Ôn luyện kiến thức theo cấu trúc đề thi môn toán phần 2

Trước hết ta tìm các giá trị của biến x lap nên các đoạn sao cho giá trị tương ứng của hiệu fx-fx xét trên đoạn đó déu là không dương hoặc đều là không âm.. Đó là các nghiệm của phương

Phần thứ bo

HƯỚNG ĐẪN GIẢI, ĐÁP SỐ

ĐỀ ÔN LUYỆN HKIẾN THỨC TH

TỐT NGHIỆP TIIPT VÀ TUYẾN SINH ĐH — CD

A HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ ÔN LUYEN KIÊN THỨC THỊ TỐT NGHIỆP THPT

b) Cực trị

Ham số đạt cực đại tại x =— 1 + yey = y(-1) = Ô

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 ; y¿; = y(3) = “105

c) Các giới hạn tại vô cực

Giao điểm của đồ thị với trục tung: Íọ , = 83

giao điểm của đồ thị với trục hoành:

y=0 © x=- Ì hoặc x = 5, vậy có hai

giao điểm (—I ; 0) va (5 ; 0)

og 5 oga-L loyn 2 1 !

3 rae _ 3 Lên _ “eae _ (sie?) = 23

Mặt phẳng (B) đi qua M,(0 ; 0 ; 1) nên có phương trình

A(x—0)+ Bíy—0)+ Cœ~ 1) =0 hay Ax + By + Cz—C=0 (A? + BẺ+ C?> 0)

Khoảng cách từ M,, M; tới (B) bằng _ nên

37

Câu 5a

Câu 4b

VALE B aC! JAba BE4C2 2

Từ đó ta có; Ài 2A -B-C hay tA=2A -B-C

Suy ra: hoac C= A- Bhoac C= 3A-B

+ Với C= A - B thì từ -z===——— _ tả SUY ra

vVA*+B Œ@ 2 2A'~A'+B +(A -BY©2B(B_ A)=0

* Nếu B=0 thì C= A, ta lấy Á = 1 thì () có phương trình : x+z—1=9

* Neu A= Bthi C= 0 Ya lav A = L thì (8) có phương trình x + y =0

Có x`= 2—~x + x= l Tọa độ giao điểm y = x' va x+y > 21a ACI: DD

Đo đố diễn tích S cần tìm là :

S= [x'dx+ ÍCx |x dx J › 20dx - 2 (dvaty x Ạ ( )

a) Đường thăng d qua điểm M(t: -1 : 0) va có vectơ chỉ phương

u (2:1; -:L) Đường tháng d qua điểm M,(3;0; —1) và có vectơ chỉ phương u` =(—] :2: 1)

Vậy d vad' cat nhau

b) Vecto pháp tuyến của mặt pháng (ớ) là : m =(l;2; l) Ta có :

Cau 5b

Câu 1

mu = 1.2 + 2.14 1.(-1)=3 +0 Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng ( œ ) Phương trình tham số của đường thẳng d là

fx=1~2t syr ltt

là hình chiếu của AK trên mặt

phẳng (A'RC) Suy ra AK L AT

Vậy góc giữa mật phẳng (ABBA')

và mặt phẳng (A'BC) là AKH,

Gọi ï là trung điểm của đoạn thẳng

A'B, ta cé CI] L AB (vì ABC là À'4

tam giác đều), suy ra CT // HK

Vì H là trung điểm của BC' nên

HK là đường trung bình của tam

giac BCI, suy ra HK = < - = as Trong tam giác vuông AHA’, ta cé:

Từ đó suy ra: C= A - Bvà D=-2A +B

Trước hết ta tìm các giá trị của biến x lap nên các đoạn sao cho giá trị

tương ứng của hiệu f(x)-f(x) xét trên đoạn đó déu là không

dương hoặc đều là không âm Đó là các nghiệm của phương trình f(x)-(x)=0 Ta có :

