Baì giảng chi tiết môn lý thuyết điều khiển tự động dùng cho nghành máy tàu biển chuong 2

PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG CỦA CÁC PHẦN TỬ VÀ HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG ĐIỀU CHỈNH 2.1 Chế độ làm việc tĩnh và chế độ làm việc động của hệ thống tự động điều chỉnh Bất kỳ hệ thống tự động điều chỉnh nào c

Chương II KHÁI NIỆM VỀ CHẾ ĐỘ ĐỘNG VÀ ĐẶC TÍNH ĐỘNG CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG ĐIỀU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG CỦA CÁC PHẦN TỬ VÀ HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG ĐIỀU

CHỈNH

2.1 Chế độ làm việc tĩnh và chế độ làm việc động của hệ thống tự động điều chỉnh

Bất kỳ hệ thống tự động điều chỉnh nào cũng có hai chế độ làm việc, đó là chế độ làm việc tĩnh và chế độ làm việc động

2.1.1 Chế độ làm việc tĩnh của hệ thống tự động điều chỉnh:

Chế độ làm việc tĩnh của hệ thống tự động điều chỉnh là một trạng thái của hệ thống mà ở đó các thông số biểu thị quá trình không thay đổi theo thời gian.

Chế độ làm việc tĩnh được xác lập chỉ khi nào có sự cân bằng giữa các tác động trong hệ thống (tác động điều chỉnh và tác động nhiễu loạn) Trong khai thác người ta mong muốn hệ thống tự động điều chỉnh làm việc ở chế độ tĩnh

Khi làm việc ở chế độ tĩnh hệ thống tự động điều chỉnh cần đạt được 2 yêu cầu cơ bản sau:

- Hệ thống ở trạng thái cân bằng ổn định

- Phải đảm bảo độ chính xác cần thiết, nghĩa là sai số tĩnh (sai lệch điều chỉnh) phải nằm trong giới hạn cho phép

Chế độ làm việc tĩnh của hệ thống tự động điều chỉnh được đặc trưng bởi đặc tính tĩnh Đặc tính tĩnh (còn gọi là đặc tính điều chỉnh của một hệ thống tự động điều chỉnh hoặc một khâu) là mối quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra ở chế độ làm việc tĩnh Đặc tính tĩnh của hệ thống tự động điều chỉnh được biểu thị bằng hình vẽ dưới đây:

f(t)

y2 y1 y(t)

f(t)

y(t)

Hình 2.1.1: Đặc tính tĩnh của hệ thống tự động điều chỉnh hữu sai và hệ thống tự động điều chỉnh

vô sai

Trong thực tế khai thác hệ thống tự động điều chỉnh chúng ta thấy bao giờ cũng tồn tại các lực ma sát giữa các chi tiết chuyển động, nên tất yếu sẽ có vùng không nhạy Điều đó có nghĩa là nếu đại lượng được điều chỉnh thay đổi giá trị nhưng không vượt ra khỏi vùng không nhạy thì hệ thống điều chỉnh vẫn tồn tại ở chế độ tĩnh đó Chính vì vậy, đặc tính tĩnh thực tế là một miền (vùng) chứ không phải là một đường (xem hình vẽ dưới đây)

21

y1

f(t)

y(t)

Hình 2.1.2: Đặc tính tĩnh thực tế

Thông số y = y2 - y1 biểu thị miền không nhạy của hệ thống có đặc tính tĩnh thể hiện trên hình

vẽ

Thông số đặc trưng cơ bản của chế độ tĩnh là hệ số không nhạy  và hệ số không đồng đều δ Hệ

số không đồng đều và hệ số không nhạy được tính toán theo các công thức sau:

% 100 ) y y ( 2 1

y y

min max

min max









(2.1.1)

% 100 ) y y ( 2 1

y y

1 2

1 2









(2.1.2)

ymax, ymin: là giá trị của đại lượng được điều chỉnh tương ứng với nhiễu loạn có giá trị nhỏ nhất fmin

và nhiễu loạn có giá trị lớn nhất fmax

y2, y1: là các giá trị của đại lượng được điều chỉnh ở cận trên và dưới của miền không nhạy với cùng một giá trị nhiễu loạn nhất định

y1

yfmax

fmax

fmax

yfmin

yfmax

Hình 2.2.3: Các thông số đặc trưng của chế độ tĩnh

Trong kỹ thuật, giá trị chấp nhận được của hệ số không nhạy nằm trong giới hạn  < 3  5% Đối với hệ thống vô sai hệ số không đồng đều  = 0, còn với hệ thống hữu sai thì   0 và giá trị chấp nhận được của hệ số không đồng đều nằm trong khoảng giá trị  < 10%

