ế tạo k h ô n g chính xác thì không được loại bỏ m à chỉ được phép cắt và thay bằng các cặp ẩn số lực tương ứng bằng nhau và ngược chiều

Lúc này hệ phương trình c hính tắc của phương pháp lực luôn có v ế phải bằng khống

và theo ngu yên lí cộng tác dụ ng có dạng sau:

Ô |,X | + Ỗ12X2 + + ô|^X „ + A|2 + A | a = 0Ô2|X| + 522X2 + + ỗ2„X„ + A22 - 0

ỗ n l^ l + Ồn2 ^ 2 + - + + ^nA - 0

(5-26)

- Khi hệ siêu tĩnh chỉ chịu c h uy ển vỊ cưỡng bức của các liên kết tựa, số hạng tự do

Aị^y được xác định theo c ô n g thức (5-25).

- Khi hệ siêu tĩnh chỉ chịu sự c h ế tạo k h ô n g chính xác thì số hạ n g tự d o là

ch uyển vị tương ứng với cặp ẩn s ố lực Xị^ do sự c h ế tạo khô n g chính xác gây ra trong hệ

cơ bản nên được tính theo cô n g thức c hu yển vị (4-25):

A ị - độ c h ế tạo không chính xác trong thanh Ihứ i và bằng chiều dài thực /|‘ trừ đi

c hiều dài thiết k ế /*'' của thanh thứ i (A, = /,‘ )

3 X ác đị nh nội lực và chuyể n vị tr ong hệ siêu tĩnh

Sau khi giải hệ phương trình chính tắc và tìm được các ẩn số lực X |, X9, vớitừng n g uy ên nhân tác dụng riêng rẽ cũng tương tự như khi tính hệ siêu tĩnh chịu tải trọng hav sự thay đổi nhiệl độ, đại lượng nghiên cứu s tại tiết diện bất kl trong hệ siêu lĩnh do lừng n guyên nhân tác dụ n g riêng rẽ sẽ được xác định theo biểu thức sau:

Sv = s , x , +S X, + + S + s

S , = S , X , + S2X , + + S „ X , + S Ỉ

(5-28)(5-29)

C huyên \’Ị cưỡní? bức cúa lièn kết lưa và sư c h ế tao không chính xác cũng không gây

ra nội lực trong hệ lĩiili dịnh nên Sỵ = 0, = 0 Công tliức (5-28) và (5-29) viết chungdưới dạn g biểu đồ là;

( S ^ = (S, )X, + (S2 ) X , + + (S\ )X , (5-30)

• T im ch u y ển vị tại tiết diện K

Cũng chỉ cần tạo irạng thái khả dĩ "K" trên hệ cơ bản như khi vẽ biểu đồ nội lực, đồng thời vì sự chuyển \'Ị cưỡng bức của các liên kết tựa cũng như sự c h ế tạo không chính xác

cò n gây ra chuvến vị trong hệ tĩnh định nên theo công thức chuyển vị (4-17) và nguyên lí cộng tác dụng, có:

D (p = ũ,ũ35rad

Biểu đổ m õm en uốn (Mỵ) được vẽ theo biểu thức:

(M ^ ) = ( M |) X , =(ỈVI|)0,002E1 Biếu dồ m ôm en uốn (M /) như trên hình 5.25a

T ách các nút D và c như Irên hinli 5.25c Tim được

= 2.10 ^’EI Biếu đổ lực cát ( Ọ ỵ ) và lực dọc ( N ỵ ) như

irèn hình 5.25b, d

Tạo irạng thái khá dĩ "K" trẽn hệ cơ bán n hư khi vẽ biếu

đổ (M^) đế tìm chuvểii vị Iháng dứng tại nú t c , vẽ biếu đổ

m ô m e n uốn và tìm các phán lực Rjị^ do lực P|<^ = 1

gáy ra n hư irên liình 5.26 'ĩlieo công thức (5-33) và chi kế

đến anh hướng của inômcn uốn tính chuyến vị thảng đứng lai nú t C:

