123.phân dạng và giải bt số phỨc

1: Lí do chọn đề tài. Số phức ra đời do nhu cầu phát triển của Toán học về giải những phươngtrình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật. Đối với học sinh bậcTrung học phổ thông thì số phức là nội dung còn rất mới mẻ, tuy nhiên nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông và đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. Với thời lượng không nhiều, học sinh chỉ mới biết được những kiến thức cơ bản của số phức. Với mong muốn tổng hợp lại các kiến thức cơ bản về số phức cũng như ứng dụng của nó vào việc giải các bài toán liên quan , nên chúng tôi chọn đề tài “Lý thuyết và phân dạng bài tập về số phức” làm đề tài nghiên cứu của mình. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số phức, các dạng biểu diễn của số phức, ứng dụng số phức để giải các bài toán liên quan. - Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân. 3. Phương pháp và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về số phức và ứng dụng của số phức trong các dạng toán cụ thể là nghiên cứu kỹ cơ sở lý thuyết của số phức, sử dụng số phức vào giải một số bài toán, phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cho từng dạng cụ thể. 4. Đóng góp của đề tài Hệ thống lại 1 số kiến thức về các dạng toán của số phức làm tư liệu tham khảo. 5. Cấu trúc của đề tài Phần I: Cơ sở lí thuyết về số phức. Phần II: Một số dạng toán về số phức và các ví dụ. Phần III: Bài tập hướng dẫn giải Phần IV Một số bài tập tự giải. 6. Tài liệu tham khảo.

ĐẶT VẤN ĐỀ 1: Lí do chọn đề tài.

Số phức ra đời do nhu cầu phát triển của Toán học về giải những

phươngtrình đại số Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật Đối với học sinh bậcTrung học phổ thông thì số phức là nội dung còn rất mới mẻ, tuynhiên nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông và đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Với thời lượng không nhiều, học sinh chỉ mới biết được những kiến thức cơ bản của số phức Với mong muốn tổng hợp lại các kiến thức cơ bản về số phức cũng như ứng dụng của

nó vào việc giải các bài toán liên quan , nên chúng tôi chọn đề tài “Lý thuyết

và phân dạng bài tập về số phức” làm đề tài nghiên cứu của mình

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu số phức, các dạng biểu diễn của số phức, ứng dụng số phức để giải các bài toán liên quan

- Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân

3 Phương pháp và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về số phức và ứng dụng của số phức trong các dạng toán cụ thể

là nghiên cứu kỹ cơ sở lý thuyết của số phức, sử dụng số phức vào giải một

số bài toán, phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cho từng dạng cụ thể

z a bi 

Kí hiệu Im z  b.Tập hợp các số phức được kí hiệu là C

Chú ý: Mỗi số thực a dương đều được xem như là 1 số phức với phần ảo b

=0

Số phức z a bi  có a=0 được gọi là số thuần ảo hay số ảo

Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

Mỗi số phức được biểu diễn hình học bởi 1 điểm M a b ;  trên mặt phẳng

Cho số phức z a bi  số phức z a bi  được gọi là số phức liên hợp với số phức trên Vậy z a bi a bi   

Chú ý: z z  z và z là 2 số phức liên hợp với nhau.

1.1.6 Mô đun của số phức

Cho số phứcz a bi  ta kí hiệu z là mô đun của của số phức z đó là số thực không âm được xác định như sau, nếuM a b biểu diễn số phức  ;  z a bi  thì

z z zz

1.1.8 Dạng lượng giác của số phức

Định nghĩa 1: Cho số phức z 0 Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểudiễn số z Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM đượcgọi là acgument của z

Định nghĩa 2: Dạng z r c  ( os isin ) trong đó r > 0 được gọi là dạnglượng giác của số phức z 0 Còn dạng z=a+ bi (a b , ) được gọi là dạng

đại số của số phức z

1.1.9 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Định lý: Nếu z r c  ( os isin ) , z'r c'( os ' isin ')(   r0, ' 0)r  thì

[ ( osr c isin )] n r c n os isin và khi r=1 ta có

( osc isin ) n cosn isinn

b) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác.

Từ công thức Moavro dễ thấy số phức z r c  ( os isin ) trong đó r>0 có Hai căn bậc hai là:

c) Định nghĩa căn bậc n của số phức.

Xét số nguyên n 2và số phức w 0 Như trong trường hợp số thực , phương trình

2 ; n = +2k , k ;

là z z0, , ,1 z n1đến đây ta chứng minh phương trình có đúng n nghiệm phân

PHẦN II: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC.

