Phát triển kỹ năng nghiên cứu khoa học cho học sinh năng khiếu toán ở bậc trung học phổ thông về bất đẳng thức và các bài toán cực trị

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TẠ XUÂN HÒA PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CHO HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TẠ XUÂN HÒA

PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CHO HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN

CỰC TRỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2009

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TẠ XUÂN HÒA

PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CHO HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN

CỰC TRỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2009

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TẠ XUÂN HÒA

PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CHO HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

1.1 Dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học – sự lựa chọn cho nền

giáo dục hiện đại

5

1.1.2 Dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học có những ưu thế gì 6 1.1.3 Những yêu cầu của dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học 9

1.2 Phát hiện và bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở phổ thông 10

1.2.3 Phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh ở trường phổ thông 12 1.3 Xác định đề tài nghiên cứu và định hướng nghiên cứu 13

Chương 2 HƯỚNG DẪN HỌC SINH TỰ NGHIÊN CỨU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

2.3.1 Định lý Lagrange 31

2.4 Ứng dụng quan hệ của đường thẳng với đường conic vào bài toán tìm

cực trị của một biểu thức đại số

38

2.5.1 Phương pháp xây dựng bất đẳng thức dạng phân thức 43

2.8 Một số phương pháp đặt ẩn phụ trong chứng minh bất đẳng thức 68

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong quá trình hình thành và phát triển tư duy của học sinh thì Toán học có vai trò đặc biệt quan trọng Người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh thấy được nhiều hình thức có thể diễn tả cùng một nội dung Toán học đồng thời phải rèn luyện cho học sinh biết lựa chọn hình thức phù hợp nhất thể hiện nội dung đó

Bất đẳng thức và cực trị có vị trí đặc biệt trong toán học, không chỉ như những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình toán học liên tục cũng như các mô hình toán học rời rạc trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn,

Trong chương trình toán phổ thông, Bất đẳng thức và cực trị là một trong những nội dung hay và thường xuất hiện trong các kì thi đại học, học sinh giỏi các cấp, Olympic Toán, Đây cũng là một nội dung quan trọng nhằm rèn luyện trí tuệ cho học sinh Nhìn bất đẳng thức dưới nhiều phương diện khác nhau sẽ giúp học sinh linh hoạt trong lựa chọn hình thức thể hiện nội dung này Điều đó kích thích tư duy sáng tạo cho các em

Tuy nhiên, bất đẳng thức và cực trị là một nội dung khó, nếu không đổi mới phương pháp dạy học thì có thể dẫn đến tình trạng truyền thụ một chiều Định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là tích cực hóa việc học của người học Để giải quyết mâu thuẫn trên đây người thầy cần tăng cường giao lưu giữa thầy và trò trong quá trình dạy học Có như vậy mới có thể vừa tích cực hóa được việc học của người học vừa rèn luyện được tính linh hoạt nhìn nhận một vấn đề theo nhiều phương diện khác nhau cho học sinh

Để đáp ứng nhu cầu phát triển năng lực tư duy, năng lực nghiên cứu, sáng tạo cho học sinh ngay từ khi bước chân vào cấp ba, chúng tôi đã chọn đề

tài “Phát triển kỹ năng nghiên cứu khoa học cho học sinh năng khiếu toán ở bậc trung học phổ thông về bất đẳng thức và các bài toán cực trị”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu: Nâng cao kỹ năng nghiên cứu khoa học cho học sinh

thông qua dạy học phần bất đẳng thức và các bài toán cực trị

Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu phương pháp nhằm phát triển kỹ năng nghiên cứu khoa học cho học sinh

- Xây dựng hệ thống các modun kiến thức trong dạy học nội dung bất đẳng thức và cực trị cho học sinh khá giỏi

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài

3 Nội dung nghiên cứu

- Nghiên cứu các phương pháp dạy học nhằm phát triển kỹ năng nghiên cứu khoa học cho học sinh

- Nghiên cứu về bất đẳng thức và cực trị

- Nhìn nhận đẳng thức, bất đẳng thức theo nhiều phương diện khác nhau dựa vào mối liên hệ tương ứng giữa các số với các đại lượng hình học và lượng giác

- Sáng tạo bất đẳng thức bằng cách nhìn bất đẳng thức đã có theo những phương diện mới

- Đề xuất giải pháp sư phạm

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Nghiên cứu lý luận

Tìm hiểu, nghiên cứu những vấn đề liên quan đến đề tài định hướng cho việc nghiên cứu; phân tích và tổng hợp những quan điểm dựa trên các tài liệu về

tâm lý học, giáo dục học, phương pháp dạy học môn toán và các tài liệu về bất đẳng thức và cực trị

4.2 Thực nghiệm sư phạm

Đối tượng thực nghiệm: học sinh lớp 12A1, 12A5 trường THPT Ngô Quyền

Xử lý kết quả bằng một số phương pháp thống kê toán học

5 Cấu trúc luận văn

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học – sự lựa chọn cho nền

giáo dục hiện đại

1.1.1 Dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học

1.1.2 Dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học có những ưu thế gì

1.1.3 Những yêu cầu của dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học

1.1.4 Kết luận

1.2 Phát hiện và bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở phổ thông

1.2.1 Mục tiêu của việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán

1.2.2 Năng khiếu toán học

1.2.3 Phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh ở trường phổ thông

1.3 Xác định đề tài nghiên cứu và định hướng nghiên cứu

1.4 Các bước trong quá trình nghiên cứu

Chương 2 HƯỚNG DẪN HỌC SINH TỰ NGHIÊN CỨU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

