Tổng hợp các bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn (IIR) - Phần 1

6.3 Thiết Kế Bộ Lọc IIR Bằng Phương Pháp Biến Đổi Từ Bộ Lọc Tương Tự Thiết kế bộ lọc đơn giản nhất là xuất phát từ bộ lọc tương tự rồi từ đó dùng các phép biến đổi xác định các hệ số lọc

CHƯƠNG VI

TỔNG HỢP CÁC BỘ LỌC SỐ CÓ ĐÁP ỨNG XUNG CHIỀU

DÀI VÔ HẠN ( I I R)

6.1 Mở Đầu

Bộ lọc số có độ dài đáp ứng xung vô hạn (IIR = Infinitive Impulse Response) có phương trình sai phân được viết dưới dạng :

∑

=

N

0 k k

a y(n – k) = ∑

=

M

0 r r

Đây là một phương trình đệ quy bởi vì ta có thể rút ra được :

y(n) =

o a

1











M

0 r

N

1

k k

rx(n ) a y(n k) b

Tín hiệu đầu ra không những phụ thuộc các tín hiệu đầu vào x(n) mà còn phụ thuộc các mẫu tín hiệu ra trước đó : y(n – 1), y(n -2) Vì vậy lọc IIR còn gọi là lọc đệ quy và lọc FIR còn gọi là lọc không đệ quy Thực hiện biến đổi Z phương trình (6.1), ta có hàm tryền đạt H(z) :

H(z) =

) z ( X

) z (

Y =

∑

∑

=

−

=

−

+ N 1 k

k k

M

0 r

r r

z a 1

z b

(ta chuẩn hoá ao = 1)

Trong chương này ta sẽ nghiên cứu các phương pháp tổng hợp bộ lọc số, tức là tìm

ra các hệ số của bộ lọc số IIR sao cho thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc

6.2 Các Tính Chất Tổng Quát Của Bộ Lọc

Để thực hiện được về mặt vật lý, bộ lọc số phải có tính chất ổn định và nhân quả, nghĩa là ta có điều kiện sau đây :

h(n) = 0 với n < 0

=0 n ) n (

h < ∞

Hàm truyền đạt H(z) có dạng tổng quát H(z) =

∑

∑

=

−

=

− N

0 k

k k

M

0 r

r r

z a z b

Đáp ứng tần số H(ejω) chính là H(z) khi z = ejω Nếu ak và br là các số thực thì

ta có thể viết :

2

j ) e (

H ω = H(ejω).[ j ]*

) e (

H ω = H(ejω).H(e-jω)

mà H(ejω) =

∑

∑

=

−

=

− N

0 k

jk k

M

0 r

jr r

e a

e b

ω

ω

=

∑

∑

=

−

=

− N

0 k

jk k

M

0 k

jk k

e a

e b

ω ω

ta thấy ngay :

• H ( e jω)2=

















































∑

∑

∑

∑

=

=

−

=

=

− N

0 k

jk k N

0 k

jk k

M

0 k

jk k M

0 k

jk k

e a e

a

e b e

b

ω ω

ω ω

=

∑

∑

=

= N

0

M

0 i i

i cos A

i cos B

ω ω

Trong đó các hệ số Bi , Ai được xác định như sau :

B0 = ∑

=

M

0 k

2 k

b , Bi = 2 ∑−

i M

0

k k i k b

A0 = ∑

=

N

0 k

2 k

i N

0 k

k i

ka

Cần lưu ý là để thỏa mãn điều kiện ổn định, các điểm cực của H(z) phải nằm bên trong vòng tròn đơn vị Đối với bộ lọc IIR cần thiết kế và thực hiện riêng rẽ đặc tuyến biên độ và đặc tuyến pha

• Góc pha của H(ejω) là ϕ(ω), ta có :

H(ejω) = H(ej ω) ejϕ(ω)

H*(ejω) = H(e-jω) = H(ej ω) e−jϕ(ω)

Suy ra ej2ϕ(ω) =

) e ( H

) e ( H

j

j

ω

ω

−











− ) e ( H

) e ( H

j

j

ω ω

ϕ(ω) =

j 2











− ) e ( H

) e ( H

j

j

ω ω

• Thời gian truyền nhóm T(ω) được định nghĩa như sau :

