Tổng hợp các bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn (IIR) - Phần 2

Ưu điểm của phương pháp này là ta có thể tạo ra lọc thông thấp rời rạc với bất kỳphép chiếu nào, còn các bước tiếp theo không phụ thuộc vào phép chiếu.. Cũng giống như trong miền tương t

Ưu điểm của phương pháp này là ta có thể tạo ra lọc thông thấp rời rạc với bất kỳphép chiếu nào, còn các bước tiếp theo không phụ thuộc vào phép chiếu Trong phầnnày ta tập trung khảo sát vào phương pháp 2 Tuy nhiên cũng cần nhắc lại các đặcđiểm chính trong phương pháp 1 mà ta có thể tham khảo trong giáo trình mạch lọctương tự Bảng biến đổi tần số trong miền tương tự được cho :

Loại chuyển đổi Phép chuyển đổi Tần số ngắt mới

Từ thông thấp → thông thấp s →

ac

ac'

''

s

ω

−ω

ωω+ ωac ω’ac1 , ω’ac2

Từ thông thấp → chắn dải s →

2 ac 1 ac

2 ac2 ac1

ac

''s

)''(s

ωω+

ω

−ω

ωac là tần số ngắt của mạch lọc thông thấp

6.4.1 Tổng Hợp Các Bộ Lọc Tương Tự

• Bộ lọc tương tự Butterworth Đây là mạch thông thấp có đáp ứng biên độ)

(

H ωa thỏa mãn :

) (

Ha ωa =

n a

1

1ω+ n gọi là bậc của bộ lọc

ωa tần số chuẩn hoá theo tần số cắt ωac

Đồ thị của bộ lọc cho bởi :

Nhận xét :

– Bậc của bộ lọc n càng tăng thì càng gần với bộ lọc lý tưởng

– Đáp ứng biên độ luôn bằng

1

−+Điểm cực được xác định bởi :

1 + (–s2pk)n = 0 ⇒ 1+ (-1)n 2 n

pk

s = 0– Nếu n chẵn s2pkn = – 1 = ej(2k – 1)π

spk = n

) 1 k (

e

π

−

k= 1, 2, 3, 2n– Nếu n lẻ s2pkn = 1 = ej2(k – 1)π

spk = n

) 1 k ( 2 j

spk =  + n−

1 k 2

1 j

Để bảo đảm hệ thống là ổn định thì các điểm cực của Ha(s) phải nằm bên trái trụcảo Vậy trong các điểm cực của Ha(s).Ha(-s) ta sẽ chọn ra các điểm cực nằm bên tráitrục ảo để làm cực của Ha(s) đối với bộ lọc ổn định

Ta có thể viết : Ha(s) =

∏

=

−

n 1 k

pk

0

)ss(H

H0 = 1

spk =  + n−

1 k 2

1 j

1 k 2 2

1 j

• Gọi δ là độ suy giảm của

đặc tuyến mạch lọc tại tần số ωas :

n as

1

1ω

2

2

1δ

2 10

log2

1

1log

Xác định bậc và điểm cực của mạch lọc thông thấp Butterworth tại tần số cắt 500

Hz và độ suy hao 40 dB tại 1000 Hz

110log 4

10 − = 6,64

0

CựccủaH(–s)

CựccủaH(s)

12

1

π

Hình 6.15

1 k 2 2

1 jeVới ωac = 2πfac = 2π 500 = 1000π

⇒ spk = 1000π  + 14− 

1 k 2

1 j

6.4.2 Bộ lọc Chebyshev

Đối với bộ lọc này ta có 2 loại :

– Loại 1 : đáp ứng biên độ gợn sóng ở dải thông, giảm đơn điệu ở dải chắn.

– Loại 2 : đáp ứng biên độ giảm đơn điệu ở dải thông, gợn sóng ở dải chắn.

Trước hết ta xét đa thức Chebyshev

Theo định nghĩa :

Ta có các hệ thức:

Tn+1(x) + Tn-1(x) = 2xTn(x)Vậy n = 0 → T0(x) = cos0 =1

a( )

H ω =

)(T1

1

a

2 n

ε+

n : bậc của đa thức Chebysher chính là bậc của bộ lọc

ε : là 1 tham số xác định biên độ gợn sóng ở dải thông

Về mặt toán học hàm Tn(ωa) được định nghĩa :

Với định nghĩa này, T2n(ωa) dao động giữa 0 và 1 đối với ωa ≤ 1 và tăng một cách đơn