2.1.2 Chế độ làm việc động của hệ thống tự động điều chỉnh:

Chế độ làm việc động của hệ thống tự động điều chỉnh là một trạng thái mà ở đó sự cân bằng giữa các tác động bị phá vỡ, vì vậy các thông số của quá trình điều chỉnh thay đổi theo thời gian.

Khi kết thúc chế độ động hệ thống sẽ trở về trạng thái cân bằng tĩnh mới hoặc trở về trạng thái cân bằng ban đầu

Quá trình động xảy ra khi hệ thống chuyển từ trạng thái tĩnh này sang trạng thái tĩnh khác gọi là quá trình quá độ hay quá trình chuyển tiếp của hệ thống điều chỉnh tự động điều chỉnh Quá trình quá độ của hệ thống tự động điều chỉnh thường có các dạng sau đây:

- Quá trình quá độ nhiều dao động (đường 1 trên hình vẽ)

- Quá trình quá độ ít dao động (đường 2)

- Quá trình quá độ không có quá điều chỉnh (đường 3)

- Quá trình quá độ là quá trình đơn điệu (đường 4)

Hình 2.1.4: Quá trình chuyển tiếp của hệ thống tự động điều chỉnh

Trong kỹ thuật, để đảm bảo cho hệ thống hoạt động tốt, quá trình động của hệ thống tự động điều chỉnh phải thỏa mãn những yêu cầu sau đây:

- Quá trình động của hệ thống phải đưa hệ thống tới một trạng thái ổn định Đồ thị biểu diễn sự thay đổi của đại lượng được điều chỉnh (đặc tính động hay đặc tính quá độ của hệ thống) phải tiệm cận với giá trị cho trước yo

- Quá trình động của hệ thống phải thoả mãn các chỉ số chất lượng điều chỉnh: thời gian điều chỉnh, độ quá điều chỉnh, hệ số suy giảm biên độ, tần số dao động, chu kỳ dao động, tổng độ lớn tác động điều chỉnh

a Thời gian điều chỉnh t đc

Thời gian điều chỉnh là khoảng thời gian từ khi hệ thống bắt đầu chế độ động đến khi giá trị của đại lượng được điều chỉnh thoả mãn bất đẳng thức:

y y

y )  o 

y: là giá trị được qui định trước theo yêu cầu kỹ thuật Thường thì y được quy định tương đương với miền không nhạy của hệ thống hoặc nằm trong khoảng ± 2 ~ 5% giá trị lớn nhất (hoặc giá trị định mức) của đại lượng điều chỉnh

23

y o

t 3

4 2

1 y(t)

y(t)

y o

t

Äy

Tđc

y m

Δyy

y 1

y 2

Hình 2.1.5: Các thông số đặc trưng cho trạng thái động của hệ thống tự động điều chỉnh

Thời gian điều chỉnh chính là thời gian cần để hệ thống khôi phục lại trạng thái cân bằng ổn định khi có tác động nhiễu loạn phá vỡ trạng thái cân bằng trước đó Thời gian điều chỉnh cho phép đánh giá tác động của hệ thống tự động điều chỉnh nhanh hay chậm Để hệ thống hoạt động tốt thì thời gian điều chỉnh phải nhỏ hơn thời gian điều chỉnh qui định ([tđc])

b Độ quá điều chỉnh Δy max

Độ quá điều chỉnh là độ lệch cực đại của đại lượng được điều chỉnh so với giá trị cho trước

(%) 100 y

y

o

max max





 (2.1.3)