Câu 4b

Gọi A,,M,.M, lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Òx, Óy,

Oz.tacó OM_ OM, :OM, :OM,

Hàm số có hai điển cực dal x = 1V 3: Yoo = VC LV3) = A

Hàm số có điểm cực tiểu x = 0: ye, = y(O) = 0

c) Các giới hạn tai vô cực

đ) Bang biến thiên

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0 : 0):

cất trục hoành tại ba điểm (t6: 0),

a) Ta c6 BC 1 (SAB) (theo giá thiếp, suy ra ĐC L AB, Mặt khác AB L SB (theo pia thiél), suy ra AB’ 1 (SBC), suy ra AB L SC

Tương trr suy ra AD' L SC

Từ đó SC L (AB D)

Gọi I là giao điểm của SỐ với

3D, pọi C” là giao của AI với

SC thi ÁC” thuộc (ARD') nên

b) Theo piá thiết ta có AB L BC AD 4 DC

Theo chứng minh trên ta có AB 1 ĐC, AD L ĐC AC | CC

Từ đó các điểm A, R, C, D, B, C, D' cùng nhìn đoạn AC đưới một sóc vuông, do đó chúng cùng thuộc mật cầu đường kính AC

Câu 4a

Giả sử =(d:0:0),,E=(0;c;0),,F=(0:0;0vớid>0.c>0,f>0 Khi đó (y) có phương trình

de Í

63

1,221,

d ef

Theo bất đẳng thức Cô-s¡ cho ba số dương ta có

1-1,2,33 caf 2 Boa] © e 1> hổ Q đei an, d 7e f7 \def \adef “`” `” đef “” 6

2 3 hay d=3;e=6:f=9

e f

Vi M nam trén (y) nén:

Dau " =" xay ra khi h =

Thể tích V của tứ điện ODETF là V = sOD OE.OF = act > 27

Vậy thể tích nhỏ nhất là 27 Khi đó chương trình mặt phẳng (y) là :

x

X+y + =1,

3? 6 9 Câu 5a Ta có : cosx > O khiO Sx § 5 và sa < x < 2n, con cosx < 0

Cau 5b Diéu kién: x > 0 va y > 0

Từ điều kiện suy ra x.y >0, từ đó (I+ xy) > 0

Ta biết rằng y = e` và y = lnx là các hàm số đồng biến vì đều có cơ số

lớn hơn I1, cho nên:

— Khi x >y >0 thì

-B 2)

64

r - w f

| ese | e -e 50 | a of >0

` Inx»lny- in y-Inx<0 |dnv-lnx)( : xy)<0

Chứng tỏ các giá trị x và y thoá mãn x > v > 0 không là nghiệm phương trinh (1)

Tương tự chứng mình được các piá trị của x và y thoả mãn ÿ > x > Ö cũng không là nghiệm phương trình (1)

Khi x=y>0thì

, ee [ et eo 20 coe =0

“> 4 ><

linx =Iny dny-lnx~0 [(in vy —Inx)(1 + xy) — 9,

Chứng tỏ các giá trị của x và y thoả mãn x = y > 0 sé 1a nghiệm phương

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x - y = 5

Bằng cách tương tự bạn có thể giải được hệ phương trình:

J a* a =đogy,v log, x)(xv +a*) ()

yv' < O trén khoang (— « ; 0), ham sé nghich bién trên (—cc ; 0);

‘y' > Ô trên khoảng (0 ; + z ), hàm số đồng biến trên (0 ; +00)

b) Cực trị : Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yey = y(O) = — = Ham so

2

khônp có điểm cực đại

Ss

d) Bang bién thién

Giao diém với trục ,ung [o: — = ) giao diém

với trục hoành : (—I ; Ö) và (1 ; Ô)

a) Theo giả thiết, tam giác ABC cân

nên H là trung điểm của BC Trong

tam giác ABH có :

Câu 4a

Cau 5a,

Trong tam giác vuông IAH có :

IN = TP AH=<(V2a7 = (av9 } = lồa `—3 TA = 4a (1)

Trong tam giác vuông cân JBC có : JH= BH - av6

Từ (3) (4) và (5) ta có ; BỊ + BY = (2a V6 Y 4 (23a) = 36a’ = JP

=> tam giác BJI vuông tại B

Do A CJL =A BIT (c.c.c) nén tam giac CJ] cing Ja tam giác vuông tại C đ) Coi tam giác BỊTE là đấy của tứ diện CIBI

