Bài tập Điện động lực học vi mô

Trang 1

Div rot A

= 0

Bài giải: Ta có: Grad u  = iu x ju y k u z

Rot

A



Div A= + +

1 Rot grad u =

= i y



j

z





+ k

x



= i y z2.u z y2.u  j z x2.u x z2.u  k x y2.u y x2.u 

= 0

2 Div rot A

= x A y z A z y  y A z x A x z z A x y A y x

=

= 0

Đề 2 Tính div I R

 



 

=? Trong đó I là vector không đổi, R là bán kính vector

Bài giải:

Trang 2

Ta có: I iI  x jI y kI z và R xi y j zk     

 



 

= i I z I y y  z  j I z I x x  z  k I y I x x  y 

0

           



 

Đề 3 Tính div I R M  . 



 

   

, Trong đó I va M 

 là vector không đổi, R là bán kính vector

Bài giải:

Ta có: M iM x  jM y kM z

và R xi y j zk  

M R

   

  







   



Trang 3

2 2

IM





   

Đề 4 Tính: rot U R  R  va rot I R 

 

 Trong đó: I  là vector không đổi và  R là bán kính vector.

Bài giải: a/ Ta có:

 

    

 

    

 

    

 











 

 1











Trang 4

 2





 Từ (1) và (2), ta được: rot U R   R   0

b/ Ta có:

I iI  x jI y kI z

và R xi y j zk     

 



2

I z I y I z I x I y I x



 







 kI z 2I

Đề 5 Tính:

3

PR grad R

 

Trong đó: P là vector không đổi R là bán kính vector

Bài giải: Ta có:

3 2 2 2 2







 

Trang 5

,

3

PR

 

3

6 3

6

2 3 2 2 3 2 2

i

R

j

R

k

R













 

3 1

3

PR xi y j zk

PR P

R

    





Đề 6: Tính thông lượng của bán

kính vector R qua một mặt trụ có

bán kính a và chiều cao h,

đặt như hình vẽ ( Tính bằng công

thức O – G và bằng phương pháp

trực tiếp)

Bài giải:

a/ Tính bằng định lí O – G:

Định lí O – G:



R xi y j zk div R



Trang 6

2

    



 

1

Rd S  Rd S  Rd S  Rd S



3 3

cos cos 0

S



















 



a Tính trực tiếp:

 

2

1

2

0

S

h

R

h

R











Từ (1) và (2), ta được: 3 2

S

Rd S  a h



 



Đề 7 Hai vòng tròn mảng, bán kính

cùng bằng R, tích điện đều và xếp đặt

như hình vẽ Điện tích vành ngoài O1

là e điện tích vành ngoài1 O là 2 e 2

Công cần thiết để đưa điện tích e từ vô

cực đến O và 1 O lần lượt là 2 A và1

2

A Tính các điện tích e và 1 e2

Bài giải:

- Xét vành O :1

Trang 7

Thế vô hướng tại O gây bởi 2 vành điện tích 1 e và 1 e với khoảng cách R và2

2 2

R a :

Theo nguyên lý chồng chất điện trường ta có:

- Thế vông hướng tại O1 do e và 1 e gây ra là:2

1 4





Với  0 O1 1  1 là hiệu điện thế tại O1

Điện thế 1 bằng công dịch chuyển 1 điện tích dương từ   O1

 

1

1 4



- Tương tự đối với vành O : 2

 

1

2 4



Từ (1) và (2), ta được:

4 4

ea



Đề 8 Dùng định lý O – G để tính điện trường ở trong và ngoài một quả cầu

bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích mặt  =const Hằng số điện

môi ở trong và ngoài quả cầu đều bằng 

1 11 2

2

1 4

1

4

e R

Edl

e r

















 

Trang 8

Bài giải:

- Theo định lý O – G ta có: divD divE





 





- Xét trong hệ tọa độ cầu, do điện tích trong quả cầu phân bố đều: E E r  

2 3 2

1

3

r









- Xét những điện tích ngoài quả cầu:

S

Dd S e



 



Do D cùng phương với vector pháp tuyến của mặt cầu, ta có:

3 3

4 4

3

S

N

R

r











 

Đề 9 Tính điện dung của một tụ điện

có chiều dài bằng d và khoảng cách

giữa hai bản chứa hai điện môi khác

nhau

Bài giải:

- Theo định lý O – G ta có:

Dd S q  Dd S  Dd S  Dd S



Vì               D r               

, nên:

0

Dd S  Dd S 

Trang 9

3

.2

S





 

 

Mặt khác, ta có: E  grad  ln 1

2

q

r C d





Với

1 1 1

1

1 1

ln 2

R

a

q

a C d













 

1 1 1

2 1

2

ln 2

R

a R a

q

a C d













 

Vậy hiệu điện thế giữa hai bản tụ là:

2

1 2

1 1 2

2

R

Điện dung của tụ là:

2

1 1 2

2

C

R a





Trang 10

Đề 10 Một hình cầu bán kính R, tích

điện đều trên bề mặt ngoài với mật độ

bằng  và quay quanh trục của nó

với vận tốc  Tính cảm ứng từ bên

trong hình cầu?

Bài giải:

Ta có:

Theo định lý O – G : n dS dV

V

S      



  2

r V r r





Từ (1) và (2), ta được:

4

3

R



 



 

.

dS



 





 

Trang 11

 

2

3







Đề 11.Một mạch dao động gồm cuộn tự cảm L và một tụ điện phẳng có điện

tích mỗi bản bằng S, môi trường giữa các bản có độ dày bằng d và hằng số điện

môi  Tính chu kỳ dao động của mạch , cho biết L = 0.1 H; S = 500 cm2, d =

1 mm,   2 0, R=0

Bài giải:

- Cường độ điện trường do mỗi bản gây ra: E 





Ta có: E = -grad d

dx



Điện dụng của tụ C sẽ là:

C

d d







Vì dòng điện chạy trong L, C, có R=0, coi không có thể điện động ngoại lai :

 n 0

Ta có:

Trong đó: Tần số dòng:

2

2 2

2

0

d I





Trang 12

2

f

s

d





Thay số, ta được:

2

5 0

10 4 9.10

s

d







Đề 12 Chứng minh rằng với các sóng phẳng đơn sắc, nếu thế vector  A

thỏa mãn phương trình               A A                0.exp i kr                                t 

thì các vector điện trường và từ

trường thỏa mãn các hệ thức:

.



Bài giải:

- Ta có:    B rot A                          

, Trong đó:

0

.exp exp exp





- Ta được:

Trang 13

x z

B rot A

B ik A

- Vậy phương trình Macxell dạng:

.

A

t

i A









Đề 13: Tính điện dung của một tụ điện hình cầu có bán kính các bản là:

1, 2

R R , khoảng cách giữa hai bản chứa hai điện môi khác nhau.

Bài giải:

- Điện trường bên ngoài quả cầu bán kính R, tích điện đều với mật độ điện

tích  , hệ số điện môi  là:

1 3

e r E











- Hiệu điện thế giữa hai bản tụ:

Trang 14

2

1 2

1

1 2

2 1

1

4

R

R R

R

R R

e U





- Điện dung của tụ cầu:

1 2

2 1

4

R R







Đề 14 Hai tụ điện có điện dung bằngC C ; điện tích bằng 1, 2 e e , được mắc 1, 2

song song với nhau Tính và giải thích sự biến đổi điện tích tĩnh điện của

chúng?

Bài giải:

- Năng lượng các tụ khi chưa đấu nối với nhau:

1 2

2

W

2

W







- Năng lượng các tụ khi được đấu nối song song với nhau:

2

W



- Sự biến đổi năng lượng tĩnh điện:

Trang 15

2

1 1 2 2

1 2 1 2

1

0 2



- Vậy năng lượng của hai tụ giảm

Đề 15 Một vật dẫn hình trụ dài vô tận, có một lỗ rỗng hình trụ dài vô tận

Trong phần đặc của vật có dòng điện mật độ là j Tính từ trường trong phần

rỗng? Bài giải:

Từ trường trong phần rỗng là sự chồng chập của hai từ trường:

 Từ trường do hình trụ lớn gây ra

 Từ trường do phần trụ rỗng gây ra

Xét điển M bất kì lắm trong lỗ rỗng

- Từ trường do hình trụ lớn gây ra tại M:

- 1 Áp dụng công thức dòng toàn phần dưới tích phân do dòng điện không

đổi:

- Theo công thức Bioxava:

4

j r I

r



 

 

 

1

2

C

jR

 



Trang 16

Do: H 1               j r,

Ta được: 1 1

2

H   j r

 

- Từ trường do hình trụ rỗng gây ra: Với mật độ j thì cảm ứng từ tại M do

phần rỗng O gây ra với O M 1  r

:

' 2

1 2

H   j r 



=> Vậy từ trường tổng hợp tại M là:

 

1 2

1

2 1

2

 

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	693,5 KB