TOÁN ÔN THI ĐH TOÁN THPT 2016

Tùy theo m biện luận số nghiệm của phương trình ½.

I LÝ THUYẾT

Phương pháp giải và biện luận phương trình mũ và logarit chứa tham số: f(x, m)= g(m) (1)

Ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Lập luận: số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x, m) và đường thẳng y = g(m)

- Bước 2: Xét hàm số y = f(x, m)

+ Tìm miền xác định D

+ Lập bảng biến thiên của hàm số

- Bước 3: Kết luận: Phương trình có nghiệm  min f(x,m) ≤ g(m) ≤ max f(x,m) với mọi x ∈ 𝐷

II Ví dụ

Ví dụ 1 Giải và biện luận theo m số nghiệm của Phương trình:

2x + 3 = m 4𝑥 + 1 (1)

Giải: Đặt t = 2x ( t > 0 ) Khi đó (1) trở thành

t + 3 = m 𝑡2+ 1

 𝑡+3

𝑡 2 + 1= 𝑚 (2)

Số nghiệm của (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số ( C): y = 𝑡+3

𝑡 2 + 1 với đường thẳng d: y = m

Xét hàm số y = 𝑡+3

𝑡 2 + 1, xác định trên D = (0; + ∞)

Đạo hàm: y’ = 1−3𝑡

(𝑡 2 + 1) 𝑡 2 + 1; y’ = 0  1- 3t = 0  t = 1/3

Giới hạn: lim𝑡→+∞𝑦 = 1

Bảng biến thiên:

PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT CHỨA THAM SỐ

Biện luận:

- Với m ≤ 1 hoặc m > 10: Phương trình vô nghiệm

- 1 < m ≤ 3 hoặc m = 10 phương trình có nghiệm duy nhất

- Với 3 < m < 10 phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ 2 Cho Phương trình

3𝑥2−2𝑥+2+ 22(𝑥2−2𝑥+2)+ 𝑥2− 2𝑥 = 𝑚 − 2

a Giải Phương trình với m = 8

b Giải Phương trình với m = 27

c Tìm m để phương trình có nghiệm

Giải: pt trở thành

3𝑥2−2𝑥+2+ 22(𝑥2−2𝑥+2)+ 𝑥2− 2𝑥 + 2 = 𝑚

Số nghiệm của Phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = 3𝑥2−2𝑥+2+ 22(𝑥2−2𝑥+2)+ 𝑥2 − 2𝑥 + 2 với đường thẳng y = m

Xét hàm số số y = 3𝑥2−2𝑥+2+ 22(𝑥2−2𝑥+2)+ 𝑥2− 2𝑥 + 2, xác định trên R

Đặt t = x2

– 2x +2

Giới hạn lim𝑥→∞ 𝑦 = +∞

Bảng biến thiên:

t y’

y

0

10

1

3

a Với m = 8, Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

b Với m = 27 phương trình có 2 nghiệm phân biệt, ta nhận được x = 0, x = 2

c Phương trình có nghiệm khi m > 8

Ví dụ 3 Cho Phương trình

𝑙𝑜𝑔32𝑥 + 𝑙𝑜𝑔32𝑥 + 1- 2m -1 = 0

a Giải pt khi m = 2

b Tìm m để pt có nghiệm trên [1; 3 3]

Giải:

a

𝑙𝑜𝑔32𝑥 + 𝑙𝑜𝑔32𝑥 + 1- 5 = 0 (1)

Đặt t = 𝑙𝑜𝑔32𝑥 + 1

(1)  t2 + t – 6 = 0

 t = 2

 𝑙𝑜𝑔32𝑥 + 1 = 2

 𝑙𝑜𝑔32𝑥 = 3

 log3𝑥 = ± 3

 x = 3± 3

b Xét 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 3  0 ≤ log3𝑥 ≤ 3

𝑙𝑜𝑔32𝑥 + 𝑙𝑜𝑔32𝑥 + 1- 2m -1 = 0

Đặt t = 𝑙𝑜𝑔32𝑥 + 1

Phương trình trở thành m = f(t) = ½.( t2

+ t – 2) Phương trình ban đầu có nghiệm x thỏa mãn 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 3 khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của f(t) với 1 ≤ t ≤ 2

Khảo sát hàm số ta được 0 ≤ 𝑚 ≤ 2

Ví dụ 4 Tìm a để Phương trình sau có nghiệm:

91+ 1−𝑥 2

− 𝑎 + 2 31+ 1−𝑥 2

+ 2𝑎 + 1 = 0

Đáp án: 4 ≤ 𝑎 ≤ 64/7

Ví dụ 5 Tùy theo m biện luận số nghiệm của phương trình

½ x2 – ln x – m = 0

Ví dụ 6 Cho phương trình log2 (5x – 1).log4 (2.5x – 2) = m

a Giải phương trình với m = 1

b Xác định m để Phương trình có nghiệm x ≥ 1

Ví dụ 7 Với giá trị nào của m thì phương trình (1

5) 𝑥2−4𝑥+3 = 𝑚4− 𝑚2+ 1 có 4 nghiệm phân biệt