Cơ học kết cấu tập 2 phần 2

Như vậy chỉ số thứ nhất chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt chứa ứng suất, chỉ số thứ hai chỉ phương của ứng suất tiếp.Trên hình 8.2b, c thể hiện các thành phần ứng suất trên mặt cắt song

- Có thổ chọn lựa và hoàn c h ỉn h các mô hình tính toán phản ánh chính xác tối đa sự làm việc của vật liệu và cùa kết cấu cồim trình Irong tliực tế.

- Có thê thay các giả thiết gần đúng được chấp nhận trong tĩnh toán trước đây bảng các dicii kiện chính xác và phù htíp hơn với sự làm việc của kết cấu công trình

- Khối lượng tính khổng còn là \'ân đề klió khăn dẫn đến \ iệc tăng độ chính xác của kci (ỊUii lính

- Có thế lĩiớ rộng các phương pháp lính kết cấu hú thanh trong cơ học kết cấu dế áị) dụng tính hệ kết cấu bất kì không phải hệ thanh như kốt cấu dạng bản, vỏ, kèì cấu tổng hợỊ)

Với sự trự giúp cùa MTĐT các phưírtig pháp tính hiện đại đáp ứng các yêu cầu trên thường (lẫn đế việc mò tả đại lượng nghiên cứu theo một tập hợp số tại một số hữu hạn các diêm Irong kết cấu nên được gọi chung là phương pháp số Thay việc tìm hàm nghiệm giải tích liên tục cứa đại lượng nghiên cứu các phưríiig pháp số chí xác định được những giá trị rời rạc của đại lượng nghiên cứu nên phương pháp số còn được gọi là phươno pháp rời rạc hoá Có thể chia thành hai cách rời rạc hoá sau:

- Rời rạc hoá toán học, nghĩa là rời rạc hoá phương trình Cho phương trình của đại lượng nghiên cứu thoả mãn tại một số điếm được chọn trước Tại mỗi điếm thay phương trình của đại lượng nghiên cứu bằng hàm xấp xí chứa các giá trị số của đại lượng nghiên cứu tại điểm đó và tại một sô hữu hạn các điểm lân cặn được chọn trước Thuộc loại này

có các phương pháp như phương pháp sai phân hữu hạn phương pháp rời rạc hoá toán tử

vi phân

- Rời rạc kết cấu nghĩa là kết cấu liên tục được tướng tưọtig chia nhỏ thành nhiều các kết cấu con, mỗi kết cấu con được gọi là một phần tử hữu hạn (PTHH) Trong phạm vi mỗi phần tử hữu hạn chấp nhận những kết quả nghiên cứu gần đúng với sai số chọn

trước khống quá lớn Sau đó các PTHH được xem liên kết lại với nhau tại một sò điẽm chung Giá trị của đại lượng nghiên cứu lại các đicm chung được xác định dưới dạna số Các phương pháp thuộc loại này được gọi là phương pháp phần tử hữu hạn.

một trong những ngôn ngữ phù hợp với việc thực hiện tính toán giá trị số cúa dại lượiig nghiên cứu trên MTĐT

8.2 NGOẠI L ự c VÀ ÚTVG SUẤT

Xét một vật thể đàn hổi tuyến lính bất

kì được đạt trong hệ trục toạ độ Descartes

oxyz như trên hình 8.1 Vật thể ở trạng

thái cân bằng và chịu tác dụng của các

ỉ ực sau:

lực ihể tích đơn vị, tác dụng lại từng điểm

nằm trong vật thể V í dụ trọng lượng bản

thân, các lực quán tính Cường độ p của

lực thể tích đơn vị là giá trị của lực trên

một đơn vị thể lích Kí hiệu các thành

phần của lực ihể lích đơn vị tác dụng theo

các vật thể, giữa vật thể và môi trường V í dụ áp lực của tải trọng sử dụng lên mặt sàn, của nước lên thành đập chắn, của gió lên công trình Cường độ f của lực phân bố diện tích đơn vị là giá trị của lực trên một đơn vị diện tích K í hiệu các thành phần của lực diện tích đơn vị tác dụng theo phương ox, oy, oz lần lượt là f^, fy, 4 , vectơ lực diện tích đơn vị có dạng:

fv

fz

Đơn vị lực Đơn vị thể tích

bằng cường độ của lực nhân với diện tích phàn bố

L.úc Iiàv iroiiíi \ ặl thc xuất hiên sự thay dc'i i:ủ.a lực tương tác giữa các phần tử vật

cliáì, được uọi ià nội lưc Đế tìm nội lưc ihườne sử dụng phương pháp mạt cắt Tưỏng

tirơnu dùntỉ mặt cãt 71 chia vậl ihế đang xci thành hai phầi: A \ à B như trên hình 8.1 Tác

dụiiii tưong hỏ aiữa liai phần bị cắl là niộl liê iirỊi lực với cường độ nào đó và phân bố

ihco inột quv luâl nào dó ticn diện lích bị cất s Thav hẽ nội lực phân bố bằng hợp lực Sp