Yêu cầu quá trình động của hệ thống phải thỏa mãn: max(%)   max

Giá trị độ quá điều chỉnh cho phép [Δymax] thường nằm trong khoảng 20  30%

Thời gian điều chỉnh tđc và độ quá điều chỉnh Δymax là hai thông số rất quan trọng và chúng có mối liên kết mật thiết với nhau, là hàm của nhau Kinh nghiệm khai thác hệ thống tự động điều chỉnh chỉ ra rằng việc điều chỉnh hai thông số này ở giá trị thích hợp là rất cần thiết để cho hệ thống hoạt động ổn định, tin cậy

c Hệ số suy giảm biên độ (hệ số tắt dần) ψ và độ dao động m

Các chỉ số này thể hiện tính chất tắt dần của đặc tính động, chúng được xác định như sau:

2 1 1

2

y

y ln 2

1 ) 1 ln(

2

1 m

y

y 1





























(2.1.4)

Quá trình quá độ tắt càng nhanh nếu ψ hoặc m càng lớn Khi ψ = 1 (m = ∞) thì quá trình quá độ) thì quá trình quá độ không có dao động Ngược lại khi ψ = 0 (m = 0) thì quá trình động của hệ thống là dao động không tắt

Hiển nhiên là hệ thống càng có ít dao động thì càng tốt Vì vậy để hệ thống hoạt động tốt thì ψ phải lớn hơn giá trị qui định [ψ].

Ngoài các chỉ số nêu trên người ta còn quan tâm đến các chỉ số khác như số lần dao động, chu kỳ dao động

2.2 Phương trình động của các phần tử và hệ thống tự động

2.2.1 Khái niệm chung

Để biểu thị bằng toán học quá trình chuyển tiếp (quá trình quá độ) người ta đưa khái niệm gọi là

phương trình động Có thể định nghĩa: Phương trình động của một phần tử hay của một hệ thống tự động

là phương trình biểu thị mối quan hệ giữa đại lượng ra và đại lượng vào của hệ thống ở trạng thái động (hay nói một cách khác ở trạng thái có tác động nhiễu loạn, đại lượng được điều chỉnh biến đổi theo thời gian) Phương trình động của một phần tử hoặc một hệ thống tự động thường được biểu thị dưới dạng

phương trình vi phân, phương trình vi - tích phân, phương trình vi phân toán tử Như đã biết để dễ dàng cho tính toán và khảo sát mà vẫn đảm bảo độ chính xác, phương trình động của hệ thống tự động tuyến tính thường được biểu thị dưới dạng tổng quát có hệ số là hằng số như sau:

) ( x b dt

) ( dx b

dt

) ( x d b dt

) ( x d b ) ( y a dt

) ( dy a

dt

) ( y d a dt

) ( y d

1 m 1 m m

m m o

1 1

1 1 n

n









Với n và m là bậc của đạo hàm và n > m; y(t): thông số ra; x(t): thông số vào; a, b: các hệ số là hằng số; t: biến thời gian

Từ phương trình (2.1) có thể rút ra được phương trình đặc tính tĩnh của hệ thống (các đạo hàm của y(t) và x(t) theo thời gian bằng không):

x a

b y

o

o

 (2.2.2)

Tuy nhiên đối với các hệ thống đã được tuyến tính hoá thì đây chính là phương trình tiếp tuyến với đường cong đặc tính thực mà tiếp điểm là gốc tọa độ (0,0)

2.2.2 Những phương trình cơ bản của các phần tử tuyến tính

Các phần tử trong các hệ thống cơ học, thuỷ lực, khí nén và điện có thể xếp thành 3 loại phần tử

cơ bản sau:

a Các phần tử biến đổi tổn thất năng lượng thành nhiệt lượng:

+ Ma sát trong hệ cơ học, chất lỏng hoặc chất khí

+ Điện trở tích cực trong hệ thống điện

b Các phần tử tích trữ năng lượng dưới dạng thế năng:

+ Đàn hồi của các vật thể rắn, chất lỏng và chất khí

+ Mức chất lỏng trong két

+ Tụ điện trong hệ thống điện

c Các phần tử tích trữ năng lượng dưới dạng động năng:

+ Vật rắn, chất lỏng hoặc khí có khối lượng

+ Cuộn cảm trong hệ thống điện

2.2.3 Các phần tử có tổn thất năng lượng

a Sức cản ma sát trong hệ thống cơ học

Trên hình 2.2.1 thể hiện sức cản ma sát trong chuyển động tịnh tiến, giả thiết rằng hệ số sức cản

Rm của chuyển động là hằng số, còn lực ma sát tỷ lệ với vận tốc Fr = Rm.V

25

F V

G

FR = Rm.V

Hình 2.2.1: Sức cản ma sát trong hệ thống cơ học chuyển động tịnh tiến

Trên cơ sở phương trình cân bằng F = FR ta có phương trình động:

F = Rm.V (2.2.3)

F: lực tác dụng; V: vận tốc chuyển động; G: trọng lượng của vật; Rm: hệ số ma sát; FR: lực ma sát

b Sức cản của ma sát trong chuyển động quay

Trên hình 2.2.2 biểu thị một vật chuyển động quay quanh trục, mô men ma sát trong chuyển động quay tồn tại ở các gối đỡ

Hình vẽ 2.2.2: Sức cản ma sát trong hệ thống chuyển động quay

Trong chuyển động quay, mômen ma sát được tính theo công thức:

MR = R. (2.2.4) Với R: hệ số ma sát; : vận tốc góc; MR: mômen ma sát

Từ phương trình cân bằng M = MR ta có phương trình động:

M = R. (2.2.5) Với M: mômen quay

c Lực cản dòng chảy trong hệ thống thuỷ lực và khí nén

Đối với quá trình chảy của chất lỏng và chất khí trong đường ống, ma sát tỷ lệ thuận với vận tốc lưu động của dòng công chất V, vận tốc V này lại tỷ lệ thuận với lưu lượng dòng chảy liên tục

M

MR

w

Hình 2.2.3: Sức cản dòng chảy

Vậy sự giảm áp suất trong đoạn ống tỷ lệ với lực ma sát

A.p = FR (2.2.6) Với A: Diện tích tiết diện ngang của ống; p = p1 - p2: độ chênh áp suất; FR: lực ma sát

FR = K.V = K

A

q (2.2.7) K: hệ số là hằng số; V: Vận tốc lưu động của dòng công chất; q: lưu lượng dòng chảy của công chất

Vậy phương trình động sẽ là: p =

2

A

K q = Rp.q (2.2.8)

RP =

2

A

K

: hệ số ma sát

d Điện trở tích cực trong hệ thống điện

Hình 2.2.4: Điện trở tích cực trong hệ thống điện

Với điện trở thuần R trong mạch điện như trên hình vẽ 2.2.4, độ chênh điện áp qua điện trở (hiệu điện thế giữa hai điểm A và B) là UAB = VA - VB = IAB.R (IAB: cường độ dòng điện chạy trong mạch)

Như vậy phương trình động của các phần tử có tổn thất năng lượng đã xét đều có dạng tương tự nhau và có thể biểu thị một cách tổng quát:

y(t) = K.x(t) (2.2.9) 2.2.4 Các phần tử tích trữ năng lượng dưới dạng thế năng

a Phần tử đàn hồi trong hệ thống cơ học với chuyển dịch tịnh tiến

Lực đàn hồi của lò xo F tỷ lệ với độ biến dạng lò xo x

F = K1.x (2.2.10)

27

A

q

p

2

AB

B

I AB

A

Với K1 là hệ số độ cứng của lò so (ngược với hệ số đàn hồi)

Vi phân cả hai vế phương trình (2.2.1) theo thời gian ta có:

) t ( v K dt

dx K dt

dF

1

 (2.2.11)

Với v(t) =

dt

dx

là vận tốc chuyển dịch của lò xo

Từ đó rút ra phương trình động:

 t

1 v ( t ) dt F K

) t (

F (2.2.12)

Fo: giá trị lực đàn hồi ban đầu của lò xo (ở thời điểm t = 0)

b Phần tử đàn hồi trong hệ thống cơ học với chuyển động quay

Mômen quay M tỷ lệ với góc quay :

M = K2. (2.2.13)

K2: hệ số là hằng số

Lấy đạo hàm cả hai vế của phương trình sau đó tích phân theo thời gian ta có phương trình động:

M(t) = K2t 

0 ( t ) Mo (2.2.14)

Với (t) =

dt

d

: vận tốc góc; Mo: mô men quay ban đầu (mô men quay tại thời điểm t = 0)

c Phần tử chứa chất lỏng hay chất khí chịu nén với áp năng đàn hồi

Khi bị nén áp suất của chất lỏng hay chất khí tăng lên, lúc đó chúng tích trữ năng lượng dưới dạng