2.5.1 Phương pháp xây dựng bất đẳng thức dạng phân thức

2.5.2 Đưa thêm tham số

2.5.3 Đổi bộ biến số

2.5.4 Ước lượng một biểu thức đối xứng

2.6 Dạng hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki và áp dụng

2.7 Đẳng thức, Bất đẳng thức xây dựng từ những bài toán trong tam giác 2.7.1 Một số kết quả cơ bản

2.7.2 Xây dựng bài toán mới và phương pháp giải

2.8 Một số phương pháp đặt ẩn phụ trong chứng minh bất đẳng thức

3.2 Một số kết quả nghiên cứu của học sinh

3.2.1 Tam giác đều

3.2.2 Tam giác cân

3.2.3 Tam giác vuông

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học - sự lựa chọn cho nền giáo dục đại học hiện đại

1.1.1 Dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học

Bản chất của dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học là tổ chức quá trình người học lĩnh hội nội dung dạy học theo logic nghiên cứu khoa học

Trình tự logic của nghiên cứu khoa học có thể được mô hình hóa qua các giai đoạn cơ bản như sau:

Áp dụng mô hình này vào việc dạy học với tư cách một phương pháp dạy học chúng ta có thể nói đến một trật tự tương tự trong thiết kế từng môn học

và từng vấn đề trong nội dung môn học Việc nghiên cứu một môn học hay một bài học sẽ bắt đầu từ việc người dạy cùng với người học phát hiện/đặt ra vấn đề cần giải quyết (vấn đề lý luận hay thực tiễn) trong khuôn khổ môn học

và liên môn Giai đoạn tiếp theo sẽ là giải quyết vấn đề đặt ra thông qua các

nghiên cứu lý thuyết và thực tiễn do người học tiến hành Ở đây công việc của người dạy là hướng dẫn và trợ giúp, công việc của người học là thực hiện việc giải quyết vấn đề Giai đoạn cuối sẽ là đánh giá việc đặt và giải quyết vấn đề,

và trên cơ sở đó đặt ra những vấn đề mới để giải quyết Cứ như vậy toàn bộ quá trình dạy học sẽ là một chu trình liên tục đặt và giải quyết các vấn đề Có thể hình dung quá trình dạy học như một chuỗi hoạt động liên tục như sau:

Ở mỗi giai đoạn trong chuỗi trên là hoạt động cùng nhau của cả người dạy và người học theo nguyên tắc người dạy hướng dẫn, cố vấn, trợ giúp - người học chủ động tiến hành việc tìm kiếm, giải quyết vấn đề Ở đây các kỹ thuật dạy học khác nhau, từ tự nghiên cứu, quan sát, làm thực nghiệm đến thảo luận, thuyết trình, làm báo cáo… đều có thể được sử dụng Có thể thấy ở đây sự dung hợp trong hướng dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học các phương pháp và kỹ thuật dạy học hiện đại, tích cực

1.1.2 Dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học có những ưu thế gì?

Bảo đảm vị thế tích cực, chủ động của người học Người học được đặt

vào vị trí chủ động nhất: tìm tòi, phát hiện và độc lập giải quyết (thông qua các nghiên cứu lý luận và thực tiễn do chính mình thực hiện) các vấn đề lý luận và thực tiễn của từng bộ môn, từng lĩnh vực tri thức

Hình thành phương pháp làm việc khoa học Ở đây người học được tập

luyện tối đa phương pháp làm việc theo đúng quy trình nghiên cứu khoa học Điều này tạo cơ sở vững chắc cho việc hình thành ở người học các phẩm chất

và năng lực, kỹ năng và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học – yêu cầu bắt buộc đối với người trí thức thời đại kinh tế tri thức và xã hội học tập

Phát triển hứng thú nhận thức, thỏa mãn nhu cầu tìm tòi, khám phá của

người học Trong hướng dạy học này người học không chỉ tự mình tìm cách giải quyết các vấn đề đặt ra mà còn tự phát hiện ra các vấn đề mới cần giải quyết Điều này thỏa mãn nhu cầu đặc trưng của con người – nhu cầu tìm tòi khám phá Những cảm xúc có được thông qua sự tìm tòi khám phá, cảm xúc thành công và cảm xúc về sự hoàn thành trọn vẹn một công việc là những củng cố tích cực cho việc hình thành và phát triển nhu cầu và hứng thú nhận thức của người học

Bảo đảm tốt nhất yêu cầu cá biệt hóa dạy học, phù hợp với tốc độ, nhịp

độ học tập của từng người học Mỗi người học đặt ra và giải quyết các vấn đề trong khả năng của mình, với tốc độ và nhịp độ phù hợp nhất với mình Điều này cho phép hiện thực hóa tối đa yêu cầu cá biệt hóa dạy học, đồng thời cũng bảo đảm một sự đánh giá khách quan nhất những tiến bộ của người học

Phù hợp đặc điểm tâm lý-nhận thức, nhân cách của người học trưởng thành G.A.Kelly, nhà tâm lý học xuất sắc thế kỷ XX, nhìn nhận mỗi con

người là một nhà khoa học, nó cố gắng hiểu, lý giải, dự đoán, kiểm soát thế giới các sự kiện để có thể tác động qua lại có hiệu quả với chúng Cách thức nhận thức thế giới của con người giống hệt như cách thức nhận thức của nhà khoa học Người trưởng thành lại có xu hướng học thông qua giải quyết các

vấn đề (Knowles), họ chủ động xây dựng kiến thức cho bản thân bằng cách tạo các biểu tượng của chính họ về những điều cần học, lựa chọn thông tin mà

họ nhận thấy là thích hợp, và diễn giải thông tin trên cơ sở kiến thức và nhu cầu hiện có của họ (Prawat & Floden, 1994) Chính những lý do này cho phép khẳng định, về mặt tâm lý học dạy học, dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học là phù hợp hơn cả đối với người học trưởng thành

Gắn đào tạo với việc giải quyết các nhiệm vụ thực tiễn Bằng việc phát

hiện và giải quyết các vấn đề nảy sinh trong từng môn khoa học, từng lĩnh vực tri thức, quá trình học tập, đào tạo được gắn một cách hữu cơ vào cuộc sống xã hội, vào đời sống khoa học Nói một cách khác, bằng cách này nguyên lý “học đi đối với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn liền với thực tiễn” được thực hiện triệt để hơn cả Đồng thời, người học thấy được giá trị thực tiễn của các tri thức, kỹ năng, kỹ xảo học được, điều này tạo ra động cơ tích cực cho việc học

Bảo đảm xu hướng dân chủ hóa nhà trường Đây là xu thế chung của

giáo dục thế giới hiện đại Với việc đưa phương pháp nghiên cứu khoa học vào dạy học, người học sẽ có cơ hội nhìn vấn đề từ nhiều góc độ, nhiều quan điểm nghiên cứu, tránh bị áp đặt một hướng nhìn duy nhất, và có cơ hội đưa

ra giải pháp mang tính sáng tạo và dấu ấn cá nhân Đây là tiền đề quan trọng cho việc dân chủ hóa nhà trường và giáo dục

Phù hợp với đặc điểm người giáo viên Người giáo viên là giảng

viên-nhà nghiên cứu Dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học sẽ là “tự nhiên” đối với giáo viên, hoạt động dạy học và nghiên cứu khoa học được hòa quyện với nhau theo cùng một logic Những kinh nghiệm nghiên cứu khoa học được áp dụng tối đa cho đào tạo và điều này bảo đảm một sự thành công gần như chắc chắn đối với hầu hết mọi nhà giáo

Phù hợp với điều kiện không gian và thời gian của việc đào tạo trong xã hội hiện đại Mạng thông tin toàn cầu được khai thác tối đa bởi học sinh để

phục vụ việc tìm kiếm và giải quyết các vấn đề bởi lẽ người học phải tự đặt ra

và giải quyết các vấn đề mà không thể trông chờ ở sự cung cấp của giáo viên Dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học cũng cho phép sử dụng tối

ưu quỹ thời gian của người học Điều này phù hợp với xu thế chung của các chương trình giáo dục trên thế giới

Nói tóm lại, dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học bảo đảm tốt nhất mục tiêu giáo dục trong khung cảnh thời đại mới như yêu cầu của Luật giáo dục: “phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”, và yêu cầu của Chiến lược phát triển giáo dục Việt Nam 2001-2010:

“dạy người học phương pháp tự học, tự thu nhận thông tin một cách có hệ thống và có tư duy phân tích, tổng hợp, tăng cường tính chủ động, tính tự chủ của học sinh trong học tập” Sự định hướng vào phương pháp dạy học này hoàn toàn phù hợp với định hướng của Nghị quyết 02-NQ/HNTW BCH TW Đảng khóa VIII: “Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và các phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”

1.1.3 Những yêu cầu của dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học

Dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học đòi hỏi, trước hết, người giáo viên phải là một nhà nghiên cứu khoa học, biết cách tìm tòi và giải quyết các vấn đề lý luận và thực tiễn nảy sinh Chỉ trong trường hợp này người dạy mới có thể hướng dẫn người học học - nghiên cứu được

Thứ hai, nội dung dạy học phải được thiết kế hướng vào các vấn đề/câu hỏi lý luận và thực tiễn cụ thể của từng môn học hay lĩnh vực ứng dụng

Thứ ba, các phương tiện phục vụ học tập, nhất là tài liệu dạy học, phải đa dạng, đầy đủ theo hướng phục vụ nghiên cứu

Thứ tư, phương pháp kiểm tra, đánh giá phải hướng trước hết vào đánh giá năng lực tự học, tự nghiên cứu, khả năng sáng tạo của người học

Thứ năm, việc quản lý quá trình dạy học phải dịch chuyển theo hướng gắn với những đặc thù của việc nghiên cứu khoa học hơn là của việc dạy học thuần túy

