BẤT ĐẲNG THỨC MIN MAX THẦY TÙNG TOÁN

Trang 1

CHU I B T NG TH C I

Cho a b c, , là các s th c d ng ta có:

2

a b



a  b ab  a b  a b a b



D u “=” x y ra khi a b

Ch ng minh

(Các b n xem cu i tài li u)

CHÚ Ý:

 B t đ ng th c 2 2 ( )2

2 2

a b

a b    ab

đúng a b, 

 ây đ u là các b t đ ng th c c b n và quen thu c v i t n xu t có m t trong đ thi i H c –

THPTQG là khá cao Khi s d ng trong bài thi các b n ph i ch ng minh (“nhúng” nh ng đo n

ch ng minh trong bài gi ng c a th y vào bài) Trong tài li u đ không ph i ghi l i nhi u l n

cách ch ng minh th y đ u b qua (ngh a là trong bài b n ph i thêm đo n này vào )

 v n d ng m t cách “linh ho t” các b t đ ng th c trên Các b n c n hi u rõ cách s d ng,

c ng nh “ý ngh a” và cái hay c a t ng b t đ ng th c Khi làm đ c đi u này vi c làm ch

chu i b t đ ng th c trên s không có gì khó kh n (th y s phân tích k trong bài gi ng)

 Các chu i b t đ ng th c trên có th đ c s d ng d i nhi u hình th c khác nhau khi ta gán hai

bi n a, b b i các đ i l ng khác nhau, ví nh I.1) và I.2) có th vi t d i d ng:

  2 4

2



Các ví d minh h a

Ví d 1 Cho x y z, , là các s th c d ng Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c :

P

 

Phân tích h ng gi i (Bài gi ng)

GV: Nguy n Thanh Tùng

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 2

GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan

Gi i

Áp d ng b t đ ng 2 2 ( )2

2

a b

a b  

2(a b ) a b trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:

2

3

)

2



  



Áp d ng b t đ ng th c a b 2 ab hay 2 ab a b trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:

2

yz

x

y

y z

yz

z

 

  

 

P

             v i t   x y z 0 Xét hàm s ( ) 8 1

f t

 v i t 0

Ta có '( ) 8 2 12 3( 2 1)(5 23)

f t

B ng bi n thiên:

T b ng bi n thiên suy ra ( ) (1) 3

2

P f t  f  v i   t 0

D u “=” x y ra khi 2 1; 1

x y z t

  



    

V y P đ t giá tr l n nh t b ng 3

2, khi

;

x z y

Ví d 2 (A,A1 – 2014) Cho x y z, , là các s th c không âm và th a mãn đi u ki n 2 2 2

2

x y z  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

2 2

1

P

     

Phân tích h ng gi i: (Bài gi ng)

Gi i:

Áp d ng b t đ ng 2 2

2

a b  ab trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:

2(1yz)x y  z 2yzx  yz  x(y z ) 1 yzx y z(  )

Suy ra

2

P

Trang 3

Cách 1: Áp d ng b t đ ng th c 2 2 ( )

2

a b

  trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:

2

2 2

2

Suy ra

2

1

P

      t t   x y z 0

Ta có t2 (x y z)23(x2y2z2)   6 0 t 6

Khi đó 1 1 2 ( )

1 36

t

   

2 1 ( ) 1

1 36

t

f t

t

  

 v i 0 t 6

Ta có

2

'( )

f t

   

B ng bi n thiên:

T b ng bi n thiên suy ra ( ) (2) 5

9

Khi x y 1 và z thì 0 5

9

P V y giá tr l n nh t c a P là 5

9

Cách 2: Áp d ng b t đ ng th c 2 2 ( )2

2

a b

  hay a b 2(a2b2)trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:

x  y z 2x2(yz)2  2(2 2 yz)2 1yz

9

yz P

yz



  t t 1yz , khi đó: 1 1 1 2 ( )

t

 Xét hàm s

2 1 ( ) 1

t

f t

t

 v i t 1

Ta có

2

f t

  v i   , suy ra t 1 f t( ) ngh ch bi n v i   t 1 Suy ra ( ) (1) 5

9

Khi x y 1 và z thì 0 5

9

Ví d 3 Cho hai s th c x y, thu c kho ng (0;1) th a mãn 3 3

(x y )(xy)xy x( 1)(y 1) 0 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c sau