9

6 + - 6 3

V í d ụ 5.5: Vẽ biểu đồ m ôiĩien uốn và tìm c h u y ển vị thảng tương đối theo phương

ngang giữa hai nút cứng D và G trong khu n g siêu tĩnh cho trẽn hình 5.27a khi thanh EF

T hay kết quả tính vào hộ phương trình chính tắc có:

theo phươ ng ngang giữa hai

Có ihc tính Aq|5 như sau:

Biến dạn g dài trong llianh EF bằng:

Do đó;

= A - = A - 0 ,81 98 A = 0 ,1 802A

5.4.2 Vẽ các biểu đồ nội lực và lìm chu y ển vị ngang tại tiết diện K trong hệ chị u các

n g u v é n nhân tác dụng cho trên hình 5.4.2

Đ ể tránh những sai lầm khi tính hệ siêu tĩnh theo phương pháp lực, cần c ó các biện

p h á p kiểm tra từng bước trong quá trình lính đổ phát hiện những sai lầm có thế đã mắc phải K inh nghiệm tính toán cho thấy những sai lầm thường có Ihể xảy ra khi thực hiện các bước tính trung gian như: xác định nội lực và tìm chu v ển vị Irong hệ cơ bản, giài hệ phương Irình chính tắc

Các biện p h á p kiổm tra tính toán được trình bày dưới đây đ ều đúng trong mọi trư ờ n g hợp khi lính ch u y ển vị theo c ô n g thức phải lấy tích ph ân h ay ihco cách n h â n biêu đ ồ và kê đến ảnh hưởng của tất cả các thàn h phần nội lực Đế’ cho gọn, các biện

p h á p n à y được trình bày với c ác h lìm c h u v ển \ Ị bằng n hân b i ể u đổ và chi kế đến ánh hướno c ú a m ô m e n uốn.

Các bước cần ihực hiện kiểm tra là:

1 K i ể m tra hệ cư bản

Hệ c ơ bán luôn phái là m ột hệ bất biến hình

2 K i ê m tra các biêu đó đo n vị (Mị^) và biểu đồ (Mp)

Người thực hiện cấn nám \ ững và có kĩ năng vận dụng những q u v định c h u n g và cáchxác d in h nội lực trong kết Cấu hệ ihanh đẽ kiếm tra trị số, dấu của nội lực trong từng

đo ạ n thanh

3 K i ế m tra các hệ sò ô|^|„ t r o ng hộ phương trình c hí nh tác

Gọi ( M5) là biếu đồ đơn vị tống cộng do các lực X | = 1, X t = 1, = 1 đ ồ n g ihờigây ra trên hệ cơ bán Biếu đổ ( M5) có thế vẽ iheo biểu ihức sau:

( M s ) ( M s ) = X

m - ỉ K = 1

4 Ki ểm tra c ác só h ạ n g tự do t r o ng hệ phương trình c h ín h tác

a ) K hi hệ siẽii lĩiili chịu idi trọng, kiểm trư cúc sô'hạiìịị tự do

L ấy biểu đồ đơii vị tổng c ộng (M g ) nhân với biếu đổ (M p ) có;

( Ms) ( M " ) = [ ( M , ) + ( M , ) + + ( Mk) + + ( M „ ) ] ( M ‘; )

= ( M i )( m Ị;) + ( M 2 ) ( m J) + , + (M,^)( m ' p ) + + ( M „ ) ( m J)

+ ^2r + - ” + ^Kp + - + ^np == X ^ K p

N h ư vậy kết q u ả nhân biểu đồ đơn vị tổng cộng ( M5) với biếu đó (M p) phải báng

lổ ng các sỏ' hạ n g tự do A|<;p của hộ phương trình chính tắc:

(') K h i h ệ siêu tĩn h chịu chuyển yị Cỉỉỡní’ hức của các liên kết tựu ha\' s ự c h ế tạo klióuíỊ ch ín h xúc K iể m tru các sô' liạní> tự do Aị^y và ầỊ^,y