1.2.1 Dạng 1 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

Phương pháp giải Giả sử z a bi  (a,bR) thay vào giả thiết tìm mối liên hệ nào đó đối với x y, Từ đó suy ra tập hợp các điểm biểu diễn cần tìm

Ví dụ 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện sau

2 3

14

Ví dụ 2: Tìm tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức sau

z i (i1)z (2) (Tuyển sinh ĐH năm 2010)

Giải Giả sử z a bi  (a,b ) ; (1i z x y)   (x y i ) từ giả thiết (2) ta suy ra Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(0,1) bán kính

Ví dụ 4 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  1 i 3z2 biết rằng

số phức z thỏa mãn z  1 2

GiảiGọi z= a+ bi (a, b  ), w= x+ yi (x, y  )

1.2.2 Dạng 2.Các bài toán liên quan đến đại lượng trong số phức

Phương pháp giải: Thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và dùng định nghĩa môđun, số phức liên hợp để giải quyết bài toán

Ví dụ 1:Tìm phần ảo của số phức zbiết z ( 2 i) (12  2 )i

(tuyển sinh khối A năm 2010).

z i

i z

z a bi  R Từ giả thiết bài toán ta suy ra

5(a bi i  ) (2  i a bi)(  1)=(2 i a bi)(  1)

Giải Giả thiết bài toán suy ra a2b2  2a2bi 3 6i

5 22

GiảiĐặt z a bi  (a,bR)  z a bi  Từ giả thiết (1) ta suy ra

z  i.V

í dụ 2 :Tìm số phức z biết z2  (1 )i z11i (2)

GiảiĐặt z a bi  (a,bR)  z2 a2 b22abi từ (2)

Ví dụ 4) Tìm tất cả các số phức z biết z2 z2 z

GiảiGọi z= a+ bi (a,b  ) ta có:

1.2.4 Phương trình bậc hai và phương trình quy về bậc hai

Phương pháp giải: Gọi   x yi (x,y  là căn bậc hai của )

Khi đó ta có

2

321

x xy

Vậy căn bậc hai của  1 4 3i là ( 3 2 )  i

b)Tương tự căn bậc hai của 4 6 5i là (3+ 5 ) i

1.1.6.) Dạng lượng giác của số phức

Dạng lượng giác của số phức z a bi  (a,b ) là z r c  ( os isin ) với

Công thức Moivre với n nguyên dương,

( os isin ) n n( osn isin )

(1+i) có một acgumen bằng4 , do đó: (1+i)3 có một acgumen là 34



GiảiĐặt z1 (cos isin ) ,  z2 4(cos isin ) ( ,  0;2

1 2 3cos 4 (3sin 4sin )

Suy ra 3( 5 119) 5 119

Phần III Bài tập hướng dẫn giải.

Dùng các phương pháp trên để giải các bài toán sau.

Bài 1: Giải phương trình sau trên (ẩn z): z4 2z3 z2 2z 1 0

2z 1 1  i z1 1   i  2 2i

GiảiGọi z= a+ bi (a, b ) ta có 2z 1 1  i z1 1   i  2 2i

i z

Ta xét bài toán trong mặt phẳng phức Gọi M là chân đường vuông góc hạ

từ điểm P xuống đường thẳng BC Ta quy ước chữ cái thường là tọa độ của

đỉnh đương ứng, chẳng hạn a là tọa độ của điểm A.

QRP=900 Hơn nữa p iq q nên RQ=RP

Bài 5) Giải hệ phương trình sau trên tập số phức: 12 22

lượt là tọa độ của các điểm C,K,B Phép quay tâm B góc quay q=90 biếnđiểm C thành điểm A, do đó A có tọa độ là a b (1 i)ci.TT điểm N có tọa

độ là n b (1i) ki Từ đó suy ra tọa điểm E,trung điểm của đoạn thẳng AN

Hệ phương trình có hai nghiệm (x,y) là (2, -3) và (5,2)

Bài 9) Cho dãy số {xn} xác định bởi x0 = 1, x1 = 2, xn+1 = xn – xn-1 với mọi

1 ( ) 2

3 2

1 ( ) 2

3 2

1 , 2

3 2

Giải

Ta quy ước chữ cái thường là tọa độ của đỉnh tương ứng , chẳng hạn a là tọa

độ của đỉnh A Vì tam giác ADB, BEC, CFA là các tam giác đồng dạng cùng hướng nên d a e b f c z

1)a b  a c b c   với a,b 

2)a 0 và b 0 ab0.

