chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8

Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử... 53không phân tích được nữa Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính Và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1 Tuy nhiên đa t

Tailieumontoan.com



S ƯU TẦM VÀ TỔNG HỢP

Thanh Hóa, Tháng 11 năm 2019

TUYỂN TẬP MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em tuyển tập các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để làm tài liệu này nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán nâng cao lớp 8 thường được ra trong các kì thi gần đây Chuyên đề gồm các phần:

Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!

Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!

Mục Lục

Trang

Chuyên đề 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 19

Chuyên đề 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 58

Ta có: 2 ( )2 ( )2 ( )2 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

x + x+ + x+ + x+ =x + x + x+ + x + x+ + x + x+

( ) (2 )2 2

Đặt

2

2 ;2

Đặt

2 2

2 2

23

21

HẰNG ĐẲNG THỨC: a3 + b3 + c3 -3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca)

+) Nếu x= =y 2 ( khôn thỏa mãn )

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; -5)

Bài 3: Giải phương trình sau: 3 3 3

Tính giá trị của biểu thức: = − + − + −  + + 

b c c a a b a b c P

Bài toán được chứng minh

Bài 2: Cho a, b, c, d thỏa mãn: a2 + b2 + c2 + d2 = 1 Tính giá trị của biểu thức

Bài 1: Giải hệ phương trình sau

- Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p

q trong đó p là ước của hệ số tự do, q kà ước dương của hệ số cao nhất

Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do

1 Đối với đa thức bậc hai : ax 2 + bx + c

Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất bx

- Tính a.c rồi phân tích a.c ra tích của hai thừa số ac = a1c1 = a2c2 =

- Chọn ra hai thừa số có tổng bằng b , chẳng hạn : ac = a1c1 với a1 + c1 = b

- Tách bx = a1x + c1x

- Dùng phương pháp nhóm số hạng để phân tích tiếp

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

2 Đối với đa thức bậc ba trở lên ( dùng phương pháp nhẩm nghiệm )

P x =a x +a − x − + +a x+a a a ∈Z n≥

+) Nếu x = a là nghiệm của P(x) thì P(a) = 0

Hệ Quả : Nếu Pn(x) = 0 có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của a0

+) Định lý Bezut: Nếu Pn(x) = 0 có nghiệm x = a thì Pn(x) = (x - a) H(x) bậc (n - 1)

Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 3 2

Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a p q

( 5)(3)

không phân tích được nữa

Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính

Và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1

Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau:

Nên ta làm như sau:

Bấm máy tính cho ta nghiệm là : 1

3 Đối với đa thức nhiều biến

– Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

Bài 1: Phân tích thành nhân tử 2 2 2 2 2 2

A= ab +a b+abc + ac +a c+abc + bc +b c+abc = a b c ab bc ca+ + + +

Bài 3: Phân tích thành nhân tử: A=abc−(ab bc+ +ca)+ + + −a b c 1

- Các đa thức không thể sử dụng các phương pháp như đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử

và sủ dụng hằng đẳng thức cũng như đoán nghiệm,

- Trong các thành phần của đa thức có chứa các hạng tử bậc 4, ta sẽ thêm bớt để đưa về

a −b = a b a b− +

- Đôi khi thêm, bớt hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung

1 Thêm, bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức: a 2 – b 2

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

2 Thêm, bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Đặt t = x2, ta được G(t) = at2 + bt + c Sau đó dùng phương pháp tách hạng tử

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4 2

Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính

và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1

Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau, nên ta làm như sau:

Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính và đa thức không có hai nghiệm

là 1 và -1 Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau: nên ta làm như sau:

Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử:( 2 ) ( 2 )( 2 )

Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( )3 ( 3 3 3)

F Đối với đa thức bậc cao có dạng 3 1 3 2

1

x + +x + + luôn luôn có nhân tử chung là bình

phương thiếu của tổng hoặc hiệu, nên ta thêm bớt để làm cuất hiện bình phương thiếu của tổng hoặc hiệu:

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 7 5 4 3 2

G ĐỐI VỚI ĐA THỨC ĐA ẨN

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 2 2

x +y −z + xy− z−

88

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( 2 2 )2 2 2 2 2 2 2

Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

2 2

3 3 3

53

A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

Khái niệm: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của

biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại

một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của

biểu thức A ứng với các giá trị của biểu thức thuộc khoảng xác định nói trên

Xét biểu thức A x( )

+) Ta nói A x( ) có giá trị lớn nhất là M, nếu

( )

A x ≤M x∀ và có giá trị x0 sao cho A x( )0 =M (Chỉ ra 1 giá trị là được)

+) Ta nói A x( ) có giá trị nhỏ nhất là m, nếu

- Chỉ ra dấu “ = ” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến

Ký hiệu: Min A là giá trị nhỏ nhất của A và Max A là giá trị lớn nhất của A

+) Nếu m > 0, n > 0 thì ta tìm được giá trị nhỏ nhất

+) Nếu m < 0, n <0 thì ta tìm được giá trị lớn nhất

Dễ thấy rằng luôn tồn tại (x; y) để có dấu của đẳng thức, như vậy ta sẽ tìm được cực trị của đa thức đã cho

Trong cả hai trường hợp trên:

- Nếu r = 0 thì phương trình F(x; y) = 0 có nghiệm

- Nếu F x y( ); ≥ >r 0 hoặc F x y( ); ≤ <r 0 thì không có (x y; ) nào thảo mãn F(x; y) = 0

a> ac b− < r= ⇒ F x y phân tích được tích của hai nhân tử, giúp ta

giải được các bài toán khác

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của

x

y y

y z

z z

Bài 16: Tìm min của: 2 2

- Dồn biến từ điều kiền rồi thay vào biểu thức

- Biến đổi biểu thức thành các thành phần có chứa điều kiện để thay thế

Mặt khác:

2 2

20

Bài 9: Tìm GTLN, GTNN của S =ab+2009, với a, b, là hai số thực khác 0 và

02

1

1; 22

02

0

2

32

Bài 11: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn : 2 2 2

Từ giả thiết =>y= − 1 x thay vào C ta được: 3 ( )3 2

Bài 8: Cho a, b>0 và a+b=4, tìm GTLN của P 1 1 1 1

y x

Bài 35: Cho các số thực x, y thỏa mãn: 2 2

7x +9y +12xy−4x−6y− = , Tìm min max của: 15 0

A= x+ y+

Bài 48: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn : x+ + =y z 3, Tìm GTLN của :B=xy+yz+zx

Hướng dẫn

Ta có : B=xy+z x( +y)=xy+3−(x+y) ( x+y)

- Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ

- Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ

Bài 17: Tìm max của: ( )4 ( )4

Bài 1: (Chuyên Toán Quảng Ngãi năm 2014 – 2015)

A Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai

Phương pháp: Biểu thức dạng này đạt giá trị nhỏ nhất khi mẫu đạt giá trị lớn nhất

B

x x

=+ +

Lời giải

Ta có :

2 2

B Phân thức có mẫu là bình phương của 1 nhị thức

Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu

Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm

=

Bài 8: Tìm min hoặc max của:

2 2

x

=+

x

=+

=+

1

x x B

Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu

Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm

1 Bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau

+

=+

c =(x+2)(x+8) ( >0)

Lời giải

−

=+ b 22 1

2

x B x

+

=+

+

=+

Bài 4: [ HSG – Yên Phong – 2016 – 2017 ]

=+

Bài 7: Tìm GTLN của biểu thức sau 4 22

1

x A

x x

=+ +

x

−

=+

+

=+

+

=+

=+

−

=+

5128

x B x

+

=+

=+

+

=+

11

x H x

+

=+

Bài 21: Tìm min hoặc max của:

2 2

1

x P x

=+

Lời giải

2

10

21

2 2

11

x G x

+

=+

x P

x

+

=+

+

=+ +

Lời giải

2

x K

x x

= −

+ +

=+

1 1

1 3( ) x

2 Bậc của tử bằng bậc của mẫu

Bài 1: Tìm GTN N của các biểu thức sau

x x

=+ +

N x

+ +

=+

Bài 8: Tìm min hoặc max của:

2 2

Làm tương tự như các bài trên

Bài 11: Tìm min hoặc max của:

2 2

3x 6x 17

− +

Lời giải

x H

Lời giải

2

12

Bài 19: Tìm min hoặc max của: 222 2 9 22

H

x x

y y

Bài 20: Tìm min hoặc max của: 2 2 1

1

x J

y y

Bài 22: Tìm min hoặc max của: 2 2 4 2 2

4

x y R

x x

y y

Bài 27: Tìm min hoặc max của:

2 2

x x

y y

H

x x y y

x x

Với y ≠ 0 chia cả tử và mẫu cho y2 ta được:

2 2 2 2

x x y y M

y y

y y

N

x x y y

Lời giải

Chia cả tử và mẫu cho y2 ta được:

2 2 2 2

1

x x y y P x y

Bài 35: Tìm min hoặc max của:

2 2

11

x x y y R

x x y y

+) Nếu m≠1 phương trình có vô số nghiệm

+) Nếu m = 1 phương trình vô nghiệm

−

=+

Bài 2: Cho phương trình 2

(m −1)(x+ + =2) 1 m

(Vô số nghiệm)

(Vô số nghiệm) (Vô nghiệm)

a Tìm m để x = 3 là nghiệm của phương trình

Để phương trình có nghiệm thì xảy ra 2 trường hợp

Vậy m≠ −1 thì phương trình luôn có nghiệm

2

11

41

m

m

m m

a Thay x = 1 vào phương trình ta được m∈ −{ 1; 2}

b Phương trình có nghiệm xảy ra 2 trường hợp là có nghiệm duy nhất hoặc có vô số

+) Phương trình có nghiệm duy nhất khi m− ≠ ⇔ ≠2 0 m 2

Vậy phương trình có nghiệm với mọi m

Với m = 5 phương trình vô nghiệm

+) − − = ⇔m 1 0 m= −1 khi đó phương trình trở thành 0x = -5 (vô nghiệm)

−

=

−

Vậy m=1;m= −1 phương trình vô nghiệm

Bài 3: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm : (m+1)x− +(x 2)=0

Bài 5: Với giá trị nào của m thì:

a 2x− =1 5a+4 có nghiệm dương b 3(x+2)=ax+4 có nghiệm lớn hơn -1

c 2

(a −3a+2)x+ =3 3a có nghiệm duy nhất

Lời giải

Vậy phương trình vô nghiệm khi m∈ −{ 1; 2; 7}

Bài 9: Giải và biện luận phương trình sau: m 3m22 4m2 3 1

+) − ≤b 0 thì bất phương trình vô số nghiệm

+) − >b 0 thì bất phương trìn vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải các hệ bất phương trình sau

x x

2

x x

x x

x x

+) − >b 0 thì bất phương trìn vô nghiệm

Bài 1: Giải và biện luận các bất phương trình sau

A Phương trình bậc cao đưa về dạng tích

1 Phương trình bậc cao đưa về phương trình tích

- Nếu tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì ó

Bài 2: (HSG – Đông Anh – 2003)

Giải các phương trình sau

( )

2 2

1 3

3 21; 1 / 3

1 4

2 2 2 2

2 2

158;

F Phương trình dạng: ax 5 + bx 4 + cx 3 + bx + a = 0 ( phương trình đối xứng )

- Nhận thấy x = -1 là nghiệm của phương trình vậy vế trái của phương trình có 1 nhân tử

là x + 1

Sau đó phương trình quay trở về dạng E

Ví dụ: Giải các phương trình sau

x x

x x

Vậy phương trình có tập nghiệm S = −{ }1

e +) Với x = 0 không là nghiệm của phương trình

+) Với x ≠ 0 chia cả hai vế cho x2 ta được: 2

x x

2

2

12;

+) x = 0 không là nghiệm của phương trình

+) Chia cả hai vế cuả phương trình cho x3 ta được:

Dấu « = » xảy ra khi b = 0 hoặc b = 1

Tương tự : c2 ≥c7 Dấu « = » xảy ra khi c = 0 và c = 1

00

Bài 1: Tìm các số a, b, c, d sao cho: 4 3 2

4 0 , , ,+ + + − ≥ ∀ ∈

CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

A Rút gọn, tính giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: a Cho a – 2b = 5 Tính giá trị biểu thức 3 2 3

Cách 2: 2 2 2 2 2 2

( ) 2 3 3 6 1 1( ) 2 3 3 6 4 2

Ta có:

2 2

2008 2008( 1) 20081

M =bc y−z +ac z−x +ab x−y =by a+ +c cz a+ +b ax b+ −c bcyz+acxz+abxy

Ta phải tạo ra nhân tử: a + b + c

=+ +

3 3 3 3 3 3 3

( ) 3 ( ) ( ) 3 ( )( ) ( ) ( ) 3

Nếu 2 2013 2 2013

2013

1( ) ( )

1

( )( )

2 ( )( ); 2 ( )( )+ = − − + = − −

Bài 5: Cho a, b, c là ba số phân biệt Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ

thuộc vào giá trị x :

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

C Chứng minh phân số tối giản

- Có hai cách cơ bản chứng minh tử số và mẫu số có ƯCLN bằng 1

+) Cách 1: Giả sử d = (a,b), sau đó chỉ ra d = 1

++ là phân số tối giản n N∀ ∈

++ là phân số tối giản n N∀ ∈

Bài 2: Chứng minh rằng phân số 12 1

30 2

n n

++ là phân số tối giản n N∀ ∈

phân số A chưa tối giản

D Các bài toán về biểu thức hữu tỷ

Các bước rút gọn biểu thức hữu tỷ

- Tìm điều kiện xác định: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, cho tất cả các nhân tử khác 0

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

Bài 1: Cho biểu thức 44 5 22 4

a Rút gọn A b Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên

c Tìm giá trị của A khi x = 6

Cách 1: Chứng minh bằng quy nạp toán học

d Nhân cả hai vế của bddt với cùng một số

Dấu “=” xảy ra khi:

a c b c b a a b c b ac abc

a b ac bc ab c abc

a b c a c b c a abc

a b a c c b do a b c abc

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi: a+ =b c

Bài 6: Chứng minh rằng nếu a b+ ≥2 thì 3 3 4 4

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1

Bài 7: Chứng minh rằng nếu ∀a b c, , ta luôn có: 4 4 4

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bài toán được chứng minh

Dạng 2: Dùng các phép biến đổi tương đương

- Ta biến đổi các bất đẳng thức cần chứng minh tương đường với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh là đúng

- Nếu < ⇔ <A B C D, với C < D luôn đúng

Bài 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực, Chứng minh rằng:

Từ (1), (2) ta có điều phải chứng minh

b Giả sử tồn tại cả ba số a, b, c lớn hơn 1⇔abc>1 ( mâu thuẫn với giả thiết )

Vậy luôn tồn tại 1 số nhỏ hơn 1

Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: 10 10 2 2 8 8 4 4

Do đó bài toán được chứng minh

Bài 5: [ Vào 10, ĐHSP TPHCM năm 2007 – 2008 ]

Bất đẳng thức cuối đúng với mọi a > 0 nên bài toán được chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi a = 0

Dấu “=” xảy ra khi x = y

Bài 8: [ Chuyên An Giang năm 2010 - 2011 ]

Bất đẳng thức đúng với mọi x, y ≥ 0 do đó bài toán được chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi x = y = 0 hay a = b = 4

Bài 9: [ Vào 10 chuyên KHTN, ĐHQGHN, năm 2000 – 2001 ]

Dấu “=” xảy ra khi = ±x y

Bài 10: Cho các số thực a,b Chứng minh rằng: 2 2 2 (1)

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bài toán được chứng minh

Dấu “=” xảy rakhi a = b

Dạng 3: Bất đẳng thức dạng nghịch đảo ( Cô si cộng mẫu )

Vậy bài toán được chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Bài 2: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: 4 2 + 3 + 4 ≤ + +5 6 7

Bất đẳng thức được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Bài 3: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: 1 (1)

Vậy bài toán được chứng minh , Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Bài 2: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: 7 4 7 9 1 2 3

Vậy bài toán được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b

Bài 2: Cho a + b > 1 Chứng minh rằng: 4 4 1

Vậy bài toán được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b

Bài 4: Cho a, b, c, d, > 0 và abcd = 1 Chứng minh rằng:

Vậy bài toán được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b

Bài 6: Cho a b c, , >0;abc=1 Chứng minh rằng: (a+1)(b+1)(c+ ≥1) 8

Vậy bài toán được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Bài 7: Cho a b c d, , , >0;abcd =1 Chứn minh rằng: 2 2 2 2

Vậy bài toán được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = d

Bài 8: Cho x+ + =y z 1 Chứng minh rằng:

Vậy bài toán được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi x = y = z

b Theo chứng minh trên:

⇒xy+yz+zx≤

Vậy bài toán được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi x = y = z

Bài 9: Cho a b c, , ≥0 thỏa mãn: a+ + =b c 1 Chứng minh rằng: a b+ +2c≥4(1−a)(1−b)(1−c)

Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1

Bài 11: Cho a b c, , ≥1 Chứng minh rằng: 1 2 1 2 1 2 3

+a +b +ab +abc +b +c +abc +c +a +abc

Cộng vế các bất đẳng thức thức ta được điều phải chứng minh

- Muốn chứng minh bất đẳng thức A≥B đúng, ta giả sử A≥B là sai, tức là A < B là đúng

- Sau đó chứng minh A < B là sai ⇒ ≥A B là đúng

Bài 2: Với mọi số thực a, b, c hãy chứng tỏ: 2 2 2