Gọi K là trung điểm của JÏ = K là tầm đường trồn ngoại tiếp tam piác BJI Chứng mình tương tự thì K cũng là tàm đường tròn ngoại tiếp tìm prac CIE

= Ki=KJ =KB=KC= K 1a 1am mat cau ngoal tép nt dién CT3

2.(x—l)—-3.(y+2)+l.Œ_—3)= 0 hay 2x- 3y+z - ll=Ô

— giá trị tam thức tại - m 1a f(-m) = -m? + 2m-2#0Vm

nên (*) luôn có hai nghiệm phan biệt khác =m

Do đó với m bất kì, đồ thị hàm số (C,„) luôn luôn có điểm cực trị

Đồ thị cất trục tung tại điểm A(Ô : 2)

Chú ý Giao điểm của hai tiệm cận là 2

(2 : 0) Nếu tịnh tiến hệ trục toa độ theo _Z

vecto OL thì theo công thức đổi trục ] _

giữa hai mặt phẳng đấy

Vì A'H là hình chiếu vuông góc

của cạnh bên AÀA' trên mặt

phẳng đáy nên

AA'H =60"

69

b) Vì BC // BC nên góc giữa BC và AC là sóc ACB

Trong tam piác vuông AHC có :

OM, = (0; —l : —34) nên có vectơ pháp tuyến n = [M,M,.OM,

=(I:4:—l) Vậy (7) có phương trình

Số giao điểm của (C) và d là số

nghiệm của phương trình :

1 x cox =(kx +k) - x) kx 4x-k=0 (*),

Câu 1

Xét theo giá trị của k, ta có :

+ Với k~=Q: Phương trình (*) có đúng một nghiệm x = Ô

+ Với k#0:; Biệt thức A =1+ 4k? >O VK đo đó phương trình (*) luôn

có hai nghiệm phân biệt

Vậy với k= 0 : đường thẳng đ cất (C) tại 1 điểm ;

k #0: đường thẳng d cat (C) tại 2 điểm phân biệt

Câu 3

Đồ thị cất trục tung tại điểm (0 : —1.5)

va cat trục hoành tại điểm (3 : 0)

Chú ý Giao điểm của hai tiệm cận

là H2: —-1)

b) Gọi M là trung điểm của BC Vì

tam giác SBC cân-(SB = SC) nén

SM L BC, suy ra HIM là hình chiếu

cua SM trén mat phang (ABCD), tir

Suy ra

Jal eye

Trong tam giõc vuừng SMH cụ :

Từ (1) vỏ (2) ta cụ phương trớnh :

las a2 , val a 8 hay a=cosa.v4l* a” (3)

2 3cosœ Bớnh phương cả hai vế của (3) ta được :

` È ›— 4F eos?œ 2lfosơv1 + cos œ

a =cosa(4e —a) => a = ete Dat oH ar - ————-

1 + cos’a 1 + cos’a Trong tam giõc SHM cụ :

1] fsinayl + cosa 4lecos’@ — 1 I’ sina cos” ay] + cos"e

3 1 = cosa ˆ11 eosfơ dc đt cos?a)?

Cóu 4b Diđờm M,(0 : 8 : 3) nam trờn đ Một vectơ chỉ phương của d lỏ u(1:4: 2)

a) Vecto phap tayờn cua mp(P) 1a ny (12124) Vimp(a) diquadva’

Vy =Ũ<>x=0;x=2

v' khơng xác định khi x= L:

y >Ð nếu x< Ư hoặc x > 2 và y`< 0 nếu 0 < x< 2

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (—œ; 0) và (2; +m),

nghịch biến trên mơi khoảng (Ờ; 1) và (1; 2)

b) Cực trị :

Ham s6 dat cuc dai tai X = 0 va Yep = ¥(O) = — 2

Hàm số đạt cực tiêu tại x = 2 và v = y(2) = 2.

