BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI NĂM 2016

CMR mỗi phương trình trên có đúng một nghiệm, tính tổng hai nghiệm đó.. Tìm GTLN của biểu thức... Tìm GTNN của biểu thức 01... Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức... Tìm gi{ trị nhỏ nhất

BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI NĂM 2016

Bài 1: Cho , ,x y z l| 3 số dương thoả mãn 1 1   

,

Bài 2: Cho , ,x y z l| 3 số dương thoả mãn x  y z 3

Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức:

4khi x  y z 1

Bài 3: Cho ,x y thoả mãn

2 2

MinP Khi

6

162

x y

Bài 4: Cho c{c số , ,x y z thoả mãn x2,y1,z0

Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 5: Cho c{c số thực dương ,a b thoả mãn a22b12

Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 6: Cho c{c số thực dương , ,a b c thoả mãn a b c  1

Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức:

7

Bài 7: Cho c{c số thực dương , ,a b c thoả mãn ab1; (c a  b c) 3

Do vai trò của a, b, c như nhau nên giả sử a b c  , khi đó:

Bài 9: Cho c{c số thực dương , ,x y z thoả mãn x y z x;   y z 3

Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức: P x z 3y

Vậy GTNN của P bằng 5 khi x  y z 1

Bài 10: Cho c{c số thực dương , ,a b c

Dấu “=” xảy ra khi b 1 2a c, 4 3 2 a

Bài11: Cho c{c số thực dương , ,a b cthoả mãn 21ab2bc8ca12

Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức: S 1 2 3

Vậy MinP80khi x  y z 2

Bài 13: Cho , ,x y z l| ba số thực dương thỏa mãn: 2 2 2 3

Bài 15:Tìm gi{ trị nhỏ nhất, gi{ trị lớn nhất của biểu thức:

Đẳng thức xảy khi v| chỉ khi x 8 max ( ) 12 2f x  4 7 khi x8

Vậy min ( )f x 2khi x2và max ( ) 12 2 4 7f x   khi x8

Bài 16: Cho , ,x y z l| ba số thực dương thỏa mãn: 2 2 2

2 2

Vậy GTNN của P l| 2 2 2

2

1, 05

21

t

t t

Bài 23: Cho hai phương trình 3 2

x  x  x  và 3 2

x  x  x  CMR mỗi phương trình trên có đúng một nghiệm, tính tổng hai nghiệm đó

Vậy tổng hai nghiệm của hai pt đó bằng 2

Bài 24: Cho , ,a b c l| c{c số thực thoả mãn: a  b c 3 Tìm GTLN , GTNN của biểu thức

;3

    không tồn tại GTLN của f t 

Vậy MinP=-2 khi a = b = c =1

Bài 25: Cho , ,a b c l| c{c số thực thoả mãn: a  b c 2 Tìm GTLN của biểu thức

b P

Bài 28: Cho , ,a b c l| c{c số thực không }m thoả mãn: ab bc ca1 Tìm GTNN của biểu thức

01

(THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU- NĂM 2016 - LẦN 1)

* 18 x  1 x2 7x 5  x1 11x8 0 luôn đúng với mọi x > 0

Dấu "=" xảy ra khi x = 1

Vậy Min S = 2 khi a = b = c = 1

Bài 31: Cho , ,a b c l| c{c số thực dương v| thoả mãn: 3

   luôn đúng với mọi a b,  0;1

Dấu "=" xảy ra khi a b

Từ điều kiện, dùng bất đẳng thức côsi suy ra: 0xy8

 

2 2

2 2

1 1 1 1

x

x



   

          

   

Từ đó suy ra

P

  

Xét h|m số  

3

, 0

1

x

  

5 1

x

x



    

Lập bảng biến thiên của f(x) trên 0;  suy ra

5 108

P f x  f  

 

 

