Lọc số

Đinh Đức Anh Vũ THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ... Giới thiệu§ Phương pháp thiết kế bộ lọc tần số hoặc IIR sẽ ñược chọn • FIR § Được dùng khi có yêu cầu ñáp ứng pha tuyến tính tron

Faculty of Computer Science and Engineering

HCMC University of Technology

268, av Ly Thuong Kiet,

District 10, HoChiMinh city

Telephone : (08) 864-7256 (ext 5843)

Fax : (08) 864-5137

Email : anhvu@hcmut.edu.vn

http://www.cse.hcmut.edu.vn/~anhvu

Chương 8

BK

TP.HCM

T.S Đinh Đức Anh Vũ

THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ

THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ

Nội dung

§ B l c lý t ng

§ Bộ lọc th c tế

• Bộ lọc tuyến tính pha

§ Phương pháp cửa sổ

§ Phương pháp mẫu tần số

• Bộ lọc tuyến tính pha tối ưu

• Bộ biến ñổi Hilbert

• So sánh các phương pháp thiết kế

• Phương pháp xấp xỉ ñạo hàm

• Phương pháp bất biến xung

Giới thiệu

§ Phương pháp thiết kế bộ lọc tần số

hoặc IIR sẽ ñược chọn

• FIR

§ Được dùng khi có yêu cầu ñáp ứng pha tuyến tính trong passband

§ Nhiều thông số hơn IIR → Độ phức tạp tính toán cao

• IIR

§ Có các thuỳ biên ở dải stopband thấp hơn bộ lọc FIR có cùng số tham số → ñược dùng nhiều hơn so với FIR (khi ñộ méo pha trong passband có thể chấp nhận ñược)

§ Độ phức tạp tính toán không cao và tiêu tốn ít bộ nhớ

Tính nhân quả







≤

<

≤

=

π

c

c

H ( )









≠

=

= )

(

)

n

n n

h

n

n

c

c c

c

π π

ω

H(ω) 1

ωc

ωc

Bộ lọc không nhân quả

→ không hiện thực ñược

ω = π/4

Đ đ bộ lọc nhân quả

ª H(ω) chỉ được phép ại một tập hữu hạn các tần số

ª |H(ω)| khơng được là hằng số cho một khoảng tần

• Việc chuyển từ passband sang stopband khơng được thẳng gĩc

ª HR(ω) và HI(ω) phụ thuộc nhau → Phổ biên độ và phổ pha khơng thể chọn độc lập được

∞

<

∫

π

π

d

H ( ) ln

h(n) cĩ năng lượng hữu hạn

h(n) ∀n

∫

∫

∞

<

∞

<

π

π

π

π

d H

d H

2 ) (

) ( ln

quả nhân

n

h

e H

H

: ) (

) ( )

( ),

Θ

) ( )

( )

( n h n h n

[ ( ) ( ) ]

) (

) (

) ( )

(

2 1 2 1

n h

n h n

h

n h

n h n

h

o

e

=

+

=

1 )

( ) 0 ( )

( ) ( 2 )

(

0 )

( ) 0 ( )

( ) ( 2 )

(

≥ +

=

≥

=

n n

h n

u n h n

h

n n

h n

u n h n

h

o

e e

δ δ

h(n) nhân qu

) ( )

( )

) ( )

( )

( n h n h n

F F

∫

=

π

BĐ Hilbert rời rạc

1 )

( )

( n = h n n ≥

h(n) ñược mô tả bởi he(n)

H(ω) ñược mô tả bởi HR(ω) H(ω) ñược mô tả bởi HI(ω) và h(

h(n thực

Bộ lọc t n s trong thực t

Bộ lọc tần số trong thực tế

§ LTI

§ Đặc trưng

|H(ω)|

ω

1+δ1

1-δ1

δ2

assband ripple

Transition Band

StopBand

δ1: Passband ripple

δ2: Stopband ripple

ωp: Passband edge ripple

ωs: Stopand edge ripple

∑

∑

=

=

+

k

k N

k

a n

y

0 1

) (

) (

)

