Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BC và SA biết SA=a và SA tạo với mặt phẳng đỏy một gúc bằng 300.. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a , SA vuụng gúc với đỏy và SA=a .G
Trang 1THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Cõu 1 Cho lăng trụ ABC A B C cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a Hỡnh chiếu vuụng gúc của 1 1 1 A lờn mặt 1 phẳng (ABC) trựng với tõm O của tam giỏc ABC Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABC A B C biết khoảng 1 1 1 cỏch giữa AA và BC là 1 3
4
a
Cõu 2 Hỡnh chúp tứ giỏc đều SABCD cú khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2 Với giỏ trị nào của gúc α giữa mặt bờn và mặt đỏy của chúp thỡ thể tớch của chúp nhỏ nhất?
Cõu 3 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, AA' = 3
2
a và góc BAD = 600 Gọi
M và N lần lợt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B' Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng
Cõu 4 Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD cú đỏy là hỡnh chữ nhật với SA vuụng gúc với đỏy, G là trọng tõm
tam giỏc SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N Tớnh thể tớch của khối đa diện MNABCD biết
30
Cõu 5 Cho hỡnh chúp S.ABC cú mặt đỏy (ABC) là tam giỏc đều cạnh a Chõn đường vuụng gúc hạ từ S
xuống mặt phẳng (ABC) là một điểm thuộc BC Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BC và SA biết SA=a và SA tạo với mặt phẳng đỏy một gúc bằng 300
Cõu 6 Cho hỡnh chúp S.ABC cú AB = AC = a BC =
2
a
SA=a 3, ãSAB SAC=ã =300 Tớnh thể tớch khối
chúp S.ABC
Cõu 7 Cho hai hỡnh chúp S.ABCD và S’.ABCD cú chung đỏy là hỡnh vuụng ABCD cạnh a Hai đỉnh S
và S’ nằm về cựng một phớa đối với mặt phẳng (ABCD), cú hỡnh chiếu vuụng gúc lờn đỏy lần lượt là trung điểm H của AD và trung điểm K của BC Tớnh ttớch phần chung của hai hỡnh chúp, biết rằng SH = S’K=h
Cõu 8: Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hỡnh chúp tam giỏc đều cạnh đỏy AB = a;
cạnh bờn AA’ = b Gọi αlà gúc giữa hai mp(ABC) và mp(A’BC) Tớnh tan α và thể tớch chúp
A’.BCC’B’
Cõu 9 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a , SA vuụng gúc với đỏy và SA=a Gọi M,N
lần lượt là trung điểm của SB và SD;I là giao điểm của SD và mặt phẳng (AMN) Chứng minh SD vuụng gúc với AI và tớnh thể tớch khối chúp MBAI
Câu 10 Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn (C) tâm O đờng kính AB = 2R.Trên đờng thẳng vuông góc với
(P) tại O lấy điểm S sao cho OS = R 3 I là điểm thuộc đoạn OS với SI = 2
3
R
M là một điểm thuộc (C)
H là hình chiếu của I trên SM Tìm vị trí của M trên (C) để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó
Trang 2Cõu 11: Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại đỉnh A ( àA = 90o), AB=AC=a Mặt bờn qua cạnh huyền BC vuụng gúc với mặt đỏy, hai mặt bờn cũn lại đều hợp với mặt đỏy cỏc gúc 60o Hóy tớnh thể tớch của khối chúp S.ABC
Cõu 12 Cho hỡnh chúp S ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại , A AB AC a= = , M là trung điểm của
AB, hỡnh chiếu vuụng gúc của S trờn mặt phẳng(ABC trựng với tõm O của đường trũn ngoại tiếp tam ) giỏc BMC, gúc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng(ABC bằng ) 0
60 Tớnh theo a thể tớch khối chúp S.ABC và khoảng cỏch từ điểm C đến mặt phẳng(SAB )
Cõu 13 Cho hỡnh chúp S ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi tõm O, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cựng vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) Biết AC =2 3a , BD=2 a , khoảng cỏch từ điểm O đến mặt
phẳng ( SAB ) bằng 3
4
a Tớnh thể tớch khối chúp ABCD S theo a
Cõu 14 Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a, SA a= và SA tạo với mặt phẳng
(ABC) một gúc bằng 300 Chõn đường vuụng gúc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đường thẳng BC, điểm M thuộc cạnh SA sao cho SM =2MA. Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BC, SA và thể tớch tứ diện SMHC theo a.