T(ω) =

ω

ω ϕ d

) ( d

j 2

1 ω d











− ) e ( H

) e ( H

j

j

ω

ω

= - j 2

1 jejω

) e ( d

d











− ) e ( H

) e ( H

j

j

ω ω

= - 2













) e ( d

) e ( H ln d ) e ( d

) e ( H ln d

j

j j

j

ω

ω ω

ω

= - 2

1 ejω









) e ( H

) e ( ' H e

1 ) e ( H

) e ( ' H

j

j 2

j j

j

ω

ω ω

ω ω

) e ( d

) e ( dH

j

j

ω ω

H’(e-jω) =

) e ( d

) e ( dH

j

j

ω

ω

−

−

2

1













) e ( H

) e ( ' H e e ) e ( H

) e ( ' H

j

j j

j j

j

ω

ω ω

ω ω ω

= –

2

1



























 +

* j j

j j

j

j

e ) e ( H

) e ( ' H e

) e ( H

) e ( '

ω

ω ω

ω ω









ω

ω

j j

j

e ) e ( H

) e ( '

ω j

e Z

dz

) z ( H ln d Z

=









Vì đặc tuyến pha của bộ lọc IIR không tuyến tính, nên thời gian truyền nhóm được dùng để đặc trưng cho sự phụ thuộc vào tần số của hàm truyền tốt hơn là dùng pha

6.3 Thiết Kế Bộ Lọc IIR Bằng Phương Pháp Biến Đổi Từ Bộ Lọc Tương Tự

Thiết kế bộ lọc đơn giản nhất là xuất phát từ bộ lọc tương tự rồi từ đó dùng các phép biến đổi xác định các hệ số lọc của bộ lọc IIR Một mạch lọc tương tự có thể biểu diễn bởi hàm truyền đạt :

• Ha(s) =

) s ( A

) s (

B =

∑

∑

=

= N

0 k

k k

M

0 k

k k

s

s α

β

với {αk} và {βk} là các hệ số của mạch lọc

• Hoặc có thể biểu diễn bởi đáp ứng xung được tính từ hàm truyền đạt bằng biến đổi Laplace :

• Cũng có thể biểu diễn bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng :

∑

=

N

0 k k

α k k dt

) t ( y

d = ∑

=

M

0 k k

β k k dt

) t ( x

Với x(t) là tín hiệu tác động ngõ vào, và y(t) là ngõ ra của mạch lọc Ba phương trình trên cho ta 3 cách chuyển đổi 1 mạch lọc tương tự thành 1 mạch lọc số

• Công cụ toán học dùng để khảo sát tính chất mạch lọc tương tự là phép biến đổi Laplace :

ha(t) → Ha(s) = ∫−∞∞ ha( t )e-stdt (6.4)

• Công cụ toán học

dùng để khảo sát tính chất

mạch lọc số là phép biến đổi Z :

h(n) → H(z) = ∑∞

−∞

= n

) n (

h z-n

• Mạch lọc tương tự với hàm truyền

đạt H(s) là ổn định nếu tất cả các điểm

cực của nó nằm bên trái mặt phẳng S Vì

vậy ta cần lưu ý những đặc điểm sau :

→ Trục jωa trong mặt phẳng S có ánh xạ

là vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z Vì

vậy có thể thiết lập quan hệ trực tiếp giữa 2 biến tần số trên 2 miền

→ Mặt phẳng trái của mặt phẳng S có ánh xạ là miền nằm trong vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng Z Vì vậy mạch lọc tương tự ổn định sẽ được chuyển đổi thành mạch lọc số ổn định

6.3.1 Thiết Kế Bằng Phương Pháp Bất Biến Xung

Phương pháp này dựa trên quan hệ của đáp ứng xung hA(t) của lọc tương tự và dãy h(n) rời rạc được xác định bởi lấy mẫu hA(t) :

h(n) = hA(nT) Có nghĩa là dãy đáp ứng xung của bộ lọc rời rạc được nhận từ việc lấy mẫu đáp ứng xung của bộ lọc tương tự, T là chu kỳ lấy mẫu

Theo trên ta có : h(n) = hA(nT) = ∑∞

−∞

= n

hA(t)δ (t – nT)

0

jωa

σ

σ > 0

σ < 0

Mặt phẳng S trong biến đổi Laplace

Hình 6.1

0

1

1 –1

–1

Vòng tròn đơn vị Re(Z)

Mặt phẳng Z trong biến đổi Z

Hình 6.2

Im(Z)

Với hàm hA(t) ta có ảnh Laplace là HA(s) , δ (t – nT) là hàm xung Dirac.

Với hàm h(n) ta có ảnh Z là H(z) và biến đổi Fourrier là H(ejω)

h(n) = ∑∞

−∞

= n

hA(t)δ (t – nT) = hA(t) ∑∞

−∞

= n

δ(t – nT) Trong miền thời gian liên tục, gọi :

– Biến đổi Fourier của hA(t) là Ha(ωa)

– Biến đổi Fourier của ∑∞

−∞

= n

δ(t – nT) là T

1

∑∞

−∞

= n

δ(ωa

-T

2

n π )

Như vậy gọi biến đổi Fourier của h(n) là

H(ejω), ta có :

H(ejω) = Ha(ωa)* 









−∞

= n

T

2 n ( T

T

1

∑∞

−∞

= n

Ha(ωa) *δ(ωa

-T

2

n π )

Mà Ha(ωa) *δ(ωa

-T

2

n π )

=

T

n 2

δ Ω−

∫−∞∞ ).Ha(ωa - Ω)dΩ

= Ha(ωa

-T

2

n π )

Vậy H(ejω) =

T

1

∑∞

−∞

= n

Ha(ωa

-T

2

Về mối quan hệ giữa 2 tần số ωvà ωa ta nhận xét :

→ Đối với tín hiệu số : x(n) = Acosnω thì n được hiểu là số nguyên không đơn vị nên ωphải có đơn vị góc là radian, ω gọi là tần số số

→ Đối với tín hiệu tương tự : x(t) = Acosωat, trong đó ωa là tần số góc ( )rad , khis

lấy mẫu đều ở các thời điểm t = nT (với T là chu kỳ lấy mẫu) thì ta được tín hiệu số:

x(n) = AcosnωaT Vậy đối chiếu với tín hiệu số :

x(n) = Acosnω

Ta có quan hệ: ω = ωaT

Trở lại kết quả trên ta có các đồ thị sau :

hA(t)

-T

∑δt −nT

t h(n)

-1

Hình 6.3

• Để tránh hiện tượng chồng phổ ta phải có điều kiện :

ωa max ≤

T

2π - ωa max

ωa max ≤

T

π ⇒ Ha(ωa) = 0 khi ωa ≥

T π

• Lúc đó đối với đáp ứng tần số H(ejω) của bộ lọc rời rạc, ta có thể viết :

H(ejω) =

T

1 HA( T

ω ) và là hàm số tuần hoàn chu kỳ 2π

• Thiết kế xung bất biến có thể tóm tắt theo các bước sau :

→ Cần đặt chỉ tiêu cho bộ lọc rời rạc bằng đặc tuyến tần số H(ejω), và cần thiết lập chỉ tiêu tương tự tương ứng với việc lựa chọn tần số lấy mẫu đúng

(ωa ≤

T

π =

2

s

ω hay là fs ≥ 2fa) fs là tần số lấy mẫu, fa là tần số tín hiệu liên tục vào

→ Cần tìm hàm truyền đạt tương tự HA(s) thỏa mãn các chỉ tiêu tương tự đã đặt ra Trong nhiều trường hợp HA(s) coi như được cho và chỉ cần thực hiện các bước sau :

→ Từ hàm HA(s) với biến đổi ngược Laplace cần xác định hàm đáp ứng xung tương tự hA(t)

→ Từ hA(t) xác định dãy h(n) sau đó xác định ảnh H(z) có thể thực hiện được bởi một mạch chuẩn nào đó

Để xét sự ánh xạ giữa mặt phẳng Z và mặt phẳng S trong quá trình lấy mẫu, ta xét bài toán sau đây :

Xét hàm liên tục f(t), ta sẽ có hàm rời rạc f(nT) với chu kỳ lấy mẫu T

Ha(ωa)

ωa

H(ejω)