(

∑

∑

=

=

+

k

k j k

M

k

k j k

e a

e b H

1

0

1 )

(

Thiết kế bộ lọc FI

Tính ñối xứng & phản ñối xứng

Thiết kế bộ lọc FI

Tính ñối xứng & phản ñối xứng

ª H(ω) có pha Ө(ω) là hàm tuyến tính

ª Đ k: h(n) = ± h(M–1–n)

n = , 1, …, M-1

∑

-=

= 1

0

) (

) ( )

(

M k

k n

x k h n

y

∑

=

= 1

0

) (

) (

M

k

b n

y

=

= 1

0

) ( )

(

M

k

k

z k h z

H

) ( )

( 1

) 1 (

z H z

H

• Thay z bởi z-1

• Nhân 2 vế với z-(M-1)

• h(n) = ± h(M–1–n)

z1

z1*

1/z1*

1/z

1

là nghiệm (ho c zero của H(z) thì 1/z1 c ng là nghiệm

• Để h(n) thực thì z1 * c ng là nghiệm

và 1/ z1 * c ng là nghiệm

Thi t kế b lọc FIR –

Tính ñối x ng & ph n ñối xứng

Thiết kế b lọc FIR –

Tính ñối xứng & phản ñối xứng

§ Hàm h

§ Đáp ứng xung ñơn vị ñối xứng h(n) = h(M – 1 – n)















±

















±

+

=

+ +

+

=

∑

∑

=

=

chaün M

z z

n h z

leû M z

z n h h

z

z M

h z

h h

z H

M

n M n

M M

M

n M n

M M

n

n M

M

1

0

0 2

1

) 1 ( 1

2

2 ) 2 1 ( 2

) 2 1 ( 2

) 1 (

2 3

2 ) 2 1 ( 2

) 2 1 ( 2

) 1 (

) (

) ( )

(

) 1 (

) 1 ( )

0 ( )

(















+

=

∑

∑

=

=

chaün M

n h

leû M n

h h

M

n

n M

n

n M

M

r 1

0

2

2 1

0

2

2 1 2

1

2

2 3

) (

cos )

( 2

) (

cos ) ( 2

) (

) (







<

+

>

=

Θ

0 )

( )

(

0 )

( )

( )

(

2 1 2 1

M

r M

H H

2 ) 1 (

) ( )

(



H H

Biên ñộ thực

§ Đáp ứng xung ñơn vị phản ñối xứng h(n) = –h(M–1–n)

ª Khi M lẻ h[(M–1) ] =

§ Đối xứng hay phản ñối xứng ?

Thiết kế bộ lọc FIR –

Tính ñối xứng & phản ñối xứng

Thiết kế bộ lọc FIR –

Tính ñối xứng & phản ñối xứng















=

∑

∑



=





=







chaün M

n h

leû M n

h

M

n

n M

n

n M

0

2 2 1

0

2 2 1

2

2 3

) (

sin ) ( 2

) (

sin ) ( 2

) (







<

>

=

Θ





0 )

( )

(

0 )

( )

( )

(

2

1 2

3

2

1 2

π π

r M

r M

H H

] [ ( 21) 2 )

( )



r e H

H

h(n) = –h(M–1–n)

M lẻ

Hr =

Hr(π) =

Không thích h p cho các bộ lọc thông th p

và thông cao

Biên ñộ thực

§ Giả s

ª Hd(ω): hàm ñáp ứng tần số mong muốn

ª hd(n): hàm ñáp ứng xung ñơn vị mong muốn

• hd(n) có chiều dài vô hạn

• Để chiều dài hd(n) hữu hạn, cắt hd(n) tại ñiểm n = M-1

§ Nhân hd(n) với hàm cửa sổ w(n)

