Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.. Gọi ∆ là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu.. Thầy giáo chủ nhiệm chọn ra 5 học sinh để lập một tốp ca hát chào mừng ngày 22 tháng 12..
Trang 1GIẢNG VIÊN CHUYÊN TOÁN –LÝ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN
DĐ: 0987.787.123
ĐỀ ÔN TẬP THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
MÔN: TOÁN – Đề số 013
Thời gian: 180 phút(Không kể thời gian phát đề)
Họ và tên……….………Số báo danh……….
Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số: 3 2
y x= − x +mx+ (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0=
2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu Gọi ( )∆ là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ điểm 1 11;
2 4
đến đường thẳng ( )∆ .
Câu 2: (1,0 điểm)
Giải phương trình : 2
3cosx− = − −2 3(1 cos ).cotx x
Câu 3: (1,0 điểm)
Giải bất phương trình sau: 2log (4 x− +3) log (2 x− ≥1) 3
Câu 4: (1,0 điểm) Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ Thầy giáo chủ nhiệm chọn ra 5 học sinh để
lập một tốp ca hát chào mừng ngày 22 tháng 12 Tính xác suất sao cho trong đó có ít nhất một học sinh nữ
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết AC =2 3a , BD =2 a , khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng 3
4
a Tính thể tích khối chóp ABCD S theo a
Câu 6: (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(3; -4) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phát từ C lần lượt là x+ y−1=0 và 3x−y−9=0 Tìm tọa độ các đỉnh B , C của tam giác ABC.
2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C) có phương trình x2 + y2 +2x−4y−8=0 và đường thẳng (∆) có phương trình : 2x−3y−1=0 Chứng minh rằng (∆) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,
B Tìm toạ độ điểm M trên đường tròn ( C ) sao cho diện tích tam giác ABM lớn nhất
Câu 7: (1,0 điểm)Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ sau có nghiệm thực:
2 2
2
4
5 ( 2)
8 16 16 32 16 0
x x
x
Câu 8: (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 4 1
5 4 2 1 6
P
− − +
=
− + + + trong đó a là tham số thực và 1 5
4
a
− ≤ ≤
……… HẾT………
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
1
1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y x= 3−3x2+1 1,0
* Tập xác định: .R
* Sự biến thiên:
+ Giới hạn: ( 3 2 )
xlim y xlim x 3x 1 ,lim yx
→−∞ = →−∞ − + = −∞ →+∞ = +∞.
0,25
+ Bảng biến thiên:
y 3x 6x 3x(x 2), y 0
x 2
=
′= − = − ′= ⇔ =
Bảng biến thiên:
x −∞ 0 2 +∞
y′ + 0 - 0 +
y 1 +∞
∞
− -3 0,25
+ Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0) và (2;+∞)
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0; 2
+ Hàm số đạt cực đại tại x 0, y= CÐ =y(0) 1=
đạt cực tiểu tại x 2, y= CT =y(2)= −3 0,25
* Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;1), cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt
Ta có y′′=6x 6; y− ′′= ⇔ =0 x 1
y′′ đổi dấu khi x qua x = 1.
Đồ thị nhận điểm uốn I (1;-1) làm tâm đối xứng
f(x)=x^3-3x^2+1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8 -6 -4 -2
2 4 6 8
x y
0,25
Trang 32 Tìm m để hàm số có cực đại,cực tiểu 1,0
2
Ta có 2
y′ =3x −6x m+ Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ =0 có hai nghiệm phân biệt
Tức là cần có: ∆ = −′ 9 3m 0> ⇔ <m 3 0,25
Chia đa thức y cho y′, ta được: y y x 1 2m 2 x m 1
′
= − ÷ + − ÷ + +
Giả sử hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm (x ; y , x ; y 1 1) ( 2 2)
Vì y (x ) 0; y (x ) 0′ 1 = ′ 2 = nên phương trình đường thẳng ( )∆ qua hai điểm cực đại, cực tiểu
là: y 2m 2 x m 1
= − ÷ + +
hay y m(2x 1) 2x 1
3
Ta thấy đường thẳng ( )∆ luôn đi qua điểm cố định A 1;2
2
−
(Có thể đồng nhất hệ số
giải hệ tìm tọa độ điểm A như tìm điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua) Hệ số góc
của đường thẳng IA là k 3
4
= Kẻ IH⊥ ∆( ) ta thấy d I;( ) IH IA 5
4
Đẳng thức xảy ra khi IA ( ) 2m 2 1 4 m 1
⊥ ∆ ⇔ − = − = − ⇔ = (TM)
Vậy max d I;( ) 5
4
∆ = khi m 1=
0,25
Câu
2
Giải phương trình : 3cosx− = − −2 3(1 cosx).cot2x +ĐK : x≠mπ
x
x x
sin
cos ) cos 1 ( 3 2 2 cos
−
−
−
=
−
x
x x
cos 1
cos ) cos 1 ( 3 2 2 cos 3
0 2 cos cos
6 cos 1
cos 3 2 cos
+
−
=
−
x
x x
+
−
±
=
+
±
=
⇔
−
=
=
⇔
π
π π
2 ) 3
2 arccos(
2 3
3
2 cos
2
1 cos
k x
k x
x
x
(Thỏa các ĐK)
Câu 3
Giải bất phương trình sau: 2log (4 x−3)+log2(x−1)≥3
Đk: x > 3
0.25
Khi đó phương trình tương đương log2(x-3)(x-1) ≥ 3
Câu 4 Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ Thầy giáo chủ nhiệm chọn ra 5 học
sinh để lập một tốp ca hát chào mừng ngày 22 tháng 12 Tính xác suất sao cho trong đó
có ít nhất một học sinh nữ
Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong 35 học sinh của lớp có 5
35
Trang 4Gọi A là biến cố: ‘‘ Chọn được 5 học sinh trong đó có ít nhất một em nữ’’
Suy ra A là biến cố: “Chọn được 5 học sinh trong đó không có hs nữ nào”
Ta có số kết quả thuận lợi cho A là C205
0,25
( ) 5
20 5 35
C
P A
C
20 5 35
2273
2387
C
C
C5
(1 đ)
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên
giao tuyến SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
VSABCD =
3
1
Diện tích đáy 2 3 2
1
1
a BD
AC
-.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = a 3; BO = a , do đó ABD=600
⇒ tam giác ABD đều
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có
DH ⊥ AB và DH = a 3; OK // DH và 1 3
a
(SOK)
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là
khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB)
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao ⇒ 2 2 2
2
a SO
Đường cao của hình chóp
2
a
Thể tích khối chóp S.ABCD:
3
a
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
C6 1 (1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(3; -4).
Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phát từ C lần lượt là
0
1=
− +y
x và 3x−y−9=0 Tìm tọa độ các đỉnh B , C của tam giác ABC.
Gọi C = (c; 3c - 9) và M là trung điểm của BC ⇒ M(m; 1-m)
Suy ra: B= (2m-c; 11 -2m- 3c)
-Gọi I lµ trung ®iÓm cña AB, ta của I(
2
3
2m−c+
; 2
3 2
7− m− c
)
Vì I nằm trên đường thẳng 3x - y - 9 = 0 nªn ) 9 0
2
3 2 7 ( ) 2
3 2
(
3 m−c+ − − m− c − =
⇒ m = 2 ⇒ M(2; -1)
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
S
A
B K
H C
O
I D
3
a a
Trang 5Phơng trình BC: x - y - 3=0
Tọa độ của C là nghiệm của hệ:
=
−
−
=
−
−
0 3
0 9 3
y x
y x
⇔
=
= 0
3
y x
Tọa độ của C = (3; 0), toạ độ B(1; -2)
0,25 đ
2 (1 điểm)
Đường trũn (C) cú tõm I(-1; 2), bỏn kớnh R = 13
Khoảng cỏch từ I đến đường thẳng (∆) là
13
9 ) ,∆ =
I
d < R
Vậy đường thẳng (∆) cắt (C) tại hai điểm A, B phõn biệt
-Gọi M là điểm nằm trờn (C), ta cú ( , )
2
1
∆
∆ABM = AB d M S
Trong đú AB khụng đổi nờn S∆ABM lớn nhất khi d(M, ∆ ) lớn nhất.
-Gọi d là đường thẳng đi qua tõm I và vuụng gúc với (∆)
PT đường thẳng d là 3x + 2y - 1 = 0
Gọi P, Q là giao điểm của đường thẳng d vời đường trũn (C) Toạ độ P, Q là nghiệm
của hệ phương trỡnh:
=
− +
=
−
− + +
0 1 2 3
0 8 4 2 2 2
y x
y x y x
⇔ x x==1−,3y,y==−15
⇒ P(1; -1); Q(-3; 5)
Ta cú
13
4 ) , (P∆ =
13
22 ) , (Q∆ =
d
-Ta thấy d(M, ∆ ) lớn nhất khi và chỉ khi M trựng với Q Vậy tọa độ điểm M (-3; 5).
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
* Giải BPT:
2 2
2
4
5 (1)
x x
x
+ Với x≠ −2, (1) tương đương với
2 2
2
1
5 2
x
x
x
+
1
Từ đú tỡm ra x≥2 hoặc − ≠ ≤ −2 x 1 0,5
* Giả sử x0 là một nghiệm của PT: x4+8x2+16mx+16m2+32m+ =16 0 (2)
Khi đú PT: 4 2 2
0 8 0 16 0 16 32 16 0
x + x + mx + m + m+ = phải cú nghiệm m
16m +16(x +2)m x+ +8x + =16 0 phải cú nghiệm m Do đú
' 64(x 2) 16(x 8x 16) 0 16 (x x 2)(x 2x 8) 0 0 x 2
Như vậy nếu (2) cú nghiệm thỡ nghiệm lớn nhất là 2 và nghiệm nhỏ nhất là 0
1
Do đú hệ (1), (2) cú nghiệm khi PT (2) cú nghiệm x=2.
Thay x=2 vào (2) ta được: m2+4m+ = ⇔ = −4 0 m 2 0,5
Trang 6Vậy với m= −2 thì hệ (1), (2) có nghiệm.
Đặt A= 5 4 ;− a B= 1+a thì A2+4B2 =9; ,A B≥0
Do đó tồn tại 0; : 3sin ; 2 3cos
2
3 3sin cos 2sin cos
2
2 6 3sin 3cos 6 2sin 2cos 4
P
−
0, 5
Xét hàm số ( ) 2sin cos
2sin 2 cos 4
f x
−
=
+ + , với x 0;2
π
∈ .
Ta có '( ) 6 4sin 8cos 2 0
(2sin 2cos 4)
f x
+ + với mọi x 0;2
π
∈ . Suy ra hàm f(x) đồng biến trên đoạn 0;
2
∈ Do đó:
min ( ) (0) ; m ax ( )
π
.
1
Vậy min 1
6
P= − , khi 5
4
a= ; Vậy m ax 1
3
P= , khi a= −1
0,5
Chú ý: Có thể xét trực tiếp hàm số theo biến a: ( ) 5 4 1
5 4 2 1 6
f a
− − +
=
− + + + ,
5 1
4
a
− ≤ ≤
Tính đạo hàm trực tiếp suy ra hàm f(a) nghịch biến trên đoạn 1;5
4
−
, từ đó thu được kết quả như trên
HẾT
