6 điểm Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB.. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF.. b Gọi H là giao điểm của AE và BC.. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Môn: Toán 8 Năm học: 2015 - 2016
Câu 1.(4 điểm)
a) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a1.3 (x x+ 2)(3x2 + 6x+ + 2) 1 a2.a b c2 ( − + ) b c a2 ( − + ) c a b2 ( − ) a 3 4x4+ 81
b) Cho a;b;c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: ab bc ca+ + = 0
Rút gọn biểu thức: A=
ab c
c ac
b
b bc
a
a
2 2
2 2
2 2
2
+
+ +
+ +
Câu 2.(4 điểm)
a) Cho 1+ 1+1 = 0
z y
x Tính A xyz( 13 13 13)
b) Với mọi x, y, Cho : f x y( , ) 5 = x2 + 2y2 + 4xy+ + 2 2060x , chứng minh rằng: f (x, y) 2016>
Câu 3: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng : A= + + + + + 1 2 3 4 2016 3 3 3 3 3 là số chính phương
b) Cho a a1 , , , 2 a2016 là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 5
Chứng minh rằng: 3 3 3
1 2 2016
A a= + + +a a chia hết cho 5.
Câu 4 (6 điểm)
Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF
a) Chứng minh rằng: AE ⊥ BC
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB
Câu 5 (2 điểm) Chứng minh rằng: P=
1
a 3 b+ 2 c+ 1 a+ 4 c >
Với mọi a,b,c
HẾT
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm - SBD:
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
Câu Ph
ần
m Câu
5đ a.1 3 (x x+ 2)(3x2 + 6x+ + 2) 1 = (3x2 + 6 )(3x x2 + 6x+ + 2) 1
(3 6 ) 2(3 6 ) 1
= x + x + x + x + = (3x2 + 6x+ 1) 2
0.5 0.5 a.2
2 ( − + ) 2 ( − + ) 2 ( − )
a b c b c a c a b =a b c2 ( − − ) b a c2 ( − + ) c a b2 ( − )
=a b c2 ( − − ) b2[(a b− + − ) (b c)]+c a b2 ( − )
= (a2 −b b c2 )( − + ) (c2 −b2 )(a b− ) = (a b a b b c− )( + ( − − − ) (b c b c a b)( + )( − )
= (a b b c− )( − ) ([ a b b c+ − − )]= (a b b c a c− )( − )( − )
0.5
0.5 0.5 a.3 a3
4
4x + 81 = (2 )x2 2 + 36x2 + − 81 (6 )x 2 = 2x2 + 9 2− (6 )x 2 =(2x2 − 6x+ 9 2) ( x2 + 6x+ 9)
0.5 0.5
b
Rút gọn biểu thức: A=
ab c
c ac
b
b bc
a
a
2 2
2 2
2 2
2
+
+ +
+
ab ac bc 0+ + = ⇒− − =ab ac bc; ac bc ab; ab bc ac− − = − − =
A=
a ab ac bc b+ bc ab ac c+ ac bc ab
1
a b a c b c
a b a c b c
0.5
0.5 0.5
Câu
2
A
2 đ Ta có: 1 1 1
0
x + = −y z
3
+ + = + ÷ − + ÷+
= − − − ÷+ =
Vậy: 1+1 +1 = 0
z y
xyz z
y
do đó: A xyz( 13 13 13)
= 13 + 13 + 13= . 3 =3
0.5 0.5
0.5
0.5 B
1 đ
2 2 ( , ) 5 = + 2 + 4 + + 2 2060
( , ) 4 2 9 4 12 6 10 25 6 9 2017
⇔ f x y = x + y + + xy+ x+ + −y x x+ + − + +y y
( ) ( ) (2 2 )2 ( , ) 2 3 5 3 2017
⇔ f x y = x y+ + + −x + −y + ⇔ f x y( , ) 2016 > với mọi x,y
0.5 0.5
Câu a a) Chứng minh : A= + + + + + 1 2 3 4 2016 3 3 3 3 3 là số chính phương.Thật vậy:
Trang 33 2 2 2 2 2 2
.4.1 4.2 4 3 4 4 4 5 4.2016
= ÷ + ÷ + ÷ + ÷ + ÷ + ÷
A
= ÷ − + ÷ − + ÷ − + ÷ − + + ÷ −
A
1.2 0.1 2.3 1.2 3.4 2.3 2016.2017 2015.2016
= ÷ ÷ − + ÷ ÷ − + ÷ − ÷ + + ÷ − ÷
A
2 2016.2017 2
= ÷
1008.2017
=
A ; Vậy A là số chính phương
0.5 0.5 0.5
0.5
b Dễ thấy: a5 − =a a a( 4 − = 1) a a( 2 − 1)(a2 − + 4 5) =a a( 2 − 1)(a2 − + 4) 5 (a a2 − 1)
2 ( 2)( 1) ( 1)( 2) 5 ( 1)
= −a a− a a+ a+ + a a − = − (a 2)(a− 1) (a a+ 1)(a+ 2) là tích của 5
số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5; còn 5 (a a2 − 1) là bội của 5 nên chia
hết cho 5
Vậy;a5 −a chia hết cho5
1 2 2016 1 2 2016 1 2 2016
− + + + = + + + − + + +
1 1 2 2 2016 2016
= a −a + a −a + + a −a chia hết cho 5
Mà a a1 , , 2 a2013 là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 5
Do vậy A chia hết cho 5.
0.5 0.5 0.5
0.5
Câu
4
K
I
O D
C
B
F E
H
0,5
a Ta có: ∠ CAB = ∠ FMB= 45 0 ⇒AC // MF (Vị trí đồng vị)
mà EB ⊥ MC (T/c đường chéo hình vuông) ⇒ EB ⊥ AC
∆ACB có: BE ⊥ AC; CM ⊥ AB ⇒ E là trực tâm của ∆ACB ⇒ AE ⊥ BC;
0,5 0,5 0,5
b Gọi O là giao điểm của AC và BD.
∆AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến
⇒ ∆DHM vuông tại H
⇒ ∠ DHM = 90 0
Chứng minh tương tự ta có: ∠ MHF = 90 0
Suy ra: ∠ DHM + ∠ MHF = 180 0
Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng.
0,5 0,5 0,5 0,5
Trang 4c Gọi I là giao điểm của AC và DF.
Ta có: ∠ DMF = 90 0 ⇒ MF ⊥ DM mà IO ⊥ DM ⇒ IO // MF
Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF
Kẻ IK ⊥ AB (K ∈ AB)
⇒ IK là đường trung bình của hình thang ABFD
Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định.
Vậy đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB
0,5 0,5 0,5 0,5
Câu
5
Chứng minh rằng: P=
1
a b 3 b+ c 2 c+ a 1 a+ b c 1>
Với mọi a,b,c
Thật vậy, với mọi a,b,c ta có:
a b 3 a> b c 4
b c 2 >a b c 4
c a 1 a> b c 4
a b c 1 a> b c 4
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được:
P
1
+ + + .Điều phải chứng minh.
0,5 0,5
0,5 0,5