Tích phân có trọng điểm của biểu diễn wigner

biểu diễn, lý thuyết phương trình vi phân và toán tử giả vi phân, lýthuyết của đại số toán tử, giải tích số.Các biểu diễn thời gian–tần số đã trở thành một công cụ thiếtyếu trong giải tí

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường,người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quýbáu trong học tập và nghiên cứu khoa học Thầy luôn động viên và khích

lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trongchuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắcnhất đối với thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng cácquý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹpchương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và đào tạo Bắc Giang,trường THPT Chuyên Bắc Giang, tổ Toán tin và đồng nghiệp đã tạomọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luậnvăn

Hà Nội, tháng 10 năm 2011

Tác giả

Đỗ Thuý Mai

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường.

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2011

Tác giả

Đỗ Thuý Mai

Bảng kí hiệu và viết tắt v

1.1 Không gian hàm suy rộng 1

1.1.1 Không gian hàm cơ bản 1

1.1.2 Không gian hàm suy rộng D0(Ω) 2

1.1.3 Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn) 3

1.1.4 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm 4

1.2 Biến đổi Fourier 5

1.2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược 5

1.2.2 Một số toán tử cơ bản 8

1.2.3 Hàm Gauss 10

1.3 Giải tích thời gian–tần số và nguyên lý không chắc chắn 12 1.3.1 Giải tích thời gian–tần số 12

1.3.2 Nguyên lý không chắc chắn 13

1.4 Biến đổi Fourier thời gian ngắn 15

1.5 Biểu diễn thời gian–tần số 23

1.5.1 Ảnh phổ 24

1.5.2 Phân bố Wigner 25

1.6 Lớp phân bố Cohen 30

iii

1.7 Biểu diễn tích phân τ -Wigner 331.7.1 Các định nghĩa 331.7.2 Một số tính chất của biểu diễn τ -Wigner 351.7.3 Nguyên lí không chắc chắn đối với τ -Wigner 411.8 Tích phân của biểu diễn τ -Wigner 44

2.1 Mở đầu về mở rộng tích phân có trọng của biểu diễn Wigner 472.2 Tích phân có trọng của biểu diễn Wigner 482.3 Biểu diễn ()-Wigner 52

|z| : Mô đun của số phức z.

C∞ : Không gian các hàm khả vi vô hạn

kf kp : Chuẩn trong không gian Lp(Ω), kf kp =



Z

Xαf : Toán tử nhân của f với Xαf (x) = xαf (x)

suppf : Giá của hàm f ∈ Lp(Ω)

v

Ck(Ω) : Là tập hợp các hàm liên tục khả vi k lần trong Ω.

C0k(Ω) : Tập các hàm trong Ck(Ω) có giá compact

C0∞(Ω) : = ∞∩

k=0Cok(Ω)

X[a,b] : Hàm đặc trưng trên [a, b]

D (Ω) : Không gian các hàm cơ bản

D0(Ω) : Không gian hàm suy rộng

S (Rn) : Không gian các hàm giảm nhanh

S0(Rn) : Không gian các hàm suy rộng tăng chậm

F−1(f ) : Biến đổi Fourier ngược của hàm f

F2, Ft→ω : Biến đổi Fourier riêng theo biến thứ hai

của hàm f trên R2n với F2f = Ft→ωf =

Txf : Phép tịnh tiến theo x của hàm f và Txf (t) = f (t − x)

Tx[t]f : Phép tịnh tiến theo x của hàm f với biến dịch chuyển là t

và Tx[t]f = f (t − x)

Mωf : Sự điều biến theo ω của hàm f

và Mωf (t) = e2πiωtf (t)

Mω[t]f : Sự điều biến theo ω của hàm f với t là biến biến điệu.



Vgf : Biến đổi Fourier thời gian ngắn của hàm f đối với

W ig (f ) : Phân bố Wigner của hàm f

W ig (f, g) : Phân bố Wigner chéo của hàm f và g

C (f ) , Qσf : Lớp phân bố Cohen

W igτ (f ) : Phân bố τ -Wigner của hàm f

W igτ (f, g) : Phân bố τ -Wigner chéo của hàm f và g

R (f, g) : Biểu diễn Rihaczek của hai hàm f , g

R∗(f, g) : Biểu diễn Rihaczek liên hợp của hai hàm f , g

Q (f, g) : Tích phân của biểu diễn τ -Wigner

SP ECgf, Spgf : Ảnh phổ của hàm f đối với hàm cửa sổ g

Spφ,ψ(f, g) : Ảnh phổ tổng quát của hàm f , g đối với hàm cửa sổ φ, ψ

Sp(τ1 ,τ2)

φ,ψ (f, g) : Hai tham số hóa ảnh phổ

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích thời gian–tần số bắt đầu phát triển từ rất sớm vàokhoảng năm 1930, trong cơ học lượng tử do H Weyl, E Wigner và J.von Neumann với mục đích tìm kiếm các phân phối xác suất đồng thờicủa các biến vị trí và xung lượng Đến năm 1946, D Gabor đã phát triển

lý thuyết nền tảng của lý thuyết thông tin và giải tích tín hiệu thông quacác bài báo của ông về lý thuyết của sự truyền tin, khi đó giải tích thờigian–tần số được xem như là một lĩnh vực khoa học phụ thuộc vào toánhọc Giải tích thời gian–tần số trở thành một lĩnh vực toán học độc lậpvào khoảng năm 1980 bởi công của Guido Janssen, những nghiên cứucủa ông đã bao trùm mọi khía cạnh của giải tích thời gian–tần số Từ

1990, sự phát triển của giải tích thời gian-tần số được tăng lên nhờ sựxuất hiện của lý thuyết sóng nhỏ, từ đó cả hai lý thuyết này phát triểnsong song

Ngày nay, giải tích thời gian–tần số có rất nhiều ứng dụng, mộtmặt nó giải quyết những vấn đề trong giải tích tín hiệu, lý thuyết truyềntin và xử lí hình ảnh, trong vật lí, nhiều khía cạnh của giải tích thờigian–tần số xuất hiện dưới tên giải tích không gian pha hoặc lý thuyếttrạng thái thống nhất (coherent states) Mặt khác, giải tích thời gian–tần

số liên quan đến nhiều ngành toán học ứng dụng như: giải tích Fourier,giải tích phức, giải tích hàm điều hòa trên nhóm Heisenberg, lý thuyết

viii

biểu diễn, lý thuyết phương trình vi phân và toán tử giả vi phân, lýthuyết của đại số toán tử, giải tích số.

Các biểu diễn thời gian–tần số đã trở thành một công cụ thiếtyếu trong giải tích tín hiệu và đặc biệt phân bố Wigner đã được tintưởng là công cụ toán học lý tưởng của giải tích thời gian–tần số Sựhiểu biết về phân bố Wigner là thiết yếu đối với việc phân tích các toán

tử giả vi phân và để tìm hiểu sự phát triển vượt bậc gần đây của cácthuật toán số trong lý thuyết sóng nhỏ và trong giải tích thời gian–tầnsố

Theo các kết quả đã nghiên cứu, biểu diễn Wigner cho ta thấyhình ảnh một tần số giả ở giữa bất kì hai tần số thực, các tần số nàyđược gọi là tần số ảo hoặc tần số giao thoa, điều này xuất hiện nhữngkhó khăn trong việc giải thích ý nghĩa vật lí của phân bố Wigner Từ