1.2 Phát hiện và bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường phổ thông

1.2.1 Mục tiêu của việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán

Hiện nay ở nước ta, những học sinh giỏi toán ở trường THPT thường được tập hợp thành những lớp đặc biệt ở những lớp chuyên hay khối chuyên, trường chuyên Mục tiêu của những lớp này là phát hiện những học sinh có năng lực toán học, bồi dưỡng các em phát triển tốt về mặt này trên cơ sở giáo dục toàn diện, góp phần đào tạo đội ngũ cán bộ khoa học kỹ thuật giỏi, trong

số đó một số có thể trở thành nhân tài của đất nước

1.2.2 Năng khiếu toán học

Năng khiếu, theo định nghĩa của từ điển tiếng Việt là năng lực trội, năng lực đặc biệt của con người xuất hiện từ khi còn nhỏ Như vậy năng khiếu toán học có thể coi như một tổ hợp những năng lực toán học, mà ở lứa tuổi học sinh thể hiện rõ nhất ở năng lực học toán

Nhà tâm lý học V.A.Kơrutecxki cho rằng: " Năng lực học tập toán học

là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ), đáp ứng yêu cầu hoạt động học toán và giúp cho việc nắm giáo trình toán một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo toán học" [51,tr13]

Viện sĩ toán học A.N.Kônmôgôrôp viết trong cuốn sách "Về nghề nghiệp của nhà toán học": Để nắm vững toán học một cách có kết quả ở mức

độ cao thì đòi hỏi cần có những năng lực toán học được phát triển, năng lực này mang ý nghĩa sáng tạo khoa học Theo ông, thành phần cơ bản của năng lực toán học gồm có:

- Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm ra con đường giải phương trình không theo quy tắc chuẩn, năng lực tính toán

- Trí tưởng tượng hình học hay là trực giác hình học

- Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bước đã được phân chia một cách đúng đắn kế tiếp nhau, nguyên tắc quy nạp toán học là tiêu chuẩn tốt cho sự trưởng thành lôgic hoàn toàn cần thiết đối với nhà toán học

Theo quan điểm tâm lý học, trong mỗi con người đều tiềm tàng một năng khiếu, một tài năng, tất nhiên ở mức độ khác nhau Đó là một kết luận quan trọng Trong quá trình dạy học toán, người thầy cần có những biện pháp phát hiện những năng khiếu toán học ở học trò, từ đó có thể tạo ra môi trường

và tổ chức các hoạt động thích hợp giúp các em phát triển năng lực đó

1.2.3 Phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh ở trường phổ thông

Toán học có thể xem xét theo hai phương diện Nếu chỉ trình bày lại những kết quả toán học đã đạt được thì nó là một khoa học suy diễn và tính lôgic nổi bật lên Nhưng nếu nhìn toán học trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi và phát minh, thì trong phương pháp của nó vẫn

có tìm tòi, dự đoán, vẫn có thực nghiệm và quy nạp Như vậy sự thống nhất giữa suy đoán và suy diễn là một đặc điểm của tư duy toán học

Ngày nay, khi khoa học và công nghệ có những bước phát triển mạnh

mẽ, trở thành lực lượng sản xuất trực tiếp trong nền kinh tế tri thức, thì mục tiêu giáo dục nói chung và nhiệm vụ phát triển tư duy sáng tạo cho thế hệ trẻ nói riêng có vai trò đặc biệt quan trọng Sứ mệnh của nhà trường hiện đại là phát triển tối ưu nhân cách của học sinh, trong đó năng lực sáng tạo cần được bồi dưỡng để thúc đẩy mọi tài năng

Môn toán với vị trí của nó trong nhà trường phổ thông, có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện tư duy chính xác, hợp lôgic, phương pháp khoa học trong suy nghĩ, lập luận, trong học tập và giải quyết các vấn đề: Biết quan sát, thí nghiệm, mò mẫm, dự đoán, dùng tương tự, quy nạp, chứng minh và qua đó có tác dụng lớn rèn luyện cho học sinh trí thông minh sáng tạo Phát triển tư duy sáng tạo toán học nằm trong việc phát triển năng lực trí tuệ chung, một nội dung quan trọng của mục đích dạy học môn toán Mục đích đó cần được thực hiện có ý thức,

có hệ thống, có kế hoạch chứ không phải tự phát Về phía người giáo viên,

trọng hoạt động dạy học toán cần vạch ra những biện pháp cụ thể và thực hiện đầy đủ một số mặt sau đây:

- Rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác

- Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng

- Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản, các thao tác tư duy như: Phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, trừu tượng hoá

- Hình thành, rèn luyện những phẩm chất trí tuệ như: Tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo trong tư duy

1.3 Xác định Đề tài nghiên cứu và định hướng nghiên cứu

Tính mới: Không trùng lặp hoàn toàn với các công trình khoa học trước đó Tính thời sự: Xã hội hiện nay đang quan tâm, thể hiện trên TV, mạng, báo chí,…

Tính thực tiễn: Nhằm giải quyết các hiện tượng xã hội đang diễn ra, hoặc sắp diến ra trong tương lai gần đối với đất nước hoặc 1 địa phương