Kết luận: GTNN của P l| 91

108 đạt được khi

x

Bài 36: Cho a, b, c l| c{c số thực không }m thỏa mãn 8(a 2 + b 2 + c 2 ) = 3(a + b + c) 2 Tìm gi{ trị

lớn nhất của biểu thức P = a(1 – a 3 ) + b(1 – b 3 ) + c

(THPT ĐA PHÚC- HÀ NỘI - NĂM 2016- LẦN 1) ĐÁP ÁN +) Từ giả thiết ta có: 5c2 – 6 (a+b)c + (a+b)2 0  1( ) 5 a b   c a b +) Ta có 4 4 1( )4 , 8 a b  a b a b => P 1 4 2( ) ( ) 8 a b a b     +) Xét 4 3 3 ( ) 2 (t 0), '( ) 2 ; '( ) 0 4 8 2 t t f t  t  f t   f t   t +) BBT:< t 0 34 +

f’(t)

+ 0 -

f(t)

3

3 4 2

+) MaxP =

3 3

3

4

3 4

2 2

4

c



 



 

 



Bài 37: Cho a b, 0 thỏa mãn  2 2 2 2

a bc

a c b

Hệ có nghiệm khi a2  4a2  3a2  4 a2  0 ; 4

 2 32 3 6 2 9, 2  0;42

4

;010

;912

'

t

t F

Suy ra maxF  khi a;b;c  2;1;1 hoặc c{c ho{n vị hoặc a;b;c  2;1;1 hoặc c{c ho{n vị

Bài 39: Cho x, y, z là ba số thực dương có tổng bằng 3 Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức

 

2

27 6 ( ) 2 ( 3)

x y z yz x

       

2 3 2 ( ) 27 6 (3 ) ( 3) 2 1 ( 15 27 27) 2 y z x x x x x x            Xét h|m số 3 2 ( ) 15 27 27 f x   x x  x , với 0<x<3 , 2 1 ( ) 3 30 27 0 9 x f x x x x            x  0 1 3 

y’ - 0 +

y

27 54

14

Từ bảng biến thiên suy ra MinP =7    x y z 1 Bài 40: Cho x, y l| c{c số thực dương thỏa mãn xy  x y 3 Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức: 3 3  2 2 1 1 x y xy P x y y x x y         (THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN – PHÚ YÊN - NĂM 2016- LẦN 1) ĐÁP ÁN Đặt 2 2  2 2   2 3 ; 2 2 3 2 6 t  x y xy t x y  xy  xy t    t t t Ta có 2 2 1 3 2 2 4 x y xy    t t t          Suy ra 3 2 2 3   2 2 2 12 5 1 2 x y x y xy P x y t t xy x y x y t                 Xét h|m số   2 12 5 2 f t t t t      với t2 Ta có   2 2 ' 2 1 0, 2 f t t t t        Suy ra hàm số f t  nghịch biến với t2

2 2

Vậy gi{ trị lớn nhất của P bằng 3

2 khi x y 1

Bài 41: Cho a, b, c l| c{c số thực dương Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức

Suy ra gi{ trị nhỏ nhất của P bằng

2 2

b

c a c

b a

c b c b a

c b

( ) 2 24 2 6

P f t  t t

tf(t)

Từ BBT ta có: GTNN của P là: 3

4 khi t3.

Vậy GTNN của P l|: 3/4 khi x y z  1.

Bài 44: Cho x y z, ,  0; 2 thỏa mãn x  y z 3 Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức

Dấu bằng xảy ra khi v| chỉ khi a 2;b 3;c 1

Vậy bất đẳng thức (2) đúng Do đó bất đẳng thức (1) được chứng minh

Bài 46: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x > y và xzyz1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

(xy)   (x y)  (xy)  4xy  2 (xy)   (x y)      2 0 x y 1Ta biến đổi P như sau

2015)

43()2(

2)(

2

3)(

Do

2

)( 2 2 24

1

Suy ra

16

322332

1)

(min

; 2

Bài 48: Cho a, b, c l| ba số dương Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức:

Vậy gi{ trị lớn nhất của 1

4

P khi

3

11

L}̣p bảng biến thiên của hàm số f(t) Dựa vào bảng biến thiên ta có

Bài 50: Cho c{c số thực dương a, b, c Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức

1 4

f(t)

1

1 6

0

25 36