đó, người ta mở rộng nghiên cứu phân bố τ -Wigner phụ thuộc tham số

τ ∈ [0, 1], do có sự xuất hiện của tham số τ , các tần số ảo tách ra vàdịch chuyển phụ thuộc vào τ , còn các tần số thực xuất hiện ở một vị trívới mọi giá trị của τ Lợi dụng điều này, người ta đưa ra một biểu diễnmới dạng Q là tích phân của biểu diễn τ -Wigner theo τ trên [0, 1], hiệuquả là biên độ của các tần số ảo giảm đáng kể so với biên độ của cáctần số thực, do đó hình ảnh thu được sẽ gần hơn với thực tế vật lí Tuynhiên cả τ -Wigner và Q đều gặp phải một vấn đề là sự khoanh vùngxấu trên mặt phẳng thời gian tần số Để cân bằng giữa việc quy gọn sựgiao thoa đã được chỉ ra bởi Q và sự khoanh vùng tốt hơn trong mặtphẳng thời gian–tần số của Wigner cổ điển người ta nhân τ -Wigner vớimột hàm khả tích trên [0, 1] (mà ta gọi là hàm trọng) rồi lấy tích phântheo τ trên [0, 1] Biểu diễn tích phân như vậy được gọi là tích phân cótrọng của biểu diễn Wigner

Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về tích phân có trọng của biểu

diễn Wigner, được sự đồng ý hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường,tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu

"Tích phân có trọng của biểu diễn Wigner "

để thực hiện luận văn tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu về tích phân có trọng của biểu diễn Wignernói chung

Nghiên cứu về trường hợp đặc biệt ()-Wigner

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày về tích phân có trọng của biểu diễn Wigner

Trình bày về tích phân ()-Wigner

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Tích phân có trọng của biểu diễn Wigner.Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoàinước liên quan đến tích phân có trọng của biểu diễn Wigner

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và phương pháp giải tích hàm để tiếp cậnvấn đề

Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là cácbài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới

6 Dự kiến đóng góp mới

Bổ sung một số tính chất của biểu diễn tích phân có trọng củabiểu diễn Wigner

Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị

1.1.1 Không gian hàm cơ bản

Cho Ω là một tập mở trong Rn

Định nghĩa 1.1.1 Không gian hàm cơ bản được kí hiệu là D(Ω), làkhông gian gồm các hàm ϕ ∈ C0∞(Ω) với khái niệm hội tụ sau: dãy{ϕj}∞j=1 các hàm trong C0∞(Ω) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ0 ∈ C0∞(Ω)nếu

1

1.1.2 Không gian hàm suy rộng D0(Ω)

Định nghĩa 1.1.2 Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trong Ω nếu f

là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω) Không gian hàm suyrộng trong Ω, kí hiệu là D0(Ω)

Hàm suy rộng f ∈ D0(Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là hf, ϕi

Kí hiệu D0_ lim

k→∞fk = f Định lí 1.1.3 Không gian hàm suy rộng D0(Ω) là đầy đủ

1.1.3 Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn)

Định nghĩa 1.1.5 Không gian các hàm giảm nhanh, kí hiệu là S (Rn)

với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau

Dãy {ϕk}∞k=1 trong S (Rn) được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S (Rn) nếu

3 Với mỗi α ∈ Zn+, phép toán đạo hàm Dα là ánh xạ tuyến tính liên tục

từ S (Rn) vào S (Rn)

4 Tập C0∞(Rn) trù mật trong không gian S (Rn)

Định lí 1.1.5 Không gian S (Rn) là đầy đủ

1.1.4 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm

Định nghĩa 1.1.6 Cho hàm suy rộng f ∈ D0(Rn) Hàm suy rộng fđược gọi là hàm suy rộng tăng chậm nếu tồn tại một số tự nhiên m vàmột số dương C sao cho

Chú ý 1.1.6 Không gian hàm suy rộng tăng chậm S0(Rn) là khônggian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S (Rn)

là một hàm suy rộng tăng chậm Do ánh xạ f 7−→ Λf là đơn ánh nên ta

có thể đồng nhất f với Λf Cũng như vậy các hàm tăng chậm cũng làcác hàm suy rộng tăng chậm