Tính khả thi: Có thể được ứng dụng ngay để giải quyết các vấn đề đang đặt ra, phù hợp với hoàn cảnh thực tiễn, không bị lệ thuộc vào quá nhiều điều kiện khách quan, …

Tính hợp lý: Phải chứng minh được bằng những lý thuyết, những lập luận logic, những thông tin và số liệu thống kê, điều tra, …

Tính ứng dụng: Có thể ứng dụng được các kiến thức được cung cấp trong quá trình học để giải quyết vấn đề

Tính kế thừa: Cố gắng không bắt đầu từ đầu, phải tận dụng được những kết quả có sẵn của các công trình nghiên cứu trước đó, từ đó thể hiện rằng công trình của mình là một bước tiến mới so với các công trình trước đó Tính hấp dẫn và hữu ích đối với bản thân: Đề tài đó làm mình thấy lôi cuốn, phù hợp với sở thích riêng, phù hợp với công việc của mình trong tương lai

1.4 Các bước trong quá trình nghiên cứu

Bước 1: Xác định đề tài nghiên cứu và thể loại công trình nghiên cứu của mình

Bước 2: Cố gắng đọc lướt tất cả các tài liệu có liên quan đến đề tài nghiên cứu

Bước 3: Qua quá trình nghiên cứu (tại bước 2) cố gắng phân nhóm các quan điểm về từng vấn đề của đề tài nghiên cứu Có thể tham khảo thêm quan điểm của nhiều thầy cô và các bạn (gặp trực tiếp hoặc thông qua giờ thảo luận) Bước 4: Suy nghĩ để định ra quan điểm của riêng mình

Bước 5: Phác thảo Đề cương Đề cương phải được thiết kế sao cho có tính logic, phù hợp với đề tài của mình và thể hiện được ý đồ sáng tạo tổng thể của mình

Bước 6: Viết từng phần của công trình nghiên cứu theo Đề cương định sẵn Bước 7: Quên đi tất cả những gì đã viết (1-2 tuần)

Bước 8: Đọc lại, tự phản biện và nhờ thầy cô sửa giúp

Bước 9: Chỉnh sửa, hoàn thiện và nộp

Bước 10: Tiếp tục nghiên cứu, đọc lại và chuẩn bị cho công việc bảo vệ

Chương 2 HƯỚNG DẪN HỌC SINH TỰ NGHIÊN CỨU

VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

Để bắt đầu một cuộc hành trình, ta không thể không chuẩn bị hành trang để lên đường Toán học cũng vậy Muốn khám phá được cái hay và cái đẹp của bất đẳng thức, ta cần có những “vật dụng” chắc chắn và hữu dụng

a a a n

a a

a

2 1 2

Bất đẳng thức AM - GM (Arithmetic Means - Geometric Means) là một bất

đẳng thức quen thuộc và có ứng dụng rất rộng rãi Đây là bất đẳng thức ta cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là công cụ hoàn hảo cho việc chứng minh các bất đẳng thức

Chứng minh :

Cách 1 : Quy nạp kiểu Cauchy

Với n 1 bất đẳng thức hiển nhiên đúng Khi n 2 bất đẳng thức trở thành

2

2 2 1 2

1 2

1a  a a  a  a 

a

(đúng!) Giả sử bất đẳng thức đúng đến nk tức là :

k

k k

a a a k

a a

a

2 1 2

k

k k k k

k

k k

k k k

k k k

a a a a a

k

a a a k a a a k

k

a a

a a a

a k

a a

a a a

a

2

2 1 2

1

2 2 1 2

1

2 2

1 2

1 2

2 1 2

  1

1 2 1 1

2

1

1

1 2 1

1

1 2 1 1 2 1 1

1 2 1 1

2

1

1

k

k

k k

k

k k

a a a k

a a

a

a a a k

a a a a a a k a a a a

a1 2  (*)

Rõ ràng nếu a1 a2  a n  A thì (*) có dấu đẳng thức Giả sử chúng không bằng nhau Như vậy phải có ít nhất một số, giả sử là a1  A và một số khác, giả sử là a2  A tức là a1  Aa2

Trong tích Pa1a2 a n ta hãy thay a1 bởi a'1 A và thay a2 bởi

A a

Trong tích P' a'1a'2a3 a n có thêm thừa số bằng A Nếu trong P' còn thừa

số khác A thì ta tiếp tục biến đổi để có thêm một thừa số nữa bằng A Tiếp tục như vậy tối đa n 1 lần biến đổi ta đã thay mọi thừa số P bằng A và được tích n

A Vì trong quá trình biến đổi tích các thừa số tăng dần n

A

đpcm

Ví dụ 2.1.1.1 Cho A,B,C là ba góc của một tam giác nhọn CMR :

tanA tanB tanC 3 3

Lời giải :

B A

B A

C B

tan tan 1

tan tan

 tanA tanB tanC tanAtanBtanC

Tam giác ABC nhọn nên tanA,tanB,tanC dương

Theo AM - GM ta có :

   

3 3 tan tan

tan

tan tan

tan 27 tan

tan tan

tan tan

tan 3 tan tan tan 3 tan tan

tan

2

3 3

A

C B

A C

B A

C B

A C

B A C

B A

Đẳng thức xảy ra  ABC ABC đều

Ví dụ 2.1.1.2 Cho ABC nhọn CMR : cotA cotB cotC 3

Lời giải :