12

3

36 (1 9 )(1 9 )

xy



Trang 4

Gi i

Ta có (x3y3)(xy)xy x( 1)(y  1) 0 (x3y3)(xy)xy x( 1)(y1) (*)

Áp d ng b t đ ng th c a b 2 ab trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:

2

1





 



T (*) và (2*), suy ra:

Ti p t c áp d ng b t đ ng th c a b 2 ab trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:

2 2 2

4 4 4 4 2

3

36 36

xy

x







t t 1xy , do 0 1 1 1 10

3

  Khi đó 2 2

1

t

  

Xét hàm s f t( ) 2 t2 1

t

3

Ta có

3



     v i 1; 10

3

Suy ra f t( ) đ ng bi n v i 1; 10

3

( )

  D u “=” x y ra khi 1

3

x y

V y P đ t giá tr l n nh t b ng 6 1

9

10  , khi 1

3

x y

Ví d 4 (B – 2013). Cho a b c, , là các s th c d ng Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c :

( ) ( 2 )( 2 ) 4

P

  

Gi i

Áp d ng b t đ ng th c

2

xy 

và 2xyx2y2 trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:

( 2 )( 2 )

2

(ab a c b c (ab) ab c a b  ab bc ca

2 2 2 2 2 2

2

(

a

4

P

4 2

t a     , khi đó: b c 4 29

2( 4)

P

 



Trang 5

Xét hàm s ( ) 4 29

2( 4)

f t

 

 v i t  2

Ta có

'( )

f t

Mà 4t37t2 4t 164(t3 4) t t(7  4) 0 v i   , suy ra t 2 f t'( )  0 t 4

B ng bi n thiên

T b ng bi n thiên suy ra ( ) 5

8

P f t  D u “=” x y ra khi a    b c 2

V y P đ t giá tr nh nh t b ng 5

8 khi a   b c 2

Ví d 5 (B – 2014). Cho các s th c a b c, , không âm và th a mãn đi u ki n (ab c) 0

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

P

  

Gi i:

V i a , áp d ng b t đ ng th c 0 x y 2 xy hay

2

 trong chu i b t đ ng I.1, ta đ c:

(

2

)

2

c

a b

a

b c  c    ab c (1)

V i a ta có 0 a 2a

b c a b c

   (2) T (1) và (2), suy ra

2

b c  a b c

  

T ng t ta đ c: b 2b

a c  a b c

Áp d ng b t đ ng th c x y 2 xy trong chu i b t đ ng I.1, suy ra:

P



Khi a 0,b c 0 thì 3

2

P  V y giá tr nh nh t c a P b ng 3

2

Chú ý: bài toán này ta có th d n bi n đ dùng hàm s hàm s nh sau:

1

c



v i t c 0



Trang 6

Ví d 6 ( minh h a BGD – 2015) Xét s th c x Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c sau:

2

P

Phân tích h ng gi i (xem trong bài gi ng)

Gi i

Áp d ng b t đ ng th c : 1 1 2 2

a  b  a b

 trong chu i b t đ ng th c I.2) Khi đó:

2

 

     

3(2x 2x 1) 6x 6x 3 4x 6x3 Suy ra

2

P

 

  Cách trình bày 1:

t

2

  , khi đó: 3 2 2 ( )

3

t



Xét hàm s ( ) 3 2 2

3

t

f t

t



4

t

Ta có

2

6 2( 3)

'( )

f t

'( ) 0 6 15;

4



 , t đây ta có b ng bi n thiên:

T b ng bi n thiên ta có P f t( ) f(6) 3 D u “=” x y ra khi x V y giá tr nh nh t c a 0 P là 3

Cách trình bày 2:

t

2

  , khi đó: 2 3 2 2 ( )

3

t



Xét hàm s

2

3 2 2 ( )

3

t

f t

t



2

t Ta có

2

6 2( 3)

2 2 '( )

t

f t

t

f t'( )  0 t3 6 2(t23)  0 t6 72(t2 3) (t26)(t4 6t2 36) 0 6 15;

2

T đây ta có b ng bi n thiên:

Trang 7

T b ng bi n thiên ta có P f t( ) f( 6) 3 D u “=” x y ra khi x V y giá tr nh nh t c a 0 P là 3

