Module bất khả quy và module hoàn toàn khả quy

Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài: “Module bất khả quy và module hoàn toàn khả quy” cho luận văn tốt nghiệp của mình.. Trong đề tài này tôi hệ thống kiến thức cơ bản nhất về module làm cơ

M Module phải trên vành R

R M Module trái trên vành R

2

LỜI CẢM ƠN

Được sự phân công của Bộ môn Toán Khoa Sư phạm Trường Đại học Cần Thơ, cùng sự đồng ý của Cô hướng dẫn TS Lê Phương Thảo tôi đã thực hiện luận

văn với đề tài “Module bất khả quy và module hoàn toàn khả quy”

Để hoàn thành luận văn này, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giảng viên đã tận tình dạy bảo, trang bị cho tôi nhiều kiến thức bổ ích và cần thiết trong suốt thời gian học tập tại Trường Những kiến thức đó giúp hoàn thành luận văn tốt nghiệp đồng thời cũng là hành trang quý giá của tôi cho công việc trong tương lai Đặc biệt, xin trân trọng cảm ơn Cô hướng dẫn TS Lê Phương Thảo đã tận tình hướng dẫn, góp ý chỉnh sửa bản thảo giúp tôi hoàn thành luận văn

Tuy đã có nhiều cố gắng để hoàn thành luận văn một cách hoàn chỉnh nhất nhưng do bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, cũng như hạn chế

về kiến thức và kinh nghiệm trình bày một báo cáo khoa học nên không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định mà bản thân chưa thấy được Rất mong được sự góp

ý của quý Thầy, Cô và các bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Cần Thơ, ngày 27 tháng 4 năm 2016

Sinh viên

Nguyễn Trường Duy

3

MỤC LỤC

trang

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU ……… 1

LỜI CẢM ƠN ……… 2

MỤC LỤC ……… 3

PHẦN MỞ ĐẦU ……… 5

PHẦN NỘI DUNG ……… 7

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị ……… 7

1.1 Module, module con, module thương ……… 7

1.2 Đồng cấu module ……… 10

1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp ……… 14

1.4 Dãy khớp ……… 15

1.5 Phần bù cộng tính, phần bù theo giao ……… 16

1.6 Module hữu hạn sinh, module hữu hạn đối sinh ……… 16

1.7 Module tự do ……… 19

1.8 Module cốt yếu, module đối cốt yếu ……… 20

1.9 Module xạ ảnh, module nội xạ ……… 23

1.10 Module Noether, module Artin ……… 23

Chương 2 Module bất khả quy ……… 25

2.1 Định nghĩa và tính chất ……… 25

2.2 Đồng cấu các module bất khả quy ……… 28

4

Chương 3 Module hoàn toàn khả quy……… 37

3.1 Định nghĩa và tính chất ……… 37

3.2 Module hoàn toàn khả quy và một số kết quả……… 42

3.3 Định lí trù mật……… 54

PHẦN KẾT LUẬN……… 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… … 61

5

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Là sinh viên Sư phạm Toán, trên cơ sở đã được trang bị những kiến thức nền

về module và mong muốn được học hỏi, trau dồi thêm vốn kiến thức về toán học

nói chung và lí thuyết module nói riêng Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài: “Module bất khả quy và module hoàn toàn khả quy” cho luận văn tốt nghiệp của mình

Trong đề tài này tôi hệ thống kiến thức cơ bản nhất về module làm cơ sở lí luận để tìm hiểu về khái niệm, tính chất của module bất khả quy và module hoàn toàn khả quy cũng như mối quan hệ của của chúng với các khái niệm khác trong lý thuyết module

2 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng chính mà luận văn nghiên cứu là module bất khả quy và module hoàn toàn khả quy, trong đó tập trung vào tính chất và mối liên hệ với những khái niệm có liên quan trong lý thuyết module

3 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống một cách khoa học các khái niệm cơ bản về module, nghiên cứu các tính chất của module bất khả quy và module hoàn toàn khả quy nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu các khái niệm liên quan trong lý thuyết module

4 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lí luận: Trước hết là đọc các tài liệu có liên quan đến Đại số hiện đại, module để tìm hiểu cơ sở lí luận làm tiền đề nghiên cứu đối tượng chính Sau đó là đọc, nghiên cứu và hiểu về định nghĩa, tính chất của module bất khả quy và module hoàn toàn khả quy qua các tài liệu có liên quan

+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hóa kiến thức

về module bất khả quy và module hoàn toàn khả quy một cách khoa học và đầy đủ, đưa vào các ví dụ minh họa

6

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận văn có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên ngành toán với hệ thống kiến thức cơ bản ở phần mở đầu hoặc có thể tìm hiểu sâu hơn về cấu trúc module, những khái niệm, tính chất có liên quan thông qua module bất khả quy

và module hoàn toàn khả quy

6 Bố cục của luận văn

Nội dung chính của luận văn có ba chương bao gồm:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một cách có hệ thống những kiến thức cơ bản nhất về

lí thuyết module

Chương 2 Module bất khả quy

Tìm hiểu định nghĩa, tính chất của module bất khả quy tạo tiền đề cơ bản để tìm hiểu chương 3

Chương 3 Module hoàn toàn khả quy

Chương này trình bày định nghĩa tính chất của module hoàn toàn khả quy và mối liên hệ với các cấu trúc module khác như căn và đế module, module cốt yếu và đối cốt yếu, module hữu hạn sinh và module hữu hạn đối sinh

cơ bản của lí thuyết module cần thiết cho chúng ta khi tiếp cận, tìm hiểu nội dung chính của luận văn trong các chương sau

Trong luận văn này vành R luôn được giả thiết là có đơn vị 1  0

1.1 Module, module con, module thương

1.1.1 Định nghĩa

Giả sử R là một vành Nhóm cộng giao hoán M cùng với phép toán ngoài

(còn gọi là phép nhân với vô hướng):

M R M

m r,  mr được gọi là một Rmodule phải nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

i) r rm'    r r m'

ii) r m m  'rm rm '

iii) rr m' rm r m '

iv) 1.mm,

với mọi m m, 'M và mọi r r, 'R

Rõ ràng nếu vành R giao hoán thì khái niệm module phải và module trái trùng nhau và được gọi đơn giản là Rmodule

Để thuận tiện, ta quy ước rằng khi nói module ta hiểu đó là module phải

9

4 Mỗi nhóm M, giao hoán là một Z module

Có thể nói rằng khái niệm module là mở rộng của khái niệm nhóm giao hoán

và khái niệm không gian vector

1.1.2 Định nghĩa

Mỗi tập con khác rỗng N của Rmodule M được gọi là module con của

M nếu N là Rmodule với phép cộng và phép nhân với vô hướng của M hạn chế trên N

Ví dụ

1 Mỗi module đều chứa các module con tầm thường là 0 và chính nó

2 M là R-module và xM khi đó tập con xRxr rR là một module con của M Nó được gọi là module xiclic sinh bởi phần tử x

3 Giả sử N P, là hai module con của M khi đó N P là module con của

M và N P np nN p, P cũng là module con của M

1.1.3 Mệnh đề

Giả sử M là một Rmodule phải Nếu N là tập con khác rỗng của M thì các điều kiện sau tương đương:

i) N là module con của M

ii) N là nhóm con cộng của module M và đối với mọi xN, mọi rR ta

10

Cùng hai phép toán: i) Phép cộng: x1N  x2N  x1x2N ;

ii) Phép nhân với vô hướng: M N/  R M N/

xN r,  xrN, Với rR x x x; ,1 2, M Khi đó M N/ cũng là Rmodule và gọi là module thương

Cho hai module M R, N R Một ánh xạ f M: N, và với mọi x y, M r, R

Khi đó f được gọi là một đồng cấu Rmodule hay ánh xạ tuyến tính nếu thỏa mãn

2 Nếu f M    0N thì f được gọi là đồng cấu không

3 Ta có hai khái niệm sau:

Kerf  xM f x   f gọi là hạt nhân của f

• Imf  f M y  N x M y:  f x   gọi là ảnh của f

1.2.2 Mệnh đề

Giả sử X là module con của Rmodule M và Y là Rmodule của N Và :

f M N là đồng cấu Rmodule, khi đó :

i) f X  là module con của Rmodule N

Nếu f M: N là đồng cấu Rmodule thì Kerf là module con của M và

Imf là module con của N

1.2.4 Mệnh đề

Cho M N, là các Rmodule Giả sử f M: N là đồng cấu Rmodule Khi đó:

i) Kerf  0 khi và chỉ khi f là đơn cấu

ii) Imf N khi và chỉ khi f là toàn cấu

Cho M N, là các Rmodule Giả sử f :M N là một đồng cấu

Rmodule bất kì, L là module con của M và LKerf Khi đó tồn tại duy nhất

Như vậy g là một đồng cấu R module

Giờ ta chứng minh g là duy nhất Với mọi xM ta có:

Cho f :M N là một đồng cấu Rmodule Khi đó ta có M Kerf/ Imf

Và nếu f là toàn cấu thì M Kerf/  N

Chứng minh

Xét đồng cấu g M Kerf: / N xác định bởi g x Kerf  f x 

Giả sử lấy bất kì xKerf Kerg ta có g x Kerf f x   0 x Kerf

14

Vậy xKerf là phần tử trung hòa của M Kerf/ nghĩa là Kerg  0 hay g

là đơn cấu Do đó M Kerf/ Img mà ImgImf nên M Kerf/ Imf Hơn nữa, nếu

f là toàn cấu thì Imf N do vậy M Kerf/ N ■

Từ định lí đồng cấu 1.2.5 và hệ quả 1.2.6 có thể chứng minh được hai định lí đẳng cấu sau đây

15

số hữu hạn chỉ số iI , được gọi là tổng trực tiếp (còn gọi là tổng trực tiếp ngoài)

của họ  M i i I và kí hiệu bởi i

i I M



1.3.3 Định nghĩa

Cho tập I khác rỗng, cho  M i i I là một họ tùy ý các module con của

Rmodule M Khi đó nếu i j  0

Module con N của Rmodule M được gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu

có một module con N' của M sao cho M  N N'

1.4 Dãy khớp

1.4.1 Định nghĩa

Một dãy (hữu hạn hoặc vô hạn) những đồng cấu Rmodule

M f N g P

được gọi là khớp tại N nếu Imf Kerg Dãy được gọi là khớp nếu nó khớp tại mọi

module khác với hai đầu (nếu có) của dãy

Dãy khớp có dạng

0M f N g P 0được gọi là dãy khớp ngắn

16

1.4.2 Định nghĩa

Cho M N, là các Rmodule Đơn cấu f M: N của các Rmodule được

gọi là chẻ ra nếu Imf là hạng tử trực tiếp của N Toàn cấu g N: P được gọi là

chẻ ra nếu Kerg là hạng tử trực tiếp của N

1.4.3 Định nghĩa

Dãy khớp ngắn 0M f N g P 0 được gọi là chẻ ra nếu

Imf Kerg là những hạng tử trực tiếp của N

1.5 Phần bù cộng tính và phần bù theo giao

1.5.1 Định nghĩa

Cho N là module con của Rmodule M Module con N' của M được gọi

là phần bù cộng tính đối với N trong M nếu:

i) NN' M,

ii) N' là module tối tiểu có tính chất NN' M

1.5.2 Định nghĩa

Cho N là module con của Rmodule M Module con N' của M được gọi

là phần bù theo giao (hay bù) nếu:

i) N N'0;

ii) N' là module con tối đại có tính chất N N'0

1.5.3 Mệnh đề

Giả sử N P, là hai module con của M Khi đó M  N P khi và chỉ khi P

đồng thời là phần bù cộng tính và là phần bù theo giao của N trong M

1.6 Module hữu hạn sinh, module hữu hạn đối sinh

1.6.1 Định nghĩa Cho  M I là một họ tùy ý các module con của Rmodule

M chỉ số hóa bởi I

Cho I là tập khác rỗng và  M Ilà họ tùy ý các module con của

Rmodule M chỉ số hóa bởi I Khi đó:

 là các Rmodule con của M

ii) Nếu họ  M I lồng nhau thì

S được gọi là tập sinh hay hệ sinh của module S Nếu S M thì ta nói

S là một hệ sinh của M hay M được sinh bởi S

Nếu S không chứa thực sự một hệ sinh của M thì S được gọi là hệ sinh cực tiểu của M Nếu M có một hệ sinh hữu hạn thì M được gọi là một module hữu

hạn sinh Giả sử Sx x1 , 2 , ,x n thì

1

n

i i i i

Cho Rmodule M hữu hạn sinh khi và chỉ khi đối với mỗi tập M i i I

các module con của M ,với I là tập chỉ số hóa, thỏa mãn:

Cho N là module con của Rmodule M N được gọi là module tối đại nếu

NM và N không chứa trong module con thực sự nào của M

Giả sử f M: RN R là một toàn cấu

1) Nếu B là một module con tối đại của N R thì 1 

f B là một module con tối đại của M R

2) Nếu A là một module con tối đại của M R và Kerf A thì f A  là một module con tối đại của N R