Vi vay đường tháng x = I là tiệm cận đứng

Ta có log, 6 log, 9.log, 2 = dog,6.log, 2).log, 9

log, 9 | 2 2

4

—- = log, 2, ——~ = -,

og, & ` đ.log 2 3

a) Gọi hình chiếu vuông góc

của điểm S trên mặt phảng

75

| ‘ZO

x=0

Tương tự, Ôy có phương trình tham số là: +y =t, Öz có phương trình

2= 0 Íx—0

tham số là: ¢yv - 0 Oy va Oz cing không có phương trình chính tắc

[4 —t

b) Đường thắng đi qua M,(x, ; Vạ : Zu) song sone với trục Ôx và có vectơ

Mơ chỉ phương ¡ nên có phương trình tham số là: ‡ y = vụ và không có

| % = Ze phương trình chính tác Tương tự, đường thăng di qua M, song song với

Đường thẳng không có phương trình chính tác

e) Vectơ chỉ phương u của đường thẳng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x — 5y + 4= 0 nên u =(2;—5 ; 0) Vậy đường thẳng có phương

x=ä+2L - hằng kh

trình tham số: 4 y =2—ðt Đì ng thang Không có phương

1 trình chính tac

7 =

Đường thẳng không có phương trình chính tắc

g) Đường thẳng có veclơ chỉ phương u = PQ = (-—1 ; -!; 5) và đi qua

x=2-E P( ; 3 ; -L) nên có phương trình tham số 4y=3-—t _, và phương trình

7Z=—-14+5t

chinh tic; X=? 2 ¥=8 = 241 - —Ï Ò

77

Hàm số đạt cuc dai tai x = 0 yay = y(0) = 1

Ham số đạt cực tiểu tại x = 2, ye; = y(2) = 3

Các giới hạn tại VÔ cực

Để đường thăng y = — x + | cat dé thi

(Cm) tại ba điểm phân biệt thì phương

trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt

khác không Điều này tương đương với :

Nếu AC - a, ADC = x thi từ tam, K

giac KDC tacé6 DK = 5 cot C

Tirtam gidc DKO: DK = OK _ dOK Do OK - a3 nên

Câu 4a Đường thẳng A có vectơ chỉ phương a là:

“PAG bY

Ta chọn vectơ a'= (4: - 2; 5) làm vectơ chỉ phương Đường thẳng cần

tìm song song với đường thắng A nẻn nó cũng nhận a'= (4; ~ 2; 5) làm

vectơ chỉ phương Nó lại đi qua điểm M3; 2; — 5) nên phương trình tham

z 3+4 3+4 25 25

Câu 4b Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau Lấy điểm Mu, : yụ ; Z4) nằm

trên mặt phang thứ nhất, tức là :

Ax, + By, + Cz, + D = 0 hay Ax, + By, + Cz, =— D,

thì khoảng cách d giữa hai mặt phẳng bằng khoảng cách từ điểm M tới

82

x =0=> y"=-2 <0 Ham so dat cuc dai tai x = 0, Yeg= y(O) = 0

x2 tv2> y”=4>0 Hàm số đạt tiểu tại x = +2, Yo = y(+V2) =-] Giới hạn tại vô cực : lim = +

Bảng biến thiên x->ix

(1) có 4 nghiệm phân biệt

(1) có 3 nghiệm trong đó có l nghiệm kép

(1) có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 2 Ta có Ï“(x) = - 2cot2x, lấy đạo hàm ta có :

Sin X€Os X sinX cosˆx

Cau 3 Goi M, F thứ tự là trung điểm của AB, CD

và K là tâm đường tròn ngoại tiếp AABC

Khi đó K thuộc CM Trong ACMI, dựng

Do đó OF =3 Suyra OD = VOF*+FD* = J/94+16 = 5

Câu 4a Mật pháng (ơ,) qua M,N vuông góc với mặt phang toa dé Oxy >

(œ,) spHg song hoặc chứa Õz = (œ,) có dạng Ax + By + D= 0 Do (a,)

đi quá M(I :2; - 2) vàN(2:0;-— 2) ta có hệ :

hay

Lay B = 1, thì (œ,) có phương trình 2x + y — 4= 0

Tương tự, mật phẳng (œ;) qua M N, vuông góc với mặt phẳng toa độ Oy¿

có phương trình z + 2 = 0 Mặt phẳng (œ,) qua M,N vuông góc voi malt pháng toa độ Özx có phương trình : z + 2 = 0