ωa

– ωamax 0 ωamax

– ωamax 0 ωamax

T 2π – ωamax

T

2π

T 4π

Hình 6.4

f(nT) = ∑∞

−∞

= n ) t ( δ(t – nT) với δ (t – nT) là hàm xung Dirac

Biến đổi Laplace của hàm f(nT), ký hiệu là : F*(s)

F*(s) = ∫−∞∞ ( nt )e-stdt = ∫ ∑−∞∞

∞

−∞





) nT t ( ) t ( n

δ e-stdt

= ∑∫∞

−∞

=

∞

∞

− n

) t ( δ(t – nT) e-stdt

F*(s) = ∑∞

−∞

= n

) nT ( e-snT

Đặt z = esT với s = σ + jω

Ta có biến đổi Z của hàm f(t) tại thời điểm t = nT (hàm rời rạc) :

F*(s) = F(z)

= ∑∞

−∞

= n

) nT ( z-n

Vậy phép ánh xạ thực hiện trên đặc điểm chung là biến đổi biến giữa 2 miền z =

esT Thay s = σ+ jωa và biểu diễn z theo dạng toạ độ cực z = r ejω Ta có :

r ejω = eσ ejωa T ⇒ r = eσT , ω = ωaT Vậy khi σ < 0 tương ứng với 0 < r < 1

σ > 0 tương ứng với r > 1

σ = 0 tương ứng với r = 1 Từ kết quả này ta rút ra kết luận :

0

Vòng tròn

đơn vị

ReZ

Mặt phẳng Z

Hình 6.5

Mặt phẳng S 0

Im(Z)

jωa

1

• Nữa mặt phẳng trái trong miền S sẽ cho kết quả ánh xạ trong miền Z là miền nằm trong vòng tròn đơn vị

• Nữa mặt phẳng phải trong miền S cho kết quả ánh xạ trong miền Z là miền nằm ngoài vòng tròn đơn vị

• Các điểm trên trục jωa sẽ chiếu lên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z

• Tuy nhiên phép ánh xạ này không phải là một_một vì ω là đơn trị trên khoảng (–π , π), phép ánh xạ ω = ωaT tương ứng với khoảng :

T

π

− ≤ ωa≤

Tπ sẽ chiếu lên các giá trị tương ứng trong khoảng – π ≤ ω ≤ π Hơn nữa khoảng tần số

T

π≤ ωa≤

T

3π cũng cho kết quả của phép ánh xạ là chiếu các điểm lên khoảng – π ≤ ω ≤ π Nói chung là các giá trị trong khoảng

(2k – 1)

T

π ≤ ωa≤ (2k+1)

Tπ đều chiếu lên khoảng -π ≤ ω ≤ π với k là số nguyên Hình vẽ sau minh hoạ kết quả này :

Để khai thác hết hiệu quả của phương pháp đáp ứng xung bất biến, ta biểu diễn hàm truyền đạt của mạch lọc tương tự H(s) dưới dạng khai triển thành các phân thức tối giản như sau :

HA(s) = ∑

=

N

1

k

s s

A

− spk : là các điểm cực đơn của HA(s) Lấy biến đổi ngược Laplace, ta có :

jωa

(2k+1)

T π

(2k–1)

T

π

≈

Miền ổn định

σ T

π

– T π

Miền ổn định

Re(Z)

Im(Z)

Hình 6.6

1

1

ha(t) = ∑

=

N

1 k

Ak espktu(t) u(t) : là hàm nhảy bậc đơn vị Nếu ta lấy mẫu ha(t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta có :

h(n) = ha(nT) = ∑

=

N

1 k

Ak espknTu(nT) Hàm truyền đạt H(z) của mạch lọc số IIR trở thành :

H(z) = ∑∞

−∞

= n

h(n) z-n = ∑∞

−∞

=

=

N

1 k

Ak espknTu(nT) z-n

Vì

Nên H(z) =∑

=

N

1

k ∑∞

=0 n

Ak espknTz-n = ∑

=

N 1

k Ak ∑∞

=

− 











0 n

n 1 T

s z

e pk

Vì điều kiện hội tụ khi điểm cực nằm bên trái mặt phẳng S, nghĩa là spk< 0 nên :

∑∞

=

− 0

n

n 1 T s z

e pk = s T 1

z e 1

1

pk −

−

=

N

1

k

z e 1

A

pk −

Vậy mạch lọc số có các điểm cực là zk= e s pk T (k = 1, 2, N)