1.7.2 Định nghĩa

Nếu Rmodule M có một hệ sinh S nào đó độc lập tuyến tính thì M được

gọi là module tự do Khi đó S gọi là một cơ sở của M

Ví dụ 1 Vành R có đơn vị là module tự do trên chính nó với cơ sở là  1

2 Mỗi không gian vector trên trường K đều là K-module tự do vì nó luôn

20

1.8 Module con cốt yếu, module con đối cốt yếu

1.8.1 Định nghĩa

Module con N của M được gọi là module con cốt yếu (hay lớn) trong M

nếu với mỗi module N'  0 của M ta luôn có N N'0 (hay N N'0 khi

' 0

N  ) Khi đó M được gọi là mở rộng cốt yếu của N Kí hiệu N*M

Ví dụ

1 Cho M là Rmodule Ta luôn có M *M

2 Với -module mỗi module khác 0 trong đều cốt yếu vì với

a b  ta đều có 0aba b

1.8.2 Mệnh đề Cho M M, ' là hai module Khi đó:

i) Nếu trong module M có các dãy module con N P K thì N *M kéo theo P*K

ii) Nếu N i*M, 1 i n thì

1

*

n i i

  iii) Nếu :M M' là đồng cấu module và P*M' thì 1 

 

 là cốt yếu trong M

1.8.3 Định nghĩa

Module con N của module M được gọi là đối cốt yếu (hay bé) nếu với

module N' M ta đều có NN' M (hay NN' M kéo theo NM)

Kí hiệu 0

N M

Ví dụ: 1 Với mỗi M là Rmodule ta đều có *

0 M

2 Trong chỉ có 0 là module con đối cốt yếu

1.8.4 Mệnh đề Cho M M, ' là hai module Khi đó:

i) Nếu trong module M có các dãy module con N P K thì P0 K kéo theo 0

2 3 n

NN N  N  M Bây giờ, giả sử A là module con của

M sao cho N1N A M Khi đó, do 0







22

iii) Giả sử  N  A M' với A là module con của M' Ta chứng tỏ

 1

Nếu K là module con tối đại trong M và aK thì aR K M bởi vậy aR

không là đối cốt yếu trong M

Chiều ngược lại, ta sử dụng bổ đề Zorn để chứng minh

Đặt S là tập tất cả các module con B của M , BM sao cho aR B M

S B BM aR B M

Tập S   vì aR không là cốt yếu Giả sử  là một dây truyền trong S

(theo quan hệ bao hàm) Khi đó dễ thấy B0  B B,  là cận trên của  Ta chứng

tỏ B0 M muốn vậy ta cần chỉ ra aB0.Thật vây, nếu aB0 thì aB với B nào

đó thuộc  Khi đó aRB và vì vậy M aR B B, trái với giả thiết BM Bởi vậy aB0

Mặt khác, hiển nhiên B0aRM, nghĩa là B0S Khi đó theo bổ đề Zorn trong S có phần tử tối đại K

Ta chứng tỏ K là module tối đại trong M Thật vậy, giả sử có module con

E của M sao cho KE và KE Khi đó E không thuộc S Đồng thời,

23

M aR K aR E MaR E M Bởi vậy EM, chứng tỏ K là module con tối đại trong M

1.9 Module xạ ảnh, module nội xạ

1.9.1 Định nghĩa

Một Rmodule M được gọi là xạ ảnh nếu với mọi đồng cấu f :M P,

và mọi toàn cấu g N: P các Rmodule đều tồn tại đồng cấu h M: N sao cho

gh f nghĩa là biểu đồ giao hoán sau:

h NM sao cho hg  f nghĩa là có biểu đồ giao hoán sau:

1.10 Module Noether, module Artin

ii) N và M N/ là module Noether

iii) Mọi chuỗi tăng N1N2 N3 những module con của M đều dừng

ii) N và M N/ là module Artin

iii) Mọi chuỗi giảm N1N2 N3  những module con của M đều dừng

M là Rmodule bất khả quy khi và chỉ khi M  0 và M là module xiclic

và mọi phần tử khác không của M đều là phần tử sinh

26

Vậy mọi phần tử bất kì khác không trong M đều là phần tử sinh

Giả sử M  0, gọi N  0 là module con của M , vì N  0 nên giả sử

0  n N Rõ ràng nRnr rRN do N là module Vì nN nên nM theo giả thiết M là module xiclic sinh bởi mọi phần tử khác không thuộc M suy ra

