Chứng minh rằng:... HƯỚNG DẪN: Bài 1: Gọi VT của bất đẳng thức là A và VP của bất đẳng thức là B Nếu không nói gì thêm qui ước này được dùng cho các bài tập khác.Với các BĐT có dấu ≤ ≥ ;
Trang 1I.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI VÀ CÁC HỆ QUẢ
A.Một số ví dụ:
1 Chứnh minh : (Với a , b ≥ 0) (BĐT Cô-si)
Giải:
( a - b ) = a - 2ab + b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2ab Đẳng thức xảy ra khi a = b
2 Chứng minh: (Với a , b ≥ 0)
Giải:
( a+b ) = (a - 2ab + b )+ 4ab = (a-b) + 4ab ≥ 0 + 4ab ⇒ ( a + b ) ≥ 4ab Đẳng
thức xảy ra khi a = b
3 Chứng minh: (Với a , b ≥ 0)
Giải:
2(a + b) - ( a+b ) = a-2ab+b = (a-b) ≥ 0 ⇒ 2(a + b) ≥ ( a+b ) Đẳng thức xảy ra khi a = b
4 Chứng minh: .(Với a.b > 0)
Giải:
+ = Do ab ≤ ⇒ ≥ 2 Hay + ≥ 2 Đẳng thức xảy ra khi a = b
5 Chứng minh: .(Với a.b < 0)
Giải:
+ = - .Do ≥ 2 ⇒ - ≤ -2 Hay + ≤ - 2 Đẳng thức xảy ra khi a = -b
6 Chứng minh: (Với a , b > 0)
Giải:
+ - = = ≥ 0 ⇒ + ≥ Đẳng thức xảy ra khi a = b
7 Chứng minh rằng:
Giải:
2(a +b +c) - 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a) ≥ 0
⇒ 2(a +b +c) ≥ 2(ab+bc+ca) Hay a +b +c ≥ ab+bc+ca Đẳng thức xảy ra khi a
= b;b = c;c = a ⇔ a = b= c
Trang 2• A B≥ ⇔ − ≥A B 0
• Cần lưu ý tính chất:A2 ≥0
• Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = 0
• Có thể nhân hai vế bất đẳng thức với một số khác 0 thích hợp
B.Bài tập vận dụng:
Chứng minh các bất đẳng thức sau
1. a2 + 4b2 + 4c2 ≥ 4ab - 4ac + 8bc
2. a2 +b2 +c2 +d2 +e2 ≥ a(b+c+d +e)
3. (x−1)(x−3)(x−4)(x−6)+10≥1
4. a2 + 4b2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c – 14
5. 10a2 + 5b2 +12ab + 4a - 6b + 13 ≥ 0
6. a2 + 9b2 + c2 +
2
19 > 2a + 12b + 4c
7. a2 – 4ab + 5b2 – 2b + 5 ≥ 4
8. x2 – xy + y2 ≥ 0
9. x2 + xy + y2 -3x – 3y + 3≥ 0
10. x2 + xy + y2 -5x - 4y + 7 ≥ 0
11. x4 + x3y + xy3 +y4 ≥ 0
12. x5 + x4y + xy4 +y5 ≥ 0 với x + y ≥ 0
13. a4 + b4 +c4 ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2
14. (a2 + b2).(a2 + 1) ≥ 4a2b
15. ac +bd ≥ bc + ad với ( a ≥ b ; c ≥ d )
16.
2 2
2
2
+
≥
a
17.
2 2
2 2
3
+ +
≥ + +b c a b c a
18.
b
c c
a a
b a
c c
b b
a
+ +
≤ + + (với a ≥ b ≥ c > 0)
19.
ab
ab b
a
+
≥ +
9
12
( Với a,b > 0)
20.
c b a ab
c ca
b bc
+ +
≥ +
===========o0o===========
Trang 3HƯỚNG DẪN:
Bài 1: Gọi VT của bất đẳng thức là A và VP của bất đẳng thức là B (Nếu không
nói gì thêm qui ước này được dùng cho các bài tập khác).Với các BĐT
có dấu ≤ ≥ ; thì cần tìm điều kiện của các biến để đẳng thức xảy ra
2
2c b
a+ −
2 2
2
Bài 3: A – 1 =(x− 1)(x− 3)(x− 4)(x− 6)+ 9= ( )2
3 +
Y
Bài 4: A – B = (a−1) (2 + 2b−3)2 +3(c−1)2 +1
Bài 5: A = ( a – 1)2 + (3a – 2b)2 + (b + 3)2
Bài 6: A–B = ( a – 1)2 +(3b – 2)2 + (c - 2)2 +
2 1
Bài 7: A – B = ( ) (2 )2
1
− b b a
Bài 8:
x2 – xy + y2 =
4
3 2
2 2
y y
x +
−
Bài 9: .x2 – xy + y2 -3x – 3y + 3 = ( ) (2 )( ) ( )2
1 1
1
Biến đổi tiếp như bài 8
Bài 10: Tương tự bài 9
Bài 11: x4 + x3y + xy3 +y4 = ( 2 2) ( )2
y x y xy
Bài 12: Tương tự bài 11
Bài 13: Xem ví dụ 7
Bài 14: A – B = (a2 + b2).(a2 + 1) - 4a2b
Bài 15: A - B = ac + bd - bc - ad với ( a ≥ b ; c ≥ d )
= ( c − d )( a − b )
Bài 16:
4
2a2 +b2 − a+b 2
Bài 17: Xem bài tập 16
Bài 18: A - B = (a-c)(b-a)(
(Với a ≥ b ≥c ≥ 0)
Bài 19:
ab
b a a
b
+
− +
− 9
3
( Với a,b > 0)
Bài 20:
abc
ab ac ac
bc bc
(Với a,b,c > 0)
===========o0o===========
Trang 4TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
I: DẠNG
-• Nếu a > 0 :
2 2
ax + bx +c =
b
a
Suy ra
2 4ac-b = 4a
MinP Khi x=- b
2a
• Nếu a < 0 :
2 2
ax + bx +c =
b
a
Suy ra
2
4 a c+b ax
4 a
M P= Khi x= b
2 a
Một số ví dụ:
1. Tìm GTNN của A = 2x2 + 5x + 7
Giải:A = 2x2 + 5x + 7 = 2 5 25 25
4 16 16
x + x+ − + =
5 2 25 56 25 5 2 31 5 2
Suy ra 31 5
MinA= Khi x= −
2. Tìm GTLN của A = -2x2 + 5x + 7
Giải: A = -2x2 + 5x + 7 = - 2 5 25 25
2( 5)2 25 7 56 25 2( 5)2 81 2( 5)2
MinA= Khi x=
3. Tìm GTNN của B = 3x + y - 8x + 2xy + 16
Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + 8 ≥ 8
⇒ MinB = 8 khi : ⇔
4. Tìm GTLN của C = -3x - y + 8x - 2xy + 2
Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + 2 = 10 - ≤ 10
⇒ GTLNC = 10 khi: ⇔
BÀI TẬP:
5. Tìm GTNN A = x2 − 5 x + 2008
6. Tìm GTLN B = 1 + 3x - x2
7. Tìm GTLN D = 2007 − x2 − 5 x
8. Tìm GTNN của F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
9. Tìm GTNN của G = x4 − 10 x3 + 25 x2 + 12
10.Tìm GTNN của M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y
11.Tìm GTNN C = (3x−1)2−43x−1+5
12. Tìm GTNN của N = (x +1) + ( x - 3)
13.Tìm GTNN của K = x + y - xy +x + y
Trang 5HƯỚNG DẪN
5 A = x - 5x + 2008 = (x - 2,5)2 + 2001,75
⇒ MinA = 2001,75 khi x = 2,5
6 B = 1 + 3x - x2 = -1,25 - ( x - 1,5)2
7 D = 2007 - x - 5x = 2004,5 - ( x + 2,5)2
8 F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = (x +x+1) =
9 G = x - 10x +25x + 12 = x(x - 5) + 12
10 M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y = (x - y + 1) + (y - 4) -16.
11.C = (3x−1)2 −43x−1+5
* Nếu x ≥ C = (3x - 3) + 1
* Nếu x < C = (3x + 1) + 6
12. N = (x +1) + ( x - 3) = 2(x- 1) + 8
13 K = x + y - xy +x + y = ( x - y) + (x + 1) + (y + 1) - 1.
Trang 6
* Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski
Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, tôi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây
1 a2 + b2 ≥ 2 ab (a,b>0) (BĐT Cô-si)
2 (a +b)2 ≥4ab
3 ( 2 2) ( )2
2a +b ≥ a+b
4 + ≥2;a,b>0
a
b b a
5 1 1 4 ; , >0
+
≥
b a b a
6 a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
7 (ax+by)2 ≤(a2+b2)(x2+ y2) ( Bu nhi a cop xki)
y x
b a y
b x
a
+
+
≥ +
2 2
2
z y x
c b a z
c y
b x
a
+ +
+ +
≥ +
2
b
ca a
bc c
ab
+ +
≥ +
b
ca a
bc c
ab
2 2 2 2 2
+ − +
+ − +
b
a a
b c a
c c
a b b
c c
b a
Áp dụng bất đẳng thức + ≥ 2 ; a , b > 0
a
b b
a
.Ta có:2A - 2B ≥a(2−2) (+b 2−2) (+c 2−2) ≥0 Vậy A ≥B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0
Ví dụ 10: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = 1 Chứng minh rằng : 1 2 2 2 ≥ 8
+
+
y x
2
4 2
1 2
1 2
2 2
2 2
1
y xy x
y x xy y
x xy y
x
xy + + = + + = + + ≥ + +
( 8 )2 =8
+
=
y
1
=
= y x
Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức :
a
b b
c c
a a
c c
b b
a22 + 22 + 22 ≥ + +
Giải:
c
a c
b b
a c
b
b
a
2 2
2
2 2
2
=
≥
a
b a
c c
b a
c c
b
2 2 2
2 2
2
=
≥
b
c b
a a
c b
a a
c
2
2
2
2 2
2
=
≥ +
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
a
b b
c c
a a
c c
b
b
a
a
b b
c c
a a
c c
b
b
a
+ +
≥ + +
⇒
+ +
≥
+ +
2
2 2
2 2
2
2
2 2
2
2
2
2 2
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Trang 7Bài tập:
1. Cho a,b,c là 3 số dương.Chứng minh rằng( ) 1 1 1≥9
+ +
c b a c b a
2. Cho các số dương a,b,c biết a.b.c = 1 Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1)≥ 8
3. Cho các số a,b biết a + b = 1 Chứng minh rằng
a) a + b ≥ b) a + b ≥
4. Cho 3 số dương a,b,c và a + b + c = 1 Chứng minh: + + ≥ 9
5. Cho x , y , z ≥ 0và x + y + z ≤ 3 Chứng minh rằng:
+ + ≤ ≤ + +
6. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 Chứng minh rằng
a + ≥ 6
b + ≥ 14
7. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 Chứng minh rằng
(a + ) + (b + ) ≥
8. Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi a,b,c>0
, 2
1 2
1 2
1 3
1 3
1 3
1
b a c a c b c b a a c c b b
9. Cho a,b,c là 3 số dương
Chứng minh :
c b a ab
c ac
b bc
+ +
≥ +
10. Cho a,b,c là 3 số dương
Chứng minh rằng :
2
2 2
a b
c c a
b c b
+
+ +
+
11. Chứng minh: a + b ≥ với a + b ≥ 1
12. Chứng minh:
2
3
≥ +
+ +
+
c a c
b c b
a
Với a,b,c > 0
13. Chứng minh: a4 + b4 + c4 ≥ abc ( a + b + c )
14. Bài 28: Cho x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; z ≥ 0 ;
Chứng minh rằng :(x + y).(y + z).(z + x) ≥ 8xyz
15. Cho A =
1 3
1
2 2
1 1 2
1
2
1 1
1
+ + + +
+ + + + +
+
Trang 8HƯỚNG DẪN:
+ +
+ +
+ +
a
c c
b a
c c
a a
b b a
2 Áp dụng (a + 1) ≥ 2a
3 a) A - B = a + b - =2( a + b) - (a + b) ≥ 0 b) Áp dụng câu a
4 Xem bài 1
5 + + ≤ + + = + + =
+ + ≥ ≥ =
6 A = + = ( + ) + ≥ + = 6 ( vì 2ab ≤ (a+b) )
B = + = 3( +) +
7 (a + ) + + (b + ) + = + ≥ 5(a + ) + 5(b + )
= 5( a + b) + 5( + ) ≥ 5( a + b) + 5 = 25 Suy ra: (a + ) + (b + ) ≥
8 + ≥ ; + ≥ ; + ≥
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được Đpcm
9 Ta có: + = ( + ) ≥ 2
a b
c c
b a ab
c ac
b 1 ≥2.1
+
= +
b c
a a
c b bc
a ab
2
+
= + Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được đpcm Đẳng thức xáy ra khi và chỉ khi a = b = c (Hãy kiểm tra lại)
z y x
c b a z
c y
b x
a
+ +
+ +
≥ +
2
11 a + b ≥ ( a + b ) ≥ ≥
12 ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = + +
= (a+b+c) ( + + ) ≥ (a+b+c) = Suy ra:
2
3
≥ +
+ +
+
c a c
b c b a
13 Áp dụng BĐT ở ví dụ 6 cho 3 số a4 + b4 + c4rồi tiếp tục áp dụng lần nửa cho 3 số
a2b2 + b2c2 + c2a2 ta có đpcm
14 Áp dụng BĐT (x+ y)2 ≥4xy.Nhân từng thừa số của 3 BĐT suy ra ĐPCM
15 A có 2n + 1 số hạng (Kiểm tra lại !).Áp dụng BĐT 1 1 4 ; , > 0
+
≥
b a b
hạng thích hợp sẽ có đpcm
Trang 9GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Ví dụ: Tìm Max của A =
5 2
5
2 − x−
x
Giải: B = x2 - 2x - 5 = (x - 1)2 - 6 ⇒ MinB = -6 khi x = 1⇒ MaxA = - khi x = 1
Ví dụ: Tìm GTNN của B =
Giải: B = 1 - .Đặt C = ⇒ = (x + ) + 2 ≥ 4 ⇒ Min = 4 khi x = 1 ⇒ MaxC
= ⇒ MinB = khi x = 1
Tìm GTNN của các biểu thức sau:
1. với x > 0
2 với x > -2
3 x -x + 4 +
4.
5.
6. 2 42 1
x
x
x − +
2
1 2
1 6 4
−
+
−
x
x x
8.
22 8
41 16 2
2
2 +
−
+
−
x x
x x
9.
8
512 2
6 +
+
x x
10.
4 2
3
2 + −
−x x
11.
1
3 2
2 +
x
x
Tìm GTLN của các biểu thức sau:
1.
2.
3.
1 3
3
2 + x+
x
4.
2008 +
x x
6. I = (Với x ≠ 0)
DẠNG :Có mối quan hệ giữa các biến
1 Cho 3x + y = 1
a.Tìm GTNN của A = 3x + y
b.Tìm GTLN của B = xy
2 Cho a , b > 0 và a + b = 1 Tìm GTNN
của C = (1+ ) + (1 + )
3 Tìm GTLN của các Biểu thức:
a.D = 2x(16 - 2x) với 0 < x < 8
b E = với x > 0; y > 0; x + y = 10
4 Cho x + 2y = 1.Tìm GTNN của x2 + 2y2
5 Cho 4x - 3y = 7.
Tìm GTNN của 2x2 + 5y2
6 Cho xy = 1 Tìm GTNN của x+ y
7 Cho : 7x2 + 8xy + 7y2 = 10 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của :
x2 + y2
8 Cho x và y là các số nguyên dương thoả
mãn : x + y = 2009 Tìm GTNN và GTLN của A = x.y
9 Tìm GTNN của P = x + y + x + y với
x + y = 1
10 Tìm GTLN của Q = xy +yz + zx
Với x + y + z = 3
11 Cho x + 2y = 3
Tìm GTNN của R = x + 2y
12 Cho x + 2 + z = 3 Tìm GTNN của
Trang 1012 = 17 + 4x +
13 =
14 x -x + 4 +
15.
16.
17. 2 42 1
x
x
x − +
18. ( )2
2
1 2
1 6 4
−
+
−
x
x x
19.
22 8
41 16 2
2
2 +
−
+
−
x x
x x
20.
8
512 2
6 +
+
x x
21.
4 2
3
2 + −
−x x
22.
1
3 2
2 +
x x
Trang 11GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Bài 7: Tìm GTNN của các biểu thức
Bài 8:
4 Cho x + 2y = 1 Tìm GTNN của x2 + 2y2 HD: Viết (x + 2y )2 = (x.1 + 2 y 2)2
5 Cho 4x - 3y = 7 Tìm GTNN của 2x2 + 5y2 HD: Viết :4x - 3y = ( + −5
3 5 2
4
6 Cho xy = 1 Tìm GTNN của x+ y
HD: (x + y)2 ≥ 2xy ⇒ x+ y ≥2
7 Cho : 7x2 + 8xy + 7y2 = 10 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của : x2 + y2
HD: 7(x2 + y2 ) = 10 - 8xy ≥ 10 -4(x2 + y2 )
⇒ 11(x2 + y2 ) ≥ 10 ⇒ Min (x2 + y2 ) = 10/11
8 Cho x và y là các số nguyên dương thoả mãn :
x + y = 2009 Tìm GTNN và GTLN của A = x.y
HD:4xy = (x + y)2 -(x - y)2 = 20092 - (x - y)2
*xy lớn nhất khi và chỉ khi (x - y) = 1
*xy nhỏ nhất khi và chỉ khi (x - y) lớn nhất