Tổng hợp bất đẳng thức

Bài 1: Cho , , a b c là các s th c d ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

2 2

P

a b c

thi th THPT ào Duy T 2015

PHÂN TÍCH

Bài toán b t i x ng d ng phân th c, bi u th c cu i là m t i l ng i

x ng không ch a c n và h s âm nên v i nh h ng ã c nh c n trong các bài toán phân th c tr c: N u bài toán ch a phân th c ng

nh t v s l ng và h s thì ta nh h ng ánh giá sao cho m u s ng

nh t

Ta th y: 2a b 8bc 2a b 2 2bc 2a b b 2c 2 a b c

Và : 2b2 2 a c 2 a b c 2 a b c

Ta a c bài toán v bi n a b c , i m r i là 2

2

a c

b a c

Do i u ki n c a bi n a b c 0 nên ta mong mu n hàm s thu c có

c c ti u trên 0,

BÀI GI I

Áp d ng AM-GM:

2

a b c

a b bc

Áp d ng b t ng th c: 2 a2 b2 a b 2

2

2 2

3

a b c

P

t a b c t P f t

t t

24H H C TOÁN - CHI N TH NG 3 CÂU PHÂN LO I

Giáo viên: oàn Trí D ng Hà H u H i

PHÂN TÍCH HÀM S

S d ng công c TABLE c a máy tính

CASIO v i:

F X

X X

START = 0.5

END = 5

STEP = 0.5

D a vào b ng giá tr trên ta th y hàm

s t c c ti u và giá tr nh nh t t i

1

Giá tr nh nh t c a f t là f 1

khi t 1 khi ó giá tr a b c, , c n tìm là

2

,

1

b c

a b c

th a mãn nên ta nh h ng ch ng minh hàm s t c c ti u t i t 1

Xét hàm s : 1 8

f t

t t v i t 0

BBT:

2

D a vào b ng bi n thiên 1 3 3

ng th c x y ra khi

2

1, 1

1

b c

a b c

K t lu n: V y giá tr nh nh t c a P là 3

2 khi

,

Bài 2: Cho các s th c 1,1 ; , 1,

4

x y z th a mãn xyz 1 Tìm giá tr nh

nh t c a bi u th c: 1 1 1

P

thi th Nghi S n Thanh Hóa 2015

PHÂN TÍCH

Bài toán i x ng d ng phân th c và i u ki n ,y z 1 làm ta ngh n b t

ng th c quen thu c: 1 1 2

1 a 1 b 1 ab v i ab 1

Ta s d ng b t ng th c trên và i u ki n a bài toán v bi n x

BÀI GI I

Ta có b t ng th c : 1 1 2

1 a 1 b 1 ab v i ab 1

Th t v y:

2

1

Áp d ng b t ng th c: 1 1 2

1 y 1 z 1 yz Do yz 1

x P

x

Xét hàm s : 1 2 2

1 1

t

f t

t

2

1

t

f t

t

1 ,1 2

t

Hàm s ng bi n trên 1,1 1 22 22

ng th c x y ra khi

1

1

xyz

K t lu n: V y giá tr nh nh t c a P là 22

15 khi

4

Bài 3: Cho , , a b c là các s th c ôi m t phân bi t và th a mãn a b c 1 và

0

ab bc ca Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

2

P

c a ab bc ca

thi th THPT a Phúc 2015

PHÂN TÍCH

Ta th y i u ki n là bi n th c và ôi m t phân bi t nên i n r i s x y ra khi các bi n khác nhau

T bi u th c u c a P ta th y trong c n có d ng i x ng theo a b và

b c nên ta m nh d ng ánh giá và d oán:

2

3

a c b

a c

2 3

a c

3

a b c a

2

P

Kh o sát hàm s

2

15 15 3

f t

t t v i t 3a 1 0 o hàm và l p b ng

bi n thiên ta c 6 10 6

2

f t f i m r i c a bài toán khi 6

2

t

3 1

BÀI GI I

Áp d ng b t ng th c : 2 x2 y2 x y 2 x y,

2

P

a b b c c a ab bc ca

Không m t tính t ng quát gi s : a b c

1 1 1 5

P

a b b c a c ab bc ca

T d oán ban u v i m r i ta th y i m r i khi a b b c , khi ó ta

t n ph a bài toán v hai bi n x a b y b c, thì i m r i c a bài

toán s là x y r t quen thu c và d dàng ánh giá.

