ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC

Các đại lượng thế vô hướng, thế vec-tơ vàcác phương trình thế của trường điện từ cũng được định nghĩa, thiết lập như là một cách mô tả khác các tính chất động lực học của trường điện từ.

VÕ TÌNH

ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC HUẾ

Khi xuất bản sẽ thay bằng Tên Nhà xuất bản

Huế, tháng , năm

Khi xuất bản sẽ bỏ mục này

để giảng dạy, học tập học phần Điện động lực học

mã số: VLY3384

LỜI NÓI ĐẦU

Bài giảng điện động lực này được viết cho sinh viên khoa vật lý, Đại học

Sư phạm, Đại học Huế Để có thể dễ dàng hiểu được môn học này người họccần phải hoàn tất chương trình học vật lý đại cương, chương trình toán caocấp dành cho sinh viên khoa vật lý trong đó có giải tích vec-tơ, phương trìnhvật lý toán Nội dung của chương trình được trình bày xuất phát từ chương 1xây dựng hệ phương trình Maxwell dành cho các điện tích chuyển động chậm

so với vận tốc ánh sáng trong chân không làm hệ tiên đề của lý thuyết trườngđiện từ cổ điển Từ đó, các phương trình mô tả định luật bảo toàn năng lượng,xung lượng và các biểu thức tổng quát mô tả các đại lượng động lực như lực,xung lượng, vec-tơ mật độ dòng xung lượng, của trường điện từ được thiếtlập thông qua các vec-tơ trường Các đại lượng thế vô hướng, thế vec-tơ vàcác phương trình thế của trường điện từ cũng được định nghĩa, thiết lập như

là một cách mô tả khác các tính chất động lực học của trường điện từ Cácphương trình thế này tương đương với hệ phương trình Maxwell được biểu diễntheo các vec-tơ trường Ngoài ra, các điều kiện biên cho các vec-tơ trường cũngđược thiết lập trong chương này Từ chương 2 đến chương 5 khảo sát cụ thểnhững tính chất, quy luật động lực học của trường điện từ trong trường hợp

cổ điển ứng với thể hiện của trường điện từ đối với quan sát viên trong các hệquy chiếu khác nhau Chương 6 trình bày ngắn gọn thuyết tương đối hẹp củaAlbert Einstein, đủ để mô tả nội dung chương 7: Điện động lực học tương đốitính Trong chương 7, các vec-tơ trường điện từ 4 chiều tương đối tính đượcthiết lập cùng với những phương trình tương đối tính của trường điện từ trongkhông gian 4 chiều Minkowski có phép quay Lorentz tương đương với phépbiến đổi tọa độ giữa hai hệ quy chiếu quán tính Các phương trình này đượcdùng để mô tả phương trình chuyển động của các hạt mang điện chuyển độngtrong trường điện từ với vận tốc rất lớn gần bằng vận tốc ánh sáng trong chânkhông Theo đó một số hệ quả mới so với thuyết điện từ cổ điển được rút ra.Với điện động lực học tương đối tính, tính chất tương đối của điện trường và

từ trường đã được thể hiện rất rõ, chúng chỉ là các mặt thể hiện của một thựcthể thống nhất không thể nào phân chia được là trường điện từ Chương 8 ôn

ii

Đây là tài liệu biên soạn phục vụ cho việc giảng dạy của tác giả theo tinhthần đổi mới, chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót Rất mong sự góp ý của quýđồng nghiệp, các bạn sinh viên để bài giảng này ngày càng hoàn thiện hơn,đáp ứng được nhu cầu học tập của sinh viên khoa vật lý, Đại học Sư phạm,Đại học Huế.

Huế, ngày 25 tháng 7 năm 2012

Võ Tình

iii

iv

LỜI NÓI ĐẦU ii

1 Các phương trình cơ bản của trường điện từ 1

1.1 Các đại lượng cơ bản của trường điện từ 2

1.1.1 Bốn vec-tơ trường điện từ 2

1.1.2 Điện tích 3

1.1.3 Dòng điện 6

1.2 Các phương trình Maxwell 8

1.2.1 Phương trình Maxwell 1: 8

1.2.2 Phương trình Maxwell 2: 9

1.2.3 Phương trình Maxwell 3: 10

1.2.4 Phương trình Maxwell 4 11

1.2.5 Các phương trình liên hệ 14

1.2.6 Hệ đủ các phương trình Maxwell 15

1.3 Dạng vi phân của định luật Ohm và định luật Joule-Lenz 17

1.3.1 Định luật Ohm 17

1.3.2 Định luật Joule-Lenz 19

1.4 Các điều kiện biên 20

1.4.1 Thành phần pháp tuyến của vec-tơ ~B, ~H 20

1.4.2 Thành phần pháp tuyến của vec-tơ ~D, ~E 22

1.4.3 Thành phần tiếp tuyến của vec-tơ ~E, ~D 23

1.4.4 Thành phần tiếp tuyến của vec-tơ ~H, ~B 24

1.4.5 Điều kiện biên của vec-tơ mật độ dòng điện ~j 25

v

1.5 Mật độ năng lượng và vec-tơ mật độ dòng năng lượng Định

luật bảo toàn năng lượng của trường điện từ 26

1.6 Lực tác dụng trong điện từ trường 28

1.7 Xung lượng và áp suất của trường điện từ 31

1.7.1 Xung lượng trường điện từ 31

1.7.2 Mômen xung lượng của trường điện từ 32

1.7.3 Áp suất trường điện từ 33

1.8 Thế vec-tơ và thế vô hướng của trường điện từ 33

1.8.1 Thế vec-tơ của trường điện từ 34

1.8.2 Thế vô hướng của trường điện từ 35

1.8.3 Các phương trình thế của trường điện từ 36

1.9 Bài tập chương 1 40

2 TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN 45 2.1 Các phương trình Maxwell của trường tĩnh điện trong chân không 46 2.2 Thế vô hướng và các phương trình thế 47

2.2.1 Định nghĩa điện thế và tính chất: 47

2.2.2 Các phương trình thế của trường tĩnh điện: 48

2.3 Vật dẫn trong trường tĩnh điện 53

2.4 Điện dung của vật dẫn cô lập Hệ số điện dung và hệ số cảm ứng của hệ vật dẫn 54

2.4.1 Điện dung của vật dẫn cô lập 54

2.4.2 Điện dung của hệ hai vật dẫn 55

2.4.3 Hệ n vật dẫn 58

2.5 Điện môi trong trường tĩnh điện 58

2.5.1 Sự phân cực của các điện môi 59

2.5.2 Thế vô hướng của điện trường trong điện môi 59

2.6 Năng lượng của trường tĩnh điện 63

2.6.1 Mật độ năng lượng của trường tĩnh điện: 63

2.6.2 Năng lượng của trường tĩnh điện tạo bởi hệ phân bố liên tục: 64

2.6.3 Phân bố điện tích điểm: 65

2.6.4 Hệ vật dẫn tích điện: 65

vi

2.8 Bài tập chương 2 70

3 TRƯỜNG ĐIỆN TỪ DỪNG 75 3.1 Hệ phương trình Maxwell trong trường điện từ dừng 76

3.2 Thế điện động ngoại lai - Các định luật cơ bản của dòng điện không đổi 77

3.2.1 Nguồn điện một chiều 77

3.2.2 Các định luật cơ bản của dòng điện không đổi: 80

3.3 Thế vô hướng và thế vec-tơ của trường điện từ dừng 84

3.3.1 Thế vô hướng: 84

3.3.2 Thế vec-tơ: 84

3.4 Từ trường dừng trong môi trường đồng nhất 85

3.4.1 Từ trường của các dòng điện không đổi: 85

3.4.2 Từ trường dòng nguyên tố 87

3.5 Vật dẫn trong từ trường dừng Hiệu ứng Hall 89

3.6 Từ môi trong từ trường dừng 91

3.6.1 Sự từ hoá các từ môi 91

3.6.2 Thế vec-tơ của từ trường khi có từ môi 92

3.6.3 Mối liên hệ giữa độ cảm ứng từ môi và độ từ thẩm: 93

3.7 Năng lượng từ trường dừng 94

3.7.1 Năng lượng của hệ dòng dừng: 95

3.7.2 Năng lượng momen từ nguyên tố trong từ trường ngoài 97 3.7.3 Lực tác dụng trong từ trường: 98

3.8 Bài tập chương 3 102

4 TRƯỜNG ĐIỆN TỪ CHUẨN DỪNG 113 4.1 Các phương trình của trường điện từ chuẩn dừng 114

4.1.1 Các phương trình trường điện từ chuẩn dừng 116

4.1.2 Các thế của trường điện từ chuẩn dừng 116

4.2 Các mạch điện chuẩn dừng 118

4.2.1 Các phương trình mạch điện 118

vii

4.2.2 Mạch điện R, L, C 120

4.2.3 Mạch điện liên kết hỗ cảm: 123

4.2.4 Các mạch điện rẽ: 124

4.3 Dòng điện chuẩn dừng trong vật dẫn Hiệu ứng lớp da 125

4.4 Trường điện từ trong các vật dẫn chuyển động 129

4.5 Bài tập chương 4 133

5 SÓNG ĐIỆN TỪ - LÝ THUYẾT BỨC XẠ 141 5.1 Trường điện từ tự do - Sóng phẳng 142

5.2 Sóng điện từ phẳng đơn sắc 145

5.3 Sóng điện từ trong chất dẫn điện 147

5.4 Sóng điện từ trong chất dị hướng 149

5.5 Sự phân cực của sóng phẳng đơn sắc 151

5.5.1 Định nghĩa: 151

5.5.2 Các trạng thái phân cực khác nhau của sóng điện từ phẳng đơn sắc: 152

5.5.3 Biểu diễn Jones 156

5.6 Phản xạ và khúc xạ của sóng điện từ ở mặt giới hạn hai điện môi159 5.7 Sự bức xạ ra sóng điện từ Thế trễ 166

5.7.1 Thế vô hướng và thế vec-tơ: 166

5.7.2 Các phương trình thế vec-tơ và thế vô hướng: 167

5.7.3 Nghiệm của các phương trình thế Thế trễ: 168

5.8 Bức xạ của lưỡng cực 169

5.8.1 Thế vô hướng của lưỡng cực bức xạ: 170

5.8.2 Thế vec-tơ của lưỡng cực bức xạ 171

5.8.3 Điện từ trường của dao động tử tuyến tính: 172

5.8.4 Tính chất của điện từ trường tạo bởi dao động tử tuyến tính: 174

5.8.5 Lưỡng cực bức xạ tuần hoàn: 176

5.9 Ống dẫn sóng và hộp cộng hưởng 176

5.9.1 Ống dẫn sóng chữ nhật: 178

5.9.2 Hộp cộng hưởng 183

5.10 Bài tập chương 5 188

viii

6.1.1 Nguyên lý tương đối Galileo Phép biến đổi tọa độ 195

6.1.2 Lượng bất biến và phương trình bất biến Tính bất biến của các định luật cơ học cổ điển 196

6.1.3 Những tiên đề của thuyết tương đối hẹp của Einstein 197

6.2 Động học tương đối tính 198

6.2.1 Phép biến đổi Lorentz 198

6.2.2 Thành lập các công thức biến đổi 198

6.2.3 Sự rút ngắn chiều dài trong hệ chuyển động 200

6.2.4 Sự chậm của thời gian trong hệ chuyển động 201

6.2.5 Định luật cộng vận tốc Einstein 201

6.2.6 Các lượng bất biến trong thuyết tương đối Khoảng 202

6.2.7 Hình học bốn chiều Minkowski Cách biểu diễn bốn chiều của thuyết tương đối 205

6.2.8 Vận tốc bốn chiều và gia tốc bốn chiều tương đối tính 208

6.3 Động lực học tương đối tính 210

6.3.1 Khối lượng và xung lượng tương đối tính của chất điểm 210 6.3.2 Phương trình động lực học chất điểm 211

6.3.3 Xung lượng, năng lượng và khối lượng trong thuyết tương đối 212

6.3.4 Thuyết lượng tử ánh sáng 214

6.4 Bài tập chương 6 216

7 ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH 219 7.1 Tính bất biến của điện tích Mật độ dòng bốn chiều 220

7.2 Cách biểu diễn tương đối tính các phương trình cơ bản của trường điện từ Thế 4 chiều tương đối tính 221

7.3 Công thức biến đổi các vec-tơ điện trường và từ trường 223

7.4 Các bất biến tương đối tính cơ bản của điện từ trường 224

7.5 Hiệu ứng Doppler đối với điện từ trường 225

7.6 Bài tập chương 7 228

ix

8 ÔN TẬP GIẢI TÍCH VEC-TƠ 231

8.1 Đại số vec-tơ 232

8.1.1 Các phép tính vec-tơ 232

8.2 Đại lượng vec-tơ 232

8.2.1 Vectơ tọa độ 232

8.2.2 Vectơ hàm: 233

8.3 Tích vô hướng của hai vec-tơ 233

8.3.1 Định nghĩa 233

8.3.2 Tính chất 233

8.3.3 Thông lượng của vec-tơ hàm qua một mặt S: 234

8.4 Tích hữu hướng của hai vec-tơ 234

8.4.1 Định nghĩa 234

8.4.2 Tích hỗn hợp 235

8.5 Tích kép của ba vec-tơ 235

8.6 Các phép tính đạo hàm riêng phần của vec-tơ hàm theo tọa độ 235 8.6.1 Toán tử nabla ∇ 236

8.6.2 Định nghĩa và tính chất của gradient 236

8.6.3 Định nghĩa và tính chất của divergence (ký hiệu là div) 236 8.6.4 Định nghĩa và tính chất của rotationel (curl) (ký hiệu là rot) 237

8.6.5 Áp dụng toán tử nabla trong các phép tính vec-tơ cơ bản 238 8.6.6 Toán tử Laplace 240

8.6.7 Tóm tắt các phép tính đạo hàm riêng phần của vec-tơ hàm theo tọa độ 241

8.7 Grad, rot, div và ∇2 trong tọa độ cầu 241

8.8 Grad, rot, div và ∇2 trong tọa độ trụ 242

8.9 Định lý Green 244

x

1.1 (a): Vectơ mật độ dòng điện khối; (b) Vectơ mật độ dòng điện

mặt 7

1.2 Mật độ dòng điện mặt của dòng điện ống dây dài vô hạn 8

1.3 Định luật Ohm 18

1.4 Điều kiện biên cho thành phần pháp tuyến của ~B và ~H 21

1.5 Điều kiện biên cho thành phần tiếp tuyến của vec-tơ ~E, ~D 23

1.6 Thế vec-tơ và thế vô hướng trường điện từ của một hệ phân bố hữu hạn điện tích và dòng điện trong thể tích V 37

2.3 60

2.4 62

2.5 71

2.6 73

3.1 78

3.2 79

3.3 80

3.4 81

3.5 82

3.6 86

3.7 88

3.8 95

3.9 Một chuỗi điện trở Điện trở tương đương là Rn, trong đó n là số điện trở R nối từ đoạn mạch trên xuống đoạn mạch dưới Trên hình vẽ số n = 5 104

xi

3.10 Hiệu ứng Hall 105

3.11 Tiết diện của một dây cáp 108

3.12 Một quả cầu rỗng với mật độ điện mặt σ quay quanh trục z với vận tốc góc ~ω Điểm tính từ trường P có tọa độ ~R; bề mặt dS0 mang điện tích σdS0 có tọa độ ~r0 109

3.13 Magnetron 110

3.14 Cuộn dây trong từ trường không đổi 111

4.1 118

4.2 123

4.3 126

4.4 Chuyển động thanh dẫn trong từ trường 133

4.5 Betatron 135

4.6 Mặt cắt ngang của hai bản phẳng song song dài với bề rộng w và cách nhau d, mang hai dòng điện toàn phần +I và −I 137

4.7 Cầu xoay chiều 139

5.1 144

5.2 150

5.3 Phân cực ellip 153

5.4 Phân cực thẳng (Polarization rectiligne) 155

5.5 Sóng điện từ phân cực thẳng 155

5.6 Sóng điện từ phân cực tròn 155

5.7 159

5.8 161

5.9 161

5.10 162

5.11 169

5.12 170

5.13 175

5.14 179

xii

xiii

từ, theo đó điện trường, từ trường, sóng điện từ (bao gồm cả ánh sáng) chỉ làcác mặt thể hiện của một trường điện từ thống nhất tạo bởi hệ phân bố điệntích và dòng điện đối với quan sát viên trong một hệ quy chiếu cụ thể nào đó

mà thôi

1

Mục tiêu học tập của chương

Học xong chương này, người học sẽ nắm được các tiên đề của thuyết điện từ

cổ điển của Maxwell, từ đó suy ra các phương trình vi phân, tích phân mô tảđịnh luật bảo toàn năng lượng, bảo toàn xung lượng trường điện từ, các biểuthức mô tả các đại lượng động lực học như lực, năng lượng, xung lượng, củatrường điện từ theo các vec-tơ trường và các đại lượng mô tả phân bố điệntích, dòng điện (là các nguồn tạo nên trường) Từ hệ phương trình Maxwell,người học cũng sẽ nắm được điều kiện biên của các vec-tơ trường, định nghĩa

về thế vô hướng, thế vec-tơ của trường điện từ; phép biến đổi định cỡ thể hiệntính chất không đơn trị của các đại lượng mới này và phương trình thế dùng để

mô tả những định luật cơ bản của trường điện từ thay cho các vec-tơ trường

1.1 Các đại lượng cơ bản của trường điện từ

1.1.1 Bốn vec-tơ trường điện từ

Trường điện từ tại mỗi điểm trong không gian được đặc trưng bởi bốn vec-tơtrường điện từ: vec-tơ cường độ điện trường ~E, vec-tơ cảm ứng điện ~D, vec-tơcường độ từ trường ~H và vec-tơ cảm ứng từ ~B Chúng là hàm của không-thờigian, xác định mọi quá trình động lực học của trường điện từ Trong môitrường đẳng hướng, ta có hai phương trình liên hệ:

§ 1.1 Các đại lượng cơ bản của trường điện từ 3

Đại lượng Đơn vị Thứ nguyên

| ~E| Vôn trên mét (V/m) [m.kg.s−3.A−1]

| ~D| Coulomb trên mét vuông (C/m2) [m−2.s.A]

| ~H| Ampère trên mét (A/m) [m−1.A]

và điện tích dương mang dấu cộng Chẳng hạn như trong các nguyên tử trunghòa điện, hạt nhân mang điện tích dương còn các điện tử quay chung quanhhạt nhân mang điện tích âm Đối với các vật thể tự do, điện tích nhỏ nhất màvật có thể có được là điện tích nguyên tố e = 1, 6.10−19C Điện tích bất kỳ q

là một số nguyên lần điện tích nguyên tố: q = Ne, N là số nguyên dương hoặcâm

+ Nếu q có kích thước bé so với khoảng cách quan sát, ta có điện tích điểmq(C) Một hệ n điện tích điểm qi (i = 1, 2, , n) nằm rải rác và cách xa nhauvới những khoảng cách rất lớn so với kích thước của chúng được gọi là hệ phân

bố điện tích điểm rời rạc

+ Nếu vật mang điện tích có kích thước lớn và bao gồm rất nhiều điện tíchđiểm với mật độ phân bố dày đặc trong thể tích V của vật, ta có thể xem nhưđiện tích phân bố liên tục theo tọa độ trong khối thể tích V Người ta định

nghĩa đại lượng vi phân mật độ điện tích khối tại điểm P có tọa độ ~r0:

L Tương ứng, đại lượng vi phân mật độ điện tích dài tại điểm P có tọa độ ~r0

V,RS,RL tuần tự cho các phân bố khối, mặt và đường

qV =Z

§ 1.1 Các đại lượng cơ bản của trường điện từ 5

Ví dụ 1.1: Tính điện tích q của một phân bố khối cầu tâm O, bán kính R

có mật độ điện tích khối ρ(r)(C/m3) = q0[1 − exp(−r/R)]/R3, q0(C) là mộtđiện tích không đổi

Lời giải: Theo (1.6), q =R

V ρdV; vì phân bố khối cầu nên trong hệ tọa độcầu (r, θ, φ) với gốc tọa độ O, ta có

sin θdθ

Z 2π 0

dφ = q0

R34π

Z R 0

r2 1 − er/R
dr

Ta tính tích phân bằng phương pháp lấy tích phân từng phần, kết quả cho

Z R 0

Ta tính điện tích ∆q của phân bố điện tích bao quanh điểm có tọa độ ~rbất kỳ, theo công thức tính điện tích của một phân bố khối thì lượng điện tíchtrong thể tích bé ∆V bao quanh điểm có tọa độ ~r

Nghĩa là với một thể tích ∆V đủ bé bao quanh điện tích điểm qi để xem như

là điện tích điểm thì điện tích tương ứng ∆q = qi Còn ngoài điểm ~ri (có điệntích qi), ta luôn có ρ(~r) = 0 Đây là điều ta phải chứng minh

1.1.3 Dòng điện

Dòng điện là dòng của các điện tích chuyển động có hướng Người ta quy ướcchiều của dòng điện là chiều của các điện tích dương chuyển động và do đó làchiều ngược với chiều của các điện tích âm chuyển động Cường độ dòng điệnkhối I đi qua một tiết diện S là số lượng điện tích đi qua S trong một đơn vịthời gian, nghĩa là nếu gọi dq(t) là số lượng điện tích đi qua tiết diện S trongkhoảng thời gian từ thời điểm t đến thời điểm t + dt thì

I = −dqdt(A = C.s−1) (1.7)

- Phân bố dòng điện khối: Để biểu diễn dạng vi phân của dòng điện khốitại một điểm bất kỳ P , người ta định nghĩa vec-tơ mật độ dòng điện khối ~jvới

|~j| = dSdI

n

(A/m2) hay dI = ~j−→

dS = jdS cos α (1.8)trong đó dI là cường độ dòng điện khối đi qua tiết diện vi cấp dSn = dS cos α,

−→

dS = dS~n, ~n là vec-tơ đơn vị thẳng góc với bề mặt vi cấp dS, góc α =~j, −[dS.→Theo đó

I =Z

S

dI =Z

S

~jd~S

§ 1.1 Các đại lượng cơ bản của trường điện từ 7

- Phân bố dòng điện mặt: Tương tự, ta có dòng điện vi cấp dI chảy ngangqua đoạn thẳng d` trên bề mặt bất kỳ S Vectơ mật độ dòng điện mặt ~i đượcđịnh nghĩa là vec-tơ có cường độ

C

~id~` (1.9)

Như vậy mật độ dòng điện khối tại một điểm P là cường độ dòng điện điqua một đơn vị tiết diện tại điểm đó, chiều của mật độ dòng điện là chiều củadòng điện Tương tự, mật độ dòng điện mặt tại một điểm Q bất kỳ trên bềmặt S là cường độ dòng điện đi ngang qua một đơn vị chiều dài tại điểm đótheo phương thẳng góc với chiều dòng điện (xem hình 1.1)

Hình 1.1: (a): Vectơ mật độ dòng điện khối; (b) Vectơ mật độ dòng điện mặt

Ví dụ 1.3: Bề mặt của một ống dây hình trụ dài vô hạn bán kính tiếtdiện R được quấn một lớp gồm các vòng tròn dây đồng thẳng góc với trục ống,dây đồng có bọc cách điện với bán kính tiết diện a  R, với mật độ vòng dây

là n = vòng/m Cho dòng điện I(A) chạy trong dây của ống Xác định vec-tơmật độ dòng điện trên mặt ống dây

Lời giải: Các dòng điện I chạy trong các vòng dây đồng luôn thẳng gócvới các đường sinh của ống dây, do đó vec-tơ mật độ dòng điện mặt trên ốngdây có chiều của các dòng điện I, phương tiếp tuyến của các vòng tròn dâyđiện, và có độ lớn i = nI(A/m) (hình 1.2)

Hình 1.2: Mật độ dòng điện mặt của dòng điện ống dây dài vô hạn

1.2 Các phương trình Maxwell

1.2.1 Phương trình Maxwell 1:

Từ định luật Coulomb trong trường tĩnh điện, kết hợp với nguyên lý chồngchất điện trường, người ta rút ra được định lý Ostrogradski-Gauss (O-G) chotrường tĩnh điện, theo đó, thông lượng của vec-tơ cảm ứng điện ~D đi qua một

r3, ~r 6= 0, α, Q là các hằng số.Tìm mật độ điện tích khối trong trường điện từ ứng với các trường hợptrên

Lời giải: Áp dụng phương trình Maxwell (1.10), ta có

Trường hợp (a): Mật độ điện tích khối

Kết hợp với định lý O-G trong giải tích vec-tơ

từ tích là hoàn toàn đúng đắn và đã được khẳng định bởi thực nghiệm và lýthuyết hiện đại sau này

Ví dụ 1.5: Vectơ cảm ứng từ trường của từ trường dừng tạo bởi dòng điệnkhông đổi I hình trụ bán kính tiết diện R dài vô hạn trong chân không códạng

L

~

E ~dl = −∂Φ∂t

Kết hợp cả hai biểu thức trên, ta có hệ thức

∀S,Z

S

rot ~E−→

dS =Z

S −∂ ~∂tB

!

−→dS

Theo đó rút ra được

rot ~E = −∂ ~∂tB (1.12)Định luật cảm ứng điện từ chỉ được phát hiện bởi M Faraday đối với dâydẫn kín kín đặt trong từ trường biến thiên Còn đối với phương trình vi phânMaxwell 3 (1.12) thì khẳng định rằng tại một điểm bất kỳ trong bất cứ môitrường nào, nếu có từ trường biến thiên theo thời gian thì ở điểm đó có xuấthiện điện trường xoáy (rot ~E 6= 0), không cần phải có dây dẫn kín Điều nàyđược khẳng định hoàn toàn trong trường sóng điện từ tự do

Ví dụ 1.6: Vectơ cường độ điện trường và vec-tơ cảm ứng từ trường củasóng điện từ tự do có dạng

~

E(~r, t) = ~iE0cos(ωt − ~ko~r + α); B(~r, t) = ~k~ E0

c cos(ωt − ~ko~r + α),trong đó c = 1/√0µ0, ~ko = (ω/c)~j; ω, α = const

Chúng ta kiểm chứng xem chúng có thỏa mãn phương trình Maxwell 3(1.12) hay không?

Lời giải: Trước tiên tính

rot ~E =

1.2.4 Phương trình Maxwell 4

Trong mục này chúng ta sẽ dựa vào phương trình liên tục mô tả định luật bảotoàn điện tích để đưa ra khái niệm dòng điện dịch và kết hợp với định luật

Ampère về lưu thông của vec-tơ cường độ từ trường theo một đường cong kíntrong từ trường dừng và khái quát hóa lên cho trường điện từ để rút ra phươngtrình Maxwell 4.

a) Định luật bảo toàn điện tích

Trên cơ sở thực nghiệm, người ta đã rút ra định luật bảo toàn điện tích phátbiểu như sau:

“Sự biến thiên của điện lượng q chứa trong thể tích V bất kỳ trong mộtđơn vị thời gian sẽ sinh ra một dòng điện tích chảy qua bề mặt kín S bao bọcthể tích V với cường độ

Do V bất kỳ, nên phải có

div~j = −∂ρ

∂t ⇒ div~j + ∂ρ

∂t = 0. (1.14)Đây là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay còn gọi là phươngtrình liên tục của điện tích trong trường điện từ

b) Dòng điện dịch

Đối với dòng điện không đổi ∂ρ/∂t = 0, nên phương trình liên tục có dạngdiv~j = 0 Biểu thức này chứng tỏ đường sức của dòng điện không đổi hoặc

§ 1.2 Các phương trình Maxwell 13

khép kín, hoặc xuất phát ở vô cùng và kết thúc ở vô cùng Mật độ dòng điện ~jliên quan đến chuyển động của các điện tích tự do nên ta gọi nó là vec-tơ mật

độ dòng điện dẫn Đối với dòng điện biến thiên theo thời gian, ρ = ρ(~r, t) nên

∂ρ/∂t 6= 0, dòng điện dẫn có đường sức không khép kín mà bắt đầu hoặc kếtthúc ở những nơi có điện tích biến thiên

Kết hợp phương trình liên tục (1.14) với phương trình Maxwell 1 (1.10),lưu ý phép lấy đạo hàm theo thời gian và theo không gian hoàn toàn độc lậpnhau nên không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, ta suy ra

~jt= ~j + ~jd = ~j + ∂ ~D

được gọi là vec-tơ mật độ dòng điện toàn phần

Dòng điện dịch ~jd và dòng điện dẫn ~j có bản chất vật lý hoàn toàn khácnhau, nhưng thực nghiệm cho thấy rằng dòng điện dịch cũng do điện tíchchuyển động nên cũng gây ra một từ trường hoàn toàn giống như từ trườngcủa dòng điện dẫn bằng nó

c) Phương trình Maxwell 4 về định luật dòng toàn phần

Đối với dòng điện không đổi trong điện từ trường dừng, ta có định luật Ampère

về lưu thông của vec-tơ cường độ từ trường: "Lưu thông của vec-tơ cường độ

từ trường theo một đường cong kín L bằng tổng đại số các dòng điện được

bao quanh bởi đường cong đó"

trong đó S là bề mặt tựa trên đường cong kín L

Theo định lý Stokes trong giải tích vec-tơ

rot ~H = ~j + ∂ ~D

Đây là dạng vi phân của định luật dòng toàn phần và cũng chính là phươngtrình Maxwell 4 Phương trình này cho thấy ở đâu có dòng điện dịch chuyểnhoặc điện trường biến thiên thì ở đó có xuất hiện từ trường xoáy (rot ~H 6= 0).Các phương trình Maxwell 3 và Maxwell 4 cho thấy sự quan hệ gắn bó giữađiện trường và từ trường, chúng là hai mặt thể hiện của một dạng vật chất gọi

§ 1.2 Các phương trình Maxwell 15

trong đó các hằng số , µ theo thứ tự là hệ số điện thẩm, hệ số từ thẩm của môitrường Đơn vị của  là (Fara/mét) viết tắt là (F/m) và của µ là Henry/métviết tắt là (H/m)

Trong môi trường không đồng chất và dị hướng thì nói chung ~D với ~E và

Như vậy từ các định luật thực nghiệm về điện từ trường, ta đã rút ra được

hệ phương trình Maxwell cơ bản gồm các phương trình (1.10),(1.11),(1.12) và(1.19)

chúng cho ta thêm 6 phương trình vô hướng độc lập tuyến tính Tổng cộng hệphương trình Maxwell cơ bản (1.10), (1.11), (1.12), (1.19) và hai phương trình(1.20), (1.21) cho ta 12 phương trình vô hướng độc lập tuyến tính tương ứngvới 12 nghiệm phải tìm là 12 thành phần của 4 vec-tơ ~E, ~D, ~H và ~B trên 3trục tọa độ.

Như vậy ta có hệ đủ các phương trình Maxwell gồm các phương trình từ(1.10) đến (1.21) Với các tham số cho trước , µ, ρ,~j, và các điều kiện biêntương ứng (sẽ đề cập đến trong tiết 1.4) ta có thể giải hệ phương trình Maxwell

để xác định các nghiệm ~E, ~D, ~H và ~B một cách đơn giá

Ví dụ 1.7: Xét trường sóng điện từ tự do trong chân không, có mật

độ điện tích khối ρ(~r, t) = 0 và mật độ dòng điện dẫn ~j(~r, t) = 0 Viết hệphương trình Maxwell cho trường sóng này và chứng minh rằng các vec-tơ

~

E(~r, t) = ~E0cos(ωt − ~k~r + α) và ~H(~r, t) = ~H0cos(ωt − ~k~r + α) là nghiệmcủa hệ phương trình Maxwell thì các đại lượng không đổi ~E0, ~H0, ~k, ω và

c = 1/√0µ0 phải thỏa mãn một số điều kiện nhất định

Lời giải: Điều kiện không có điện tích và dòng điện (ρ(~r, t) = 0,~j(~r, t) = 0)làm cho hệ phương trình Maxwell của trường sóng điện từ trong chân không

~k~r + α) là nghiệm của hệ phương trình Maxwell mới này thì:

Phương trình (a) cho

~

E0grad(cos u) = 0, trong đó u ≡ ωt − ~k~r + α

vì ~k = const và ~r là vec-tơ tọa độ nên

grad(~k~r) = ~k × rot~r + ~r × rot~k + (~k∇)~r + (~r∇)~k = ~k,

§ 1.3 Dạng vi phân của định luật Ohm và định luật Joule-Lenz 17

Kết quả này cho ta biết điều kiện đầu tiên là ~E0⊥~k

Tương tự, phương trình (b) cho ta điều kiện thứ hai ~H0~k = 0 hay ~H0⊥~k.Phương trình (c) cho

~

H0× ~k = 0ω ~E0.Hai kết quả cuối này cho ta điều kiện thứ ba là ~H0⊥ ~E0 Như vậy ba vec-tơ

~k, ~E0, ~H0 thẳng góc với nhau từng đôi một và theo thứ tự lập thành một tamdiện thuận Ngoài ra độ lớn của chúng phải thỏa mãn điều kiện thứ tư

Trong trường hợp trường điện từ trong vật dẫn, ta có thêm định luật Ohm

và định luật Joule-Lenz, để khảo sát trường ta phải tìm dạng vi phân của cácđịnh luật này từ dạng tích phân của chúng

1.3.1 Định luật Ohm

Xét đoạn dây dẫn có chiều dài ∆`, tiết diện ∆S có cường độ dòng điệnchạy qua là ∆I (hình 1.3) Hiệu điện thế hai đầu đoạn dây dẫn là ∆ϕ và điệndẫn suất của dây dẫn là σ∗(S/m) (Siemen/mét) Theo định luật Ohm, ta có:

∆ϕ = ∆I∆R = ∆I ∆`

σ∗∆S,

Hình 1.3: Định luật Ohm

trong đó ta đã sử dụng công thức tính điện trở của đoạn dây dẫn ∆R = ∆`

σ∗∆S.Vì

∆ϕ = E∆`; j = I

∆Snên ta có

E∆` = j∆S ∆`

σ∗∆S,suy ra

Dưới đây là điện trở suất và điện dẫn suất của một số vật liệu thường gặptrong thực tế:

§ 1.3 Dạng vi phân của định luật Ohm và định luật Joule-Lenz 19

Vật liệu Điện trở suất Vật liệu Điện trở suất

Mangan 1.44 × 10−6 Thạch anh nóng chảy ∼ 1016

Bảng 1.2: Điện trở suất và điện dẫn suất của một số vật liệu dẫn điện, bándẫn và cách điện ở áp suất 1atm, nhiệt độ 20oC Nguồn tham khảo: Handbook

of Chemistry and Physics, 78th ed (Boca Raton: CRC Press, Inc., 1997)

1.4 Các điều kiện biên

Các đại lượng vô hướng , µ, σ∗, đặc trưng cho tính chất của môi trường vànói chung là hàm của tọa độ Chúng thường bị gián đoạn tại biên giới của haimôi trường khác nhau Do đó, các vec-tơ trường ~E, ~D, ~H, ~B, và mật độ dòngđiện ~j cũng biến thiên gián đoạn theo Các hệ thức mô tả mối liên hệ giữacác vec-tơ trường với các đại lượng vô hướng nói trên tại biên giới của hai môitrường khác nhau gọi là điều kiện biên Các điều kiện biên có thể được rút ra

từ hệ phương trình Maxwell thông qua các định lý Ostrogratski-Gauss (O-G)

và định lý Stokes Vì các định lý này yêu cầu các hàm vec-tơ ~E, ~D, ~H, ~B,~j, phải hữu hạn và biến thiên liên tục trong khi tại biên chúng lại biến thiêngián đoạn, do đó phải giả thiết rằng thay cho mặt biên ta có một vùng mỏngchuyển tiếp, trong đó các đại lượng vô hướng , µ, σ∗, biến thiên rất nhanhnhưng vẫn còn biến thiên liên tục, nghĩa là vẫn áp dụng được các định lý O-G

và Stokes cho các vec-tơ trường Sau khi thực hiện xong các phép biến đổicần thiết, chúng ta cho bề dày lớp mỏng chuyển tiếp tiến đến không và thuđược các điều kiện biên mong muốn Sử dụng điều kiện cho các vec-tơ trường

~

E, ~D, ~H, ~B, , chúng ta sẽ xác định được các nghiệm này khi giải hệ phươngtrình Maxwell

Cho hai môi trường 1 và 2 theo thứ tự có các đại lượng vô hướng đặc trưng chotrường là 1, µ1và 2 6= 1, µ2 6= µ1, các vec-tơ trường tương ứng ~E1, ~D1, ~H1, ~B1,

và ~E2, ~D2, ~H2, ~B2 Hai môi trường có chung một mặt phân cách (P ) Xét mộtmặt trụ kín tròn xoay S với hai đáy S1, S2 theo thứ tự nằm ở hai bên mặtphân cách (hình 1.4) và mặt bên Sb Từ phương trình Maxwell div ~B = 0, lấytích phân theo thể tích hình trụ

S 2

~

B2−dS→

2+Z

S b

~

Bb−dS→

b = 0

§ 1.4 Các điều kiện biên 21

Hình 1.4: Điều kiện biên cho thành phần pháp tuyến của ~B và ~H

Ta chọn V đủ nhỏ sao cho ~B1, ~B2 xem như không đổi đối với mọi điểm trênhai đáy tương ứng Theo đó, biểu thức trên trở thành

~

B1S~1+ ~B2S~2+ BbSb = 0

trong đó Bb là trị trung bình của hình chiếu vec-tơ ~B trên phương pháp tuyếncủa −→dSb lấy trên toàn bộ mặt bên Sb Gọi ~B1n, ~B2n theo thứ tự là thành phầnpháp tuyến của hai vec-tơ ~B1, ~B2, biểu thức trên trở thành

−B1nS1+ B2nS2 + BbSb = 0

Bây giờ, ta cho hai đáy tiến dần đến mặt phân cách và có S1 = S2 = S0, Sb → 0,

Bb hữu hạn, nên dẫn đến kết quả

(B2n− B1n) S0 = 0hay

B2n = B1n (1.24)Mặt khác, ta có B2n = µ2H2n và B1n = µ2H1n nên từ (1.24) rút ra được

1.4.2 Thành phần pháp tuyến của vec-tơ ~D, ~E

Điều kiện biên của thành phần pháp tuyến của ~D, ~E có thể được rút ra từphương trình Maxwell div ~D = ρ Thực vậy, gọi ~Di, i = 1, 2 là thành phần pháptuyến của ~Di và thực hiện như trường hợp trên, chỉ thay ~B bằng ~D và lưu ý

vế phải của phương trình có mật độ điện tích khối ρ, ta có

D2n = D1n (1.27)Như vậy, thành phần pháp tuyến của vec-tơ cảm ứng điện ~D biến thiên giánđoạn khi đi qua mặt phân cách hai môi trường có chứa điện tích mặt (σ 6= 0)

và nó biến thiên liên tục khi mặt phân cách không có điện tích (σ = 0)

Từ hai phương trình (1.26), (1.27), kết hợp với phương trình ~Di = iE~i, i =

1, 2, ta suy ra điều kiện biên cho vec-tơ cường độ điện trường

µ2E2n− µ1E1n = σ, khi σ 6= 0, (1.28)

µ2E2n− µ1E1n = 0, khi σ = 0 (1.29)

Rõ ràng thành phần pháp tuyến của vec-tơ cường độ điện trường ~E luônbiến thiên gián đoạn khi đi qua mặt phân cách hai môi trường điện môi khácnhau (1 6= 2)

§ 1.4 Các điều kiện biên 23

1.4.3 Thành phần tiếp tuyến của vec-tơ ~E, ~D

Điều kiện biên của thành phần tiếp tuyến của ~E, ~D có thể được rút ra từphương trình Maxwell rot ~E = −(∂ ~B)/(∂t)

Hình 1.5: Điều kiện biên cho thành phần tiếp tuyến của vec-tơ ~E, ~D.Thực vậy, gọi ~Eit, i = 1, 2 là thành phần tiếp tuyến của ~Ei Xét hìnhchữ nhật ABCD nằm trong mặt phẳng chứa ~Ei và trực giao với mặt phâncách tại điểm quan sát (hình 1.5) Hình chữ nhật và mặt phân cách cắt nhautheo đoạn thẳng IJ = `o, hai cạnh AB và CD song song và bằng IJ Xét tíchphân lấy theo mặt S của hình chữ nhật

Z

S

rot ~E −→

Vế trái theo định lý Stokes trong giải tích vec-tơ

~

E ~dltrong đó ta có thể xem các tích phân

Z C B

Z B A

~

E1d`~1 = ~E1~`1 = −E1t`1,

Z D C

∂ ~B

∂t

+S,trong đóD

∂ ~∂tB

...

Như độ dẫn điện hai từ mơi khác thành phần tiếp tuyếncủa vec-tơ mật độ dòng điện biến thiên gián đoạn qua mặt phân cách haimơi trường

Cịn thành phần pháp tuyến vec-tơ mật độ dòng điện, ta... Định luật bảo tồn lượng trường điện từ

Để so sánh hệ hệ phương trình Maxwell với thực nghiệm, ta cần biếtbiểu thức lượng trường điện từ lượng trường điện từđược bảo tồn

Nhân...

∗ S

Như vậy, thành phần pháp tuyến vec-tơ mật độ dòng điện giánđoạn mặt biên hai vật dẫn có mật độ điện tích mặt biến thiêntheo thời gian

Điều kiện biên (1.36) viết