Giả sử M là R-module bất khả quy Ta chứng minh tồn tại ideal phải tối đại

A của R sao cho M đẳng cấu với R-module R A/ Vì M là Rmodule bất khả quy nên M là R-module xiclic suy ra  x M x:  0 để M  x

Xét tương ứng f : RM được định nghĩa bởi f a xa,  a R Giả sử ,

a bR và ab xaxb  f a  f b  vậy f là ánh xạ Với bất kì a b, R ta có: f a b  x a b  xaxb f a  f b  và f a b  x a b     xa b f a b .vậy f là đồng cấu Dễ thấy f là toàn cấu Thật vậy, với mỗi mM vì M  x

nên  a R xa: m hay f a m Theo hệ quả 1.2.6 ta có R Kerf/ M

Mặt khác giả sử R' là ideal của R sao cho Kerf R'R suy ra f R ' là module con của M Do M là module bất khả quy nên hoặc f R '  0 hoặc

 '

f R M

• Nếu f R '  0thì R'Kerf R'Kerf

Giả sử tồn tại ideal tối đại A của R sao cho M R A/ Khi đó:

Vì R A/ M nên tồn tại R-đẳng cấu f M: R A/ Giả sử M'  0 là module con của M thì f M ' là module con của R A/ , suy ra tồn tại R' là module con của R sao cho f M ' R A'/ Do M'  0 nên f M '  0 R A'/   0 R' A

Ta có R' là module con của R nên R' là ideal của vành R Mà A là ideal tối đại của R R' R f M ' R A/ Vì f là đẳng cấu nên M' M vậy M là

Nếu là module bất khả quy, gọi 0  r R khi đó r 0 là module con của R

do R bất khả quy nên r R, hơn nữa ta có 1 R nên  r' R rr: ' 1  do đó r' là phần tử nghịch đảo của r trong R Vậy R là vành chia

Giờ giả sử R là vành chia Gọi A 0 là Rmodule con của R và lấy aA,

rõ ràng aR mà R chia được nên  a' R sao cho a a ' 1  vì A là module con nên

1 a a ' A Với bất kì rR ta có rr.1 A suy ra RA, như vậy AR Hơn nữa 1 R nên R 0 hay RR 0 Vậy R là module bất khả quy ■ 2.1.5 Mệnh đề

Giả sử M là Rmodule và N là module con bất khả quy của M Khi đó nếu N' là module con của M và NN'  0 thì NN'

28

Chứng minh

Rõ ràng 0 N N'N Với bất kì x y, N N' và a b, R ta có x y, N

và x y, N' Vì N và N' là các module con của M nên ax by N và

ax by N' suy ra ax by N N' Do đó N N' là module con của N Vì N

là module bất khả quy nên NN N' Mà N N'N' nên NN' ■

x  Vậy NP/PN/ 0  N ■

2.2 Đồng cấu các module bất khả quy

Để thuận tiện cho cách viết, Trong mục 2.2 này các đồng cấu module trái được viết ở bên phải của tạo ảnh, còn các đồng cấu module phải vẫn được viết ở bên trái tạo ảnh

Dễ thấy với : M M định nghĩa là  x   0, với mọi xM ta có:

 x  f   x f    x f nên  là phần tử trung hòa của

Hom R M M, , 

Bên cạnh đó f định nghĩa bởi   x f    x f  là phần tử đối của f

trong Hom RM M, , 

    Như vậy Hom RM M, 

Ta lại có  x M1:M M định nghĩa bởi  x M1   x, x M là phần tử đơn vị của Hom RM M,  Vì vậy Hom RM M,  là vành có đơn vị ■

2.2.3 Mệnh đề

Nếu M là Rmodule phải (tương ứng, trái) thì M là Hom RM M, module

trái (tương ứng, phải)

Chứng minh:

• Giả sử M là Rmodule phải thì M,  là nhóm giao hoán

Với f Hom RM M, , xM ta định nghĩa phép nhân f x bởi f x  Khi

đó với bất kì f g, Hom RM M,  và x y, M , ta có:

f g x f g x  f x   g x    f x g x;

Và f xy f x y f x  f y    f x f y;

Và fg  x   fg x  f g x    f g x  