§ Cửa sổ hình chữ nhật

§ Đáp ứng xung mẫu của bộ lọc

ª Với Hd(ω) cho trước, thì W(ω) có tác dụng làm trơn Hd(ω)

ª Một W(ω) tốt khi

• Có thuỳ chính phải rộng, cao hơn nhiều so với thuỳ phụ

• w(n) không nên giảm xuống 0 tại hai bên cạnh

Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –

ương pháp c a sổ

Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –

ương pháp c a sổ

∑∞

=



=

0

) ( )

(

n

n j d

d h n e H





=

otherwise

M

n n

w

0

1 , ,

1 , 0

1 )

(





=

=

otherwise

M n

n h

n w n h n

h

d d

0

1 , ,

1 , 0 )

(

) ( ) ( )

(

π π

n

) ( 21

∫

=

π

π

H ( ) 21 d ( ) ( )

Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –

ương pháp c a sổ

Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –

ương pháp c a sổ

Nhận xét:

Thuỳ chính hẹp hơn khi M tăng

Các thuỳ phụ tương ñối lớn so với

thuỳ chính và không thay ñổi khi M tăng

Chiều cao thuỳ phụ tăng khi M tăng

) 2 / sin(

) 2 / sin(

1

1 )

(

2 / ) 1 (

1

0

M e

e

e e

W

M j

j

M j M

n

n j

=

=

=

= ∑







<

≥

= Θ

≤

≤

=

0 )

sin(

) (

0 )

sin(

)

( )

(

) sin(

)

sin(

) (

2 2

1

2 2

1 2 2

M M

M M

M

W

π

π π

Độ rộng của thùy chính: 4π M

[ñược ño bởi ñiểm zero ñầu tiên của W(ω)]

Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –

l y m u t n số

Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –

l y mẫu tần số

§ Hd(ω) ñược ñịnh nghĩa tại M ñiểm tần số cách ñều

2 1

2

2

1 2

| 0

1 ,

, 1 , 0

, , 1 , 0 )

(

=

=

= +

chaün M

k

leû M k

k

M

M M

k

Κ Κ

∑

=

= 1

0

) ( )

(

M

n

n j d

d h n e H

1 ,

, 1 , 0 )

( )

(

1 ,

, 1 , 0 )

( )

(

)]

( [ )

(

1

0

/ ) ( 2 1

1

0

/ ) ( 2 2

= +

=

=

= +

+

≡ +

∑

∑



=

+



=

+



M n

e k

H n

h

M k

e n h k

H

k H

k H

M k

M n k j d

M d

M n

M n k j d

d

M d d

Κ

Κ

π

π π

α= , 2 công th c

này chính là công thức

DFT và IDFT

) (

) ( k + = H* M k

Chuỗi h(n) thực

Chỉ cần ñịnh nghĩa Hd(ω) t i (M+1)/2 ñiểm khi M l

hoặc t i M/2 ñiểm khi M ch n

Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –

l y mẫu tần số

Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –

l y mẫu tần số

§ M u t n s

§ Định nghĩa các mẫu tần số thực G(k m)

§ Tùy theo giá trị α ( ½) và β ( ), H(k) và h(n) sẽ cĩ cơng thức đơn giản

ª Ví dụ khi α = 0 và β = 0

M r

H ( + ) = 2 π ( + ) / 2 2 π ( + )( 1 ) / 2







=

=

xứng đối

phản n

h

xứng đối

n h

)}

( { 1

)}

( { 0

) 1 ( ) ( k + = H 2π k +

j jk

) (

)

Với

(

) (

)

(

) 1 ( )

(

1 ,

, 1 , 0 )

( )

(

2 /

k M G k

G

H k

G

M k

e k G k

H

M

k r k

M k j

=

=

=

=

π







=













+ +

=



=

∑

chẵn M

khi

lẻ M

khi U

với

n k

G

G M

n h

M M

U k

M k

1

) (

cos )