Cõu 15 Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' cú đỏy ABC là tam giỏc cõn tại C, cạnh đỏy AB bằng 2a
và gúc ABC bằng 0
30 Tớnh thể tớch của khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' biết khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AB và CB' bằng
2
a
Cõu 16 Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' cú AC a BC = , = 2 , a ∠ ACB = 120o và đường thẳng A C ' tạo với mặt phẳng ( ABB A ' ' ) gúc 300 Tớnh thể tớch của khối lăng trụ đó cho và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng CC AB ', ' theo a
Cõu 17 Cho tứ diện ABCD cú ãDBC=600, BC=8 cm, DB DC+ =12 cm, hỡnh chiếu vuụng gúc của A xuống (BCD) trựng với trọng tõm của ∆BCD và gúc giữa cạnh bờn AD với (BCD) bằng 60 0 Tớnh thể tớch của khối tứ diện ABCD
Câu 18 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng
đáy bằng 300 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đờng thẳng B1C1 Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AA1 và B1C1 theo a
Cõu 19 Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S ABCD cú tất cả cỏc cạnh đều bằng a Tớnh theo a thể
tớch khối chúp S ABCD và tớnh bỏn kớnh mặt cầu tiếp xỳc với tất cả cỏc mặt của hỡnh chúp đú.
Cõu 20 Cho khối tứ diện ABCD Trờn cỏc cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy cỏc điểm M, N, P sao cho
số thể tớch giữa hai phần đú
Trang 3Câu 21 Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ' ' '
(A’BC) bằng
2
a
Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '
Câu 22 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ nội tiếp trong hình trụ có bán kính đáy r; góc giữa BC’ và trục của
hình trụ bằng 300; đáy ABC là tam giác cân đỉnh B có ·ABC=1200 Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của BC, A’C và AB Tính theo r thể tích khối chóp A’.KEF và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE
Câu 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a;
hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600; gọi G là trọng tâm của tam giác BCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách
từ G đến mặt (SBC)
Câu 24 Cho hình chóp .S ABCD có SC⊥(ABCD),đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3và
· 120 0
ABC= Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và ( ABCD bằng ) 45 Tính theo a thể tích của 0 khối chóp S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD
Câu 25 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 , · 0
BAD = 60 và mp(SAB) vuông góc với mặt đáy Gọi M, N là trung điểm của AB, BC Tính thể tích tứ diện NSDC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN
Câu 26 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu của A trên
(A’B’C’) trùng với trọng tâm G của ∆A’B’C’ Cạnh bên tạo với đáy góc 600 Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a
Câu 27 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a, các mặt bên là các tam
giác cân tại đỉnh S Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)
Câu 28 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a
Câu 29 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a
Câu 30 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên
mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm O của tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với
AA’, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng
8
3 2
a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Câu 31 Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy (ABC) là tam giác đều cạnh a Chân đường vuông góc hạ từ S
xuống mặt phẳng (ABC) là một điểm thuộc BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA biết SA=a và SA tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 300
Trang 4Câu 32 Cho hình chóp tứ giác đều S A BCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC bằng 2 và góc )
giữa mặt bên và mặt đáy bằng a Tính thể tích khối chóp S A BCD theo a Xác định a để thể tích khối
chóp đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 33 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy là tam giác đều cạnh a , góc giữa AB’ và mặt đáy
bằng 600 Tính cạnh bên CC’ và thể tích tứ diện ACC’B’
Câu 34 Cho hình chóp S ABC , đáyABC là tam giác vuông tại A có AB a= , AC a= 3 Gọi I là trung điểm của BC, H là trung điểm của AI; SH vuông góc với (ABC) và SB hợp với đáy một góc
0
60 Tính ttích khối chóp S ABC. và khoảng cách từ điểm A đến mphẳng (SBC) theo a
Câu 35 Cho hình hộp ABCD.A,B,C,D, có đáy ABCD là hình thoi cạnh a 3, BD=3a Hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (A,B,C,D,) là trung điểm của A,C, Biết rẳng Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và (CDD,C,) bẳng
721 Tính theo a thể tích khối hộp ,
, ,
,
.A B C D
ABCD và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A,BC,D,
Câu 36 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a ,E F lần lượt là trung
điểm của AB và BC , H là giao điểm của AF và DE Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD và ) góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD bằng ) 60 Tính thể tích khối chóp 0 S ABCD và khoảng
cách giữa hai đường thẳng SH , DF
Câu 37 Cho hình vuông ABCD cạnh 4a Trên cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm H và K sao cho
BH = 3HA và AK = 3KD Trên đường thẳng (d) vuông góc (ABCD) tại H lấy điểm S sao cho
SBH 30= Gọi E là giao điểm của CH và BK
a) Tính thể tích của hình chóp S.ABCD và thể tích hình chóp S.BHKC
b) Chứng minh 5 điểm S, A, H, E và K cùng nằm trên một mặt cầu Tính thể tích
của khối cầu ngoại tiếp của hình chóp SAHEK
c) Gọi M là hình chiếu của H trên cạnh SA Tính thể tích của hình chóp M.AHEK
Câu 38 Cho hchóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 4a và SA=2a 3, góc SAB bằng 300 và
(SAB) vuông góc với mphẳng (ABCD)
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và diện tích của tam giác SCD.
Câu 39 Cho hình chóp S.ABC, có tam giác ABC vuông tại B,AB=a, BC=a 3 , mp(SAC) vuông góc mp(ABC), SA =SC=a 2 Gọi M, N lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SAC Tính thể tích của khối
chóp S.AMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB theo a
Câu 39 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a Các cạnh bên
của hình chóp bằng bằng a 2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và CD, K là điểm trên cạnh AD sao cho
3
a
AK = Tính thể tích của khối chóp S.ABCNK theo a
Trang 5Câu 40 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên đáy
trùng trọng tâm H của tam giác ABC Tính theo a thể tích của khối chóp S.HACD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC, BD; biết mặt phẳng (SAB) hợp với mặt phẳng đáy góc 0
60
Câu 41 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy Gọi E
là trung điểm của BC, góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300 Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và DE
Câu 42 Cho tứ diện ABCD có AC = AD = , BC = BD = a, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) Biết thể của khối tứ diện ABCD bằng
3 15 27
a
ĐS: Góc giữa hai mp(ACD) và (BCD) là
Câu 43 Cho hình lặng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a Biết khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB và A’C bằng 15
5
a Tính thể tích của khối lăng trụ
Câu 44 Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC= a 2 Đáy là tam giác ABC cân · 0
120
cạnh BC=2a Tính thể tích của khối chóp S.ABC.Gọi M là trung điểm của SA.Tính khoảng cách từ
M đến mặt phẳng (SBC)
Câu 45 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a M, N lần lượt là trung điểm của AB và C’D’
Tính khoảng cách từ B’ đến (A’MCN)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a M, N lần lượt là trung điểm của AB và C’D’ Tính khoảng cách từ B’ đến (A’MCN)
Câu 46 Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông tâm I; cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=2a (a>0); khoảng cách giữa SC và BD là 6
3
a Xác định tâm O và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
Câu 47 Cho hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, SA và SB là hai đường sinh, biết SO = 3,
khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB bằng 1, diện tích tam giác SAB bằng 18 Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón đã cho
Câu 48 Cho hình chóp S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD và đáy ) ABCD là hình chữ nhật ; AB a AD= , =2a Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của AC và DM , H là hình chiếu vuông góc của A lên SB.Biết góc giữa SCvà mặt phẳng (ABCD là ) α , với tan 2
5
α = .Tính thể tích khối chóp S ABMN và khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SMD )
Câu 49 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Tam giác SACcân tại S, · 0
60
Mặt phẳng (SAC vuông góc với mặt phẳng ) (ABC Tính thể tích khối chóp ) S ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB )
Trang 6Cõu 50 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật với BC=2AB ,hỡnh chiếu vuụng gúc H
của S trờn mặt phẳng (ABCD) thuộc đoạn BD sao cho HD=3HB.Gúc giữa tạo giữa SB và mặt đỏy là 60o
.Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SB và AD biết khoảng cỏch từ A đến (SBD) là 4
5
a .
Cõu 51 Cho hỡnh chúp S ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật với AB a AD a = , = 2, tam giỏc
SAB cõn tại S và mặt phẳng ( SAB ) vuụng gúc với mặt phẳng ( ABCD ) Biết gúc giữa mặt phẳng ( SAC ) và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 600 Tớnh thể tớch khối chúp S ABCD Gọi H là trung điểm cạnh AB tớnh gúc giữa hai đường thẳng CH và SD
Cõu 52 Cho hỡnh chúp S ABC cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a Tam giỏc SACcõn tại S, ã 0
60
Mặt phẳng (SAC vuụng gúc với mặt phẳng ) (ABC Tớnh thể tớch khối chúp ) S ABC và khoảng cỏch từ điểm C đến mặt phẳng (SAB )
Cõu 52 Cho lăng trụ tam giỏc ABC.A’B’C’ cú AB = a, BC = 2a, gúc ACB = 30, hỡnh chiếu vuụng gúc của
A’ trờn mặt phẳng (ABC) trựng với trọng tõm G của tam giỏc ABC và gúc giữa AA’ tạo với mặt phẳng (ABC)
bằng 600 Tớnh thể tớch khối đa diện BCC’B’A’ và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng B’C’ và A’C
Cõu 53 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hvuông cạnh a SA vuông góc với đáy, SA a 2= Gọi
M, N lần lợt là trung điểm của BD và SC Tính ttích khối tứ diện SBMN theo a
Câu 54 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh AB = a Tính thể tích khối lăng trụ biết AB’
và BC’ vuông góc với nhau
Cõu 55 Tớnh thể tớch của hỡnh chúp S.ABC, biết đỏy ABC là một tam giỏc đều cạnh a, mặt bờn ( SAB)
vuụng gúc với đỏy, hai mặt bờn cũn lạ cựng tạo với đỏy một gúcα .
Cõu 56 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật, AB = a, SA = AD = 2a Biết rằng hai mặt
phẳng (SAC) và (SBD) cựng vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) Tớnh theo a thể tớch khối chúp S.ABCD và tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AC và SD.