Các dạng toán cần biết

Tài liệu: Các dạng toán cần biết. Đối tượng: dùng cho học sinh trung học phổ thông, ôn thi và luyện tập. Dạng sách: miễn phí. Ở thời điểm hiện tại chưa có nhiều nên chỉ upload ở dạng miễn phí, sau này có thể trả phí để download. Cám ơn vì đã xem.

CÁC DẠNG BÀI TOÁN

Sưu tầm: Nguyễn Phương

SƯU TẦM: NGUYỄN PHƯƠNG 2

SUY BIẾN ĐỒ THỊ

1 Các bước làm một bài suy biến đồ thị hàm số:

 Bước 1: Vẽ lại toàn bộ đồ thị gốc ở dạng nét đứt Hai trục Ox, Ox vẽ nét liền trong

mọi trường hợp ( khi cả 2 trục trùng với 2 t/c: vẽ nét liền )

 Bước 2: Đặt đồ thị gốc: y = f(x) Căn cứ vào đồ thị gốc và đồ thị cần suy biến, để xác định dạng đồ thị cần suy biến, đồng thời nêu các bước suy biến cần làm

 Bước 3: Căn cứ vào các bước suy biến  suy biến ( vẽ dạng nét liền )

 Bước 4: Nhận xét đồ thị nhận được ở dạng nét liền

Lưu ý:

riêng đồ thị hàm số:

y = f(x) ở nét liền

từ đồ thị hàm số: y = f(x)  đồ thị hàm số: y = g(x)

 Sau đó vẽ lại đồ thị: y = f(x) ở dạng nét đứt rồi suy biến Không làm gộp 2 câu cùng một lúc

2 Các dạng suy biến đồ thị hàm số:

 Dạng 1: Từ đồ thị hàm số: y = f(x)  đồ thị hàm số: y = f(-x)

- Lấy đối xứng toàn bộ đồ thị hàm số: y = f(x) qua Oy

SƯU TẦM: NGUYỄN PHƯƠNG 3

 Dạng 2: Từ đồ thị hàm số: y = f(x)  đồ thị hàm số y = -f(x)

- Lấy đối xứng toàn bộ đồ thị hàm số: y = f(x) qua Ox

 Dạng 3: Từ đồ thị hàm số: y = f(x)  đồ thị hàm số: y = -f(-x)

- Lấy đối xứng toàn bộ đồ thị hàm số: y = f(x) qua gốc O

 Dạng 4: Từ đồ thị hàm số: y = f(x)  đồ thị hàm số: y = |𝑓(𝑥)|

- Bước 1: Giữ nguyên toàn bộ đồ thị ứng với y ≥ 0 ( nằm trên Ox )

- Bước 2: Bỏ phần đồ thị ứng với y < 0 ( nằm dưới Ox ) Lấy đối xứng phần đồ thị

đó qua Ox

 Dạng 5: Từ đồ thị hàm số: y = f(x)  đồ thị hàm số: y = f(|𝑥|)

- Bước 1: Bỏ phần đồ thị ứng với x < 0 ( bên trái Oy )

- Bước 2: Giữ nguyên phần đồ thị ứng với x ≥ 0 ( bên phải Oy ) Lấy đối xứng

phần đồ thị đó qua Oy

 Dạng 6: Từ đồ thị hàm số: y = f(x)  đồ thị hàm số: |𝑦| = f(x)

- Bước 1: Bỏ phần đồ thị ứng với y < 0 ( bên dưới Ox )

- Bước 2: Giữ nguyên phần đồ thị ứng với y ≥ 0 ( trên Ox ) Lấy đối xứng phần đồ

thị đó qua Ox

 Dạng 7: Các dạng phối hợp 6 dạng trên

Lưu ý:

 Khi suy biến đồ thị hàm số từ đồ thị gốc: y = f(x) đang ở dạng nét đứt thì:

- Phần được giữ nguyên, chuyển từ đứt thành liền

- Phần lấy đối xứng vẽ mới: vẽ ở dạng nét liền

- Khi suy biến lấy đối xứng, phải lấy đối xứng khung đồ thị  lấy đối xứng các

điểm đặc biệt ( cực đại, cực tiểu, giao các trục… )

SƯU TẦM: NGUYỄN PHƯƠNG 4

- Sau khi suy biến xong, đồ thị ở dạng nét đứt: bỏ

Bài toán con:

 Dạng toán tìm Max, Min của y = |𝑓(𝑥)| với x € D và f(x) là hàm số bậc 3

- Không sử dụng phương pháp f|𝑎,| thông thường Nếu phương trình f(x) = 0: không giải được nghiệm hoặc có nghiệm lẻ Khi đó sử dụng phương pháp suy biến đồ thị từ hàm số y = f(x)  đồ thị hàm số y = |𝑓(𝑥)| với x € D, không cần

vẽ đồ thị

SƯU TẦM: NGUYỄN PHƯƠNG 5

CỰC TRỊ HÀM SỐ

1 Khái niệm cực trị:

 Một điểm M ( x0, y0 ) gọi là điểm cực trị ( cực đại, cực tiểu ) của đồ thị hàm số: y = f(x) khi:

Cách 1

𝑦,( x0 ) = 0

𝑦, đổi dấu khi x qua x0

f( x0 ) = y0

Cách 2

𝑦,( x0 ) = 0

𝑦,, ( x0 ) ≠ 0

y ( x0 ) = y0

2 Phân loại cực trị:

 Cực đại:

- một điểm M ( x0, y0 ) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số y = f(x), khi và chỉ

khi:

SƯU TẦM: NGUYỄN PHƯƠNG 6

Cách 1

𝑦,( x0 ) = 0

𝑦, đổi dấu từ ( + ) sang ( - ) khi x qua x0

y( x0 ) = y0

𝑦, + 0 -

Cách 2

𝑦,( x

0 ) = 0

𝑦,,( x0 ) < 0 y( x0 ) = y0

 Kết luận: Gọi M ( x0, y0 ) là điểm cực đại của đồ thị hàm số: y = f(x) hoặc hàm số đạt cực đại = y0 tại x = x0 hoặc hàm số đạt cực đại tại x = x0, yCĐ = y0

SƯU TẦM: NGUYỄN PHƯƠNG 7

 Cực tiểu:

- Một điểm M ( x0, y0 ) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = f(x), khi và chỉ khi:

Cách 1

𝑦,( x0 ) = 0

𝑦, đổi dấu từ ( - ) sang ( + )

khi x qua x0

y( x0 ) = y0

Cách 2

𝑦,( x

0 ) = 0

𝑦,, ( x0 ) > 0

y ( x0 ) = y0

𝑦, - 0 +

y

 Kết luận: Gọi M ( x0, y0 ) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số: y = f(x)

- Hoặc hàm số đạt cực tiểu = y0 tại x = x0

- Hoặc hàm số đạt cực tiểu tại x = x0, yCT = y0

y0

SƯU TẦM: NGUYỄN PHƯƠNG 8

3 Nhận xét đặc điểm chung của điểm cực trị:

- Hoành độ cực trị luôn là nghiệm đơn của phương trình y, = 0

- Hàm số có bao nhiêu cực trị ( cực đại, cực tiểu )  y, = 0 có bấy nhiêu nghiệm đơn

- Hàm số không có cực trị ( cực đại, cực tiểu )  y, = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

- Cùng một phương trình y, = 0, có thể vừa có các nhân tử có nghiệm đơn, có nghiệm kép, vô nghiệm; thì các nhân tử có nghiệm kép hoặc vô nghiệm không ảnh hưởng đến cực trị của hàm số Mà cực trị chỉ ảnh hưởng bởi nghiệm đơn trong trường hợp đó

 Ví dụ: y, = ( x -1 )( x – 2 )( 𝑥 + 1)2(𝑥2 – x + 8 )

y, = 0 

x = 1 ( nghiệm đơn )

x = 2 ( nghiệm đơn ) ( 𝑥 + 1)2 = 0  x = -1 ( nghiệm kép )

x2 + x + 8 = 0 ( vô nghiệm )

 hàm số có 2 cực trị đạt tại x = 1, x = 2

- Yêu cầu đề bài bắt tìm điều kiện: để hàm số có bao nhiêu cực trị, phải tìm điều kiện

để phương trình y, = 0 có bấy nhiêu nghiệm đơn Sau đó, căn cứ vào đặc điểm khác nhau của cực đại, cực tiểu ( nếu đề bài hỏi rõ cực đại, cực tiểu ) để thiết lập them điều kiện bổ sung

SƯU TẦM: NGUYỄN PHƯƠNG 9

CỰC TRỊ HÀM SỐ BẬC 3

( y = ax3 + bx2 + cx + d; a ≠ 0 )

 Tập xác định: D = R

 y, = 3ax2 + 2bx + c

y, = 0  3ax2 + 2bx + c = 0 ( * )

Δ , = b2 – 3ac

 Xét hàm số ( * ), ta có:

- TH1: Δ , ≤ 0  ( * ) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép  hàm số không có cực trị

- TH2: Δ , > 0  ( * ) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2

KN1: a > 0

y

−∞

yCT

+∞

SƯU TẦM: NGUYỄN PHƯƠNG 10

KN2: a < 0

y

y CT

yCĐ

−∞

 Kết luận: đồ thị hàm số bậc III, nếu có cực trị thì luôn có hai cực trị ( 1 cực đại và 1 cực tiểu )

 Nếu đề bài có yêu cầu: tìm điều kiện để hàm số bậc 3 có cực đại, cực tiểu; hay chỉ hỏi chung chung: tìm điều kiện để có cực trị Chúng ta phải hiểu như sau: tìm điều kiện để hàm số có 2 cực trị ( 1 cực đại, 1 cực tiểu ) tương ứng với y, = 0 có hai nghiệm phân biệt