Ví dụ 6.1 :

Hãy xác định hàm H(z) bằng biến đổi xung bất biến từ hàm truyền đạt bộ lọc tương tự :

HA(s) =

) 3 s )(

1 s (

2 + +

Giải : HA(s) =

) 3 s )(

1 s (

2 +

1 s

1 + -

3 s

1 + Theo công thức (6.6), ta suy ra :

H(z) = T 1

z e 1

1

−

−

z e 1

1

−

−

− = 1 1T T 3T 3T 4T 2

z e ) e e ( z 1

) e e ( z

−

−

−

−

−

−

−

−

+ +

−

−

6.3.2 Thiết Kế Bằng Phương Pháp Biến Đổi Song Tuyến Tính

Biến đổi song tuyến tính là công cụ đắc lực nhất của thiết kế bộ lọc IIR Phép chiếu dùng trong biến đổi song tuyến tính là phép chiếu dễ dùng nhất, chiếu trục jωa

trên mặt phẳng S lên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z, chiếu nữa mặt phẳng trái bảo đảm ổn định của mặt phẳng S thành bên trong vòng tròn đơn vị bảo đảm ổn định của mặt phẳng Z, chiếu nữa mặt phẳng phải của mặt phẳng S thành bên ngoài của vòng tròn đơn vị của mặt phẳng Z Phép biến đổi này cho phép ánh xạ các giá trị trên trục

u(nT) = 0 khi n< 0

1 khi n≥ 0

jωa lên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z mà không bị chồng chập tần số như phép biến đổi xung bất biến

• Biến đổi song tuyến tính gắn các hàm truyền đạt tương tự HA(s) và hàm truyền đạt số H(z) trên cơ sở tích phân các phương trình vi phân và tính tích phân gần đúng bằng phương pháp số

• Để xác định quan hệ, chúng ta bắt đầu từ phương trình vi phân bậc 1 có dạng :

C1

dt

) t (

Hàm truyền tương tự :

HA(s) =

) s ( X

) s ( Y A

A =

0 1

0 C sC

D

Có thể xác định hàm yA(t) bằng cách lấy tích phân đạo hàm của nó :

yA(t) = ∫tt

A

o dt

) t (

dy dt + yA(t0)

Nếu chúng ta lấy tích phân trên đoạn ngắn, hoặc trong khoảng thời gian giữa hai mẫu tín hiệu kế tiếp nhau, lúc đó với các biến :

t = nT và t0 = (n – 1)T ,ta có phương trình :

yA(nt) = ∫ −

nT T ) 1 n (

A dt

) t (

dy dt + yA[(n-1)T]

Thay vì lấy tích phân, chúng ta chọn cách tính gần đúng theo quy tắt hình thang, ta có :

dt T ) 1 n (

dyA dt −

) nT (

dyA

dt

) t (

dyA

0

Hình 6.7

yA(nT) =

2

T







+

dt

T ) 1 n ( dy dt

) nT (

từ (6.7) thay t = nT vào, ta có :

dt

) nT (

1

0 C

C

− yA(nT) +

1

0 C

thay (6.10) vào (6.9), ta có phương trình sai phân sau :

yA(nt) =

2











− +

−

− +

C

D T ) 1 n ( y C

C ) nT ( x C

D ) nT ( y C

C

A 1

0 A

1

0 A

1

0 A

1

(6.11) Dùng ký hiệu đơn giản hoá : y(n) = yA(nT) , x(n) = xA(nT)

(6.11) thành : 









 + 2

T C

C 1

1











− 2

T C

C 1

1

0 y(n – 1) =

1

0 C

D 2

T [x(n) + x(n-1)]

Biến đổi Z của phương trình sai phân này :













+ 2

T C

C 1

1











− 2

T C

C 1

1

0 z-1Y(z) -

1

0 C

D 2

T[X(z) + z-1X(z)]

