BÀI GIẢNG MÁY ĐIỆN 2

Với lực F = const tác động gây mô men theo chiều dương + của trục Y, ta thấy trục chính con quay chuyển động quay quanh trục OZ về trùng với mô men ngoại lực ngược chiều kim đồng hồ một

BμI GIảNG CHI TIếT MÔN MáY ĐIệN HμNG HảI 2

Phần 4 - La bàn con quay

Chương I

Lý thuyết cơ bản về la bμn con quay

Khái niệm về con quay

Nói chung con quay là một cấu trúc gồm có thành phần quay hoặc dao động,

và nó cho phép ta đo đạc và phát hiện sự quay trong không gian quán tính của nền tảng mà trên đó ta đặt con quay

Trong các dụng cụ con quay có hình dạng đối xứng quay quanh một điểm cố

định và sự quay của nó có thể chuyển động tự do trong không gian Với điểm tức thời đó gọi là điểm treo của vật

- Trong trường hợp điểm treo của con quay trùng với trọng tâm của con quay gọi là con quay cân bằng

- Đối với con quay trong chế tạo la bàn con quay là một con quay có hình dạng là một hình trụ dẹt

1 Con quay tự do

Là con quay có tổng mô men ngoại lực tác dụng lên nó bằng 0

Nếu gọi L là tổng mô men ngoại lực thì: L = 0

2 Hệ toạ độ sử dụng trong la bμn con quay

2.1 Hệ toạ độ vuông góc

- Điểm 0 trùng với tâm của con quay

- OX là trục chính của con quay

- OY, OZ nằm trong mặt phẳng quỹ đạo chuyển động của con quay

Trục 0X trùng với trục chính của con quay và con quay quay quanh trục này với vận tốc góc là Ω

2.2 Hệ tọa độ oX0Y0Z0 cố định trong không gian

Có trục 0X0 trùng với đường N, S (chân trời), trục 0Z0 vuông góc với mặt phẳng chân trời, trục 0Y0 nằm trong mặt phẳng chân trời và vuông góc với trục 0X0

Giả sử trong trường hợp đặt con quay ở một vị trí bất kỳ như trong hình vẽ (1-2) Khi đó gọi α là góc tiến động và được tính như sau:

α nằm trong mặt phẳng X00Y0 tính từ 0X0 đến hình chiếu của trục 0X trên mặt phẳng X00Y0 theo chiều ngược kim đồng hồ

Hình vẽ 1-1

β gọi là góc trương động: là góc nằm giữa mặt phẳng X00Y0 và trục 0X với chiều sao cho ta đứng từ đầu dương của trục Y, véc tơ góc β sẽ quay ngược chiều kim đồng hồ

Các trục Y và Z được gắn chặt với con quay và quay cùng với con quay nhưng không tham gia vào chuyển động quay riêng của con quay

2.3 Hệ tọa độ oX1Y1Z1

Hệ toạ độ chuyển động trong không gian có trục Z1, Y1nằm trong mặt phẳng quỹ đạo chuyển động của con quay và quay với con quay quanh trục X

Hình vẽ 1-2

Giả sử con quay quay một góc ϕ quanh trục X khi đó góc ϕ xác định bởi ZZ1hay YY1 và nằm trong mặt phẳng Y0Z Khi đó góc ϕ gọi là góc quay riêng của con quay

Với các góc α, β lập nên bởi 3 hệ toạ độ ta có thể xác định vị trí tức thời của con quay trong không gian

q = Nếu lấy một điểm I có trọng khối là m

thì khi đó: qi = m vi

Hình vẽ 1-3

Với : iq là động l−ợng tại điểm

i

v là tốc độ dài tại điểm đó

Giả sử con quay quay với vận tốc góc làΩ thì khi đó tại điểm I cách trọng tâm O một khoảng cách là r thì vận tốc dài tại điểm đó sẽ là:

r d dt

h

i i i i

= ;

ta có : i ì mivi = 0

dt

r d

;

J m r dt

v d m

ri ì i i = i ∧ i (2) (Trong đó J là gia tốc của chất điểm)

Hình vẽ 1-4

Véc tơ h nằm trên trục XX và có chiều sao cho từ đó ta nhìn thấy điểm A

quay ng−ợc chiều kim đồng hồ

Mô men động l−ợng của toàn bộ vật sẽ là:

H = h1 + h2 + + hn

nh

hn= mnvn.rn

Hình vẽ 1-5

12

Mà Ω tại mọi điểm của vật đều bằng nhau:

Từ (4) suy ra véc tơ Hicùng chiều với tốc độ góc Ω

Từ công thức mô men quán tính của vật ta thấy:

Điều này hoàn toàn không có lợi trong chế tạo

Ta thấy nếu tập trung khối lượng càng xa trục thì càng tăng j lên do đó người

ta cấu tạo con quay như một đĩa dẹt có khối lượng tập trung ở vành đĩa

Một đại lượng khác cũng phụ thuộc vào H đó là tốc độ quay, do đó để tăng

Ω bằng cách tăng tần số nguồn điện cung cấp cho mô tơ con quay

Ta có định lý về mô men động lượng được phát biểu như sau:

“Đạo hàm theo thời gian của véc tơ mô men động lượng đối với một điểm nào đó của vật bằng mô men ngoại lực chính tác dụng lên vật ”

Từ (2) ta có : i i i li

dt

v dm r

L dt

4 c¸c tÝnh chÊt cña con quay

4.1 TÝnh bÒn v÷ng cña con quay

H×nh vÏ 1-6

Con quay đ−ợc gọi là con quay tự do khi mà có tổng mô men các ngoại lực (L) tác dụng lên nó bằng không Theo định lý về mô men động l−ợng của con quay

U dt

H d

y L dt

H d

y

r r

- Với chiều tiến động sao cho ta đứng theo véc tơ góc tiến động ωđ nhìn thấy véc tơ mô men động lượng Hr

tiến tới véc tơ mô men ngoại lực Lr

theo con đường ngắn nhất ngược chiều kim đồng hồ

Phân tích trường hợp lực tác dụng như hình vẽ (1-8) tìm vận tốc góc tiến

động

5 Mô men kháng con quay

Giả sử con quay có một lực F tác dụng thì theo định luật của Niu tơn, con quay xuất hiện một lực '

F cùng độ lớn nhưng ngược chiều, '

F

F = ư Ta nhân cả hai vế r

F r F

Hình vẽ 1-8

ở bên phải phương trình là mô men kháng Ry, bên trái là mô men con quay

với ngoại lực là yL Xét chuyển động của một con quay đồng nhất và đang quay xung quanh trục X với vận tốc góc Ω = const Với lực F = const tác động gây mô men theo chiều dương (+) của trục Y, ta thấy trục chính con quay chuyển động quay quanh trục OZ về trùng với mô men ngoại lực ngược chiều kim đồng hồ một

góc bé nhất; vận tốc góc tiến động là đều, có giá trị là:

H

Ly

t =

ω , vì Ly là mô men

ngoại lực không đổi nên ωt = const

Bây giờ ta tìm công thức tính mối liên hệ giữa vận tốc góc ωtvới mô men

động lượng H Ta có: R = H ωt

Ta xét một chất điểm thứ i có khối lượng mitrong con quay, theo cơ lý thuyết ta coi chất điểm này chuyển động phức hợp có gia tốc:

c e r

Hình vẽ 1-9

Trong đó, Ja là gia tốc tuyệt đối , Jr là gia tốc tương đối, cJ là gia tốc

Cliolit

Ta xét từng thành phần gia tốc riêng biệt:

+ Jr = J τ + Jn ; J τ là gia tốc tiếp tuyến, trong chuyển động đều có giá trị

bằng không; nJ là gia tốc pháp tuyến hướng tâm, nó cân bằng với gia tốc quán tính

ly tâm Vậy lực quán tính ly tâm trong chuyển động tương đối là:

n i

r m J

f = ư dấu trừ (-) trong công thức nó biểu thị ngược chiều với gia tốc pháp tuyến mặt trong mặt phẳng chính con quay đi qua tâm, không gây mô men bỏ qua không xét

+ Xét thành phần eJ :