Ta luôn có : cotAB  cotC

1 cot cot cot

cot cot

cot

cot cot

cot

1 cot cot

B B

A

C B

A

B A

Khi đó :

3 cot

cot

cot

3 cot cot cot

cot cot

cot 3 cot

cot

cot

0 cot

cot cot

cot cot

cot

2

2 2

A

A C C

B B

A C

B A

A C

C B

B

A

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều

Ví dụ 2.1.1.3 CMR với mọi ABC nhọn và nN*ta luôn có :

2

1

3 tan

tan tan

tan tan

A

C B

3 3

3 3 tan

tan tan

3 tan

tan tan

tan tan

tan

tan tan

tan 3 tan

tan tan 3 tan

n n

n n

n n

n n

n

C B

A C

B A

C B

A

C B

A C

B A C

B A

b a b

1 cos 1 cos 1 2

cos 1 cos

b a

b a

Ví dụ 2.1.1.5 Chứng minh rằng với mọi ABC nhọn ta có :

2

3 2

sin 2

sin 2

sin 2

sin 2

sin 2

sin 3 2 2

cos 2 cos

cos cos 2

cos 2 cos

cos cos 2

cos 2

A C C

B

C B B

A

B A

A B

A

B A

A A A

A

cot cot 4

3 2

sin 2 sin 2

cos 2 cos 4

cos cos 4 3

2

cot 2 sin 2 cos 2 cos

A B

A

B A

B A B

A

B A

B A

cot cot 4

3 2

sin 2

sin 3 2 2

cos 2 cos

cos cos

2

cot cot 4

3 2

sin 2 sin

2

cos 2 cos 4

cos cos 4

C A

C

A C

C B C

B C

B

C B

cot cot 4

3 2

sin 2

sin 3 2 2

cos 2 cos

cos cos

cot cot 4

3 2

sin 2

sin 3 2 2

cos 2 cos

cos cos

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta đƣợc :

A C C

B B

A

A C

A C C

B

C B B

A

B

A

cot cot cot

cot cot

cot 2

3 2

sin 2

sin 2

sin 2

sin 2

cos cos 2

cos 2 cos

cos cos 2

sin 2

sin 2

sin 2

sin 2

Với hai bộ số a1,a2, ,a n và b1,b2, ,b n ta luôn có :

2 2 1 2 2

2 2 1 2 2

2 1

) (x a x b a x b a n x b n

Sau khi khai triển ta có :

2 2 1 2

2 1 1 2 2 2

2 2

2 2 1 2 2

2 1

a b

1 (quy ƣớc nếu b i  0 thì a i  0) Cách 2 :

Sử dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :

2 2 1 2 2

2 2 1 2

2 2 2 1

2 2

n n

i i

n i

n

i

b b

b a a

a

b a b

b b

b a

2

2 cos 1 2

sin 2 2

2 cos 1

cos cos

sin sin

cos sin

a ab

ab b

a

ab b

a b

   1  1 1   4

2

1 cos sin

cos sina  b   ab a2  b2 

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau đây với mọi a, b :

2 1 1 1 1

1

2 4

1 1 1 2

1 2 2

1 5

2 2 2

2

2 2 2

a

ab b a b

a ab

        6

2

1 1

1 1

2 2

2

2      

Theo AM - GM thì  6 hiển nhiên đúng  5 đúng

Từ  1 và  5 suy ra với mọi a ,b, ta có :

2 1 cos sin

ab

b a arctg

b a

ab

b a tg

b a ab

1 1

2 cos

1 2

sin

2 2

2

1 1 sin

cos

b a

c b a b

y a

sin

1 1 cos

1 sin 1

3 3

2 2

2

3 3

2 2

2

b a

c b

y a

x

b a

c b a b

y a

1b a b a a b b

x

y z

N

Q

P A

b

y a

a

x a

2 1

2 1

;

cos

; sin

2 2

cos sin

cos sin

y b x a b a b

y a

1 sin cos

b

y a

x b

a b

3 3 2

2 2

cos sin

cos sin

cos sin

b a

c b y

b a

c a x

c y b x a

b

y a

2

2 2

a b c

ABC MCA

ABC MBC

ABC MAB

MCA MBC

MAB ABC

h

z h

y h

x h h h h h h

h

x h

y h

z

S

S S

S S

S

S S

S S

c b b a

h

z h

y h

x h h h h

z h h

y h h

x h z

mà S ah a absinC h a bsinC , h b csinA , h c asinB

2

1 2

bc R

ab A

c C b B a h

h

2 2 2 sin

ca bc ab z

y x

2 2

2 2 2

đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC

z y x

c b a

sin

x x

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 4

8 sin

cos

8 sin

cos 1 1 1 1

sin cos 1 1 sin

x x

x x x

cos 2 sin 1

Lời giải :

Theo BCS ta có :

cos 2 sin 1

1 cos

2 sin 1

2 1 4 2

1

cos sin

2 1

cos 2 sin 1

2 2

2 2 2

2

4 2 2

4 2

2 2

2 2

2 2

x a

x a x

x x x

x x

a a

x x

a x a x

x nf x f x

f x

n

) (

) ( )

2 1

ii) f ' (x)  0 trong khoảng  a, b thì :

x nf x f x

f x

2 2 ) ( )

x nf x f x

f x

n

) (

) ( )

2 1

f C f B f A

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC đều

tan 2 tanA B  C 

cos

sin 2

x x

x x

2 2 2 3 2 2

2



C B A f

C f

B f

2 2

2

3 2

tan 2

tan 2

2 2 tan

tan 1 2 2

'  2 2 2 2  1 1  tan2  tan 2 22 2 2  1 1  tan2  tan 2 2 0

x x x

x x

3 3

2 2 2 3 2 2

2



tg

C B A f

C f

B f

tan 2

tan 2

tan 2

sin 2

sin 2

sin A B C  A B C  

cos 1 sin

x x

x x

x f

Khi đó theo Jensen thì :

3 6

tan 6 sin 3 3

2 2 2 3 2 2

2





C B A f

C f

B f

sin sin

3

2 sin

A

C B

A C

B

A

C B A C

B A

2 2

2

2 2

2

sin sin

sin sin

sin

sin

cos cos cos 2 2 sin

sinA B C 

2

3 3 sin sin

f

Bây giờ với Jensen ta đƣợc :

sin sin sin

sin sin

sin sin sin sin

sin sin

sin sin

sin sin

sin sin

sin sin sin

sin sin

sin sin

sin sin

sin sin

sin sin

sin sin

3

2 3

2 3

2 sin

sin sin

sin sin

sin 3

sin sin

sin

sin sin

sin ln 3

sin sin

sin

ln

sin ln sin

ln sin

ln 3

sin sin

sin

ln

3

sin ln sin sin

ln sin sin

ln sin 3

sin sin

sin ln 3

sin sin

C B A

C B A C

B A

C B

A C

B A

C B A

C B

A C

B A

C B

A C

B A

C B

A

C B

A C

B A

C B

A C

B A

C B

A C

B A

C C

B B

A A

C B

a C

a b

1 2

1 2

n n

a b

cC bB aA

Lời giải :

Không mất tính tổng quát giả sử :

abc ABC

Theo Chebyshev thì :

3 3

3 3

b a

cC bB aA

cC bB aA C

B A c b a

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC đều

B A

A C

B A C B

sin 3

Lời giải :

Xét  

x

x x

f sin với  



 2

tan cos

x x

x x

x x

Không mất tổng quát giả sử :

C

C B

B A

A C

B A

A C

B

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC đều

cos cos

sin sin

C B

A

C B

C B

A

cos cos

cos

tan tan

tan cos

cos

cos

sin sin

sin

3

cos tan cos

tan cos

tan 3

cos cos

cos 3

tan tan

tan

C B

A C

B A

C B

A

C C B

B A

A C

B A

C B

Mà ta lại có tanA tanB tanC tanAtanBtanC đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABCđều

Ví dụ 2.1.4.4

Chứng minh rằng với mọi ABC ta có :

 

C B

A

C B

A C

B A

cos cos

cos

2 sin 2 sin 2 sin 2

3 sin sin

A

C B

A

cos cos

cos

sin sin

sin

Khi đó theo Chebyshev thì :

C B

A

C B

A C

B A

C C B

B A

A C

B A

C B

A

cos cos

cos

2 sin 2 sin 2 sin 2

3 sin sin

sin

2

3

cos sin cos

sin cos

sin 3

cos cos

cos 3

sin sin

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABCđều

2.2 Các đẳng thức, bất đẳng thức trong tam giác :

2.2.1 Đẳng thức :

C

c B

b A

a

2 sin sin

C ab b

a c

B ca a

c b

A bc c

b a

cos 2

cos 2

cos 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

C a A c b

B c C b a

cos cos

cos cos

cos cos

     

p ap bp c

p

r c p r b p r

a

p

pr C B A R

R

abc

C ab B

ca A

bc

h c h b h

a

S

c b

a

c b

2

4

sin 2

1 sin 2

1 sin

2

1

2

1 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

c b a

m

b a c

m

a c b

C ab l

a c

B ca l

c b

A bc l

c b a

2 cos 2

2 cos 2

sin 2 sin 4

2 tan

2 tan 2 tan

C B A R

C c p

B b p

A a p r

2 tan

2 tan

2 tan

2 tan

2 tan

A C

A C

C B

B A

A

S

c b a C

S

b a c B

S

a c b A

4 cot

cot cot

4 cot

4 cot

4 cot

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

C

ca

a p c p

B

bc

c p b p

ca

b p p B

bc

a p p A

2 cos

2 cos

b p p

a p c p B

a p p

c p b p A

2 tan 2 tan

 

