đề thi học sinh giỏi toán lớp 8

1. ĐỀ 1 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A M B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y ≠ 0 . Chứng minh rằng ( ) 3 3 2 2 2 0 1 1 3 x yx y y x x y − − + = − − + Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) 2003 6 2004 5 2005 4 2006 3 2007 2 2008 1 + + + + + = + + + + + xxxxxx Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh ∆EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a DE có độ dài nhỏ nhất b Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. 2. HD CHẤM Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) x3 5x2 + 8x 4 = x3 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 (0,25đ) = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25đ) b) (0,75đ) Xét 2 A 10x 7x 5 7 5x 4 B 2x 3 2x 3 − − = = + + − − (0,25đ) Với x ∈ Z thì A M B khi 7 2 3−x ∈ Z ⇒ 7 M ( 2x – 3) (0,25đ) Mà Ư(7) = { }1;1; 7;7− − ⇒ x = 5; 2; 2 ; 1 thì A M B (0,25đ) c) (1,5đ) Biến đổi 3 3 x y y 1 x 1 − − − = 4 4 3 3 x x y y (y 1)(x 1) − − + − − = ( )4 4 2 2 x y (x y) xy(y y 1)(x x 1) − − − + + + + ( do x + y = 1⇒ y 1= x và x 1= y) (0,25đ) = ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y (x y) xy(x y y x y yx xy y x x 1) − + + − − + + + + + + + + (0,25đ) = ( ) 2 2 2 2 2 2 x y (x y 1) xy x y xy(x y) x y xy 2 − + − + + + + + +   (0,25đ) = ( ) 2 2 2 2 2 x y (x x y y) xy x y (x y) 2 − − + − + + +   = ( ) 2 2 x y x(x 1) y(y 1) xy(x y 3) − − + − + (0,25đ) = ( ) 2 2 x y x( y) y( x) xy(x y 3) − − + − + = ( ) 2 2 x y ( 2xy) xy(x y 3) − − + (0,25đ) = 2 2 2(x y) x y 3 − − + Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ) Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y 12 = 0 ⇔ y2 + 6y 2y 12 = 0 (0,25đ) ⇔ (y + 6)(y 2) = 0 ⇔ y = 6; y = 2 (0,25đ) x2 + x = 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ) x2 + x = 2 ⇔ x2 + x 2 = 0 ⇔ x2 + 2x x 2 = 0 (0,25đ) ⇔ x(x + 2) – (x + 2) = 0 ⇔ (x + 2)(x 1) = 0 ⇔ x = 2; x = 1 (0,25đ) Vậy nghiệm của phương trình x = 2 ; x =1 b) (1,75đ) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 2008 2007 2006 2005 2004 2003 + + + + + + + + = + + ⇔ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 + + + + + + + + + + + = + + + + +

ĐỀ 1

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút

Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử

b) Tìm giá trị nguyên của x để A M B biết

A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3

c) Cho x + y = 1 và x y ≠0 Chứng minh rằng

( )

3 3 2 2

2

0

x y

−

Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau:

a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12

b) 2008x+1+ 2007x+2+ 2006x+3= 2005x+4+2004x+5+2003x+6

Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F

sao cho AE = CF

a) Chứng minh∆EDF vuông cân

b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD Gọi I là trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng

Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên

AB, AC sao cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:

a/ DE có độ dài nhỏ nhất

b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất

HD CHẤM Bài 1: (3 điểm)

a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 (0,25đ)

= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25đ) b) (0,75đ) Xét A 10x2 7x 5 5x 4 7

− − (0,25đ) Với x ∈ Z thì A M B khi 7

2x−3 ∈ Z ⇒ 7 M ( 2x – 3) (0,25đ)

Mà Ư(7) = {− 1;1; 7;7 − } ⇒ x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A M B (0,25đ)

c) (1,5đ) Biến đổi 3 3

y 1 x − 1

− − = 43 34

(y 1)(x 1)

− − +

− − = ( 4 4)

xy(y y 1)(x x 1)

+ + + + ( do x + y = 1⇒ y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ) = ( ) ( )( 2 2)

x y x y x y (x y) xy(x y y x y yx xy y x x 1)

+ + + + + + + + (0,25đ) = ( ) 2 2

x y (x y 1)

xy x y xy(x y) x y xy 2

  (0,25đ) = ( ) 2 2

x y (x x y y)

xy x y (x y) 2

2 2

x y x(x 1) y(y 1) xy(x y 3)

− − + −

+ (0,25đ) = ( )[ ]

2 2

x y x( y) y( x)

xy(x y 3)

2 2

x y ( 2xy) xy(x y 3)

+ (0,25đ) = 2 2

2(x y)

x y 3

+ Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ)

Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ)

(x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x

y2 + 4y - 12 = 0 ⇔y2 + 6y - 2y -12 = 0 (0,25đ)

⇔(y + 6)(y - 2) = 0 ⇔y = - 6; y = 2 (0,25đ)

* x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ)

* x2 + x = 2 ⇔x2 + x - 2 = 0 ⇔ x2 + 2x - x - 2 = 0 (0,25đ)

⇔x(x + 2) – (x + 2) = 0 ⇔(x + 2)(x - 1) = 0 ⇔x = - 2; x = 1 (0,25đ) Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1

b) (1,75đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6+ + + + + = + + + + + ⇔ (x 1 1) (x 2 1) (x 3 1) (x 4 1) (x 5 1) (x 6 1)

+ + + + + + + + = + + + + + + + +

⇔ 20032009

2004

2009 2005

2009 2006

2009 2007

2009 2008

2009+ + + + = + + + + +

2008 2007 2006 2005 2004 2003

(0,25đ)

2003

1 2004

1 2005

1 2006

1 2007

1 2008

1

)(

2009

(x+ + + − − − = (0,5đ) Vì 1 1

2008 2005 < ; 1 1

2007 < 2004; 1 1

2006 2003 <

2003

1 2004

1 2005

1 2006

1 2007

1 2008

1

<

−

−

− +

Bài 3: (2 điểm)

a) (1đ)

Chứng minh ∆EDF vuông cân

Ta có ∆ADE =∆CDF (c.g.c)⇒ ∆EDF cân tại D

Mặt khác: ∆ADE =∆CDF (c.g.c) ⇒Eˆ 1 =Fˆ 2

Mà Eˆ 1 +Eˆ 2 +Fˆ 1 = 900 ⇒ Fˆ2+Eˆ2+Fˆ1= 900

⇒ EDF= 900 Vậy∆EDF vuông cân

b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vuông ⇒ CO là trung trực BD

Mà∆EDF vuông cân ⇒ DI =12EF Tương tự BI =12 EF ⇒ DI = BI ⇒ I thuộc dường trung trực của DB ⇒ I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng

Bài 4: (2 điểm)

a) (1đ)

DE có độ dài nhỏ nhất

Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a)

Áp dụng định lý Pitago với ∆ADE vuông tại A có:

DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ)

= 2(x –a42 )2 + a22 ≥ a2

Ta có DE nhỏ nhất ⇔ DE2 nhỏ nhất ⇔ x =a2 (0,25đ)

⇔ BD = AE =a

2 ⇔ D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ)

A

B

D

C

O

F

2 1

1 2

A D B

C E

b) (1đ)

Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất

Ta có: SADE =12AD.AE =12 AD.BD =12AD(AB – AD)=12(AD2 – AB.AD) (0,25đ)

= –12 (AD2 – 2AB2 AD + AB42 ) + AB82 = –12(AD – AB4 )2 + AB2

2

AB

8 (0,25đ) Vậy SBDEC = SABC – SADE ≥ AB2

2 – AB82 = 38AB2 không đổi (0,25đ)

Do đó min SBDEC =38AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ)