oán học cũng giống như bất cứ môn học nào khác, bạn không thể dồn lại để học vào một khoảng thời gian nhất định. Thay vào đó, hãy học dần, học đều và học hàng ngày mới có thể ghi nhớ dễ dàng. Điều tối kị đối với phương pháp học tốt môn toán chính là học dồn các kiến thức trong cùng 1 lúc. Nhất là kiểu học nước đến chân mới nhảy thì lại càng không nên vì điều đó có thể khiến bạn cảm thấy “no”, khó chịu, căng thẳng trong quá trình học, kiến thức vì thế cũng khó lòng có thể tiếp thu được nhiều.
Trang 1Tất cả vì học sinh thân yêu
1
Các em cần nhớ kiến thức cơ bản sau :
1)Cách xác định tâm mặt cầu ngoài tiếp các hình cơ bản , tứ diện , chop tứ giác , lăng trụ 2)Cách tính bán kính mặt cầu
3)Cách tính diện tích mặt cầu , thể tích khối cầu
Dạng 1 : Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thường
1)Nếu tam giác ABC vuông , thì tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC sẽ là điểm E(trung điểm của BC)
2)Nếu tam giác ABC đều , thì tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC sẽ là giao điểm 3 đường trung tuyến
3)Nếu tam giác ABC thường thì tâm đường tròn ngoại tiếp
sẽ là giao của 3 đường trung trực
Trang 2Tất cả vì học sinh thân yêu
2
Trường hợp đặc biệt , nếu tam giác ABD vuông tại
A , tam giác BCD vuông tại C thì trung điểm I của BD
Sẽ là tâm mặt cầu ngoài tiếp tứ diện ABCD
Vì IA = IB = IC = ID
Dạng 2 : Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tứ giác S.ABCD , không phải chóp tứ giác nào cũng có mặt
cầu ngoại tiếp , việc này còn phụ thuộc vào sự đặc biệt của hình ví dụ như sau :
+)Nếu SA vuông góc với đáy , ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp
Tứ giác ABCD , Vẽ trục Ox , trong mặt phẳng SAC ta kẻ trung trực của SA
Khi đó ta tìm được I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD
+)Nếu trục Ox không năm trong mặt phẳng (SAC) , (SBD) ta
Không tìm được mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD
Trang 3Tất cả vì học sinh thân yêu
3
Trường hợp đặc biệt 1 : Đáy là hình vuông , lại có góc ASC hay BSD
Là góc vuông thì ta sẽ có O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp
S.ABCD
Trường hợp đặc biệt 2 : Chóp S.ABCD đều , ta xác định tâm I như sau
+)SO là trục
+)Trong mặt phẳng SAC ta dựng trung trực của SA ,cắt SO tại I
Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD
Trường hợp đặc biệt 3 :
Nếu ta có góc SAC , SBC , SDC là góc vuông thì trung điểm I
Của SC chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp chop tứ giác S.ABCD
Trang 4Tất cả vì học sinh thân yêu
4
Dạng 3 : Tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng
O,O’ lần lượt là tâm của 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC , A’B’C’
I là trung điểm của OO’ Khi đó
Là điểm I , vì có IA = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’
Câu 1 : Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều có cạnh bằng a, cạnh bên tạo với đáy
góc 30 0 Biết hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC Tính theo a thể
tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC
Trang 5Tất cả vì học sinh thân yêu
3
a
Tìm bán kính mặt cầu : Ngoại tiếp tứ diện A’ABC
+ Gọi G là tâm của tam giác ABC, qua G kẻ đt (d) // A’H cắt AA’ tại E
+ Gọi F là trung điểm AA’, trong mp(AA’H) kẻ đt trung trực của AA’ cắt (d) tại I => I là tâm m/c ngoại tiếp tứ diện A’ABC và bán kính R = IA
Ta có: Góc AEI bằng 600, EF =1/6.AA’ = a/6
Trang 6Tất cả vì học sinh thân yêu
3
12
4
a BC AM
A
BC
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có IA = R
Dựng ngoại tiếp tam giác ABC Mặt phẳng trung trực SA cắt trục đường tròn tại J khi đó J chính là
tâm mặt cầu ngoại tiếp SABC
Gọi r là bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC khi đó
Trang 7Tất cả vì học sinh thân yêu
7
Câu 3 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có tất cà các cạnh đều bằng a Tính thể tích của
hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a
Câu 4 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2 Gọi M là trung điểm của AD và N là
tâm của hình vuông CC’D’D Tính thể tích của khối cầu đi qua 4 đỉnh M, N, B, C’ và khoảng cách
giữa 2 đường thẳng A’B’ với MN
Bài giải:
Trang 8Tất cả vì học sinh thân yêu
M là trung điểm của AD nên M(1;0;0)
N là trung điểm của CD’ nên N(0;1;1)
Gọi phương trình mặt cầu tâm I(a,b,c) đi qua 4 điểm B, C’, M, N có dạng là:
Trang 9Tất cả vì học sinh thân yêu
9
52
Trang 10Tất cả vì học sinh thân yêu
2 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’A 'BK
3 Gọi I là trung điểm của BB', tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (A’BK)
Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'B'BK
Ta chứng minh trung điểm của A’B là tâm mặt cầu do 0
A KB A B B 4 điểm A’, B, K, B’ nằm trên mặt cầu đường kính A’B Vậy mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện A’B’BK có tâm E là trung điểm A’B và bán kính 1 21
Trang 11Tất cả vì học sinh thân yêu
Do E là trung điểm của AB ' d B ', A BK ' d A A BK , '
Câu 6 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(SAB) bằng 60 0 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD
Vì BOM vuông tại M nên OM BO AO
Suy ra:tan AO 1 45O 90O
Trang 12Tất cả vì học sinh thân yêu
12
Trong tam giác vuông SBO ta có: 1 2 12 12
2
a SO
vì I thuộc trung trực của SB IS IB
Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD
7 tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và
bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’BC’D’
Bài giải:
Trang 13Tất cả vì học sinh thân yêu
13
*) Áp dụng định lý cosin cho tam giác A’B’D’ suy ra
Do đó A’B’C’, A’C’D’ là các tam giác đều cạnh a 3
a
Vậy
3 0 'B'C'D'
BO A C nên tam giác A’BC’ vuông tại B
Vì B'D'(A'BC')nên B’D’ là trực đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BC’
Trang 14Tất cả vì học sinh thân yêu
14
Gọi G là tâm của tam giác đều A’C’D’ khi đó GA’ = GC’ = GD’ và GA’ = GB = GC’ nên G là tâm
mặt cầu ngoại tiếp tứ diên A’BC’D’ mặt cầu này có bán kính R = GD’ 2 2 3
Câu 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
góc giữa đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB) bằng 30 0 Gọi M là trung điểm của SA, (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với SC Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại N, E, F
Tính theo a thể tích khối chóp S.MNEF và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.MNEF
Trang 15Tất cả vì học sinh thân yêu
Từ đó ∆SNM, ∆SEM và ∆SFM là 3 tam giác vuông nhận SM là cạnh huyền chung Suy ra nếu gọi I
là trung điểm của SM thì I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.MNEF và bán kính mặt cẩu là
điểm I của cạnh SC là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC và tính diện tích mặt cầu đó theo
a
Trang 16Tất cả vì học sinh thân yêu
Câu 10: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, đỉnh A’ cách đều A, B,
C Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 60 0 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Xác định tâm và tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A’.ABC
Bài giải:
Xác định góc 60 0 :
Trang 17Tất cả vì học sinh thân yêu
17
+Gọi H là hình chiếu của A’ lên (ABC) suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
+AH là hình chiếu của AA’ lên (ABC), suy ra
Tính thể tích lăng trụ:
+∆ABC đều cạnh a nên
Suy ra:
Xác định tâm mặt cầu:
+Gọi P là trung điểm AA’ Kẻ đường trung trực d của AA’ trong (A’AH), d cắt A’H tại I
+I ∊ d => IA’ = IA, I∊ A’H =>IA = IB = IC =>là tâm mặt cầu cần tìm
Trang 18Tất cả vì học sinh thân yêu
18
3 2
S ABMD S ABCD
Gọi G là trọng tâm OCD, do OCD đều nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp OCD
Kẻ d qua G và song song với SO d ABCD
Trong mp(SOG) dựng đường trung trực của SO, cắt d tại K, cắt SO tại I
SHHF Gọi I, r là tâm và bán kính của
đường tròn ngoại tiếp
Trang 19Tất cả vì học sinh thân yêu
a) Thể tích của khối chóp S.ABC
b) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC
Bài giải:
Trang 20Tất cả vì học sinh thân yêu
Gọi E là trung điểm của CD CD SHE
Gọi F là hình chiếu của H lên SE HF SCD
Gọi I là trung điểm của SC, trong (SHC) dựng trung trực của SC
cắt SH tại K K là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC
Trang 21Tất cả vì học sinh thân yêu
21
Câu 1 ( THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 2 – Năm học 2012/2013 )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt bên SAD là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD
1)Chứng minh rằng AM BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP
2)Xác định tâm và tính bán kinh mặt cầu ngoài tiếp hình chóp S.ABCD
Câu 2 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phằng (SAB) vuông góc với mặt phằng (ABCD) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Câu 3 ( THPT Chuyên KHTN Hà Nội – Lần 1 – Năm học 2015/2016 )
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A trong đó AB = AC = a,
; mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC
Câu 4 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và đường cao đều bằng a
1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC
2) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