Từ (2) suy ra a2>0 với mọi a khác 0 ( theo quy tắc nhân dấu) Nói cách khác

-1=i2>0 mặt khác 1=i2>0, từ đó 0=(-1)+1>0+1=1 (vô lí) Chứng tỏ trường không sắp thứ tự được.

Bài 12: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số

phức z sao cho số 2

2

z z



 có acgumen bằng

3

.GiảiGọi z= x+ yi (x,y  ) ta có

22

Bài 13) : Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z

thỏa mãn điều kiện z 3 4 i 2

Giải Đặt z= x+ yi (x,y  )  z 3 4 ix 3  y4i

Ta có: z 5 1hay (z1)(z4  z3 z2  z1) 0 Vì z1 nên do z khác 0 nên chia hai vế cho z2 ta được

2 2

i z i

i z i

Bài 18) (A2013) Cho số phức z  1 3i.Viết dưới dạng lượng giác củaz.Tìm phần thực và phần ảo của số phức w (1 i z) 5.

GiảiChọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với tâm đường tròn (C)

đã cho, trục hoành đi qua các điểm A,B

+) Tập hợp các điểm A/ Ta có B=-A, A/+A=2M suy ra A/-B=2M

 A/  B 2 M 2R vậy điểm A/ chuyển động trên đường tròn (C1) tâm

Vậy điểm G chuyển động trên đường tròn (C2) tâm J=1B

3 bán kính

2R

3 .Bài 20) Biết rằng số phức z thỏa mãn uz 3 i z   1 3i là một số thực.Tìm giá trị nhỏ nhất của z

Giải Đặt z= x+ yi (x,y  ) ta có ux3  y-1i  x1 - y- 3i

         Ta có: u x y  4 0 Tập hợpcác điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểudiễn của z thì mô đun của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất

OM d

  Tìm được M(-2;2) suy ra z=-2+2i

Bài 21) (CĐ 2013) Giải phương trình z2 (2 3 ) i z 1 3i0 trên tập hợp sốphức 

GiảiPhương trình z2 (2 3 ) i z 1 3i0có biệt thức     1 i2

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là   z z 1 21 i i.

na S

sin2

na c S

Điều kiện x> 0, y> 0 Đặt u 5xu v, 0

Một acgumen của 1+i là

4

 Suy ra: một acgumen của

Bài 27) Cho phương trình z2  mz  6i0.

Giải phương trình m4 2i

GiảiVới m4 2i phương trình có dạng z2  4 2i z 6i0

Phương trình có  / (2 2)i 2 6i 8 6i (1 3 )i 2 Nên nó có 2 nghiệm là

Ta có : x2+1=(x-i)(x+i).Nhị thức x-i có nghiệm x = i , nhị thức x+i có

nghiệm x = -i Ta có P(i) = i4m+3 + i4n+2 + i4k+1 + i4p = -i-1+i+1 = 0, tương tự, ta tính được P(-i) = 0

Do đó P(x) chia hết cho x-i và chia hết cho x+i , nhưng vì x-i và x+i là hai đathức nguyên tố cùng nhau, suy ra P(x) chia hết cho tích (x-i)(x+i)= x2 + 1.Bài 29) Chứng minh rằng các bất đẳng thức:

Do z1z2 z3 z1  z2  z3 nên ta có điều phải chứng minh.

b)Đặt z1 2cos cosx y isinx y ; z2 2sin sinx yisinx y  Làm tương

tự như phần a) ta có điều phải chứng minh

Bài 30) Biết rằng số phức z thỏa mãn 2 2

Giải Gọi z= x+ yi (x,y R) ta có

điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(0;-3) bán kính R  10

M là điểm biểu diễn của z thì z nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất, z

sin 5 16sin 20sin 5sin 1

os5 16cos 20cos 5cos 2

Áp dụng công thức Moiver ta có: cosisin5 cos5isin5

Khai triển nhị thức c os isin5

sin516sin  20sin  5sin 1

Công thức (2) chứng minh tương tự

Bài 32) Cho các số thực a,b,c,d Chứng minh rằng với mọi số x   ta đềucó: acosx+bsinx+ccos2x+dsin2x c2 d2 thì a=b=0

GiảiNếu c2 d2=0 thì kết quả hiển nhiên Vì vậy ta giả thiết r= c2 d2 >0

Lấy góc  (0  )sao cho cos2 c ; sin2 d

    Khi đó ta có acosx+bsinx+ccos2x+dsin2x= acosx+bsinx+ rcos2(x )   r x (*)Thay x bởi x+  vào bất đẳng thức trên ta có:

rcos2x+Acosx+Bsinx r x   với A=acos bsin và B=cos asin

Từ (*) cho x=0 và x=  ta được A=0

Từ đó suy ra rcos2x+Bsinxr x  

 r(1 sin ) 2x Bsinx r    x

 sin (2 sinx r x B ) 0 x   

Nếu B0 ta chọn x0 sao cho 0 sinx0

2

B r

  khi đó sinx (2 sin0 r x0  B) 0(mâu thuẫn)

(Trích đề thi tuyển sinh đại học,cao đẳng từ năm 2009 đến nay)

Bài 1) (ĐH A-2009) Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm của phương trình z

2

+2z+10 =0.Tính giá trị biểu thức z12  z2 2 0

Bài 2) (ĐH B -2009) Tìm số phức z thỏa mãn

z (2 i)  10 ; z.z 25

Bài 3 ( ĐH D 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm biểu diễn

số phức z thỏa mãn điều kiện

Bài 10) (IMO 1997) Cho hình vuông ABCD Dựng về phía trong hình vuôngcác tam giác đều ABK, BCL, CDM, DAN Chứng minh rằng các trung điểmcủa đoạn thẳng KL,LM,MN,NK,BK,BL,CL,DM,DN,NA là đỉnh của thập nhịtam giác đều

Bài 11) Cho z=(3 3)

3 3

n

i i





a)Viết dạng lượng giác của số phức z

b)Với giá trị n nguyên dương nào thì z là số thực

Bài 12) Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn điều kiện: 1 1

Bài 13) (Bất đẳng thức Ptolemy) cho tứ giác ABCD.Chứng minh rằng taluôn có AB.CD+AD.BC AC BD Dấu dẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A,B,C,D theo thứ tự là đỉnh của một tứ giác lồi nội tiếp một đường tròn.

Bài 14) Tìm phần thực và phần ảo của số phức w= 2012

Bài 18) Cho số phức z thỏa mãn z2  6z13 0 Tính z 6

z i



Bài 19) (ĐH D 2012) Giải phương trình z2 3(1i z) 5i0

Bài 20) Chứng minh mọi số phức z ta có





Bài 22) Các điểm A, B, C và A’, B’, C’ trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số 1 – i ; 2 + 3i ; 3 + i và 3i ; 3 – 2i ; 3 + 2i CMR ABC và A’B’C’

là 2 tam giác có cùng trọng tâm

Bài 23) Tìm số phức z sao cho z 1 , z z 1

z z

a)H,O,G thẳng hàng và đường thẳng đi qua 3 điểm này được gọi là đường thẳng Euler

b)Chín điểm B1 ;B2 ;B3 ; P1;P2;P3; C1;C2;C3 cùng thuộc 1 đường tròn gọi là đường tròn Euler

Bài 25) a)Tìm căn bậc 5 của 1

b)Chứng minh rằng tổng giá trị của chúng bằng 1

Bài 26) Cho biết z 1 a

z

  Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất,môđun lớn nhất



 ,trong đó t là một số thực nào đó

Bài 30) Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R cố định Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn Về phía ngoài tam giác ABC dựng tam giác ACD vuông cân ở A.Tìm tập hợp điểm D.

Bài 31) Cho lục giác ABCDEF, K là trung điểm của BD, M là trung điểm EF

Chứng minh rằng tam giác AMK đều

Trên đây là đề tài ‘Lý thuyết và phân dạng bài tập về số phức’ Trong đề tài

này chúng tôi đã cung cấp một số kiến thức cơ bản về số phức, các dạng bài toán cơ bản cũng như cách giải các dạng toán đó.Tuy nhiên đề tài sẽ không

thể tránh khỏi thiếu sót , rất mong nhân được sự góp ý, phê bình từ thầy cô

và các bạn

Cuối cùng chúng tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô đã góp ý , sửa đổi giúp chúng tôi hoàn thành đề tài này

Tài liệu tham khảo

1-Đoàn Quỳnh (1997) ,” Số phức với hình học phẳng” NXB Giáo Dục 2-

Nguyễn Văn Mậu –chủ biên (2009) ,” Chuyên đề số phức và áp dụng”

NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội

3-Lê Hoành Phò (2008) “ Phân loại và phương pháp giải toán số phức “

NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội

4-Phạm Thành Luân (chủ biên) (2005) “Số phức và các ứng dụng” NXB

Giáo Dục