Trong chuyển động theo thì trục chính con quay, quay quanh trục OZ ta có:

en e

J = τ + Trong đó Jeτ là gia tốc tiếp tuyến trong chuyển động theo bằng không (vì ωt = const), lúc này còn lại gia tốc pháp tuyến enJ hướng tâm sinh ra lực quán tính ly tâm theo:

en i

e m J

f = ư , nó nằm trong mặt phẳng chính con quay song song với trục

X gây mô men với trục X chỉ làm tăng hoặc giảm vận tốc quay riêng của con quay, không gây tiến động nên bỏ qua

- Xét gia tốc cJ :

Ta có: Jc = 2 ωt ∧ Vr; độ lớn Jc = 2 ωt Ω cos ϕ (7)

Hướng của gia tốc theo chiều dương của trục X nó sinh ra lực quán tính

Cliolit: f c = ư m Jc ; dấu trừ (-) trong công thức ngược chiều với gia tốc cJ , độ lớn : fc = m 2 ωt Ω r cos ϕ

Để tính khối lượng m, ta xét một phần tử vi phân khối lượng m = V γ , trong

đó V là thể tích của phần tử vi phân, γ là khối lượng riêng

ϕ dr d h r

m =

Trong đó h là độ dày của hình trụ dẹt con quay

Ta thấy fcgây mô men với hai trục:

ϕ ϕ γ

ω ϕ

ω γ

d r

fc = 2 t Ω cos = 2 t Ω 2 cos

Mô men gây với trục Y có độ lớn là:

ϕ ϕ γ

ω

r f a

dRy = c = 3 cos 2 t Ω cos (8)

(a = r cos ϕ là khoảng cách từ chất điểm đến trục Y)

Để xét toàn bộ mô men kháng trên trục Y con quay ta tích phân hai vế phương trình (8), vì con quay là đồng chất nên γ cố định và các số là hằng số ta

đưa ra ngoài tích phân, ta có:

Ω

= Ω

2

1

cos

.

0

20

2

3

t

R t

Trong đó:

2

R2M

J = là mô men quán tính của hình trụ dẹt đối với trục chính con quay

Tính mô men kháng Rz của con quay:

.

- Mô men kháng trong con quay là do lực Cliolit sinh ra

- Mô men kháng là một đại lượng véc tơ có hướng được xác định sao cho, khi đứng theo chiều của nó, nhìn xuống chân thấy véc tơ mô men động lượng chuyển động ngược chiều kim đồng hồ đến trùng với vận tốc góc tiến động của con quay một góc bé nhất

6 ảnh hưởng của ngoại lực tác dụng liên tục vμ xung

lực tới con quay

ứng dụng phương pháp Kudrevit:

1- Lập hệ toạ độ OX0Y0Z0 cố định

2- Không tính đến tốc độ góc của quả đất chuyển động

3- Lập hệ toạ độ OXYZ gắn liền với con quay

4- Cho con quay lệch sang chiều dương một góc α và chếch lên một góc β

5- Lập các véc tơ tốc độ góc α &, β &

6- Xác định các hình chiếu trên trục Y là q và trên trục Z là R

Ta có: q = β & ; R = α & cos β

7- Tìm mô men kháng con quay

Ry = Hα&.cosβ và Rz = H β& (9)8- Tìm gia tốc góc α && và β &&

9- Xác định mô men quán tính

Hình vẽ 1-11

Iα && cos β và Iβ && (I mô men quán tính đối với trục Y và Z)

10- Ta giả thiết rằng: Có một lực F tác dụng lên con quay và gây lên mô men đối với trục OY, véc tơ mô men nằm trên trục Y hướng về chiều dương và cho rằng ngoài mô men ngoại lực đó không còn mô men nào khác nữa

11- Tích mô men quán tính ở đây mô men quán tính bằng 0 vì điểm O

đứng yên hoặc chuyển động đều

12- Ta cộng các mô men theo các trục Y và Z:

z

y y

R I

L R

I

β α

0 cos

cos

β β

α

β α

L H

(10) Giả sử góc lệch quay khỏi vị trí cho trước bé, có nghĩa là cosβ =1

0

β α

L H

Ta có:

yL iHZ Z

I & ư = (12) Tìm phương trình tương đương

Z = ωo +

Trong đó: N là hằng số phức bất kỳ; ở đây cho N = C1 + iC2

C1 & C2 là những số thực thuộc nghiệm của phương trình (12)