C B A C

B A

R

r C

B A C

B

A

C B A C

B

A

C B A C

B

A

R

p C B A C

B

A

cos cos cos 2 1 cos cos

cos

1 2

sin 2

sin 2 sin 4 1 cos cos

cos

cos cos cos 1 2 sin

sin

sin

sin sin sin 4 2 sin 2

cos 2 cos 4 sin sin

sin

2 2

2

2 2

cot

cot

cot

1 2

tan 2

tan 2

tan 2

tan 2

cot 2

cot 2

cot 2

cot

2

cot

tan tan tan tan

B B

A

A C C

B B

A

C B A C

B

A

C B A C

kA

kC kB kA kC

kB kA

C k

B k

A k

C k

B k

A

k

A k

C k

C k

B k

B k

A

k

kA kC kC

kB kB

kA

kC kB kA kC

kB

kA

kC kB kA kC

kB kA

C k

B k

A k C

k B

k A

k

kC kB kA kC

kB kA

C k

B k

A k C

k B

k A

k

k k

k

k k

k

cos cos cos 2 1 2 sin

sin

sin

cos cos cos 2 1 1 cos

cos

cos

2 1 2 cot 2 1 2 cot 2 1 2 cot 2 1 2 cot 2 1 2 cot 2

1

2

cot

1 2 1 2 tan 2 1 2 tan 2 1 2 tan 2 1 2 tan 2 1 2 tan

cot cot

cot

tan tan tan tan

tan

tan

cos cos cos 4 1 1 2

cos 2

cos

2

cos

2 1 2 sin 2 1 2 sin 2 1 2 sin 4 1 1 1 2 cos 1

2 cos 1

2

cos

sin sin sin 4 1 2

sin 2

sin

2

sin

2 1 2 cos 2 1 2 cos 2 1 2 cos 4 1 1

2 sin 1

2 sin 1

2

sin

1 2

2

2

2 2

b

a

c

c b

a

c

b

b a

C B c b

B A b a

3 cot

cot

cot

3 3 tan tan

tan

2

3 3 sin sin

sin

2

3 cos cos

A

C B

A

C B

A

C B

A

3 3 2

cot 2

cot 2 cot

3 2

tan 2

tan 2 tan

2

3 2

sin 2

sin 2 sin

2

3 3 2

cos 2

cos 2 cos

A

C B

A

C B

A

C B

A

1 cot cot

cot

9 tan tan

tan

4

9 sin

sin

sin

4

3 cos

cos

cos

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

A

C B

A

C B

A

C B

A

2

cot 2

cot 2 cot

1 2

tan 2

tan 2 tan

2

sin 2

sin 2 sin

2

cos 2

cos 2 cos

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

C B

A

C B

A

C B

A

C B

1 cot

cot

cot

3 3 tan

tan

tan

8

3 3 sin

sin

sin

8

1 cos

A

C B

A

C B

A

C B

A

3 3 2

cot 2

cot 2 cot

3 3

1 2

tan 2

tan 2 tan

8

1 2

sin 2

sin 2 sin

8

3 3 2

cos 2

cos 2 cos

A A A

C B A

C B A

2.3 Một số định lý khác

2.3.1 Định lý Lagrange

Nếu hàm số y f x liên tục trên đoạn  a ; b và có đạo hàm trên khoảng  a ; b

thì tồn tại 1 điểm c a;b sao cho :

Khi đó theo định lý Lagrange ta có

       

a b c a b a b

c a b a f b f b a c

sin

cos :

;

: đpcm

b b

a b b a

1 1 1

b b

a b a a b

a b

1 ln ln

cos tan

tan cos

tan '

:

c c

f f

1 cos

1

2 2

1 1

1

Lời giải :

1 ln '

1

1 '

1

ln 1 ln : 1

x f

x c g x x

x x

x x c

với x 0  f x tăng trên 0 ;  

x x

x x

x x

x x

x f x

1 1

1 1 ln 1

1 1 ln 1

1 arctan 2

2

1

2 2

x x

1

1 1

1 arctan

arctan 1

arctan 1

1

1

1 '

: 1

;

2 2

2

n n c

n n

n n n

n c

n n

n f n

f c f n n c

Để ý cn;n 1 1 ncn 1

1

1 1

1 arctan 2

2 1

1

1 1

1 2 2 1

2 2 1

1

1

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

n n

n

n c

n n

n n c

n

n c n

đpcm.

2.3.2 Định lý về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức f x ax2bxc a  0 và  b2  4ac

- Nếu   0 thì f x cùng dấu với hệ số a, với mọi số thực x

- Nếu   0 thì f x cùng dấu với a với mọi

a

b x

C y

B x

A

2

cos cos

Lời giải :

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

x2 2xycosCzcosBy2z2 2yzcosA 0

Coi đây như là tam thức bậc hai theo biến x

cos 2 cos

cos '

2

2 2 2

A yz z

y B z C y

Vậy bất đẳng thức trên đúng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

B z C y x

B z C y

: : sin

: sin : sin :

: cos

cos

sin sin

Ví dụ 2.3.2.2

sin 2 sin 4

1 2

cos 2 sin 4

2 sin 4 2

cos 2 cos 2

cos 1 2 cos

cos '

0 cos 2 2 cos cos

2

2 2

2 2

2 2

2 2

C B A

A C

B C B

A C

B

A C

B x x

x

C B C

2 2

2 sin

b C c A b a a

2 cos 2 2

cos 2

cos '

0 2 cos 2 2

cos 2

cos 2

2 2 2

2 2 2

cosA B C 

Lời giải :