Tn(x) = cosnθ

x = cosθ

Tn(ωa) = cos(n.arcosωcosh(n.arcoshωa) với ωa ≤1

a) với ωa > 1

điệu với ωa > 1 Như vậy 2

+ đối với ωa ≤ 1 vàgiảm một cách đơn điệu đối với ωa > 1

Ta phân biệt trường hợp n lẻ và n chẳn để vẽ đáp ứng tần số Ha(ωa):

– Trường hợp n lẻ : Tn(0) = 0 2

+Tại tần số ωa = 1 , Tn(1) = 1 từ đó ta có hình vẽ trình bày đáp ứng tần số Ha(ωa)theo ωa như sau :

Nếu gọi δ1 là độ gợn sóng dải thông, ta có :

δ1 = 1

2

1

1ε+

2

1

1ε+ = 1 - δ1

1

1

1δ

− - 1

– Bộ lọc tương tự Chebysher loại 1 ở tần số không chuẩn hóa :

2 a

ac

a 2 n

2 T 1

1

ω

ωε

asωω

H ω

0

21

1ε+

2 2δ

12

1δ

( )2 a a

H ω

1

ac

asω

Trường hợp n chẳn

ωa

• Tính toán bậc n của bộ lọc:

→ Ở dải chắn ta có ωa = ωas (chưa chuẩn hoá)

) (

ac

as 2 n

2 T 1

1

ω

ωε

− = cosh[n.arccos 

−

ac as

2 2

coshar

1

1coshar

ωωε

δ −

– Bộ lọc Chebyshev loại 2 : đây là loại bộ lọc trái ngược loại 1, tức là có đáp ứng

biên độ gợn sóng ở dải chắn và giảm đơn điệu ở dải thông Về mặt toán học, đáp ứngbiên độ cho bởi :

2 a

a( )

a as

as n 2

Tn

)(T1

ωω

ωε

ω dao động trong dải chắn

Tn(x) = cos(n.arcosx) cosh[n.arcoshx) với với x ≤1

x > 1

as

2 n

ε+

1

as

2 n

ε

2 (Tn(1) = 1)Vậy δ2 còn gọi là biên độ tối đa của gợn sóng ở dải chắn

• Trong dải thông ωa < ωas hay

ω tăngđơn điệu khi ωa giảm

dần về không tại ωa = 0 →Tn 

2

1

1ε+Về bậc n của bộ lọc từ hệ thức:

2 a

a( )

H ω =

)(T1

1

as

2 n

ε+ = δ22

Ta cũng suy ra kết quả như trường hợp loại 1 :

n =

as

2 2

coshar

1

1coshar

ωε

δ −

Ở đây ωas là tần số đã được chuẩn hoá so với ωac là tần số cắt của bộ lọc

• Bây giờ ta xét phương pháp 2 : Trước hết ta xét nguyên tắc biến đổi tần số số

Cũng giống như trong miền tương tự, trong miền số chúng ta cũng có thể thực hiệnphép biến đổi tần số để biến đổi bộ lọc số thông thấp cơ bản ban đầu thành bộ lọc sốthông thấp, thông cao, thông dải và chắn dải.

Chúng ta ký hiệu hàm truyền lọc thông thấp rời rạc là Hlp(z) còn hàm truyền rờirạc được tìm sau biến đổi là H(Z) Giữa 2 biến Z và z này có quan hệ : z–1 = G(Z–1) lúcđó :

H(Z) =

) Z ( G z

lp(z) 1 1

H −= −Hãy giả thiết Hlp(z) là hàm hữu tỷ theo z, tương ứng với lọc thông thấp rời rạc ổnđịnh, nhân quả Tất nhiên ta chỉ dùng các biến đổi G(Z-1) sẽ cho các hàm H(Z) là cáchàm hữu tỷ theo Z và có thể thực hiện chúng bằng các mạch ổn định, nhân quả Từ đó

ta đòi hỏi biến đổi G(Z–1) cần phải :

* Chiếu trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z thành trên vòng tròn đơn vị mặtphẳng Z

* Chiếu bên trong vòng tròn đơn vị mặt phẳng z thành bên trong vòng tròn đơn vịmặt phẳng Z

* G(Z–1) là hàm hữu tỷ theo Z–1

Gọi θ và ωlà tần số góc trong mặt phẳng z và Z trên vòng tròn đơn vị, ta cóù z =

ejθ, Z = ejω Vậy để các điều kiện ổn định ở trên được thoả mãn, ta phải có :

e–jθ = G(e− j ω)ejα (với α là đối số của G(e-jω)Vậy G(e− j ω) = 1 và –θ = α

Dạng tổng quát của hàm số G(Z–1) để thoả những yêu cầu này là :

