quy hoach thực nghiệm

Thực nghiệm mà khi đĩ số mức thay đổi của tất cả các nhân tố như nhau, và tất cả sự tổ hợp này đều được sử dụng để nghiên cứu gọi là thực nghiệm nhân tố tồn phần TNT.. Thực nghiệm nhân t

Chương 5

QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TOÀN PHẦN

VÀ RIÊNG PHẦN

Từ chương này ta khảo sát quy hoạch thực nghiệm nhiều nhân tố Nội dung chủ yếu chọn phương pháp quy hoạch thực nghiệm là trả lời cho câu hỏi: ở các mức giá trị nào và sự kết hợp như thế nào giữa các nhân tố trong thực nghiệm

Thực nghiệm mà khi đĩ số mức thay đổi của tất cả các nhân tố như nhau, và tất cả sự tổ hợp này đều được sử dụng để nghiên cứu gọi là thực nghiệm nhân tố tồn phần (TNT)

Nếu số mức thay đổi nhân tố là 2, và số nhân tố là k thì số thực nghiệm phải thực hiện là N = 2k Theo kết quả TNT 2k ta cĩ thể nhận được phương trình hồi quy tuyến tính:

y = bo + b1x1 + b2x2 + + bkxk (5.1) Phương trình này cĩ thể bổ sung thêm các thành phần là tích các nhân

tố TNT được sử dụng rộng rãi trong giai đoạn đầu tiên nghiên cứu thực nghiệm đối tượng: xác định xem nhân tố nào ảnh hưởng nhiều nhất đến đối tượng nghiên cứu (chương 7)

Thực nghiệm nhân tố riêng phần (TNR) cho phép ta giảm bớt số thực nghiệm so với TNT trong trường hợp PTHQ cĩ số hệ số nhỏ hơn rất nhiều

so với tổng số thực nghiệm N = 2k

5.1 QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TOÀN PHẦN

Trong lý thuyết QHTN thì thực nghiệm nhân tố tồn phần (TNT) cĩ rất nhiều ưu điểm so với các dạng quy hoạch khác:

- Ước lượng độc lập các hệ số phương trình hồi quy

- Phương sai chính là nhỏ nhất

- Đơn giản xử lý kết quả thực nghiệm

Các ưu điểm này là do một số tính chất đặc biệt của ma trận thực nghiệm

1- Tính đối xứng với tâm quy hoạch Tổng đại số các phần tử cột của

bất kỳ nhân tố nào cũng đều bằng 0

trong đó: xij - giá trị nhân tố i trong thực nghiệm thứ j; i = 1, 2 k; j = 1, 2 N

N- số thực nghiệm trong quy hoạch

2- Tính chuẩn hóa Tổng bình phương các phần tử cột của một nhân

tố bất kỳ bằng số thực nghiệm N:

k i

N x

3- Tính trực giao Tổng của tích 2 cột bất kỳ trong ma trận quy hoạch

bằng 0 Ví dụ trong trường hợp thực nghiệm nhân tố toàn phần:

k

2,1u,i

;ui

;0xxN 1

- Kết hợp tất cả giá trị có thể của các mức này giữa các nhân tố: khi

đó đối với số nhân tố bất kỳ là k thì số thực nghiệm trong TNT là

2k Nghĩa là nếu có 2 nhân tố thì số thực nghiệm là 22 = 4

Ma trận quy hoạch cho trường hợp 2 nhân tố cho trong bảng 5.1

Bảng 5.1 TNT với 2 nhân tố

N o Giá trị nhân tố tự nhiên

Giá trị đại lượng đầu ra

Bảng 5.2 TNT với 2 nhân tố dạng mã hóa

N o Nhân tố thực Nhân tố mã hóa Giá trị đại

-1 -1 +1 +1

y 1

y 2

y 3

y 4

Tương tự ta xây dựng được ma trận thực nghiệm cho nhiều nhân tố

Để việc xử lý kết quả 1 được thuận tiện hơn thì các nhân tố này nên được

Bảng 5.3 TNT với 3 nhân tố dạng mã hóa

–1 +1 –1 +1 –1 +1 –1 +1

–1 –1 +1 +1 –1 –1 +1 +1

–1 –1 –1 –1 +1 +1 +1 +1

Tồn tại vài phương pháp xây dựng TNT, như trên bảng 5.2 và 5.3 thì cột đầu tiên số mức -1 và +1 nối tiếp nhau 20, cột thứ 2 từ phải số mức -1

và +1 lần lượt là 21, và cột cuối cùng là 2k-1

Ta biểu diễn miền thay đổi các nhân tố dưới dạng hình học (hình 5.1

và 5.2)

Giả sử ta tiến hành thí nghiệm với hai nhân tố thay đổi X1, X2 và miền thay đổi các nhân tố này là:

X1min X1 X1max; X2min X2 X2maxMặt phẳng nhân tố là mặt phẳng hệ trục tọa độ với trục hoành là nhân

tố X1, trục tung là nhân tố X2 (H.5.1, 5.2a)

Hình 5.1 Chọn miền thay đổi các nhân tố

Ví dụ, khi miền thay đổi giá trị thực Xi:

max i i min

với: Xi - giá trị thật

xi - giá trị mã hóa Xi, khi đó xi có các giá trị +1, 0 và -1

Hình 5.2 Miền giá trị các nhân tố

a) Dạng tự nhiên; b) Mã hĩa

Tập hợp các điểm nằm trong hình chữ nhật 1234 gọi là miền thay đổi các nhân tố (hình 5.2a) Khi chuyển sang nhân tố được mã hĩa, chúng thay đổi trong miền sau:

-1  xi +1 với i = 1,2 Khi đó miền thay đổi các nhân tố nằm trong hình vuông 1234 (hình 5.2b) Các điểm trên các đỉnh hình 5.2a tương ứng với ma trận thực nghiệm (bảng 5.1), các điểm trên các đỉnh hình vuông 5.2b tương ứng với ma trận thực nghiệm bảng 5.2

Bài tập 5.1 Mã hóa các nhân tố và hoàn chỉnh bảng kết quả

3 Nhân tố

N O

Giá trị nhân tố Giá trị mã hóa

(Ma trận quy hoạch)

Kết quả tính

t, o C

(X 1 )

, min (X 2 )

, pH (X 3 )

x 0 x 1 x 2 x 3

_ j

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

-1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1

-1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1

-1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1

40,2 44,2 52,7 49,2 32,9 37,4 45,2 53,5

1,325 1,075 0,45 2,2 2,05 1,175 2,075 0,875

2 Nhân tố

N O

Giá trị nhân tố Giá trị mã hóa

(Ma trận quy hoạch)

Kết quả tính

t, o C

(X 1 )

, min (X 2 )

-1 +1 -1 +1

-1 -1 +1 +1

40,2 44,2 52,7 49,2

1,325 1,075 0,45 2,2

      

Biểu diễn hình học TNT 3 nhân tố dạng khối chữ nhật (hình 5.3), các đỉnh khối chữ nhật tương ứng các mức thực nghiệm, nếu ở dạng mã hĩa thì là các đỉnh của khối vuơng Khi số nhân tố k > 3 thì biểu diễn hình học rất bổ ích

dễ hình dung nhưng khĩ khăn khi thể hiện chúng trên giấy

Hình 5.3 Biểu diễn hình học 3 nhân tố

Sự phụ thuộc đáp ứng vào các nhân tố thay đổi được cho bằng phương trình hồi quy được gọi là hàm đáp ứng Biểu diễn hình học của hàm đáp ứng

là bề mặt đáp ứng Ví dụ để biểu diễn mơ hình tuyến tính y = bo + b1x1 + b2x2

ta cần khảo sát khơng gian 3 chiều với các trục tọa độ x1, x2 và y

5.2 TÍNH TOÁN HỆ SỐ HỒI QUY

Để xác định các hệ số phương trình hồi quy của TNT ta sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất Sử dụng phương pháp này ta phải giải

hệ phương trình với p ẩn số (p là số hệ số phương trình hồi quy)