Ta có: a c a b b c x y

Và:

ab bc ca

t x a b y b c, x y, 0

Ta có:

ab bc ca

3 3

P

Áp d ng b t ng th c: 1 1 4

x y x y

2 2

3 4

P

x y

t

2

0

PHÂN TÍCH HÀM S

S d ng công c TABLE c a máy tính

CASIO v i:

2

12 9

F X

START = 0.5

END = 1.2

STEP = 0.1

D a vào b ng giá tr trên ta th y hàm

s có c c ti u và t giá tr nh nh t

trong kho ng 0.7,0.9

Giá tr trên th a mãn v i i m r i ã d oán là 6

3

t x y a c nên ta

s ch ng minh hàm s có c c ti u và t giá tr nh nh t t i 6

3

Xét hàm s :

2

12 9

f t

3

t

3

3

12 9

t

BBT:

3

2 3 3

f(t)

10 6

D a vào b ng bi n thiên 6 10 6 6

3

a b b c

x y

x y

a b c

ho c 2 6, 1, 2 6

Bài 4: Cho các s th c , , 1,1

2

a b c Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

a b b c c a P

abc

thi th THPT ng L c 2015

PHÂN TÍCH

Do i u ki n các bi n n m trong kho ng ch n và P hoán v nên ta d oán

i m r i khi có 2 bi n n m biên, cho 1, 1 1 2 1

c c

c

Kh o sát hàm s 1 2 1

2

c c

f c

2

c o hàm và l p b ng

bi n thiên ta c 1 3 2 2

2 2

f c f , nên i m r i c a bài toán là

1, ,

a b c và các hoán v vòng quanh m b o ta s d ng CASIO th l i v i các TH sau:

TH1: Cho a 1 ch n 1

2

b , dùng TABLE v i F X 1 b b X X 1

bX

TH2: Cho 1

2

a ch n b 1, dùng TABLE v i

1 2

b b X X

F X

bX

Ta th y trong c 2 TH thì 3 2 2

2

F X nên d oán ban u c a ta úng

Do P là hoán v nên ta c phép gi s a max , ,a b c và xét 2 tr ng

h p: a b c và a c b

Do bài toán hoán v và không có i u ki n nên không s d ng ánh giá

mi n giá tr c, v i i m r i ã d oán ta nh n th y r ng a c 2

c b

nên ta s i bi n v x a,y c

c b a bài toán v d ng i x ng

BÀI GI I

Không m t t ng quát gi s a max , ,a b c

TH: a b c P 0

TH: a c b P 1 b 1 c 1 a

a b c t x a,y c x y, 2

Do , , 1,1

2

c b b

t t xy t 1, 2 P f t t 1 2 1 12

t

Xét hàm s 2 2

t

2 2

f t t

Hàm s ng bi n trên 1, 2 2 3 2 2 3 2 2

và các hoán v vòng quanh

K t lu n: V y giá tr l n nh t c a P là 3 2 2

2 khi

1, ,

Bài 5: Cho , , a b c là các s th c d ng th a mãn a2 b2 c2 3 Tìm giá tr nh

nh t c a bi u th c: P 8 a b c 5 1 1 1

a b c thi th THPT Chuyên V nh Phúc 2015

PHÂN TÍCH

D dàng oán c i m r i là a b c 1

Ta th y P quá s c n gi n và quen thu c, s d ng Cauchy-Schwarz:

a b c a b c

45 8

a b c Ta a bài toán v c

bi n a b c , t i u ki n a b c 3

S d ng công c TABLE c a máy tính

CASIO v i:

45 8

X

START = 0.5

END = 3

STEP = 0.5

T giá tr c a b ng trên ta th y hàm s t c c ti u và giá tr nh nh t trong kho ng 2,3 ch không ph i t i X 3 Không th a mãn d oán v i m

r i V y ánh giá a v hàm s theo bi n a b c là không úng.

Ta th y P i x ng theo 3 bi n nh ng l i r i r c:

Ta ngh ngay n ph ng pháp ti p tuy n và c n ph i ánh giá:

5

8a f a

Ta c n ánh giá trên vì khi ó P f a2 f b2 f c2 g a2 b2 c2

Nh ng v i ph ng pháp ti p tuy n thì VP (*) là m t ph ng trình ng

th ng ngh a là 8a 5 ma n

a Ta s s lí nh sau:

Xét hàm s f x 8x 5

x v i x a2 khi ó dùng ph ng pháp ti p tuy n

ta có: 8 5 3 23 8 2 5 3 2 23

a

BÀI GI I

Ta có các ánh giá sau: 8 5 3 2 23

2

5 3 23 8

2

5 3 23 8

Th t v y (1) a 1 2 3a 10 0 úng a 0, 3

ng th c x y ra khi a 1

T ng t cho (2) và (3)

39

ng th c x y ra khi (1),(2),(3) ng th i x y ra a b c 1

Bài 6: Cho , , x y z là các s th c d ng th a mãn x y và x z y z 1 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

P

thi th THPT H ng Quang 2015

PHÂN TÍCH

i u ki n và P i x ng theo 2 bi n ,x y nh ng x y nên ta không ánh

giá b ng b t ng th c c Ta s d ng phép bi n i t ng ng:

Mà x z y z 1 xy xz yz z2 1 z2 xz yz 1 xy

2 2

1

x y ta a P v hàm s theo bi n x y

BÀI GI I

Ta có: x z y z 1 xy xz yz z2 1 z2 xz yz 1 xy

Và: 1 2 1 2 x2 y2 2z22 2xz2 2yz x y 2 2

2 2

4 8

t

Xét hàm s f t 1 4t 8

2

t

BBT:

2

f(t)

12

D a vào b ng bi n thiên 1 12

2

ng th c x y ra khi

, 2 , 0, 2 2

Bài 7: Cho a b c, , là các s th c không ng th i b ng 0 th a mãn

2

a b c a b c Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c:

a b c P

a b c ab bc ca

thi th THPT Nghèn 2015

PHÂN TÍCH

D a vào i u ki n và bài toán i x ng 3 bi n , ,a b c và c n tìm c giá tr

l n nh t và giá tr nh nh t nên có 2 i m r i:

Ta s cho c 0 a b 2 2 a2 b2 a b thay vào 2 33 1

2

a P a

Ta không th có a b c vì i u ki n a b c 0 vô lí

T d oán trên ta ch có c m t i m r i và ch a bi t ó là giá tr l n

h t hay nh nh t Ta s d ng CASIO m b o l i d oán trên và tìm

i m r i còn l i nh sau:

Do b t ng th c và i u ki n thu n nh t nên ta chu n hóa a b c 1

4

Bài toán t ng i gi ng kh i B 2012, do i u ki n bài toán th c và i

x ng 3 bi n nên i m r i khi có ít nh t 2 bi n b ng nhau, gi s

a b a c , 4a2 2c2 1 và P 4 2a3 c3

2

2

a b c P th a mãn d oán ban u

a b c P nên ta có th th y c i m r i khi P t giá tr nh nh t là 0

4

c

a b , và khi P t giá tr l n nh t là a b c, 0

Do bài toán và i u ki n ng c p nên ta s gi m bi n b ng cách chia qua, bài toán i x ng nên vai trò các bi n là nh nhau ta có th gi s c 0 và

a bài toán v 2 bi n x a,y b

c c

BÀI GI I

Không m t t ng quát gi s c 0

t x a,y b a b c 2 2 a2 b2 c2 x y 1 2 2 x2 y2 1

2

2

Và

3

x y xy x y

x y

P

3 2

2

P

2

1

P f t

t

PHÂN TÍCH HÀM S

S d ng công c TABLE c a máy tính

CASIO v i:

3

1

F X

X

START = 0.5

END = 6

STEP = 0.5

D a vào b ng giá tr trên ta th y hàm

s t giá tr nh nh t t i X 1 và t

giá tr l n nh t t i X 0.5 và X 5

V i X 1 a b c thay vào i u ki n

ta c a c b, 0 ho c a 0,b c th a

mãn

0.5 1.2222

2.5 1.2057

3.5 1.2057

4.5 1.2208

5.5 1.2212

4 2

a b

c

c

th a mãn d oán ban u

X

Ta s nh h ng ch ng minh hàm s có c c ti u và c c i

Xét hàm s

2

3 1

1

t

f t

2

t

2 4

5 1

t t

BBT:

t 1

f(t)

11 9

1

11 9

1

Ta có: 1 11

9

D a vào b ng bi n thiên ta th y 1 11 1 11

Khi

1

0, 2

a b

a c b c

P

a b c

Khi

1

5 9

4 2

a b

a b

K t lu n: V y giá tr nh nh t c a P là 1 khi a b c, 0 và hoán v

Bài 8: Cho , , a b c là các s th c d ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

c a c a b a b c b

thi th THPT C m Bình Hà T nh 2015

PHÂN TÍCH

Ta có P hoán v nên d oán i m r i x y ra khi a b c

Ta th y 3 phân th c u hoán v và ng b c nên ta có th s d ng ti p tuy n ho c Cosi ng c d u nh sau:

2

2

c a c

2

a b c

n ây P i x ng theo 3 bi n , ,a b c ta ánh giá a v a b c b ng các

b t ng th c: 1 1 1 9

a b c a b c và

2

3

a b c

a b c

Ho c ta có th xét các hàm riêng l 2 1

2 2

f x x

x

BÀI GI I

Áp d ng AM-GM: 22 2 1 2 2 1 1

2

c a c

T ng t : 22 2 1 1

2

b

a b

2

c

b c

b c b

1 1 1 1 2

2

a b c

Áp d ng b t ng th c: 1 1 1 9

a b c a b c và

2

3

a b c

a b c

2

3 2

a b c

Xét hàm s 9 2 2

2 3

t v i t a b c t 0

2

2

t

BBT:

3

2

D a vào b ng bi n thiên 3 9 9

2 2

a b c

a b c

a b c

K t lu n: V y giá tr nh nh t c a P là 9

2 khi

1 2

a b c