\'à iriỏmen s^, dược gọi là nội lực lại mặt cát s và được xác định từ các điềư kiện cân

bàim của phán bị cãt A hay phần bị căl B

luycn \\ được kí hióLi là Pv và được gọi là ứna suất toàn phần lại điểm M Nếu xem hợp

lưc dPcúa hệ nội luc phân bố trên diện lích vô cùng hé dS lấy bao quanh điểm M thì ứng

sual toàn phán tại điếm M dược \ác dịnh ihco biểu thức sau:

Pv = lini ^Như vậ\ ứng suấl toàn phẩn lại điếm M là một voctư có giá trị và phương phụ thuộc

\’àt) \ ' 1 irí cúa diCMn M và pháp tuyến V úiie suất toàn phan thường được phân tích thành

3 ứng suất thành phần llico phirơng các trục loạ độ o\ 0 >', oz lần lượt kí hiệu là Xy, Yv,

/.v Do đó:

P\' = Xv + Y, + ZvKhi inat cãt s song soim vứi inặi toạ dộ thì pháp tuyên cua mật cắt chính là trục toạ

clộ tương ứng Ví (lụ klii mật căt s song song với mật toạ fjộ oyz như trên hình 8 2 a thì

pháp tuyến của mặt cắt là trục ox vù ứng suat trên mat cắr này là x^, Y^, ' L ^

Ilinh 8.2

cát có pháp tuyến ox \'à có phươiiíỉ song sona với các Iruc toạ độ tương ứng oy và oz

dưực aọi là ứno suất tiếp

Đc kí hiệu ứn” suãì có ihế sử dụng các hệ kí hiệu khác nhau Nếu kí hiệu ứng suất

[•)háp là ơ (siunia) \'à ứniỉ suâì liếp là T (ló), có;

luvcn cua mãl cãl chứa ứng suất \'à pliương cúa ứng suất pháp

= T^y, - các ứng suất tiếp nằm trong mặt cắt có pháp tuyến ox và cóphương song song với trục oy, oz Như vậy chỉ số thứ nhất chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt chứa ứng suất, chỉ số thứ hai chỉ phương của ứng suất tiếp.

Trên hình 8.2b, c thể hiện các thành phần ứng suất trên mặt cắt song song với mặt toạ

độ oxz có pháp tuyến là trục oy và trên mặt cắt song song với mặt oxy có pháp tuyên là trục oz, đi qua điểm M(x, y, z) bất kì thuộc vật thể

Quy định về dấu của ứng suất như sau:

- Nếu pháp tuyến của mặt cắt chứa ứng suất hướng theo chiều dương của trục toạ độ tương ứng và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của trục toạ độ tươne ứng thì ứng suất được xem là dương

- Nếu pháp tuyến của mặt cất chứa ứng suất hướng theo chiều âm của trục toạ độ tương ứng và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của trục toạ độ tương ứng thì ứng suất được xem là dưcíng

- Các trường hợp khác với nội dung trên thì ứng suất được xem là âm

Trên hình 8.2 các ứng suất được thể hiện đều là ứng suất dương Như vậy, trên ba mật cắt trực giao vuông góc với các trục toạ độ ox, oy, oz và đi qua điểm M(x, y, z) bất kì thuộc vật thể đàn hồi tuyến tính cân bằng, trong trường hợp tổng quát luôn có 9 thành phần ứng suất Tại các điểm khác nhau trong vật thể các ứng suất có các giá trị khác nhau và là hàm sô' của toạ độ tại điểm đang xét;

- Ba ứng suất pháp:

- Sáu ứng suất tiếp:

y, z), Qy = ơy(x, y, z), ơ_, = ơ^(x y, 7 )

= T^y (x, y, z), T y , = Ty^ (x, y, z), T y , = (x y, z)

8.3 PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG NAVIER

Bằng những mặt cắt song song với nhau,

cách nhau một khoảng dx, dy, dz và vuông

góc với các trục toạ độ chia vật thể đàn hồi

tuyến tính cân bằng khi chịu tác dụng của

ngoại lực như trên hình 8.3 thành:

- Những phần tử hình hộp, mỗi phần tử

có 6 mặt nằm trong vật thể

- Những phần tử ít nhất có một mặt trùng

với bề mặt vật thể Trong trường hợp tổng

quát, phần tử này có 4 mặt được gọi là phần

Hình 8.3

Xéi phấn tứ liìnli hộp có kích thước d.\, dy, dz trên hình 8.4 Trên mỗi mặt của phần

tử có ba thành phần ứiig suất song sona với các trục toạ độ Các úfng suất trên ba mặt phần tứ di qua đicm 0 (x, y, z) là:

- Trên mật oaee có:

Các ứng suất trên ba mặt phần tử di C|ua điciri d(x + dx, y +dy, z + dz) là;

pliương các trục loạ độ cũng là dương

Từ điều kiện cân bằng tổng hình chiếu cúa các lực tác dụng trên phần tử hình hộp lên pliươns trục ox bàiiíỉ không có:

d xd

Sau khi ihực hiện rút gọn sẽ nhận được phương trình vi phán:

õ \ õ y õ z

phương trình vi phân có dạng tương tự Như vậy ba phương trình vi phân biếu thị điều kiện cân bằng tĩnh của các phần tử hình hộp nằm trong vật the có dạng sau;

Các phương trình (8-1) dược gọi là phương trình cân bằng Navier

Từ điểu kiẹn cân bằng tống mômen của các lực lác dụng trẽn phần lử hình hộp lấy với trục oy bằng khổng, có:

T-*-I

Hitih 8.5

Trên hai mặt cắt vLiỏna góc với

nhau, ứng suất tiếp theo phưưna vuông

g(')c \'ới uiao tuyên chung có trị số bằng

nhau \'à cùno hướng vào hoặc cùng

hướng ra khỏi cạiih chune như irêii hình 8.3

Từ định luật dối ứng của ứng suất tiếp suv ra tại mội diểm bất kì trong vật thế đàn hồi luyến tính càn bằng, trên ba mặt cắt vuòne góc với các iruc toạ độ đi qua điểm đang xét,

T

ơPhương irình cân bằng Navier (8-1) khi kò đến (8-2) có thế viết dưới dạng ma trận:

H ì n h 8 6

Gọi diện tích mật cắt nghiêng abc là dS, có:

- Diện tích mặt oab có pháp tuyến ox bằng:

Trong trường hợp tổng quát trên mỗi mặt của

Trên mặt cất nghiêng abc hình chiếu của ứng suất toàn phần Pv lên phương các trục toạ

độ ox, oy, oz lần lượt kí hiệu là Xv, Yy, Zv Từ điều kiện cân bằng tổng hình chiếu củacác lực tác dụng trên phần tử hình tứ diện lên phương ox bằng không có:

bậc ba), so với các số hạng còn lại là vô cùng bé bậc hai có:

(-ơ^/ - Ty^m - T.^^n + X^, )dS = 0

hai biểu thức có dạng tương tự Như vậy ba phương trình cân bằng biểu thị quan hệ giữa

ba ứng suất trên mặt cắt nghiêng có pháp tuyến V và sáu ứng suất trên ba mặt cát vuông

Phương trình (8-5) biếu thị điều kiện cân bằng cùa mọi điếm nằm trên b ề mặt vật thể, được gọi là điều kiện cân bằng trên bề mặl và có thế viết dưới dạng ma trận:

cán bằng Navier (8-3) và diéu kiện cân bãng trên bé mặt i8 -6 ) thì vật thể sẽ ỏ trạng thái

c â n b à n g

8.5 P H Ư Ơ N G TR ÌN H C A N C H Y - QUAN HỄ (ỈIỪ A BIẾN D Ạ N G V À C H U Y Ể N v ị

Trong hệ trục loạ độ Oxyz (liếm A(x, y, z)

thuộc vật thể đàn hồi tuyến lính, dịch chuyến

đ ế n v ị trí m ớ i A | ( X | , y , , Z|) sau k hi vật thể bị

biến dạng ĐoạnAA|được gọi là chuyển vị

thẳng của điểm A (hình 8,7)

Hình chiếu chuyên vị thắng của điểm A

lên phương các trục toạ độ ox oy, oz bằng

hiệu số toạ độ của các điểm A| và A:

;y

-A ,(x i,y i,z ,) A(x,y,z) w

u 1

Điểm a có chuyển vị thẳng theo

Điểm b cách điểm a một vi phân chiều

dài dx có chuyển vị thẳng theo phương

=rx.-Các biến dạng tỉ đối cũng là hàm sò' của loạ đỏ tai điểm đang xét.

Quy định vể dấu của biến dạng như sau:

- Biến dạng dài tỉ đối e được xeiri là dươiig khi là biên dạng kéo và được xein là âm khi là biếi) dạng Iiéii llìẽu i)liU'ờ'iìg diliìổ Xcl

- Biến dạng góc u’ đối y clươc xem là dương khi gf'x giữa các chiều dương theo phương các trục toạ dộ lương ứng bị thu hẹp lẹi và được xem là âm khi góc giữa các chiều dương theo phương của các trục t(w độ lương ứng bi táng lên

Các biếu thức (8-7) được gọi là phương trình Cauchv và có thể viết dưới dạng ma trận như sau;

0

c

u

\'w

v]* - ma trận chuyển trí của ma trận toán tử vi phân có kích thước ( 6 X 3);

e] - vectơ biến dạng tỉ đối biểu thị trạng thái biến dạng tại một điểm trong vật thể và

là ma trận cột có kích thước ( 6 X 1);

Như vậy nếuchotrước vectơ hàm chuyển vị [u] tại một điểm trong vật thể đàn hồi tuyến tính cân bằng thì có thể tìm được vectơ biến dạng tỉ đối tương ứng [e] theo công

tỉ đối thì cần tích phân sáu phưcíng trình Cauchy, số phương trình lớn hơn số án số, do

đó các biến dạng tỉ đối phải có quan hệ phụ thuộc với nhau, Các quan hệ này được thiết lập như sau:

y rồi cộng hai phương trình đầu và trừ đi phưcmg trình thứ ba Tiếp đó đạo hàm hai \'ế của biểu thức tổng cộng theo y và sau khi biến đổi sẽ nhận được:

T rong đó:

Biểu thức này cho thấy nếu cho trước ba biến dạng góc tỉ đối trong ba mặt phắng irực giao thì biến dạng dài tỉ đối không được lấy tuỳ ý

Thực hiện tương tự sẽ tìm được điều kiện tưcmg thích của các biến dạng tỉ đối để lích

kiện tương thích có dạng sau:

Trong đó: E - môđun đàn hồi kéo (nén) của vật liệu;

E

2{l + v)Xét biến dạng tí đối cúa phần tử hình hộp có kích thước bé tuỳ ý dx, dy, dz được tách

ra khỏi \’ật thế Biến dạng dài tí đối của cạnh phần tứ theo phương ox bằng:

- Do ứng suâì pháp ơ^, theo (a) có:

- Do ứng suất pháp ơ y và ơ^, theo (b) có:

Trong đó:

xét và là ma trận vuông đối xứng, không suy biến, có kích thước ( 6 X 6 )

Ma trận đàn hồi có cấu trúc sau:

8.7 T R Ư Ờ N G H Ơ P BÀI T O Á N Đ À N H ổ l P H Ẳ N G

Trong trườiig hợp lổng quát lại một điểm VI(x y, z) thuộc hệ đàn hồi tuyến tính bất kì

c h u v ể n vị và 6 b iế n d ạ n g lí đ ố i Các ẩ n s ố nàv đ ểu là h à m s ố c ù a t o ạ đ ộ X, y , z tại điểm

M đang xét và được tìm từ 15 phương trình ià ?> P'hương trình cân bằng (phương trình cân

định luật Hookc Trường họp này được aọi là bài toán đàn hồi không gian Tuy nhiêntrong thực tế việc tính toán một số cỏns trình ihường iỉặp có thể đưa về trường hợp bài toán đàn hổi phắna với các ẩn sỏ là hàm sổ của hai toạ độ tại điểm đang xét Có hai dạng bài toán đàn hồi phắng là bài toán ứng suất phảng \ à bài toán biến dạng phẳng

1 Bài toán ứng suất phảng

Xél inột hệ đàn hồi tuyến tính có kích thước theo

phương trục oz nhỏ hơn nhicu lần so với kích thước

theo phương ox và oy, chịu tác dụng của tái trọng có

phương song song với mặt phảiiií oxy và được xem

là phân bố đéu theo phương oz Ví dụ bán có độ dày

mỏng chịu tái trọng như trên hìnli 8.9 Vì kích thước

của bản theo phương oz là nhỏ nên có ihế xcir tại

mọi điểm trong vát thế trên các măt song song \’ới

phương trục 07. và là hàm số của loạ đ ộ X V tại điểrn

đang xét Lúc này trong bản sẽ xuất hiện trạng thii

ứng suất được gọi là trạng Ihái ứng suất phắng:

Các phương trình cơ bản trong trường hợp nà\' s.ẽ có dạng sau:

õy

d d\

>

_ ^ x y _

- Điểu kiện trên bề mặt:

ổy

a õ

hay [s] = [ v ] ' [u]

õ y ỡxPhương trình liên tục Saint - Venant:

Tronu đó ma trận đàn hồi [D] cùa trạnu thái iniíỉ suất phắng có dạng sau:

ED

2 lià i toán biên dạn g phảng

l'rong Ihực tế thường gặp những hệ kết cấu như iường chăn, đường hầm, đường ống dài, bán dài như trên hình 8 1 0 là những hệ đàn hổi có kích thước theo phương trục oz

phương song song với mặt phẩng oxy và có giá trị khỏns c5ổi theo phương oz

llinh 8.10

điếm trong các mặl phảng song song với mặt oxy Các chuvển vị này là hàm sô của toạ

đ ộ X, y lại đ i ể m đ a n g xét: u = Li(x, y ) , V = v ( x , y)

Trong hệ xuất hiện trạng thái biến dạng được gọi là trạng Ihái biến dạng phắng:

ứng suất ơ^, ơ^, trong mặt phắng oxy Theo biểu thức thứ ba của định luật Hooke tổng quái(8 -1 0) có;

- các hằng số đàn hồi quy ước.

(d)

xy £ -x y

Từ các biểu thức (a), (b), (c), (d) suy ra trong hệ lúc này xuất hiện trạng thái ứng suất:

ơ^ = ơ^(x, y), ơ y = ơ y ( x , y), = T , y ( x , y), = 0

Các biểu thức quan hệ giữa biến dạng và ứng suất (b), (c), (d) có thể viết dưới dạng;

Như vậy trong bài toán biến dạng phẳng các phương trình cơ bản vẫn có dạng như

(8-13), điều kiện trên bề mặt (8-14), 3 phương trình Cauchy (8-17), 3 phương trình định luật Hooke (8-17), chỉ khác là trong bài toán ứng suất phẳng ma trận đàn hồi [D] được xác định theo công thức (8-18) còn trong bài toán biến dạng phẳng ma trận đàn hồi [D] được xác định theo công thức (8-20) Tám phương trình này chứa tám ẩn số cần tìm là 3 ứng suất, 2 chuyển vị và 3 biến dạng tỉ đối, đều là hàm số của toạ độ X , y tại điểm đang xét thuộc hệ ở trạng thái ứng suất phẳng hay ở trạng thái biến dạng phẳng

8.8 D Ạ N G M A T R Ậ N C Ủ A N G U Y Ê N LÍ C Ô N G K H Ả DĨ L A G R A N G E

1 C ô n g k h ả d ĩ của ngoại lực

Xét lực tác dụng tĩnh trên hệ đàn hồi cân bẳng Quan hệ giữa lực và chuyển vị điểm đặt của lực được thể hiện bằng đồ thị như trên hình 8.11 Tại thời điểm lực đạt giá trị p thì chuyển vị tương ứng đạt giá trị u Khi lực tăng lèn một giá trị nhỏ ỖP thì chuyển vị

tương ứng cũng lăng lên một giá trị nhỏ

ôu Lúc này lực p +ỖP sinh công trên

chuyên vị nhỏ ỗu bằng:

Nêu bỏ qua vô cùng bé bậc hai, có:

ÔA = p.ỗu

lực gâv ra nên được xem là chuyến vị khá

dì lương ứng với lực p và ỖA được gọi là

còng khả dĩ của lực p Khi trên hộ có

diện tích bề mặt s của hệ thì công khả dĩ của hệ lúc này được xác định theo công thức:

ÔA= [ [ p f [ôu]dv+ |'[f f [ou]dS

Trong dó: [ỏu] = [ôu ôv ô\v]^ - vectơ chuyẻn vị khả dĩ tương ứng

(8-2 1)

2 C ò n g khả dĩ của nội lực T h ế năng biến d ạ n g đ àn hồi k h ả dĩ

Khi chịu tác dụng của các nguyên nhân bén ngoài, tại môt điểm M(x, y, z) trong hệ đàn hồi cân bằng xuất hiện trạng thái ứng suất và hiến dạne được xác định bằng:

- Vectơ biến dạng tỉ đối: [e] =

Y x v yyz Y z x

Đồ thị quan hệ giữa ứng suất và

biến dạng được thể hiện như trên

hình 8 1 2

Khi ứng suất tăng lên một giá trị

nhỏ ỗơ thì biến dạng tỉ đối cũng tăng

này trong hệ xuất hiện sự thay đổi

nãng lượng biến dạng đàn hồi trên

một đơn vị thể tích ôwo được gọi là

thế năng biến dạng đàn hồi khả dĩ tỉ

đối và được đo bằng công khả dĩ của

Điều kiện cần và đủ để hệ biến dạng đàn hổi ở trạng thái cân bằng khi chịu tác dụng của các ngoại lực là công khả dĩ của ngoại lực trên những chuyển vị khả dĩ tưcfng ứng bằng công khả dĩ của nội lực trên những biến dạng khả dĩ tưcmg ứng

Thav (8-21) và (8-23) vào biểu thức trên, nhàn được:

Thực hiện chuyển trí các ma trận, có:

Thay biêu thức định luật Hooke [ơ] = [ D ] [ e ] vào vế phải của phương trình trên, có:

Như vậy phương trình (8-25) chứa các điểu kiện biêu thị sự cân bằng của mọi điểm bên trong và trên bể mặt của hệ đàn hồi, chứa định luật Hooke thể hiện tính chất cơ học ciia vật liệu thòng qua quan hệ iỉiữa ứng suất và biên dạng, nhưng chưa chứa quan hệ biến dạng chuycn vị Cauchy và điều kiện biêu thi sự liên tục của biến dạng và chuyển vị irong hệ Các phươiig tiình này sẽ được kế đến bằns mót hàm chuyển vị xấp xỉ được chọn Irước thể hiện được sự liẽn hệ và liên tục của biến dạng và chuyển vị tại mọi điểm trong hệ

8.9 NỘ I 1)UN(Ỉ PHUONC; P H Á P PHẨN r Ử H l ĩ l l H Ạ N M ỏ H ÌN H C H U Y Ể N v ị

1 Rời rạc hoá kết cáu liên tục

Tướng tượng chia kếl cấu licn tục thành một số hữu hạn các miền nhỏ hay các kết cấu con, mỗi kết cấu con được gọi là một phần tử hiữu hạn f'FrHH) Các PTHH có thể có hình dạng hình học khác nhau và kích thước khác nhau Tính chất cơ lí của vật liệu và cúc đặc trưng hình học được giả thiết là không thay đổi trong phạm vi mỗi PTHH nhưng

có thê thay đổi lừ PTHH này đến PTHH khác Hình dáng, kích thước của PTHH, số lượng PTHH phụ thuộc vào hình dáng, tính chất chịU lực cùa kết cấu liên tục đang xét và yêu cầu về mức độ chính xác của kết quả tính

Đối với kết cấu có dạng hình khối làm việc thay sơ đồ không gian thì PTHH có thế

chữ nhật, đối với kết cấu hệ thanh thì PTHH được chọn là thanh thẳng hay còn gọi là phần tử thanh (PTT), đối với kết cấu có cạnh cong hay mặt cong thì PTHH được chọn có cạnh cong hay mặt cong như trên hình 8.13

Sau khi rời rạc hoá kết cấu liên tục thành các PTHH, các PTHH được giả thiết lièn kết lại với nhau nhưng chỉ tại một sô' điểm quy định thường là tại các đỉnh hay gọi là nút của PTHH Tập hợp các PTHH được nối lại với nhau tại các nút gọi là lưới PTHH Như vậy nếu lưới PTHH có kích thước các PTHH càng nhỏ thì càng làm việc sát với sự làm việc thực tế của kết cấu liên tục đang xét Các PTHH được hình thành theo cách rời rạc hoá như trên được gọi là PTHH tuyến tính Giả thiết các PTHH kề nhau có cạnh chung được nối lại với nhau tại một số điểm nút nằm trèn cạnh chung và xem chuyển vị hay ứng suất (nội lực) tại các nút của các PTHH kề nhau phải bằng nhau và là các ẩn số cán

các nút của lưới PTHH Phương pháp PTHH với ẩn số là chuyển vị tại các nút của lướiPTHH được gọi là phương pháp PTHH mô hình chuyển vị