Zr là nghiệm riêng của phương trình (12) Zr= -

H

L i iH

t Cos iC

Cos i

t t

Cos

Z =C1 ω0 ưC2sinω0 + (C2 ω0 +C1sinω0 + y ) (C) Suy từ (A) ta có các Y và X tương ứng kết hợp với (B) và (C) ta có:

⎪⎭

⎪

⎬

⎫ + +

Cos X

t t

Cos

y C

C

C

ωω

ωω

α

β

0 1

0 2

0 2

0 C1

sin

sin Y

&

&

Để xác định hằng số C1 và C2 ta có điều kiện ban đầu sau:

Khi t = 0 thì trục chính con quay có toạ độ:

H L

t H

L t

y y

y

ωβ

ω

ωω

β

α

β

0 0

0

0 0

0

sin cos

sin cos

C y

t H

L t t

H L

t H

L t

4 0

0

0 0

0

3 0

0

0 0

0

cos sin

.

cos sin

.

ωω

βω

ω

ωω

ωω

α

β

β &

(15)

Dựa vào điều kiện ban đầu để tìm C3 và C4

ωβ

0

0 0 4

0 0

3

C

y C

=

+

ư +

=

t H

L t H

L t

t t

H L

y y

y

ωω

ωω

βα

ωω

βω

ω

α

β β

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

sin )

cos 1

(

sin )

cos 1

Dưới tác dụng của ngoại lực con quay sẽ hoàn thành chuyển động phức hợp

gồm góc tiến động với tốc độ góc tiến động

H

LY

*Kết luận: Tiến động của con quay không có quán tính nghĩa là khi mô men

ngoại lực thôi tác dụng thì con quay thôi tiến động ngay Quán tính của con quay sinh ra trong trường động chứ không sinh ra trong tiến động, do đó khi có một mô men ngoại lực tác dụng tức thời Xung lực thì sẽ làm cho con quay có tốc độ góc ban đầu β’0 Khi đó:

+

=

) cos 1 ( ' sin

0 0

0 0

0 0

0 0

'

t

t

ω ω

β α

7 Phương trình rút gọn của chuyển động con quay

0

β α

Ly H

L H

C y

t H L

t H L

0 1

t H L

+

=

) cos 1

(

sin

0 0

0 0

0 0

0 0

t

t

ωω

βα

ωω

ββ

α β

Như vậy nghiệm của nó giống nhau

Tóm lại: Khi có ngoại lực tác dụng vào con quay thì con quay sẽ chuyển

động có cả tiến động và trương động Khi có xung lực tác dụng thì nó quay trong mặt phẳng cân bằng của nó, nghĩa là không lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến

8 Chuyển động quay của trái đất

Giả sử tốc độ góc quay của quả đất là ωđ được phân thành hai phần:

ω1 nói lên sự quay của quả đất quanh đường NS

ω1 = ωđcosϕ ; ω2 = ωđsinϕ

Đường NS gọi là đường tý ngọ Nếu ta nhìn từ đầu mút véc tơ ω1 ta thấy phần E luôn đi xuống, phần W luôn đi lên Tại xích đạo ω1= ωđ có trị số lớn nhất, thành phần ω2 đặc trưng cho chuyển động của quả đất quanh trục thẳng đứng Z,n

Hình vẽ 1-12

ω2 thay đổi theo vĩ độ người quan sát

9 Khảo sát chuyển động nhìn thấy của con quay tự do

đối với mặt phẳng kinh tuyến vμ mặt phẳng chân trời

Giả sử ta có một con quay tự do mà trục chính của nó hướng lên một định tinh nào đó trong không gian có chiều hướng không đổi Ngôi sao chuyển động trong vĩ tuyến của thiên thể α ≈ A (α là góc tiến động của con quay A là phương vị của thiên thể)

Δ≈900 - δ với đại lượng β và α luôn luôn thay đổi Ta có công thức tính độ cao thiên thể trong thiên văn:

Sin h = sinϕ sinδ + cosδ Cost

Tương tự ta có: Sin β = sinϕ sinδ + cosϕ Cosδ.cost

Ta lại có công thức tính phương vị trong thiên văn:

CotgA= cosϕ tgδ Cost - sinϕ tgt Tương tự ta sẽ có: Cotgα = cosϕ tgδ Cost - sinϕ tgt

Nếu đặt trục chính con quay song song với trục PNPS thì nó chỉ cho ta vĩ độ người quan sát:

sinβ = sinϕ (24)

Δ≈ 900 - δ khi δ = 900 thì Δ = 0

Điều này có nghĩa là nó nằm trong mặt phẳng kinh tuyến người quan sát và lệch khỏi mặt phẳng chân trời bằng vĩ độ người quan sát, còn tất cả các trường hợp khác thì ta đều thấy trục chính con quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến và chân trời

10 Thí nghiệm Fucô

10.1 Thí nghiệm 1

Fucô đã dùng con quay và hạn chế chiều quay của nó quanh trục Y

Đầu tiên ông đặt nó nằm trong mặt phẳng chân trời và lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến một góc α

Do hạn chế chiều quay quanh trục Y sẽ sinh ra một mô men kháng Ry Dưới tác dụng của mô men kháng Ry con quay sẽ chuyển động quanh trục Z và đi về

mặt phẳng kinh tuyến với vận tốc góc

H

Ry

t=

Ry= H.ωt = H.ωtcosϕ sinα

Chu kỳ dao động của con quay:

Nếu không có ma sát thì nó là dao động không tắt

Nếu có ma sát thì nó là dao động tắt dần

Hình vẽ 1-13

10.2 Thí nghiệm 2

Hạn chế chiều quay của nó quanh trục Z

Đặt con quay có vị trí ban đầu nằm trong mặt phẳng kinh tuyến trục chính lệch với PNPS một góc θ Như vậy con quay có thể quay quanh trục X và Y

Ta phân tích ωđ ra làm hai thành phần ωX và ωY

- Thành phần ωX làm cho con quay quay quanh trục X trục chính con quay không biến động

- Thành phần ωZ làm cho con quay, quay quanh trục Z

Như vậy thành phần ωX làm cho con quay quay chậm đi với tốc độ góc ωX =

ωđ cosθ, thành phần ωZ = ωđ sinθ là thành phần do chuyển động trái đất gây nên

Trong trường hợp này con quay ngoài chuyển động tự quay với tốc độ góc Ω

còn tiến động quay trục Z với ωZ = ωđ sinθ

Do hạn chế chiều quay của con quay quanh trục Z nên sinh ra một mô men kháng RZ làm cho trục chính con quay quanh trục Y trở về trục PNPS

Qua thí nghiệm thứ 2 của Fucô này cho chúng ta thấy nếu ta hạn chế chiều quay của con quay quanh trục Z thì trục chính con quay chỉ vĩ độ nơi đặt máy

Chu kỳ dao động của con quay đến trục và trụ là:

Hình vẽ 1-14

j

I T

Chu kỳ này không phụ thuộc vào vĩ độ người quan sát

11 Các phương pháp biến con quay thμnh la bμn con

quay

11.1.Phương pháp hạ thấp trọng tâm con quay

Hạ thấp trọng tâm của con quay bằng cách hạ thấp trọng tâm ở phần vỏ của

Thành phần P2 đi qua gốc toạ độ không gây mô men với trục nào cả Thành phần P1gây mô men với trục Y Thành phần véc tơ mô men này có chiều hướng theo chiều dương trục Y, trên hình vẽ có hướng từ trong ra ngoài Thành phần Ly làm cho con quay tiến động quanh trục Z với vận tốc góc ωt

Do Ly nằm trong mặt phảng kinh tuyến NS do đó trục chính của con quay sẽ

đi về mặt phẳng kinh tuyến NS với vận tốc góc tiến động là

Thay vào (26) ta có góc tiến động con quay là ω β

H

B

t = Như vậy trục chính H r

luôn chỉ về N (đối với con quay có trọng tâm thấp)

Nếu đặt vị trí trục chính con quay ban đầu lệch với mặt phẳng kinh tuyến một góc α về phía E và song song với mặt phẳng chân trời Trong chuyển động quay của trái đất thì phía E mặt phẳng chân trời luôn luôn đi xuống; Do đó trục chính con quay vừa về hướng N vừa đi lên có nghĩa là tồn tại ωt, β Những thành phần trên làm cho trục con quay vừa đi lên lại vừa sang