áp lực Năng lượng này sẽ được giải phóng khi chất lỏng hay chất khí giãn nở Có thể so sánh hiện tượng này với việc một lò xo cơ học bị nén lại, lò xo khi ấy tích trữ năng lượng dưới dạng lực đàn hồi Hệ số tích trữ áp năng đàn hồi (tương tự như hệ số đàn hồi của lò xo) tính trên một đơn vị thể tích công chất lỏng hay khí được biểu thị bằng mối quan hệ giữa sự thay đổi thể tích và sự thay đổi áp suất Gọi K là hệ

số tích trữ áp năng đàn hồi thì K được xác định theo công thức:

dp

dV V

1 K

o

 (2.2.15)

Vo: thể tích ban đầu; dV: sự thay đổi thể tích; dp: sự thay đổi áp suất

Hình 2.2.5: Sự đàn hồi của chất lỏng, chất khí

ÄV = A.x

F = p.A

F: lực tác dụng; ∆V: sự thay đổi thể tích; A: tiết diện của piston; x: dịch chuyển của piston; p: áp suất của chất lỏng

Từ phương trình trên rút ra:

dv V

1 K

1 dp

0

 (2.2.16) Lấy đạo hàm 2 vế theo thời gian

) t ( q V K

1 dt

dv V

1 K

1 dt

dp

o o



 (2.2.17)

Với

dt

dV ) t (

q  : lưu lượng dòng chảy của công chất

Tích phân 2 vế ta có phương trình động:

o

p dt ) t ( q V K

1 ) t (

p (2.2.18)

po: áp suất ban đầu (tại thời điểm t=0)

d Phần tử chứa chất lỏng (trong hệ thống thuỷ lực) với cột áp

Trong phần tử này chất lỏng chứa trong bình tạo ra một áp suất p ở đáy bình (cột áp của chất lỏng)

Hình 2.2.6: Cột áp chất lỏng trong két chứa

Hệ số biểu thị mối quan hệ giữa sự gia tăng của thể tích chất lỏng (nâng cao mức chất lỏng trong bình) và sự tăng áp suất ở cửa vào của bình là Ch được xác định như sau:

p

V

Ch





C

1 p

h





 (2.2.19) Lấy vi phân 2 vế của phương trình (2.2.10) sau đó lấy tích phân ta được phương trình động:

) t ( q C

1 dt

dv C

1 dt

dp

h h



 (2.2.20)

h

p dt ) t ( q C

1 ) t (

p (2.2.21)

po: cột áp ban đầu của chất lỏng trong bình (tại thời điểm t = 0)

29

∆V

p

V = A.h q

dV )

t

(

q  : lưu lượng dòng chảy

e Phần tử tích điện trong hệ thống điện (tụ điện)

Hình 2.2.7: Tụ điện trong mạch điện

Với tụ điện có điện dung C trong mạch điện ta có:

U

q C





C

1

U   (2.2.22) Lấy vi phân 2 vế của phương trình (2.2.13) sau đó lấy tích phân ta được phương trình động:

) t ( i C

1 dt

dq C

1 dt

dU



 (2.2.23)

0i ( t ) dt Uo

C

1 ) t (

U (2.2.24)

Uo: độ chênh điện thế ban đầu của tụ (tại thời điểm t = 0)

Như ta đã thấy phương trình động của các phần tử tích trữ thế năng đều có dạng giống nhau và không phụ thuộc vào tính chất vật lý của chúng, dạng chung là:

 t

0x ( t ) dt yo .

K ) t (

y (2.2.25)

2.2.3 Các phần tử tích trữ năng lượng dưới dạng động năng

a Vật thể rắn có khối lượng m chuyển động tịnh tiến

Theo định luật Niu-tơn lực tỷ lệ với gia tốc:

dt

dv m

F  (2.2.26)

F; lực tác dụng; v: vận tốc của chuyển động,

dt

dv : gia tốc của chuyển động

b Vật thể chuyển động quay

Nếu ký hiệu M là mômen quay, J là mômen quán tính của vật qui về đường tâm trục quay, ự: là

vận tốc góc,

dt

d

: gia tốc góc, ta có phương trình xác định mô men quay:

dt

d J

M   (2.2.27)

c Phần tử cảm ứng trong hệ thống điện (cuộn cảm)

i

AB A

B