Trong bài toán đàn hổi phẳng nếu giả

thiết mỗi nút của PTHH tấm phẳng trên

hình 8.14 có hai chuyển vị là u theo

phương ox và V theo phương oy thì

PrHH với chuyển \'ị tại một điểm bất kì thuộc FT’HH Trong hệ loạ độ Descartes chọntrước, hàm chuyển vị lại một điểm bất kì M thuộc phần từ hữu hạn là hàm số của toạ độtại điếm đang xél:

dạng đa thức bậc nhất là phươiig trình ciia đưòìis thảna và sẽ được biểu thị qua các chuyên vị nút của PTHH do đó số các sô hạng cua hàm chuvển vị được chọn phải phù hợp chặt chẽ với sô' nút và số chuyển vị nút cùa PTHH;

v(x, y) = +- (X(-,X + a^y + ơịịXy (8-27)

Trong đa thức của hàm chuvển vị được chọn xấp xí, ơị là các hệ sô' trong quá trình

chọn phái có sô sô’ hạng bằng sỏ' núl của PTHH \ à sô các hệ số ttị của hàm chuyển vị phai bằng só chuyển vị lại các nút của ỈTHH Như vặv PrHH tam giác phắng có ba nút, nếu giá thiêì mỗi núi có hai thành phần chiiyểr, \ ị thl mỗi đa thức của hàm chuyển V

đirợc c h ọ n phải c ó 3 s ố hạng và chứa 3 hộ s ố ư. s u v ra h a i đ a thức c ủ a h à m c h u y ể n V

vị xấp xỉ của PTHíỉ là phương trình của đưừng thẳng Các đưríng thẳng này phải nghiệmđúng với toạ độ của từng đỏi nút một iNhư vậy các đicm nầin trên mỗi cạnh của PTHH giữa hai nút sẽ phải nằm trên đưìmg thảng đã chọn vả các cạnh của PTHH là thẳng trước biến dạng vẫn giữ nguyên là thắng sau biến dạng Vì vậy PTHH được gọi là PTHH phắng tuyến tính

Mỗi hàm chuyển vị được chọn của PTHH chữ nhật ph.ảng tuyến tính theo (8-27) có 4

sô hạng và chứa 4 hệ số a nhưng có số hạng chứa tích số xy là số hạng bậc hai Tuy nhiên do hình dáng của PTHH là chữ nhật nén các điểin nằm trên các cạnh song song với trục ox, có y = const, còn các điểm nám trên các cạnh song song với trục oy, có

X = const Do đó hàm chuyển vị được chọn thec các cạnh của PTHH song song với trục

ox là đa thức bậc nhất đối với X và hàm chuyển vỊ được chọĩi theo các cạnh của PTHH song song với trục oy là đa thức bậc nhất đối \ ới y

Đối với từng PTHH phẳng luyến tính nên chọn hè toạ độ riêng của PTHH sao cho cócàng nhiều toạ độ của đỉnh PTHH bằne không càno tốt, ahư tiTên hình 8.14 Như vậy;Đối với PTHH phảng tuyến tính, hàm chuyển VI chọn xấp KỈ là đa thức bậc nhất có số

• PTHH không gian hình chóp có 4 nút, nếu giả thiết mỗi nút có ba thành phần

u ( x , y , z ) = ttị + U ịX + a ^ y + C L ^ Z

v ( x , y , z ) = a j + ttộX + a - Ị - y + a g Z ( 8 - 2 8 )

u(x, y, z) = ttọ + ttịoX + a, ly + a,2Z

a-a ,

a,a-

(8-30b)

Tương tự, hàm chuyển vị chọn xấp xỉ theo (8-28) và (8-29) của PTHH không gian có

[li] - Vectơ các thành phần chuyên \'ị tại một điểm b â i kì c ó toạ độ X, y, z hay X, y

trong phạm vi PTHH và là ma trận cột có kích thước ( 2 x 1 ) đổi với (8-30a, b) và (3 X 1) đói với 8.30c:

[ A] - m a t r ậ n c á c b i ế n s ố c ú a h à m c h u \ ế n vị đ ư ợ c c h ọ n x ấ p x ỉ , c ó k í c h t h ư ớ c ( 2 X n )

đôi \'ới (8-30a b) và (3 X n) đối với 8.30c) với n là số chuvến vị nút của PTHH đang xét;Ị(xJ - ma trận các hệ số của hàm chuvển vỊ được chọn xấp xỉ và là ma trận cột có kích

t h ư ớ c (n X 1).

Đối với chuvến vị tại các nút của PTHH có;

Thay biểu thức này và (8-32) vào vế phải của (8-25), sẽ nhận được:

Phương trình (8-34) chứa điều kiện cân bằng, định luật Hooke biểu thị quan hộ giữa ứng suất và biến dạng, phương trình Cauchy biểu thị quan hệ biến dạng và chuyển vị với hàm chuyển vị xấp xỉ được chọn trước thoả mãn điều kiện biến dạng, chuyển vị liên tục của PTHH Các đại lượng là vectơ chuyển vị nút [u]g và vectơ chuyển vị khả dĩ chuyển trí [ỗu]' trong (8-34) không phụ thuộc vào dấu tích phân, do đó có thể viết:

[K]j - ma trận độ cứng của PTHH chứa các đặc trưng cơ học, hình học của PTHH và

là ma trận vuông đối xứng có kích thước bằng tổng các thành phần chuyển vị tại các nút của PTHH

[u]g - vectơ chuyển vị nút của PTHH là ma trận cột và là ẩn số cần tìm

[F]j - vectơ các thành phần lực tác dụng tại các nút của PTHH có kích thước vị trí và chiều tương ứng với các thành phần chuyển vị nút của PTHH và được gọi là vectơ lực nút tương đương (TĐ)

Ma trận của [K]g của PTHH có thể được xác định theo công thức được lập sẩn phụ

học của tiết diện: /, A của PTHH Vectơ lực nút TĐ cũng có thể xác định theo công thức được lập sẵn phụ thuộc vào tính chất làm việc của PTHH và nguyên nhân tác dụng trên PTHH

Phương trình (8-37) chỉ đúng trong hệ toạ độ riêng của PTHH, hơn nữa các PTHH lại được liên kết lại với nhau thành lưới PTHH và ẩn số cần tìm là vectơ chuyển vị nút [u]j, của lưới PTHH, do đó việc tính lưới PTHH cần được thực hiện như sau:

1 Qiọn hệ toạ độ của lưới PTHH được xem là hệ toạ độ chung của các PTHH trong lưới PTHH

2 Lập ma trận độ cứng [K]g, vectơ lực nút TĐ [F]g của từng PTHH, trong hệ toạ độ

3 Chuyến ma trận độ cứno [K]^, vectơ lực củ.a nút TĐ [F] của từng PTHH trong hệ

đó chung của lưới PTHH

4 Tạp hợp các ma trận độ cứng [K'] „ vectơ lực nút TĐ [F']^ của từng PTHH, vì các FrH H kề nhau có các nút chung nên có chuna chuvển \ Ị nút, do đó cần khử trùng lặp của các chiiycn vị tại các núl chuns đế nhận đươc ma trận độ cứng [K’]j., vectơ lực nút

TĐ |F']^ cúa lưới ÍTHH (cúa cá hè)

\'à |F']^ \'à phù hợp với kích thước của vectơ chuyên vị nút cần lìm [ư']^ của lưới PTHH

[K'l,[u']^ = [P']^ đế tìm vectơ chuyến vị nút của lưới PTHH

Ịu'],-7 Từ vectơ chuyến vị nút của lưới PTHH Lu'l^ suy ra vectơ chuyển vị nút [u]g trong

hộ toa độ riêng cúa từng PTHH

[f],^ dặt tại Iiút cúa ĨT H lỉ xuất hiện do chuyCMi vị mít [ u \ của l^ H H

[aj, = [D ][^

8.10 Á P D Ụ N (; PHƯONÍỈ PH ÁP P T H H - M Ô H ÌN H C H U Y Ể N v ị t í n h

H Ệ T H A N H

Đế tính hệ thanh theo pliưcmg pháp P1’HH cẩn xây dựng các công thức tính ma trận

độ cứng [KJ^ và vcctơ lực núi tương đươnu [ F | của; các phần tử thanh PTT

1 Ph ần tử thanh có hai đáu là nút cứníỊ

a) M u trận d ộ cửiií> /K/^,

Xét PTT phắng có hai đầu là nút cứng

chịu kéo (nén) do lực phân bố có phương dọc

trục thanh r(x) và chịu uốn do lực phân bố có

phương vuỏng góc với trục ihanh q(x) như

trên hình 8.15a Giá thiết trong phạm vi I^TT

c á c d ặ c trưng c ơ h ọ c củ a vật liệu E, V và c á c

đặc trưng hình học /, I, A là những đại lượng

không đổi Hệ trục ixy có tiục ix Irùnơ với

Irục PTT và trục iy vuông góc với trục PTT,

được gọi là hệ toạ độ riêng của PTT

vị nút Hai chuyển vị thẳng dọc trục là U| và U|^, hai chuyển vị thẳng theo phương iy là V|

và V|^ Các chuyển vị thẳng được xem là dưcmg khi có chiều trùng với chiều của trục toạ

độ tương ứng Hai chuyển vị xoay là (Pị và (P|<^, các chuyển vị xoay được xem là dương

khi có chiều xoay ngược chiều kim đồng hồ Vectơ chuyển vị nút của PTT trong hệ toạ

PTT Từ các điều kiện biên tại các tiết diện đầu PTT:

(p(/) = ttg + 2 a j/ + 3ag/^ = Ọị + 2 a<ị/ + 3ag/^ = (P|<

Giải hai phương trình cuối cùng tìm được:

Thay (a), (b) và (c) vào biểu thức hàm chuyển vị chọn xấp xỉ sẽ nhận được phương trình biểu thị chuyển vị tại tiết diện bất kì X trong PTT thông qua các chuyển vị nút:

Trong đó: p - bán kính cong của lớp trung hoà chứa trục PTT.

Xem lớp trung hoà không bị co dãn Trong hệ trục ixy theo chiều cao tiết diện ngang

h, các điểm thuộc lớp bị kéo cách lớp trung hoà toạ độ(-y)với - h| < y < h2 sẽ dãn ra một đoạn bằng:

h;-yH ;-yH ;

[h; -yH; -yH" H:, -y H ; -yH "]dV

Sau khi ihực hiện nhân ina trận, nhán được :

trung tâm oz của tiết diện

6 1 2 x^

dx =

Imng tâm oz của tiết diên

Sau khi lliực hiện lấy các tích phân, ma trận độ cứng [K]^; trong hệ tọa độ riêng ixy cúa F n r có hai đầu nút cứng được xác định theo công thức sau:

u,EA/00

~ẼÃ/

các phần tử chứa các đặc trưng cơ học và hình học của PTT

h) V e c lư lực nút tương đương [F]^

Tim cách đưa các ỉực r(x) và q(x) tác dụng Irên PTT về hệ lực tương đương chỉ đặt lại

khi có chiều cùng chiều với chiều của trục toạ độ tưofng ứng, mômen nút Fj(p và F|^(pđược xem là dương khi có chiều ngược chiều kim đồng hồ như trên hình 8.15b Như vậy trong

hệ toạ độ được chọn trước, vectơ lực nút tương đương luôn có kích thước, thứ tự và thành phần tương ứng phù hợp chặt chẽ với vectơ chuyển vị nút của PTT Trong hệ toạ độ riêng ixy vectơ lực nút tương đương của PTT có dạng sau;

[ F l= r F F ly I<p ^K x K y KK ( pKhi chịu tải trọng PTT bị biến dạng và các chuyển vị được giả thiết là dương như trên hình 8.15a, Các chuyển vị nút được xem là chuyển vị khả dĩ tương ứng với các lực nút lương đương Khi PTT chỉ chịu các lực nút như trên hình 8.15Ò, PTT bị biến dạng và

c h u y ể n vị lại tiết d i ệ n X là u ( x ) v à v ( x ) c ũ n g được g i ả t h i ế t l à d ư ơ n g v à x e m là c h u y ể n vị

khả dĩ tương ứng với tải trọng r(x) và q(x) Theo định lí về sự cân bằng công khả dĩ của ngoại lực, có:

Tlia;y (8-38) và (8-39) vào vế trái của biểu thức (a), cấc chuyển vị nút không phụ thuộc vàơ dấu tích phân nên:

Thay dạng ma trận của các biểu thức (b), (d) vào biểu thức (a):

R(x)][u]e =[F]J[u]e Sau khi rút gọn và chuyển trí các ma trận có; [F]j = [R(x)]

Thay (8-40) vào biểu thức (c) và từ phương trình trên suy ra vectơ lực nút tương đương trong hệ toạ độ riêng ixy của PTT có hai đầu là nút cứng chịu các tải trọng phân

bố có phưcmg dọc trục thanh r(x) và tải trọng phân bố có phương vuông góc với trục thanh q(x), được xác định theo công thức sau;

(8-44)

Vectơ lực nút tương đương trong hệ toạ độ ixy khi PTT chịu một vài dạng tải trọng

B ả n g 8.1

Pb

s i n a/

Thực hiện tương tự đối với PTT có một đáu là nút cứng, một đầu là nút khớp và PTT

có hai đầu là nút khớp sẽ nhận được các công thức tương ứng để xác định ma trận độ cứng [K]^ và vectơ lực nút tương đương [F], cùa từng PTT

2 Phần tử thanh có đầu trái là nú t cứng và đ ầu phải là n ú t khớp

Đối với PTT có đầu trái ị là nút cứng và đầu phải K là nút khớp trong hệ toạ độ riêng ixy, vectơ chuvến vị nút cùa PTT có dạng:

[ u L = [ u , V , (p, U k '^ k

b) Vectơ lực nút tương đương [F]^

Khi PTT chịu các tải trọng phân bố có phương dọc trục thanh r(x) và tải trọng phân

bố có phương vuông góc với trục PTT q(x) như trên hình 8.19 thì vectơ lực nút tưong đưofng được xác định theo công thức:

[ F ] e =

IX

Flylọ

Vectơ lực nút tương trong hệ toạ độ riêng ixy khi PTT chịu một vài dạng tải trọng

3 P h ần tử th anh có đầu trái là n ú t khớp và đầu p h ả i là nút cứ n g

Đối với PTT có đầu trái i là nút khớp và đầu phải k là nút cứng, trong hệ toạ độ riêng ixy, vectơ chuyển vị nút của PTT có dạng;

vr

a ) M a t r ậ n đ ộ c ứ n g [ K ] ^

Ui EA

0

0

3EI3EI

0

0

EA/

0 0

Khi Ĩ-TT chịu các tải trọng phân bô r(x) v:à

q(x) như trên hình 8 2 0 thì vectơ lực nút iưcmg

đương được xác định theo công thức (8-48)

Veciơ lực nút tương đương trong hệ toạ độ

ricns ixy khi PTT chịu một vài dạng tái trọng