Ví d 7 Cho x y z, , là ba s th c d ng th a mãn: 1 1 2

x  y z Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

2

P



Gi i

T 1 1 2 2xy (x y z) 2xy2 x y



       , khi đó:

P

Áp d ng b t đ ng th c 1 1 4

a b a b

 trong chu i b t đ ng th c I.2), ta có: 2 1 1 4 2

x y



t t x y

z



 , khi đó 2 2

( )

t

Ta có

Suy ra f t( ) đ ng bi n trên 2; , khi đó  f t( ) f(2)3 hay P  3

D u “=” x y ra khi

2

x y





  

  

 V y giá tr nh nh t c a P là 3

Ví d 8 Cho a b c, , là các s th c d ng th a mãn a   Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: b c 3

P

Gi i

T đi u ki n a  b c 33abc  (a b c a) bca a(  b) c a(   b) (a b a)( c)

x y xyhay 1 1 1 1

xy

  trong chu i b t đ ng th c I.2), ta đ c:

2

bc

 

Ch ng minh t ng t 1 1

2 3

b ca

2 3

Trang 8

P

3 2

P

V i a   thì b c 1 3

2

Ví d 9 Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn x  y z 3 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c :

P

Gi i

Ta có

Áp d ng b t đ ng th c 2 2

2

a b  ab hay 2 2

2aba b trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:

3y3zx  (x y z y zx)  2zx  (x y z y zx)  z2x2 x2y2 z2 xyyzzx

T ng t ta có: 2 2 2

3z3xyx y z xyyzzx và 3x3yzx2y2z2xyyzzx

Khi đó 22 2 22 2 1 3

3

P

    

     D u “=” x y ra khi x  y z 1

V y P đ t giá tr nh nh t b ng 3 , khi x  y z 1

Ví d 10 Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn 2 2 2

1

x y z  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

4 12 2 4 1 2 2 32 3

(1 )

P

  

Gi i:

T đi u ki n ta có x y z, , (0;1)

x y x y

 trong chu i b t đ ng th c I.2, ta đ c:

4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 42 2

1

(1 )

        

( )

f z

  v i z(0;1)

Ta có

'( )

f z

Trang 9

Suy ra '( ) 0 1

2

f z   z do z(0;1) B ng bi n thiên:

T b ng bi n thiên ta có ( ) 1 448

P f z  f 

 

  D u “=” x y ra khi

6

z



 



27 , khi

6 4

2

z

Ví d 11 Cho a b c, , là đ dài ba c nh tam giác th a mãn đi u ki n abc  b 2c

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P 3 4 5

     

Gi i

T đi u ki n ta suy ra a 1 2

 

x y x y

 trong chu i b t đ ng th c I.2 và x y 2 xy trong chu i b t đ ng th c I.1,

P

4 2 4 3 4 2 1 2 3 2 3 2.2 3 4 3

D u “=” x y ra khi a   b c 3

Ví d 12 Cho a b c, , là các s th c d ng Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

3( ) 4 3 12( )

P



Gi i

P

(4 3 3 ) 1 1 4



Trang 10

x y x y

 trong chu i b t đ ng th c I.2, ta có:

6

2a 3b 2a 3c 4a 3b 3c a b c 2a 3 2 3

a

 



 

 







Hay P 11 16  DP 5 u “=” x y ra khi 2a3b3c 0

V y P đ t giá tr nh nh t b ng 5 khi 2a 3b3c 0

Ví d 13 Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn 2 2 2

3

x y z  Ch ng minh r ng:

1 1 1 24 24 24

x y y z z x x  y z

     

Gi i:

x y x y

 trong chu i b t đ ng th c I.2, ta đ c:

1 1

2



 

     

2

a b  ab trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:

2

1 2

1

2

y











 



 

2

7

x y y z y

7

y zz x  z

7

z xx y  x

C ng theo v ba b t đ ng th c trên ta đ c: 1 1 1 24 24 24

x y y z z x x  y z

D u “=” x y ra khi x  y z 1

Ví d 14 (A – 2005) Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn 1 1 1 4

x   Ch ng minh r ng : y z

1 1 1 1

2x y z x 2y zx y 2z

Gi i:

a a a b

4

   trong chu i b t đ ng th c I.2, ta đ c:

     

Trang 11

T ng t ta có: 1 1 1 2 1

    

2 16

    

2x y z x 2y z x y 2z 16 x y z

D u “=” x y ra khi 3

4

x  y z

Ví d 15 Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn x  y 1 z

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c :

2 2

P

x yz y zx z xy



  

Gi i:

Ta có: zxy   x y 1 xy(x1)(y1)

xyz x y x(     y 1) x y y x( y)(xy y)( 1)

T ng t ta có: yzx(xy x)( 1)

P

Áp d ng b t đ ng th c 2 2 ( )2

2

a b

  và

2

4

a b

 trong chu i b t đ ng th c I.1, ta có:

2

2 2 ( )

2

x y

x y  

và

( 1)( 1)

x y       

Suy ra

2

( )

x y

  



v i z1

Xét hàm s

2 2

( )

1 ( 1)

z

f z



'( )

f z

B ng bi n thiên

T b ng bi n thiên, suy ra ( ) 13

4

P f z  D u “=” x y ra khi ; 3 1

     

4 , khi x y 1 và z 3

Trang 12

Ví d 16 Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn đi u ki n 2 2 2

1

x y z  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P2(y  z x) 9xyz

Gi i:

Áp d ng b t đ ng th c 2 2 ( )2

2

a b

a b  

hay a b 2(a2b2) và a2b2 2ab hay

2 2

2

ab 

trong chu i

b t đ ng th c I.1, ta đ c:

2

P  yz x xyz y z  x x y z  x x  x x

2 9 3 5

f x  x  x  x v i 0  x 1

Ta có

2

'( )

1

3

x

 







B ng bi n thiên

T b ng bi n thiên suy ra ( ) 1 10

P f x  f 

 

x y z thì 10

3

Ví d 17 Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn x  y z 1 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c :

2

3

Gi i:

Áp d ng b t đ ng th c 2

(ab) 4ab hay

2

4

a b

ab 

trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:

2

4

      (1) T ng t ta có: 22 2 2

4

Trang 13

C ng (1) và (2), k t h p b t đ ng th c 2 2 ( )

2

a b

  và ( )

4

a b

 trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:

1 2

 

     

         

2 2

2

4

z

z x

xy





Khi đó

2

z





Xét

2

z





  v i c(0;1)

Ta có

( 1) 4 (3 31)

z

1 '( ) 0

3

f z   z (vì z(0;1))

D a vào b ng bi n thiên : ( ) 1

9

f z   v i  z (0;1) (2*)

T (*) và (2*) suy ra 1

9

P   D u “=” x y ra khi 1

3

x  y z

V y giá tr nh nh t c a P là 1

9



Ví d 18 Cho x y z, , là ba s th c d ng th a mãn 2 2 2

26

x y z  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

(9 )

32 13

P

xy xy



Gi i:

2

a b  ab trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:

2(xy13)2xy x 2y2z2  (x y)2z2 2(xy z) hay xy13(xy z)

Suy ra

13

Ta s ch ng minh 9 1

x y





 (xem cách phân tích trong bài gi ng đ bi t đ c vì sao ta có đánh giá này)

Trang 14

Th t v y, b t đ ng th c t ng đ ng:

(9xy x)( y) 16 xy9x26xyy2 0 (3xy)2 0 (luôn đúng)

Khi đó

P

  t t z 0

 , suy ra

2 ( ) 2

t

P  t  f t Xét hàm s

2 ( )

2

t

f t   v i t t Ta có 0 f t'( ) 1 t ; f t'( )  0 t 1

B ng bi n thiên:

T đây suy ra ( ) (1) 1

2

Khi x1;y3;z4 thì 1

2

P V y P có giá tr l n nh t b ng 1

2

Chú ý: Có th tìm giá tr l n nh t c a f t( ) b ng cách bi n đ i: 2 1 2 1 1

t

f t  t   t  

Ví d 19 Cho các s th c d ng x y z, , th a mãn 4  2 2 4

x  y  z  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c   2 21 2

1

  

Gi i:

2

ab 

và

2

2 2

2

a b

  

trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:

(suy ra t

2

2 2 )

2 2

a b

a b    ab

 

T gi i thi t ta có 4  2 2 4 1 2 2 2 2

3

        , suy ra 0x2y2z2  4

t tx2 y2 z2    1 1 t 5

t

1

f t

t

   v i  t 1;5 Suy ra f t( ) đ ng bi n trên 1;5, khi đó   1 21

ng th c x y ra khi 1

2

y

 







21

5

P 

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	1,18 MB