Bài tập MÔ HÌNH TOÁN HVNH

Bài tập chương 2 mô hình toán Học viện ngân hàngCâu 4: a,Bài toán dạng chính tắc: 4x1 + x2 + 2x3 + 2x4 – 4x5 = 385x1 3x3 – x4 + 2x5 + x6 = 44x1 + 2x3 + 5x4 + x7 = 564x1 2x3 – 3x4 + 4x5 x8 = 16Xj ≥ 0 ( j = (1,8) ̅ )Giải bài toán phụ: P( x , xg ) = xg4  min4x1 + x2 + 2x3 + 2x4 – 4x5 = 385x1 3x3 – x4 + 2x5 + x6 = 44x1 + 2x3 + 5x4 + x7 = 564x1 2x3 – 3x4 + 4x5 x8 + xg¬4= 16Xj ≥ 0 ( j = (1,8) ̅ ) ; xg4 ≥ 0Bài toán dạng chuẩn có phương án cực biên : X = (0; 38; 0; 0; 0; 4; 56; 0; 16)Vectơ cơ sở: { A2; A6; A7; Ag4 }32141000000000001HSCSPAx1x2x3x4x5x6x7x8xg40x2384122400000x645031210000x7564025001001xg416402340011P164023400110x2466140020000x5252032121120000x7564025001001xg48604102011P86041020112x254010100011x551400781140380x752100112011121x32320114012014f(x)115740057803402182x254010100013x12010072410320x772000240111x33200111262052f(x)8000017100Vì ∆6 = 1 < 0 ; ∀ xj6 ≤ 0Bài toán không giải được.b, f(x) ≤ 20 => max f(x) = 20 > 80Đi theo phương Z6 là phương tăng.x(θ) = x0 + θz6f(x(θ)) = f(x) – θ∆6Có : z6 = ( 1; 0; 2; 0; 0; 1; 0; 0 )x(θ) = ( 20; 54; 32; 0; 0; 0; 72; 0 ) + θ( 1; 0; 2; 0; 0; 1; 0; 0 ) = ( 20 + θ; 54; 32 + 2θ; 0; 0; θ; 72; 0 )f(x(θ)) = 80 θ.(1) = θ – 80Mà f(x(θ)) = 20 => θ – 80 = 20  θ = 100Vậy phương án tối ưu của bài toán là X= ( 120; 54; 232; 0; 0; 100; 72; 0 )

BÀI TẬP CHƯƠNG 2 MÔN MÔ HÌNH TOÁN

Nhóm 6 (Thứ 6 - Ca 1)

Câu 4:

1 = 46-8x1 + x3 – 4x4 + x6 = 38

Vectơ cơ sở: { A6; Ag

1; Ag

3 }

 fmin = 12

Phương án tối ưu: X* = ( 0; 10; 32; 0; 0; 6 )

Vì 5 = 0 ( x5 không thuộc cơ sở )

• X = ( 0; 11; 34; 0 ) là một phương án

• f(X) = 2.0 – 2.11 + 34 + 0 = 12 ( = fmin )

c, Tập phương án tối ưu có dạng:

2x1 + x3 – x4 + x5 + x6 = 21

3x1 + 5x3 – 3x4 + 2x5 + xg

3 = 252x1 + x4 + 4x5 + x7 = 20

xj 0 , j = ; xg

3 0Bài toán dạng chuẩn có phương án cực biên X = ( 0; 8; 0; 0; 0; 21; 20; 25 )

Vectơ cơ sở { A2; A6; A7; Ag

3 }

Phương án tối ưu: X = ( 0; 27; 3; 0; 5; 13; 0 )

Vì 4 = 0 ( x4 không thuộc cơ sở )

Tập phương án tối ưu có dạng:

Vậy phương án tối ưu cần tìm là : X = ( 0; 23; 10; 10; 2,5; 18,5; 0 )

2x1 + x3 – x4 + x5 + x6 = 20

3x1 + 5x3 – 3x4 + 2x5 + xg

3 = 152x1 + x4 + 4x5 + x7 = 20

Phương án tối ưu: X = ( 0; 21; 1; 0; 5; 14; 0 )

Vì 4 = 0 ( x4 không thuộc cơ sở )

Tập phương án tối ưu có dạng:

x() = x0 + z4 ( [ 0; 20 ] )

Có: z4 = ( 0; ; ; 1; ; ; 0 )

 x() = ( 0; 21; 1; 0; 5; 14; 0 ) + ( 0; ; ; 1; ; ; 0 )

= ( 0; 21 + ; 1 + ; 0 )

Với = 10 => x(10) = ( 0; 17; 8; 10; 2,5; 19,5; 0 )

Vậy phương án tối ưu khác là X = (0; 17; 8; 10; 2,5; 19,5; 0 )

b, Bài toán đối ngẫu :

(y) = 8y1 + 20y2 + 15y3 + 20y4 max

-y1 + 2y2 + 3y3 + 2y4 2 (8)

y1 1 (9)

-3y1 + y2 + 5y3 2 (10)

2y1 – y2 – 3y3 + y4 -2 (11)

-2y1 + y2 + 2y3 + 4y4-4 (12)

y20 (13)

y40 (14)

Bài toán gốc: f(x) = 2x1 + x2 + 2x3 – 2x4 – 4x5 min -x1 + x2 – 3x3 + 2x4 – 2x5 = 8 2x1 + x3 – x4 +x5 20 (1)

3x1 + 5x3 – 3x4 + 2x5 = 15 2x1 + x4 + 4x5 20 (2)

xj 0 ( j = ) (3);(4);(5);(6);(7)

Các cặp ràng buộc đối ngẫu :

(1) ↔ (13); (2) ↔ (14)

(3) ↔ (8); (4) ↔ (9)

(5) ↔ (10); (6) ↔ (11); (7) ↔ (12)

X*= ( 0; 21; 1; 0; 5; 14; 0 ) là phương án tối ưu của bài toán gốc

X* thỏa mãn lỏng các ràng buộc (1); (4); (5); (7)

y2 = 1

y1 = 1

-3y1 + y2 + 5y3 = 2

-2y1 + y2 + 2y3 + 4y4 = -4

Kết hợp các ràng buộc của bài toán đối ngẫu :

y2 = 1

y1 = 1 -3y-2y11 + y + y22 + 5y + 2y33 = 2 + 4y4 = -4

Vậy tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là { ( 1; 0; 1; -1 ) }

Y = ( 1; 0; 1; -1 ) là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

1 = 45-2x1 + x2 + 2x3 – x4 – x5 + 2x6 = 8

x1 – 3x3 – 2x4 + x5 +xg

3 = 20

xj 0 ( j = ) ; xg

1, xg

3 0Bài toán dạng chuẩn có phương án cực biên : X = ( 0; 8; 0; 0; 0; 0; 45; 20)

b, Phương án cực biên cũ : X0 = (20; 38; 0; 0; 0; 5 ) đi theo phương Z6 có :

Vậy phương án tối ưu của bài toán là X*= ( 26; 39; 0;3; 0; 12 )

c, Bài toán đối ngẫu

(y) = 45y1 + 8y2 + 20y3 -> min

3y1 – 2y2 +y3 2 (7)

y2 1 (8)

3x1 – x3 + x4 + 2x5 – 3x6 = 45-2x1 + x2 + 2x3 – x4 – x5 + 2x6 = 8

x1 – 3x3 – 2x4 + x5 = 20

xj 0 ( j = ) (1); (2); (3); (4);

(5); (6) Các cặp ràng buộc đối ngẫu :

(14)10

(19)PA

(20)x1

(21)x2

(22)x3

(23)x4

(24)x5

(25)x6

(26)2 (27)x

1

(28)20

(29)1 (30)0 (31)

-3

(32)2

-(33)1 (34)0

(35)1 (36)x

2

(37)38

(38)0 (39)1 (40)4

/3

(41)1/3

-(42)1/3

(43)0

(44)

-1

(45)x6

(46)5 (47)0 (48)0 (49)

-8/3

(50)7/3

-(51)[1/3]

(52)1

(x)

(55)73

(83)0 (84)0 (85)

-8

(86)7

-(87)1 (88)3

(x)

(91)88

(92)0 (93)0 (94)2 (95)1 (96)0 (97)3

(98)Vì k > 0 ( xk không thuộc cơ sở )

(111) Vậy tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là { ( 0; 1; 4 ) }

(188) Phương án cực biên của bài toán : X = ( 10; 0; 0; 0; 0; 2; 10 )

(189) Để bài toán đối ngẫu không có phương án thì bài toán gốc không giải được

(190)  c3 - > 0

(191)  c3 >

(192) + Với c3 = 0 => X = ( 10; 0; 0; 0; 0; 2; 10 ) là phương án tối ưu của bài toán đã cho

(193)

(194) Bài toán đối ngẫu :

(195) (y) = 8y1 + 40y2 + 10y3

(206) x1 + x2 + x4 + 2x5

8 (1)

(207) 4x1 – 2x2 – 3x3 + x5 = 40

(208) x2 - x3 - x5

10 (2)

(209) xj 0 ( j = ) (3) (4) (5) (6) (7)

(210)

(211) Các cặp ràng buộc đối ngẫu :

(212) (1) <-> (13); (2) <-> (14); (3) <-> (8); (4) <-> (9); (5) <-> (10); (6) <-> (11); (7) <-> (12)

(217) Vậy cặp bài toán đối ngẫu không có phương án tối ưu

(218) Để phương án cực biên ở câu a là phương án tối ưu thì c3 - 0  c3

(219) Câu 12 : f(x) = 4x1 + 10x2 + 2x3 – 8x4 +9x5 +ax6 -4x7 -> min

-8 (630)X 4

(631) (632) (633)0 (634)(635) (636)(637) (638)1 (639)1 (640)(641) (642)0

(643)

4 (644)X 1

(645) (646) (647)1 (648)(649) (650)(651) (652)0 (653)(654) (655)(656) (657)0

(658)

-4 (659)X 7

(660) (661) (662)0 (663)(664) (665)(666) (667)0 (668)(669) (670)0 (671)1 (672) (673)

(733) Bài toán đã cho có phương án tối ưu là X = ( 1; 0; 0; 0; 0; 9; )

(734) Bài toán đối ngẫu :

(735) (y) = -7y1 + 7y2 – 20y3 -> max

(9) X là phương án tối ưu của bài toán gốc

(25)=> Bài toán đối ngẫu có tập phương án tối ưu là { ( ) }

(26)Y = ( ) là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

(27)Y thỏa mãn lỏng các ràng buộc (10) (11) (12)

 Phương án của bài toán gốc thỏa mãn : x3 = x4 = x5 = 0

(28)Kết hợp các ràng buộc của bài toán gốc có:

b. Giả sử X = (;;;0) là phương án tối ưu của bài toán gốc

(342) X thỏa mãn lỏng các ràng buộc (4), (5) nên phương án của BTĐN thỏa mãn :

(343) Kết hợp với các ràng buộc của bài toán đối ngẫu:

(344)

(347) thỏa mãn mọi ràng buộc của BTĐN

(348) X là phương án tối ưu của bài toán gốc

(830) Khi c ≤ 8 => c - 8 ≤ 0 =>

 X = ( 2; 6; 0; 6 ) là phương án tối ưu với f(x) min =32

(831) b,f(x) min = 17 < 32 vì vậy để có phương án tối ưu thì đi theo phương

(906) Gọi số giờ sản xuất sản phẩm 3 bằng dây chuyền 2 là x4

(932) Bài toán dạng chuẩn có phương án cực biên : X = ( 0; 0; 0; 0;0; 0; 27/4; 2; 18)

(1271) y3 = 0

(1272) y2 = – y1

(1273)  y4 = 30 – y1

(1274) y1 30

(1275) Vậy bài toán đối ngẫu có tập phương án tối ưu là {(y1; – y1 ;0; 30 –

(1303) Vectơ cơ sở: { A4 ; Ag

2 ; A7}(1304)

 Nếu 3>0 bài toán không giải được

 Để bài toán giải được thì 30 c3

(1501) Vậy PACB X=(10 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 2 ; 10)

(1502)

(1503) b) Bài toán đối ngẫu:

(1504) (y) = 8y1 + 40y2 + 10y3 ->max

(8) Giả sử X = (10 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ;2 ; 10) là phương án tối ưu của bài toán gốc

(33)Vậy hệ có nghiệm: Y=(0 ; 3/4 ; 0)

 Tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là : { (0 ; 3/4; 0) }

 Vậy phương án tối ưu của bài toán gốc X=( 10 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 2 ; 10)

(34)