TÀI LIỆU TOÁN A3 Bài 1: Tìm ma trận P làm chéo hóa A và xác định P1AP a. Đa thức đặc trưng có dạng: Xét Với , xét vecto riêng được sinh ra bởi vecto Với , xét vecto riêng được sinh ra bởi vecto b. Đa thức đặc trưng có dạng: Xét Với , xét vecto riêng được sinh ra bởi vecto Với , xét vecto riêng được sinh ra bởi vecto
Trang 1TÀI LIỆU TOÁN A3 Bài 1: Tìm ma trận P làm chéo hóa A và xác định P -1 AP
−
−
=
17 20
12 14
A
Đa thức đặc trưng có dạng:
2 3
12 20 17
14
17 20
12 14
det
=
⋅
−
−
−
⋅
−
−
=
−
−
−
−
=
−
λ λ
λ λ
λ
λ
λI
A
Xét λ2 −3λ+2=0
=
=
⇔
2
1
2
1
λ λ
Với λ1=1, xét
=
=
⇔
= +
−
= +
−
⇔
=
×
−
−
−
−
a y
y x y
x
y x
y x
5
4 0
16 20
0 12 15
0
0 1
17 20
12 1 14
5
4
1 được sinh ra bởi vecto
5
4
1
v
Với λ2 =2, xét
=
=
⇔
= +
−
= +
−
⇔
=
×
−
−
−
−
b y
y x y
x
y x
y x
4
3 0
15 20
0 12 16
0
0 2
17 20
12 2 14
4
3
= ,1 4
3
2
v
Trang 2
=
⇒
1 1
4
3 5
4
P ⇒P−1AP=01 02
−
=
1
6
0
1
A
Đa thức đặc trưng có dạng:
1
0 6 1
1
1 6
0 1
det
2−
=
⋅
−
−
−
⋅
−
−
−
−
=
−
λ
λ λ
λ
λ
λI
A
Xét λ2 −1=0
−
=
=
⇔
1
1
2
1
λ λ
Với λ1=1, xét
=
=
⇔
=
−
= +
⇔
=
×
−
−
−
a x
y x y
x
y x
y x
3 0 2 6
0 0 0
0
0 1
1 6
0 1
1
⇒vecto riêng p1 =(a,3a) được sinh ra bởi vecto v1 =( )1,3 Với λ2 =−1, xét
( )
( )
=
=
⇔
= +
= +
⇔
=
×
−
−
−
−
−
b y
x y
x
y x
y x
0 0
0 6
0 0 2
0
0 1
1 6
0 1
1
⇒vecto riêng p2 =( )0,b được sinh ra bởi vecto v2 =( )0,1
=
⇒
1 3
0 1
−
=
1 0
0 1
1AP P
Trang 3c
=
1 1
0
1 1
0
0 0
1
A
Đa thức đặc trưng có dạng:
λ λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
2 3
1 1 1 1
0 0 1
0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 1 0
1 1
0
0 0 1
det
2 3
3
− +
−
=
−
⋅
⋅
−
−
⋅
⋅
−
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅ +
⋅
⋅ +
−
=
−
−
−
=
A
Xét −λ3 +3λ2 −2λ =0
=
=
=
⇔
2 1 0
3 2 1
λ λ λ
Với λ1 =0, xét
−
=
=
=
⇔
= + +
= + +
= + +
⇔
=
×
−
−
−
y z
a y x z
y x
z y x
z y x
z y x
0
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 0
0 0 0
1
⇒vecto riêng p1 =(0,a,−a) được sinh ra bởi vecto v1 =(0,1,−1) Với λ2 =1, xét
=
=
=
⇔
= + +
= + +
= +
+
⇔
=
×
−
−
−
0
0 0
0 0
0 0
0
0 0 0 0
0 0 0
1 1 1 0
1 1 1 0
0 0 1
1
z y
b x z
y x
z y x