( 2

) 0 (

1 )

(

2 1

1

2 1

2π

Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –

ương pháp tối ưu

Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –

ương pháp tối ưu

ª Tối ưu: sai số xấp xỉ giữa ñáp ứng t s mong

muốn và thực tế phân bố ñều trên passband và stopband ⇒ tối thiểu hóa các sai số cực ñại

ª Bộ lọc có gợn sóng trong cả passband và

stopband

§ Trường hợp 1 : ñáp ứng xung ñơn vị ñối xứng và M lẻ

Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –

ương pháp tối ưu

Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –

ương pháp tối ưu

∑

=

+

= ( 3 ) / 2

0

2

1 2

( )

(

M

n

M

M

H

∑

=

= ( 1 ) / 2

0

cos )

( )

(

M

k

H







=

=

=

2

1 2

1 2 1

, , 2 , 1 )

( 2

0 )

( )

(

M M

M

k k

h

k

h k

Κ

k -1)/2 – n

Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –

ương pháp tối ưu

Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –

ương pháp tối ưu

∑

=



= /2 1

0

2

1 ) (

cos )

( 2

) (

M n

M

H

∑

=

= / 2

1

2

1 ) (

cos )

( )

(

M

k

H

2

( 2 )

k /2 – n

∑

=

= / 2 1

0

cos )

(

M

k

H

) ( 2 )

1 (

2 ,

, 2 , 1 )

( 2 )

1 (

)

(

) 1 ( )

0

(

2 2

2

2 1

M M

M

b b

k k

b k

b k

b

b b

=

=

= +

=

Κ

§ Trường hợp 2 : ñáp ứng xung ñơn vị ñối xứng và M chẵn

Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –

ương pháp tối ưu

Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –

ương pháp tối ưu

∑

=



=

2 / ) 3 (

0

2

1 ) (

sin ) ( 2

) (

M n

M

H

∑

=

=

2 / ) 1 (

1

sin ) ( )

(

M k

r c k k H

2

1 2

1 ) 1 , 2 , , (

2 )

( k = h M k k = M

k -1)/2 – n

∑

=

=

2 / ) 3 (

0

cos )

( sin

) (

M k

H

) 1 ( )

2 ( )

0 (

2 )

( 2 )

1 (

) 1 (

) (

2 )

(

) (

) (

1

2 5

2

3 2

5

2

1 2

3

c c

c

k k

c k

c k

c

c c

c c

M

M M

M M

= +

≤

≤

= +

=

=











Μ Μ

Μ

§ Trường hợp 3 : ñáp ứng xung ñơn vị phản ñối xứng và M lẻ

§ Trường hợp 4 : ñáp ứng xung ñơn vị phản ñối xứng và M

chẵn

Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –

ương pháp tối ưu

Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –

ương pháp tối ưu

∑

=

= / 2 1

0

2

( sin ) ( 2

) (

M

n

M

H

∑

=

= / 2

1

2

1 ) (

sin ) ( )

(

M

k

H

2

( 2 )

k /2 – n

∑

=

= / 2 1

0

sin )

(

M

k

H

) 1 ( )

1 ( )

0

(

1 2

) ( 2 ) ( )

1 (

) ( 2 ) 1 (

2 1

2

2 2

d d

d

k k

d k

d k

d

d d

M

M M

=

≤

≤

=

=

Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –

ương pháp tối ưu

Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –

ương pháp tối ưu















=

4 sin

3 sin

2 cos

1 1

) (

2

2

hợp trường

hợp trường

hợp trường

hợp trường

Q

∑

=

= L

k

k k

P

0

cos )

( )

(















=

4 1

2 /

3 2

/ ) 3 (

2 1

2 /

1 2

/ ) 1 (

hợp trường

M

hợp trường

M

hợp trường

M

hợp trường

M

L