H(z) =

) z ( X

) z (

1

0 1

1

1 0

z 1 2

T C

C z 1

z 1 2

T C D

−

−

−

+ +

−

+

=

0 1

1 1

0

C z

1

z 1 T

C 2

D +











 +

−

−

So sánh (6.12) với (6.8), ta có :

s = T

2

1

1

z 1

z 1

−

− +

phép biến đổi này gọi là song tuyến tính

• Các tính chất cơ bản của phép biến đổi song tuyến tính

Thay thế z = rejω , s = σ+ jωa

(6.13) trở thành: s =

T

2











 +

− 1 re

1 re

j

j

ω

ω

= T

2













+ +

+ +

+

−

ω

ω

ω 1 r 2 r cos

sin r 2 j cos r 2 r 1

1 r

2 2

2

T

2











 + +

−

ω

cos r 2 r 1

1 r

2 2

ωa = T

2







 +

ω cos r 2 r 1

sin r 2 2

Vậy khi r < 1 thì σ < 0

Khi r > 1 thì σ > 0

Do vậy nữa trái của mặt phẳng S ánh xạ vào trong vòng tròn đơn vị và nữa phải của mặt phẳng S ánh xạ vào ngoài vòng tròn đơn vị Khi r =1 thì σ = 0

Và ωa =

T

2

ω

ω cos 1

sin

T 2

2 cos 2

2

cos 2 sin 2

2ω

ω ω

= T

2tg 2 ω

Đường biểu diễn ωtheo ωaT được cho bởi hình vẽ sau :

Có thể thấy là với các giá trị nhỏ của ωaT (ωaT < 0,3) thì phép chiếu được coi gần như tuyến tính

→ Từ tính chất không tuyến tính của phép biến đổi song tuyến tính ta thấy rằng đặc tuyến tần số bộ lọc tương tự cần có dạng bằng phẳng theo từng đoạn để cho méo tần số không làm hỏng dạng đặc tuyến tần số và các tính chất của nó Như vậy trường hợp bộ lọc bằng phẳng từng đoạn (thông thấp, thông cao, thông dải, chắn dải) chúng ta hoàn toàn có thể dùng phép biến đổi song tuyến tính, chỉ có điều là vị trí tương đối giữa các điểm cắt sẽ thay đổi do méo tần số khi chiếu Điều này phải chú ý để từ các chỉ tiêu rời rạc, ta tạo ra các chỉ tiêu tương tự được làm méo trước để sau đó khi dùng phép chiếu song tuyến tính, nó sẽ được chiếu về dạng mong múôn Tất nhiên phép chiếu ngoài việc làm méo đặc tuyến biên độ mà còn làm thay đổi đặc tuyến pha của hàm truyền thời gian thực hiện

→ Tạo và thực hiện hàm H(z): Để chuẩn bị cho quá trình thiết kế, ta xét quan hệ ngược :

0

ωaT

T=1

T=2

T=0.5

-10 -15 -20

π

-π

Hình 6.8

ω

z =

sT 2

sT 2 s T 2

s T

2

−

+

=

−

+

⇒ z-1 =

sT 2

sT 2 +

−

Ta dễ dàng suy ra :

2 1

2 a 2

2 a 2

T 2 T 2

























+







 −

+







 +

ω σ

ω σ

ω= 2arctg

2

T a

Từ (6.14) ta nhận thấy : Nếu • ωa = 0 thì ω =0

• ωa → ∞ thì ω→π

• ωa → -∞ thì ω→ -π

Nhận xét :

• Điểm gốc toạ độ được chiếu lên z = 1+j0

• Trục ảo jωa dương được chiếu lên nữa trên vòng tròn đơn vị

• Trục ảo jωa âm được chiếu lên nữa dưới vòng tròn

• Biến đổi song tuyến bảo toàn tính chất đặc tuyến tần số bên cạnh các tính chất ổn định

• Vì méo không tuyến tính nên các đặc tuyến không giống hệt nhau mà là đồng dạng Vậy phép biến đổi này không thực hiện được thay thế mà chỉ thực hiện được mô phỏng Ví dụ : đặc tuyến biên độ tương tự có k điểm gián đoạn, khi ta đi trên trục tần số từ ωa = 0 đến ∞ thì đáp ứng tần số của bộ lọc rời rạc cũng sẽ chứa k điểm gián đoạn trong lúc chúng ta đi trên vòng tròn đơn vị từ ω= 0 đến ω= π

ω1

ωa

ω

ω

Hình 6.9 : Thiết kế mạch lọc với phép chiếu song tuyến tính

( a)

A j