z y x
z y x
⇒vecto riêng p2 =(b,0,0) được sinh ra bởi vecto v2 =(1,0,0)
Trang 4Với λ3 =2, xét
=
=
=
⇔
=
− +
= +
−
= + +
−
⇔
=
×
−
−
−
y z
c y x z
y x
z y x
z y x
z y x
0
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
2 1 1 0
1 2 1 0
0 0 2
1
⇒vecto riêng p3 =(0,c,c) được sinh ra bởi vecto v3 =(0,1,1)
−
=
⇒
1 0 1
1 0 1
0 1 0
=
2 0 0
0 1 0
0 0 0
1AP P
Bài 2: Tìm dạng chính tắc của dạng toàn phương sau và ma trận chuyển từ cơ sở ban đầu về cơ sở chính tắc
2 3
2 2
2
x
( )
2 3 2 1
3 2
2 3 2 3 2 1
2
1
3 2 3 1 2 1
2 3
2 2
2 1
2
4 2
3 4
4 4
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x
w
− +
−
⇔
−
− +
−
−
⇔
− +
− + +
=
Đặt 2x1−x2 +x3 = y1; x2 = y2; x3 = y2 +y3
2 3
2 3 2
2
1
2 3
2 3 3 2
2 2
2
1
3 2
2 2
2
1
3 2 2
2 1
4
1 2
1
4
1 4
1 2
1 2
y y
y y
y y
y y y
y
y y y
y
y y y y x
w
+
−
⇔
+
−
⇔
−
−
⇔
+
−
=
⇒
Đặt y1 =z1; 2 3 2
2
1
z y
y + = ; y3 = z3
⇒dạng chính tắc của dạng toàn phương là: ( ) 2
3
2 2
2 1
4
1
z z z x
w = − + , với các công thức biến đổi:
Trang 5
−
−
=
⇒
+
=
−
=
−
=
2 1 2 1 2 1
1 1 0
0 0 2 1
2
2 2
2 2
3 2
3
3 2
2
3 1
1
T z z
x
z z
x
z z
x
2 3
2 2
2
1 x 4x 2x x 4x x 3x x
x
x
( )
2 3 2 1
3 2
2 3 2 3 2 1
2
1
3 2 3 1 2 1
2 3
2 2
2
1
2
2 2
2
3 4
2 4
x x x x
x
x x x x x x x
x
x x x x x x x x x
x
w
+ +
−
⇔
+
− +
−
−
⇔
− +
− + +
=
Đặt x1 −x2 +2x3 = y1; x2 = y2; x3 = y2 +y3
2 3
2 3 2
2
1
2 3
2 3 3 2
2 2
2
1
3 2
2 2
2
1
3 2 2
2 1
4
1 2
1
4
1 4
1 2
1 2
y y
y y
y y
y y y
y
y y y
y
y y y y x
w
−
+
⇔
− +
⋅ + +
⇔
+ +
⇔
+ +
=
⇒
Đặt y1 =z1; 2 3 2
2
1
z y
y + = ; y3 = z3
⇒dạng chính tắc của dạng toàn phương là: ( ) 2
3
2 2
2 1
4
1
z z z x
w = + − , với các công thức
biến đổi:
−
−
−
=
⇒
+
=
−
=
−
−
=
2 1 2 1 2 3
1 1 1
0 0 1
2
2 2
2 2
3 2 2
3 2 3
3 2 2
3 2 1
1
T z
z x
z z x
z z z
x
Trang 6c ( ) 1 2 1 3 2 3
2 3
2 2
2
1 x x 2x x x x 2x x
x
x
( )
2 3 2
2 2
2 3 2 1
2 2
2 2 3 2
2 3
2 3 2 1
2 3 3 2
2 3 2 3
2 1
2
1
3 2 3 1 2 1
2 3
2 2
2
1
2
3 3
1 3
1 2
1
3
1 3
1 3
1 2
3 2 4
3 2
1
4
3 2
4
1 2
2
1 2
2 2
+ +
−
⇔
− +
⋅
⋅ + +
⇔
+ + + +
+
⋅ +
⇔
+ + +
+ +
=
x x
x x
x
x
x x x x x
x x
x
x x x x x x
x x x
x x x x x x x x x
x
w
2
1
y x x
x + + = ; x2 = y2; 2 3 3
2
3 3
1
y x
⇒dạng chính tắc của dạng toàn phương là: ( ) 2
3
2 2
2 1
3
1
yz y y x
w = − + , với các công thức biến đổi:
( )
−
−
=
⇒
+
−
=
=
−
−
−
=
3 2 0 3 1
3 3 2 1 1 3 3 1
0 0
1
3 3
6 2
3 3
3 1 3 3 3
3
3 2 3
2 2
3 2 1
1
T y
y x
y x
y y y
x
Bài 3: Nhận dạng và vẽ đường bậc 2
a Q(x,y)=5x2 +4xy+5y2 −9=0
Trong Q ( y x, ) có dạng toàn phương: 5x2 +4xy+5y2
Ma trận của dạng toàn phương là:
5
2
2
5
Đa thức đặc trưng có dạng:
21 10
2 2 5
5 2
2 5
det
2
2
+
−
=
⋅
−
−
=
−
−
=
−
λ λ
λ
λ
λ
λI
A
Trang 7Xét λ2 −10λ+21=0
=
=
⇔
7
3
2
1
λ λ
Với λ1 =3, xét
=
−
=
⇔
= +
= +
⇔
=
×
−
−
a x
y x y
x
y x
y x
0 2 2
0 2 2
0
0 3
5
2
2 3
5
⇒vecto riêng p1 =(a,−a) được sinh ra bởi vecto v1 =(1,−1) Trực chuẩn hóa v1 bằng phương pháp Gramt – Smidth, ta được:
=
− +
−
=
=
2
1 , 2
1 1
1
1 , 1
2 2
1
1
1
v
v
u
Với λ2 =7, xét
=
=
⇔
=
−
= +
−
⇔
=
×
−
−
b x
y x y
x
y x
y x
0 2 2
0 2 2
0
0 7
5
2
2 7
5
⇒vecto riêng p2 =( )b,b được sinh ra bởi vecto v2 =( )1,1
Trang 8Trực chuẩn hóa v2 bằng phương pháp Gramt – Smidth, ta được:
=
=
=
2
1 , 2
1 2
1 , 1
2
2 2
v
v
u
⇒dạng chính tắc của dạng toàn phương là: 3x′2 +7y′2, với các công thức biến
đổi:
′ +
′
−
=
′ +
′
=
⇔
′
′
×
−
=
2 2
2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
y x
y
y x
x
y
x y
x
Thay x, y vào Q(x,y), ta được:
( ) ( )3 3 7 1
0 9 7 3
2
2 2
2
2 2
=
′ +
′
⇔
=
−
′ +
′
y x
y x
⇒Q(x,y) là elip trong hệ trục O x′y′ có bán trục lớn là 3 nằm trên O x′ và bán
trục nhỏ là 3 7 nằm trên O y′, với công thức quay trục một góc sao cho:
2 1 sin ,
2
1
cosθ = θ =
y
x ′
x
θ
O
Trang 9b Q(x,y)=2x2 −4xy−y2 +8=0
Trong Q ( y x, ) có dạng toàn phương: 2x2 −4xy−y2
Ma trận của dạng toàn phương là:
−
−
−
1 2
2 2
Đa thức đặc trưng có dạng:
6
2 2 1
2
1 2
2 2
det
2 − −
=
−
⋅
−
−
−
−
×
−
=
−
−
−
−
−
=
−
λ λ
λ λ
λ
λ
λI
A
Xét λ2 −λ−6=0
−
=
=
⇔
2
3
2
1
λ λ
Với λ1 =3, xét
=
−
=
⇔
=
−
−
=
−
−
⇔
=
×
−
−
−
−
−
a y
y x y
x
y x
y x
2 0
4 2
0 2
0
0 3
1 2
2 3
2
⇒vecto riêng p1 =(−2a,a) được sinh ra bởi vecto v1 =(−2,1) Trực chuẩn hóa v1 bằng phương pháp Gramt – Smidth, ta được:
−
=
−
=
=
5
1 , 5
2 5
1 , 2
1
1 1
v
v
u
Với λ2 =−2, xét
( )
( )
=
=
⇔
= +
−
=
−
⇔
=
×
−
−
−
−
−
−
−
b x
y x y
x
y x
y x
2 0 2
0 2 4
0
0 2
1 2
2 2
2
Trang 10Trực chuẩn hóa v2 bằng phương pháp Gramt – Smidth, ta được:
( )
=
=
=
5
2 , 5
1 5
2 , 1
2
2 2
v
v
u
⇒dạng chính tắc của dạng toàn phương là: 3x′2 −2y′2, với các công thức biến đổi:
′ +
′
=
′ +
′
−
=
⇔
′
′
×
−
=
5 2 5
5 5
2
5 2 5 1
5 1 5 2
y x
y
y x
x
y
x y
x
Thay x, y vào Q(x,y), ta được:
3 8 2
0 8 2 3
2
2 2
2
2 2
=
′
−
′
⇔
= +
′
−
′
x y
y x
⇒Q(x,y) là hypebol trong hệ trục O x′y′ có bán trục thực là 2 nằm trên O y′ và bán
trục ảo là 8 3 nằm trên O x′, với công thức quay trục một góc sao cho:
5 1 sin ,
5
2
cosθ = θ =
y
x ′
x
θ
O
Trang 11c Q(x,y)= x2 +2xy+ y2 +8x+y=0
Trong Q ( y x, ) có dạng toàn phương: x2 +2xy+y2
Ma trận của dạng toàn phương là:
1
1
1
1
Đa thức đặc trưng có dạng:
λ λ
λ
λ
λ λ
2
1 1 1
1 1
1 1
det
2
2
−
=
⋅
−
−
=
−
−
=
A
Xét λ2 −2λ =0
=
=
⇔
2
0
2
1
λ λ
Với λ1 =0, xét
=
−
=
⇔
= +
= +
⇔
=
×
−
−
a y
y x y
x
y x
y x
0 0
0
0 0
1 1
1 0
1
⇒vecto riêng p1 =(−a,a) được sinh ra bởi vecto v1 =(−1,1) Trực chuẩn hóa v1 bằng phương pháp Gramt – Smidth, ta được:
−
=
−
=
=
2
1 , 2
1 2
1 , 1
1
1 1
v
v
u
Với λ2 =2, xét
=
=
⇔
=
−
= +
−
⇔
=
×
−
−
b x
y x y
x
y x
y x
0 0
0
0 2
1 1
1 2
1
Trang 12Trực chuẩn hóa v2 bằng phương pháp Gramt – Smidth, ta được:
=
=
=
2
1 , 2
1 2
1 , 1
2
2 2
v
v
u
⇒dạng chính tắc của dạng toàn phương là: 2y′2, với các công thức biến đổi:
′ +
′
=
′ +
′
−
=
⇔
′
′
×
−
=
2 2
2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
y x
y
y x
x
y
x y
x
Thay x, y vào Q(x,y), ta được:
4 9 2 2 7 2 2 9 4 9 2 2 2
0 2 9 2 7 2
0 2 2
2 2
8 2
2 2
2 2
−
′
⋅
= +
′
⇔
−
′
⋅
= +
⋅′
⋅ +
′
⇔
=
′ +
′
−
′
⇔
=
′ +
′ +
′ +
′
− +
′
x y
x y
y
y x
y
y x
y x
y
Đặt 2y′+3 2=Y ; 7x′ 2 2−9 4=X
X
Y2 =2
⇒ , với phép biến đổi:
− +
=
− +
−
=
7 6 2 7 2
7 15 2 7 2
Y X y
Y X x
⇒Q(x,y) là parabol trong hệ trục OXY , với công thức quay trục từ Oxy sang
y
x
O ′ ′ một góc sao cho: cosθ =1 2,sinθ =1 2, và công thức tịnh tiến từ O x′y′ sang
OXY là: X =7x′ 2 2 −9 4, : Y = 2y′+3 2
y
X
Y x ′
x
θ
O