Tính chất từ 1-3 (cơng thức 5.2, 5.3, 5.4) của TNT giúp cho việc xác định các hệ số phương trình hồi quy trở thành dễ dàng hơn Đầu tiên ta tìm các hệ số phương trình hồi quy được viết dưới dạng mã hĩa:

Sử dụng cơng thức (3.40) theo phương pháp ma trận ta xác định cơng thức để xác định các hệ số tuyến tính phương trình hồi quy b1, b2, bk cĩ dạng:

y x N

y x

y x y x b

N 1

j ij jN

iN 2

2 i 1 1 i i

Bảng 5.4 Ma trận thực nghiệm với nhân tố tự nhiên

53 30,5

53 30,5

24,0 42,2 33,8 41,4 57,8 51,0 51,7 54,6

Bảng 5.5 Ma trận thực nghiệm với nhân tố mã hóa

–1 +1 –1 +1 –1 +1 –1 +1

–1 –1 +1 +1 –1 –1 +1 +1

–1 –1 –1 –1 +1 +1 +1 +1

24,0 42,2 33,8 41,4 57,8 51,0 51,7 54,6

Giải : Theo công thức (5.6) ta xác định các hệ số:

8

oj j 1 o

x y b

x y

24 42, 2 33,8 41, 4 57,8 51,0 51,7 54,6 b



8 1j j 1 1

x y

24 42, 2 33,8 41, 4 57,8 51,0 51,7 54,6 b

x y

24 42, 2 33,8 41, 4 57,8 51,0 51,7 54,6 b

x y

24 42, 2 33,8 41, 4 57,8 51,0 51,7 54,6 b

2 2

3 3

X 41,75 x

12, 25

X 57 x

9

X 13,5 x

5.3 TÍNH TƯƠNG TÁC CÁC NHÂN TỐ THEO KẾT QUẢ TNT 2 k

Trong nhiều trường hợp mức độ ảnh hưởng một nhân tố phụ thuộc vào mức giá trị nhân tố khác

TNT 2k cho phép ngồi các hệ số tuyến tính hồi quy ta cần ước lượng tất cả tương tác giữa các nhân tố

Đầu tiên ta khảo sát trường hợp với 2 nhân tố: chỉ có 1 cặp tác dụng lẫn nhau duy nhất giữa hai nhân tố x1, x2 Hệ số b12 khi đó có thể đánh giá theo kết quả TNT Như thế phương trình hồi quy có dạng:

y = bo + b1x1 + b2x2 + b12x1x2 (5.7) Như thế trong mô hình trên số hệ số p = 4 và nó bằng với số thí nghiệm N = 4 Do đó phương trình (5.7) gọi là phương án bão hòa (đầy đủ) Đánh giá tương tác các nhân tố bằng tính chất của ma trận hàm cơ sở TNT Ta lập ma trận thực nghiệm với TNT 22 trong các ký hiệu được mã hóa (bảng 5.6)

–1 +1 –1 +1

–1 –1 +1 +1

+1 –1 –1 +1

j 1 12

x x y b

4



(5.8) Đối với quy hoạch trong bảng 5.6 thì b12 xác định theo công thức:

N

yxxb

N 1

j ij uj jiu





Đối với thực nghiệm 3 nhân tố, ngoài 3 hệ số tương tác kép x1x2, x1x3,

x2x3 ta còn tương tác 3 nhân tố x1x2x3, nó gọi là tương tác bậc 2 Mô hình khi đó có dạng:

y = bo + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 + b123 x1x2x3 (5.10)

Vì p = N, nên mô hình trên là bão hòa Để tìm giá trị hệ số b123 ta sử dụng cột x1x2x3 trên ma trận quy hoạch (bảng 5.7)

Trong trường hợp tổng quát có k nhân tố, số tương tác đôi (bậc 1) được xác định theo công thức:

2

)1k(k

)2k)(

1k(k

!0

!k

Ck

)!

nk(n

!k

Cn

Tổng số hệ số:

Công thức xác định các hệ số tương tác tương tự công thức 5.9

Ví dụ 5.2 Với các số liệu như ví dụ 5.1 Khảo sát sự phụ thuộc đại lượng y

(cm2/s) vào 3 nhân tố: d (cm), l (cm) và v (m/s) nếu kể đến tương tác bậc 1

–1 –1 +1 +1 –1 –1 +1

–1 –1 –1 –1 +1 +1 +1

+1 –1 –1 +1 +1 –1 –1

+1 –1 +1 –1 +1 –1 +1

+1 +1 –1 –1 –1 –1 +1

–1 +1 +1 –1 +1 –1 –1

24,0 42,2 33,8 41,4 57,8 51,0 51,7

5.4 PHÂN TÍCH THỐNG KÊ MÔ HÌNH HỒI QUY THU ĐƯỢC THEO TNT

Tính chất 5.1 – 5.3 (cơng thức 5.2 – 5.5) ma trận TNT làm đơn giản khơng chỉ tính tốn hệ số phương trình hồi quy, mà cịn phân tích thống kê

mơ hình hồi quy

Ma trận (X T X) -1 là ma trận đường chéo Theo kết quả thì tất cả covarian giữa các hệ số hồi quy bằng 0 (tính trực giao) Do đĩ, các hệ số phương trình hồi quy độc lập và khơng cần tính lại các hệ số phương trình hồi quy khi loại bỏ các hệ số khơng ý nghĩa Ngồi ra, phương sai của tất cả

hệ số phương trình hồi quy bằng nhau và xác định theo cơng thức:

a) Khi số thí nghiệm lặp n bằng nhau:

2 2

Khi số thí nghiệm lặp không bằng nhau sẽ vi phạm tính trực giao quy hoạch Khi đó ta không thể sử dụng các công thức cho TNT để tính các hệ

số Để tính các hệ số cần sử dụng phương trình tổng quát

Để ước lượng ý nghĩa của hệ số phương trình hồi quy ta sử dụng tiêu chuẩn Student:

}b{st

Ví dụ 5.0 Sử dụng TNT để xác định sự phụ thuộc giữa giới hạn bền loại vật

liệu vào độ ẩm W và nhiệt độ t Kết quả thực nghiệm lấy từ bảng 3.4

Ví dụ 5.3 Nghiên cứu ảnh hưởng nhiệt độ 20  toC  60, thời gian 0 ph  t

 60 ph và độ pH: 4,5  pH  5,2 khi thủy phân đến độ bền uốn một loại vật liệu 

Ký hiệu

Tự nhiên

Mã hóa

Cao nhất Thấp nhất Cơ sở

20

0 4,5

40

30 4,85

20

30 0,35

2- Sử dụng phương trình hồi quy tuyến tính đầy đủ

3- Quan hệ giữa nhân tố được mã hóa và tự nhiên:

20

40t

85 , 4

+60

0

0 +60

+60

4,5 4,5 4,5 4,5 +5,2 +5,2 +5,2 +5,2

50

31

37

45 52,5

40,5 43,5

53

49

34

39 46,5 53,5

41 43,5

53

49

34

39 46,5 53,5

45

53

40,2 44,2 52,7 49,2 32,9 37,4 45,2 53,5

1,325 1,075 0,45 2,2 2,05 1,175 2,075 0,875

40,65 43,7 52,23 49,65 33,35 36,93 44,73 53,95

y s 2j ˆy j

1

1 -1 -1

1

1

-1 -1 -1 -1

50

31

37

45 52,5

40,5 43,5

53

49

34

39 46,5 53,5

41 43,5

53

49

34

39 46,5 53,5

45

53

40,2 44,2 52,7 49,2 32,9 37,4 45,2 53,5

1,325 1,075 0,45 2,2 2,05 1,175 2,075 0,875

40,65 43,7 52,23 49,65 33,35 36,93 44,73 53,95

5- Để kiểm tra giả thuyết về phân phối chuẩn của đại lượng đầu ra ta tiến

hành riêng 50 thí nghiệm với điều kiện:

t = 20%;  = 0ph;  = 5,2pH Tính chất chuẩn của phân bố kiểm tra theo tiêu chuẩn 2 Giả sử 55

Trên cơ sở số thực nghiệm trên ta cũng xác định số thí nghiệm lặp là n = 5

6- Thực nghiệm chính Ma trận thực nghiệm với 3 nhân tố x1, x2, x3trình bày trên bảng 5.7 Các giá trị tự nhiên cho trong bảng 5.8 và kết quả thực nghiệm cho trong bảng 5.9 Trong cột 10 là giá trị trung bình đáp ứng, tính theo giá trị trung bình các thí nghiệm lặp:

5 ju

u 1 1

8 Kiểm tra tính đồng nhất phương sai thí nghiệm (mục 2.7) Do số thí

nghiệm lặp như nhau nên ta sử dụng tiêu chuẩn Cochran

Phương sai lớn nhất là của loạt thí nghiệm thứ 4: s24  2 , 2 cho nên:

2 4

Theo bảng phân bố Cochran với q = 0,01, số bậc tự do f = n – 1 = 4,

số lượng mẫu m = 8 ta tìm Gb = 0,46 vì Gtt = 0,196  0,46 nên ta chấp nhận giả thuyết về tính đồng nhất phương sai thí nghiệm

9 Phương trình hồi quy có dạng (5.10) Hệ số PTHQ xác định theo

công thức (5.6, 5.9) với sự trợ giúp ma trận quy hoạch (bảng 5.7) và cột yj

(cột thứ 10) trong bảng 5.9 Sau khi tính toán ta thu được phương trình hồi quy dạng mã hóa:

y = 44,4 + 1,66x1 + 5,74x2 – 2,16x3 – 0,46x1x2 + 1,54x1x3 + 1,36x2x3 + 1,41x1x2x3

10 Ước lượng ý nghĩa các hệ số phương trình hồi quy Đại lượng tbđược xác định theo bảng phân bố Student với q = 0,01 và số bậc tự do (phụ lục 1)

fy = N(n – 1) = 8(5 – 1) = 32

Từ phụ lục 1 ta thu được tb = 2,73

Phương sai tái hiện phương trình hồi quy:

s2{y} = (s2 + s2 +…+ s2 )/8 = 11,25/8 = 1,4 Theo công thức (5.16), phương sai hệ số phương trình hồi quy :

s2{bi} = s2{y}/(n.N) = 1,4/(5.8) = 0,035, suy ra s{bi} = 0,187

Cho nên tbs{bi}2,73.0,1870,51

Trong các hệ số PTHQ thì chỉ có b12 không thỏa mãn điều kiện:

51,0}b{st46,0

Xác định khoảng tin cậy các hệ số phương trình hồi quy:

}b{stb}

b{st

bi b i i i b i

43,89 o 44,91 1,15 1 2,17 1,03 13 2,05 5,23 2 6,25 0,85 23 1,87 –2,67 3 -1,65 0,9 123 1,92

11 Tiếp tục ta kiểm tra tính thích hợp PTHQ Phương sai thích hợp

ˆ

s s

)45,535,53(

)7,432,44()65,402,40(5

62,8}y{s

(t 40)

44, 4 1,66

20 ( 30) ( 4,85) (t 40) ( 4,35)

5.5 THỰC NGHIỆM NHÂN TỐ RIÊNG PHẦN (TNR)

Thơng thường thực nghiệm được thực hiện trong các lãnh vực khoa học, kỹ thuật, cơng nghệ… tốn nhiều cơng sức, thời gian và chi phí Cho nên vấn đề quan trọng là làm sao giảm chi phí thực nghiệm, cụ thể là giảm

số thí nghiệm

Trong TNT ta thu được PTHQ với đầy đủ các hệ số, bao gồm cả các

hệ số tương tác Tuy nhiên trong nhiều trường hợp một số hệ số tương tác là khơng cần thiết Ví dụ như trong giai đoạn đầu nghiên cứu đối tượng, thơng thường ta tiến hành thực nghiệm để thu được phương trình hồi quy tuyến tính với các hệ số bi Với k nhân tố thực nghiệm, PTHQ cĩ k+1 hệ số và số thí nghiệm cần thiết N phải lớn hơn hoặc bằng k+1 Theo quan điểm về kinh

tế thì số N khơng được lớn hơn nhiều so với số hệ số PTHQ

Ví dụ khi k = 6 thì số hệ số PTHQ cĩ tương tác đơi là p = k + 1 + C2k = 1 + 6 +

-1 -1 +1 +1

+1 -1 -1 +1

–1 +1 –1 +1

–1 –1 +1 +1

+1 –1 –1 +1

Giả sử rằng ta biết trước rằng hệ số tương tác b12 có thể bỏ qua Khi

đó ta thay cột x1x2 bằng nhân tố mới x3 (bảng 5.12) Khi đó, nhà thực nghiệm tiến hành với 3 nhân tố gồm 4 thực nghiệm Theo kết quả thực nghiệm ta thu được PTHQ:

Ma trận quy hoạch trong bảng 5.11 và 5.12 đều thỏa các tính chất (5.2) – (5.4) Quy hoạch thu được từ TNT bằng cách thay thế hệ số tương tác bằng hệ số mới gọi là thực nghiệm nhân tố riêng phần (TNR) hay gọi là đáp ứng riêng phần của TNT

Trong quy hoạch 23-1 nhân tố x3 được thay bằng tương tác x1x2 Do

đó, trong PTHQ không nên tách rời ảnh hưởng nhân tố x3 khỏi ảnh hưởng tương tác bằng hệ số b3 mà phải đánh giá đồng thời hoặc phối hợp của các

hệ số 3 và 12 Ta có thể ký hiệu như sau:

b33 + 12Nếu trên bảng 5.12 ta thêm vào các cột x1x3 và x2x3 thì chúng sẽ trùng với các cột x2 và x1 Do đó ta có các đánh giá hỗn hợp sau:

b22 + 13

Khi xây dựng quy hoạch 23-1 ta sử dụng biểu thức x3 = x1x2, biểu thức

này gọi là biểu thức sinh (generator) quy hoạch

Nhân cả hai vế biểu thức sinh cho x3 ta có:

1xxx

Biểu thức trên với vế phải là 1 và vế trái là tích của vài nhân tố gọi là

độ tương phản xác định (determining contract)

Nhờ vào độ tương phản xác định ta có thể xác định hệ thống phối hợp các đánh giá mà không cần phải thêm các cột phụ Để thực hiện điều đó ta nhân 2 vế độ tương phản xác định cho x1, x2, x3 Ví dụ:

1 = x1x2x3Nhân 2 vế cho x1: x1 = x2x3  b1 1 + 23

+1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1

+1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1

+1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 Với quy hoạch này ta có biểu thức sinh x4 = x1x2x3, độ tương phản xác định có dạng:

1 = x1x2x3x4 Nhân lần lượt 2 vế biểu thức trên cho x1, x2, x3 và x1x2, x2x3, x1x3 ta có:

x1 = x2x3x4

x2 = x1x3x4