Tir (1) cho x=1>52=-AhayA=-2

x=2>B=3

J= ay ot inl —2|-2tn|s—1) a\x-2 x-I

= 3]n3 + 2ln2 2ln4 = In3ˆ + In2? — In4? = Đế

Câu 4b Xem lời piải cầu 4a

Câu 5b a) Hai điểm (1; 4) và (: l; 4) thuộc (C,); y' = 4x(xŸ -3)

Câu 1

84

Phương trình tiếp tuyến:

Tại điểm (1 ; 4) ta có y'(L) = — 8, do đó phương trình của tiếp tuyến là:

= -8(X-l)+4= 8x+ I2

Tại điểm (— l; 4) ta có y1) = 8, do đó phương trình của tiếp tuyến là:

yv=8(x+ l)+4=8äx + l2

b) Ta có y = xÌ— 6x” + 9 + m là phương trình của đường cong (C,) Vi

đường cong này đi qua điểm (1 ; Ö) nên ta có đẳng thức:

y' >0 trên khoang (-—l; 1)

Cực tri

Ham số dat cuc tiéu tai x =—-1, yep = y (-1) =-2

Ham s6 dat cuc dai tai x = 1, yey = YUL) = 2

Các giới hạn tại Vô cực

lim y = 49; lim y = —œ,

x>_—z Kobe

cao AH của tứ diện, do các đường xiên

AB, AC, AD bằng nhau nên các hình C

chiếu của chúng : HB, HC, HD bằng nhau Do BCD là tam giác đều nên

H là tâm của tam giác BCD

23 _ V3

Do đó BH =

Từ đó suy ra AH=a BH = =a Thể tích tứ điện ABCD bảng

Vậy ba mặt pháng (P), (Q) (R) đôi một vuông góc với nhau

Câu 5a Với số phức z = a + bì ta có ;

= a`+b =l + =2 > r= V2

COSŒ = — = tw

=> tana = | SHDỚ = b -~+L_ v2

Cau 4b, Iinh chiéu d’ cla đường thang d trén mp(R) [a giao tuyến của mp(R) và

mp(S) chứa đ và vuông góc với (R) Ta hãy viet phương trình cua (S) Vi mp(S) chứa đ nên có phương trình :

X(2x-y+z+5)+H(x z+3)=0@-+ư >0) Mat phẳng (S) có vcctơ pháp tuyến là : n= (21+ 2t ;—^X¡*x—)

Do đó thể tích cần tính là hiệu thể tích hai vật thé tron xoay sinh ra bởi

cúc đường: (1) và (2), y =9, y= TYà truc Ôy khi quay quanh truc Ov

+ Sư biển thiên: v=x” 1x+ 4,

y =Okhi x - Lhofc x = 3; y" = 2x — 4

` ` ¿ ¬ 4

Khi x = 1 thì y" = — 2, hàm số đạt cực dai tal x = 1, Yon = y(1) = 3°

Khi x = 3 thì y" = 2, hàm s6 dat cuc tiéu tai x = 3, yep = y(3) = 0

Bang bién thién

Khi x =0 thì y= 0 Vậy đồ thị đi qua gốc tọa độ; y =0 2 -3=0

©> x¡ = Ö hoặc x; = x; = 3 (tiếp điểm) Đó chính là các giao điểm của đồ

thị với trục hoành

Đề thị có đạng như hình vẽ

+ Vì y' =x”- 4x + 3 nên y(2) =~ 1 Với x=2==y= <

Vậy phương trình tiếp tuyến là :

——=- l(X—-2) hayv=—-xX+ —

y 3 ( ) hay y 3 Câu 2 a) Dat 4x =t > dt = 4dx

Cau 3 a) Hai mặt bên (PAB), (PÁC) cùng vuông

góc với đáy, nên giao tuyến PA vuông góc

với đáy Vậy AB là hình chiếu của PB trên

đáy nên PBA =ơlà góc giữa PB và đáy

Tam giác ABC cân đỉnh A, nên trung tuyến

AD cũng là đường cao, do đó AD | BC ta

lại có PA L BC, vay BC L mp(PAD) hay

BD | mp(PAD), nén PD 1a hinh chiếu của

Vậy PB” = PA’ + AD? + BD’

c) Dat PB = x thi PA = xsing va PD = xcosB BD = xsinB

= ;BD.ADPA = 3 XsinB n.xsing

m sinơ.sinB

3 v?m sino.sinB = —————:

3 3(cos“B - sin œ) l+cos2B 1—cos2a

3cos(a + B)cos(a - B)

89

Cau 4a

Gọi (P) là mặt phẳng di qua A và vuông

góc với d, (hinh bẻn), (P) có vcctơ pháp tuyến là V¥, = (3; 1; 1) (¥, 1a vecto chi phương của d,) Phuong trinh cua (P): 3(x - 2) + My -3) + I{z- 3) =0

hay 3x +y+2-12=0

Gọi B là giao điểm của đ, và (P)

Toa dé Bla nghiệm của hệ phương trình:

ix+y-zx+4 =0

|3X~v+z—12 =0

Giai hệ phương trình này ta c6é: B (-3; 10; 11)

Đường thẳng đ cần tìm là đường thẳng đi qua hai điểm A và B có

c) Theo gia thiétt OA = O'B = R,

Goi AA’ 1a dudne sinh cia hinh tru thi O’A’ = R,

AA’ =RV3 va góc BAA’ bang 30" (hinh bén) Vi

OO’// mp(ABA’) nén khoang cach gitra OO’ va

AB bằng khoảng cách giữa OO' và mp(ABA))

Gọi H là trung điểm của BA" thì khoảng cách đó

bằng O'H Tam giác BA`A vuông tai A’ nén

90

BA’ = AA’tan30" = RV3.——= R Như vậy Lt

x=0=y VN) = 4 >0 —= hàm số đạt cực tiêu tai x = 0, yer = y(O) = L

x=‡2=>y (=2)= 8<0 => hàm số đạt cực đại tại x = #2 yạ = y(t2) = Š Giới hạn tại vô cực

m= 1 : phuong trình có ba nghiệm trong đó có một nghiệm kép; I<m<5 : phương trình có bốn nghiệm;

m=5 : phương trình có hai nghiệm kép;

m>5 : phương trình vô nghiệm

4

c) Đề hàm số y = {(x) = a + bx’? - > dat cuc tri bang 4 khi x = 2, thia va

b phai thỏa mãn hệ sau:

0 i

Câu 4a

Câu Ba

Cau 4b

94

a) Data=sine- l.b=sinu+ !,c=cosa vid = 1

Phương trình (1L) xác định một mặt cau tam I (a; b: c) va ban kinh

R= Va +b +c°-d

by R = (sina — ly + Gina + 1) + cova -— 1 =2 + sina

Vậy R= V3 khi sina = + 1

R„„= V2 Khi sine =0

Khi R„ = V3 ta cĩ tâm mặt cầu là: I,(0: 2; 0) hoặc I, (-2; 0; 0)

khi R,,,, = M2 ta cĩ tàm mặt cầu là: I(—]J: [; 1) hoặc l,( 1; 1; —1)

kiện của b và c để IA = IB = ÍC hay :

p =IB`_ J(8=b}'+c°=4°+(6-b}'+(2~e} c1

IA? = IC" |(g—by +0? = (12-b) #(4-c)

Vậy =(0;7; 5) Khi đĩ R =IA = V0+1+25 =V26

Mặt cầu cĩ phương trình :

x'+(y-7Y +( -5Y = 26

b) Vi tam Í của mặt cầu nằm trên tía Ox và mật cầu tiếp xúc với mp(OyzZ)

nên điểm tiếp xúc phải là O và do đĩ bán kính mặt cầu là

R =]lÒ =2 và! =(2;0; 0) Mặt cầu cĩ phương trình : (x-2)+v+z` =4

<>b=7 vàc= 9,

€) Vì mặt cấu có tâm Í(I: 2 ; 3) và tiếp xúc với mp(Oyz) vậy R = I Mật cầu có phương trình :

Hàm số không có cực dat, cực tiểu

Tiệm cận: limy - +e, limy=—s= đồ thị nhận đường thẳng x = -2 là