Ví dụ 2 Hàm suy rộng δ và các đạo hàm của nó là các hàm suy rộngtăng chậm

Định nghĩa 1.1.8 Cho fk, f ∈ S0(Rn) , k = 1, 2, Dãy {fk}∞k=1 đượcgọi là hội tụ trong S0(Rn) đến hàm f ∈ S0(Rn), kí hiệu S0_ lim

k→∞fk = f ,nếu

i) Có một số tự nhiên m và một số dương C sao cho

ii) Dãy {fk}∞k=1 là hội tụ trong D0(Rn) đến f

Định lí 1.1.7 Không gian S0(Rn) là đầy đủ

1.2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược

2 Ta dùng kí hiệu F (f ) để nhấn mạnh rằng phép biến đổi Fourier làmột toán tử tuyến tính tác động trên một không gian hàm f ∈ L1(Rn).

3 Ngoài định nghĩa biến đổi Fourier như trên ta còn có thể định nghĩabiến đổi Fourier theo những cách khác như sau

f (ω)b

2

dω là xác suất của chất điểm trong trạng thái f có động

lượng của nó trong miền I ⊂ Rn

Bổ đề 1.2.1 (Riemann - Lebesgue) Nếu f ∈ L1(Rn) thì bf liên tục đều

Giả sử C0(Rn) là không gian Banach của các hàm liên tục triệt tiêutại vô hạn, khi đó bổ đề Riemann - Lebesgue diễn đạt tính chất ánh xạcủa biến đổi Fourier như sau

F : L1(Rn) → C0(Rn) Nếu bỏ đi điều kiện mà biến đổi Fourier được định nghĩa theo từng điểmbởi công thức (1.1), chúng ta có thể thác triển nó lên các không gianhàm khác Kết quả cơ bản là định lí Plancherel mà chúng ta sẽ nghiêncứu sau

Biến đổi F mở rộng thành toán tử unita trên L2(Rn) và thoả mãn côngthức Parseval

hf, gi = Df ,b bg

E

Tổng quát lên các không gian khác ta có

Định lí 1.2.3 (Hausdorff - Young) Giả sử 1 ≤ p ≤ 2 và p0 là số thỏamãn 1p + p10 = 1 thì

F : Lp(Rn) → Lp0(Rn)và

bf

p 0 ≤ kf kp.Chú ý 1.2.4 Beckner và Brascamp Lieb đã phát biểu hình thức kháccủa Định lý Hausdorff - Young như sau

Đặt Ap = p

1 p

p 0 ≤ Anpkf kp, ∀f ∈ Lp(Rn) , 1 ≤ p ≤ 2 (1.3)Định nghĩa 1.2.2 Cho f ∈ L1(Rn) Biến đổi Fourier ngược của hàm

f , kí hiệu F−1(f ) được định nghĩa bởi

Định nghĩa 1.2.3 Cho f ∈ S0(Rn) Biến đổi Fourier của hàm suy rộng

f , kí hiệu là F f là hàm suy rộng tăng chậm xác định bởi

Định lí 1.2.6 Dαf ∈ L2(Rn) với mọi |α| ≤ m, khi và chỉ khi

Z

Rn

f (ω)b

... data-page="36">

1.5.2 Phân bố Wigner< /p>

Phân bố Wigner phát minh vào năm 1932 E .Wigner trongbối cảnh học lượng tử giới thiệu giải tích tín hiệu bởiJ.Ville Phân bố Wigner thoả mãn hầu hết... ta biểu diễn thờigian–tần số gọi biến đổi Fourier thời gian ngắn Lý thuyết giải tíchthời gian–tần số hầu hết dựa biến đổi Fourier thời gian ngắn đa

số biểu diễn thời gian–tần số khác diễn. .. tích tín hiệu, tìm biểu diễn kếthợp đặc trưng f bf vào hàm đơn giản, gọi biểudiễn thời gian–tần số Vậy mục tiêu giải tích thời gian–tần số đưa

ra phổ tần số tức thời thời điểm x

Tuy