N đến khi gặp mặt phẳng kinh tuyến thì β lớn nhất, nghĩa là ω β

H

B

t = lớn nhất Thành phần ωt lớn nhất ở kinh tuyến do đó trục chính con quay không thể dừng lại ở đó được mà vẫn tiếp tục sang (W)

Mặt phẳng chân trời ở W đi lên, trục chính con quay đi xuống cho đến khi trục chính con quay gặp mặt phẳng chân trời phía W thì β = 0, α = -α max Trục chính con quay chuyển động về hướng N và đi xuống cho đến khi

gặp mặt phẳng kinh tuyến thì α = 0, β = -β max Điều này cũng có nghĩa là vẫn tồn tại mô men Ly làm cho trục chính con quay không dừng lại mà tiếp tục chuyển động sang phía E để hoàn thành một chu kỳ dao động không tắt của nó

Nếu đem trải ra mặt phẳng, quỹ đạo chuyển động của đầu nút trục chính con quay chuyển động trên thì nó là một hình elíp dẹt

Tóm lại con quay có trọng tâm thấp hoàn toàn thành một chu kỳ dao

động không tắt quanh mặt phẳng kinh tuyến, quỹ đạo đầu nút trục chính con quay là một hình elíp dẹt

11.2 phương pháp Dựng bình thuỷ ngân thông nhau

Để biến con quay thành la bàn con quay người ta sử dụng bình thuỷ ngân N,

S thông nhau ( hiện nay chất lỏng thuỷ ngân có thể thay thế bằng một chất lỏng khác có tính chất tương đương)

Giả sử tại vị trí 1: Đặt trục chính con quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến

một góc 900 và song song với mặt phẳng chân trời do vậy không có lượng thuỷ

ngân dư sinh ra

Hình vẽ 1-16

Khi quả đất quay làm lệch mặt phẳng chân trời với trục chính con quay một góc β Tại vị trí 2, làm cho thuỷ ngân dịch chuyển từ bình nọ sang bình kia sinh ra một lượng thuỷ ngân dư có trọng lượng là P

Từ hình vẽ ta thấy mức nước Hg ở bình N cao hơn bình S do đó Hg chảy từ bình N đến S sinh ra lượng thuỷ ngân dư có khối lượng là P gây mô men đối với trục Y

Phân tích P làm 2 thành phần

P1 = P.sinβ: Không gây mô men đối với một trục nào

P2 = P.cosβ: gây mô men đối với trục Y, mô men Ly có hướng về phía sau con quay dẫn đến xuất hiện ωt làm cho đầu N của trục chính con quay tiến về phía

S ngược với trường hợp con quay có trọng tâm thấp

- γ là khối lượng riêng của chất lỏng

- s là thiết diện của ống

Hình vẽ 1-17

- ρ là khoảng cách từ tâm con quay đến tâm của khối chất lỏng dư

Tóm lại ta thấy trục chính con quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến một góc

β nào đó thì nó cũng sẽ trở về mặt phẳng kinh tuyến Bởi có góc β khi mặt phẳng chân trời quay quanh đường NS sinh ra vận tốc góc ωt phụ thuộc vào góc lệch β nó cũng như con quay có trọng tâm thấp sẽ dao động không tắt quanh mặt phẳng kinh tuyến Quỹ đạo của đầu nút trục chính con quay trên mặt phẳng là một hình elíp dẹt

Mô men r hướng về âm và q hướng âm vì thành phần gây mô men ở đây xét

là thành phần do sự quay của quả đất làm cho sinh cột dầu dư để có được góc tiến

α & là vận tốc góc con quay, quay quanh trục Z

β& là vận tốc góc con quay, quay quanh trục Y

Với trục Z: - H(β& - cosϕ sinα) = 0

Trong kỹ thuật người ta thường bỏ qua giá trị a mà vẫn đảm bảo được kỹ thuật vì cosϕ, cosα, cosβ đều nhỏ hơn 1

Lấy phương trình (1.a) vi phân lần nữa ta có:

Hα && C + β & (theo góc) ta cóβ = α (ư )

So sánh (2) với (3) ta thấy: