bai giang toan hoc 160

Bài giảng số 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ A.. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Dạng cơ bản của bất phương trình vô tỷ.. CÁC VÍ DỤ MẪU Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương..

Bài giảng số 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Dạng cơ bản của bất phương trình vô tỷ

f x g x  f x g x

f x g x  f x g x



2 2

0

0 0

0

B

B A

B

 

 









 









B CÁC VÍ DỤ MẪU

Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:

a) x2   x 1 x 2 (1)

b) 2x23x2 x 1 (2)

c) x23x2 3x27x4 (3)

Giải

a)

2

2

1 ( 2)

3

2

1 0

2

x x

x

x

x





 









 

 

 





 Vậy nghiệm của bất phương trình (1) là: 1 ; 5

3

S    

b) 2

1

x

x

 





 



 



2

1 1

2 2

3 0

x x

x









Vậy nghiệm của bất phương trình (2) là: 2 1; 1 13

S     

c)

2

2

1

x

x



1

2 2

2

2

x

x x

x x

x x

  









 





 



 Vậy nghiệm của bất phương trình (3) là: 3  

S         

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 5 x 1 x 1 2x4

Giải

*Điều kiện:

x

x

 









*Khi đó, bất phương trình đã cho tương đương với:

5x 1 x 1 2x4 5x 1 x 1 2x 4 2 (x1)(2x4)

2x 4 2 (x 1)(2x 4) x 2 x 2 0

(x 2) (x 1)(2x 4) 0 x 10 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho: S 2;10 

Một phương pháp biến đổi tương đương nữa là biến đổi về dạng tích qua ví dụ sau:

Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: x23x 2 x24x 3 2 x25x4 (3)

Giải

*Điều kiện:

2 2 2

4

1

x

x













*Trường hợp 1: x 4

(3) (x1)(x2) (x1)(x3) 2 (x1)(x4)

 x1 x2 x32 x1 x4  x2 x 3 2 x4

Vì x 4 nên vế trái dương, còn vế phải âm nên bất phương trình nghiệm đúng

Vậy x 4 là nghiệm của (3)

*Trường hợp 2: x 1

(3) (x1)(x2) (x1)(x3) 2 (x1)(x4)

 1x 2x 3x2 1x 4x

x





 



Ta có: (*) 2x 4x  4x 3x

Vì x 1 nên 0   2 x 4 x  2x 4x  0

4x  3 x 0 4x 3x 0 (*) vô nghiệm

Kết luận: Vậy bất phương trình có nghiệm x 4 hoặcx 1

Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau: 3 2 4 1 1

5

x

x  x  

Giải

Điều kiện: 1

4

x  

Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với:

( 1) 1

5



5

x

5

3x2 4x1  nên phương trình tương đương với:

x  x

Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là: 1;1

4

S   

Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: 5 1 2 1 4 (1)

2 2

x x

2

x

2

    (theo bất đẳng thức Cosi)

Bất phương trình (2) trở thành: 2

2

2

t

t t

t







 



Với t 2 ta có: 1 2

2

x x

2

3

0

2 2

x x





Với 1

2

t  (loại, không thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của (1) là: 0;3 2 3 2;

S     

Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau:

7x7 7x 6 2 49x27x42181 14 (1) x

Điều kiện: 7 7 0 6

x

x x

 





 

 Đặt t 7x7 7x6, (t0)

2 2

Ta có: (1) 7x7 7x 6 14x2 49x27x42181

Vậy (1) trở thành:

t

Với 0 t 13 7x7 7x613

6 6

7 7

x x









6

6 6

12 7

7

x

x x

x

 





Vậy tập nghiệm: 6; 6

7

S  



Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: (1x2 5)  x5 1 (1)

Điều kiện để căn thức có nghĩa là: x 0;1

Đặt xcost với 0;

2

t  

  

  Ta có bất phương trình:

5

sin tcos t 1

Do sin5tsin2t và

5

2 2

c tc t nên

5

sin tcos tsin tcos t với 1 0;

2

t  

  

Do đó bất phương trình có nghiệm là: x 0;1

Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau: 2x26x 8 x  x 2 (1)

Điều kiện: x 0

Ta có: (1) 2x222x x 2 x

2

v x





 



Khi đó bất phương trình (1) trở thành: 2u22v2  u v (*)

 2  2

(*)

u v

2 0

4 2

x

x

x x

 



 



Vậy nghiệm của bất phương trình là: x 4.

Dạng 3: Phương pháp đánh giá

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau:

 2  1 (1)

x x

x x





1 0

x

x







  



Ta có: 2(x2 x 1)  x2(x1)2  1 1 1 2(x2 x 1) 0

(1) x x 1 2(x x 1) 2(x x 1) 1 x x (*)

Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

2(x  x 1) (1 1) (1  x) ( x)    1 x x (**)

Dấu ‘=’ xảy ra khi:

2

2

x x



 



Vậy tập nghiệm: 3 5

2

S    

Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: x22x 3 x2 6x11 3x x1

Điều kiện: x  1;3

Xét hàm số y f t( ) t22 t, '( ) 2 1 0  1;3

2 2

t

t t



Do đó y f x( ) là hàm số đồng biến trên  1;3

Bất phương trình trở thành: f x( 1) f(3x)x   1 3 x x 2

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là: S 2;3 

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

7

S    



3

S  



S       

5

2

2

x

7 3

S   

2

x x  x x  ĐS: S 1;

7 8x26x 1 4x 1 0 ĐS: 1 1;

S    

3

x

9

2

3

x

x

2 2

S   

10

2

2

2

21

x

x x

 

ĐS: 9 7; \ 0 

2 2

S   

13

S     



12 x 3 7x  2x 8 ĐS: S   4;5  6;7

13

2

3

x

x



14

2

2x 3x 5 x





S      

15 (x3) x24x2 9 ĐS: ; 13 3; 

6

S     

16 x23x10x2 ĐS: S    ; 2  14;

17

2

2

x

7 3

S     

3

S  

x  x  x  x  x  x ĐS: S  1

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

1



4

; 1 3

S    

x x x  x x  ĐS: S 2 3; 2 3

2

S      

4 2x2 x25x610x15 ĐS: ;5 53 5 53;

S      

5

2

4

x

Bài 3: Giải các bất phương trình sau:

7

S  



(x2)(4x) x2 4x6x 3xx 30 ĐS : S 2; 4

3 x x2 1 x x2  1 2 ĐS: S  1

1

1 1



2

S    

2

S    

6 3 7x 1 49x7  x  3 6 ĐS: 7;1

9

S   

x  x ĐS: S   ;3