C ũ n g c h ứ n g m in h tương tự như trong trường hợp ở mục b Trong các trường hợp này tổng các sô' h ạ n g tự do A|^ỵ hav của hệ phương trình chính tắc được kiếm tra theo

c ò n g thức sau;

n +^2Z + -+^nZ

= A|2 + A22 + + Aj^2 =

n

Trong đó; Rj(Ị và NỊ; - phản lực tại gối tựa thứ j tương ứng với c h u y ể n vị cưỡng bức

Aj và lực dọc Irono thanh thứ i do các lực X | = 1, X j = 1, = 1 đ ồ n g thời c ù n g tác

d ụ n g gày ra tro n g hệ cơ bản

Kinh n g h iệ m tính toán cho thấy đổ nhận được kết quả cuối c ùng có đ ộ ch ín h xác đến

m con số sau dấu thập phân thì kếl quả tính các nội lực và các phản lực tro n g hệ cơ bán, kết quả lính c á c hệ số và sổ hạng tự do cúa hệ phưong trình chính tắc c ần có độ chính xác đến (m + 2) con số sau dấu thập phân

5 K i ê m t r a kết quả giải hệ phưưng trình chính tắc

Sau khi tìm được các ẩn số X |, X2 x ^ lần lượt thay X |, X2, vào từngphương trình của hệ phương trình chính tắc, nếu các ẩn sò đúng thì các phương trình

ch ín h tắc đ ề u phải bàng khống Tuy nhiên trong thực hành thưcíng xảy ra là các phươ ng trình chính tảc đều xấp xỉ bằng không do việc làm tròn các số liệu tro ng các bước tính irung gian T ro n g các trường hợp này sai số m ắc phải có Ihể được c h ấ p nh ậ n nếu nhỏ hơn sai số đ ã được quy định

6 K i ế m tr a kết qu á cuối cùng

ơ) K hi h ệ siêu tĩììh chịu tới lrạiìỊ>

Biểu đồ đ o n vị (M|<; ) d o riêng Xị^ = 1 gây ra irong hệ cơ bán hoàn toàn có thể x em là biểu đồ đ ơ n vị (MỊ^ ) ớ trạng thái khá dĩ "K" được tạo ra trên hệ c ơ bản đ ể tìm c h u y ể n vị tương ứng với vị trí và phương cúa lực X|<; do tải trọng gây ra trong hệ siêu tĩnh T uv nhiên trong h ệ siêu tĩnh chuyến vị này luôn bằng không vì tại K có liên kết thừa tương ứng ngăn c ả n D o dó theo công thức (5-12), kết quả nhân biểu đ ồ (Mp) với biểu đồ đơn

C ũn g lí luận tưcíng tự như trong trườiig hợp ớ mục a Trong các trư ờng hợp n ày theo

c ò n g thức tìm c h uy ên vị trong hệ siêu tĩnh (5-24), (5-33) và (5-34) suy ra kết q u ả nhân

biểu đổ (M() (Mỵ) và (M ạ ) lần lượt với biểu đồ đơii vị (M|^ ) sẽ phải bàng sỏ' h ạ n g tư clo A|^J Aị^ỵ và A|<.^ của phương trình chính tắc th ứ K nhưng trái dấu.

Vỉ d ụ 5.5: V ẽ các biểu đ ồ nội lực và tìm c h u y ể n vị theo phươiig n gang tại núl F trong

hệ siêu tĩnh chịu tái trọ ng c h o trên hình 5.29a L ập hệ phương trình chính lắc của hệ khichỉ có thanh xiên FH chịu sự thay đổi nhiệt đ ộ với 10" ở phía trên và 16^' ở phía dưới

Cho biết thanh xiên có hệ số dãn n ở vì nhiệt a = 10'^ và tiết diện là hình chữ nhật với

4 4 2

4 + ( 2 8 8 + 2 4 4 + 8 4 + 4.8) +2.3E I 3 6.3EI