Z1

Zαα

Ta thấy ngay : G(e− j ω) = 1

Để thoả điều kiện ổn định αk < 1 :

Bằng cách chọn giá trị thích hợp N và αk , nhiều ánh xạ có thể thực hiện

Đơn giản nhất là phép biến đổi từ một bộ lọc thông thấp chuẩn tới 1 bộ lọc thôngthấp khác

Dạng ánh xạ đơn giản được chọn là :

z–1 = 1 1

Z1

) ( sin

ωθ

ωθ

Vậy nếu θp là tần số cắt của lọc thông thấp chuẩn và ωp là tần số cắt của lọc thôngthấp được thiết kế (đã biến đổi) ta có :

sin

2

) (

sin

p p

p p

ωθ

ωθ

• Đối với phép biến đổi từ một bộ lọc thông thấp chuẩn tới 1 bộ lọc thông cao Tanhận xét là :

– Đối với bộ lọc thông thấp, hàm truyền đạt là :

Z a 1

Z b

– Đối với bộ lọc thông cao :

k k k

Z a ) 1 ( 1

Z b ) 1 (

Vậy ta suy ra ngay, nếu ánh xạ từ lọc thông thấp sang thông thấp là :

z-1 = 1 1

Z1

z-1 = 1 1

Z1

cos

2

) (

cos

p p

p p

θω

θω

θp : tần số cắt của bộ lọc thông thấp chuẩn

ωp : tần số cắt của bộ lọc thông cao

• Để biến đổi lọc thông thấp thành thành thông dải ta dùng công thức biến đổi tầnsố số sau :

z–1 =–

1Z1k

k2Z1k

1

1kZ1k

k2Z

1 2

1 2

++

−+

−++

2

) '' ' ( cos

p p

p p

ωω

ωω

2

tg 2

' '' (ω p ω p θp

2Zk1

k

k1Z1k

2Z

1 2

1 2

++

−+

−++

2

) '' ' ( cos

p p

p p

ωω

ωω

Hình 6.18

và k = tg

2

tg 2

' '' (ω p ω p θp

Phương pháp thiết kế mạch lọc số bằng phương pháp đổi tần số số cho bởi :

1 Bằng một phép chiếu nào đó ta sẽ tạo ra hàm truyền thông thấp HLP(z) rời rạctừ lọc thông thấp tương tự HA(s)

2 Biết các thông số α và k ta xác định được phép biến đổi z-1 = G(Z-1) 3 ThayG(Z-1) vào vị trí z-1 của HLP(z) ta nhận đựợc hảm Hd(Z)

4 Với sự đánh giá hàm Hd(ejω) ta có đặc tuyến tần số được biến đổi

δ1 : độ gợn sóng dải thông

δ2 : độ gợn sóng dải chắn

ωap : tần số giới hạn dải thông

ωac : tần số cắt

ωas : tần số giới hạn dải chắn

1

1 – δ1

δ2

ωaρ 0.2π

Ta có hệ phuơng trình :

1+

n

ac

2,0

89125 , 0

17783 , 0

Giải ra ta được : n= 5,8858 và ωac = 0,70474

Chọn n=6 Như vậy các điểm cực của mạch lọc cho bởi công thức:



 + −n 1 k 2

1 j

eπ k=1, 2, 3, 4, 5, 6

Ta được các đôi cực sau : sp1 = –0,182 ± j(0,679)

sp2 = -0,497 ± j(0,497)

sp3 = -0,679 ± j(0,182)Suy ra :

H(s) =

)4945,0s3585,1s)(

4945,0s9945,0s)(

4945,0s3640,0s(

12093,0

2 2

z 6303 , 0 8557 , 1 z

3699 , 0 z 0691 , 1 1

z 1455 , 1 1428 , 2 z

6949 , 0 z 2971 , 1 1

z 4466 , 0 2871 , 0

+

−

+

− + +

−

−

Như vậy ta đã dùng phương pháp biến đổi tần số số để biến mạch lọc thông thấpButterworth thành mạch lọc thông cao, thông dải, bằng các công thức biến đổi ở trên

6.5 Cấu Trúc Bộ Lọc IIR

• Dạng trực tiếp loại 1 : Phương trình sai phân của lọc đệ quy IIR

y(n) = ∑

=

N 1 k k

a y(n – k) + ∑

=

M 0 k k

)z(

Y =

)z(A

)z(

k k

M 0 r

r r

za1

zb

Hay

)z(W

)z(

)z(X

)z(

W = B(z)

)z(A1

Với

)z(X

)z(

W =

)z(A

k

kza11

B(z) =

)z(W

)z(

Y = ∑

=

M 0 r r

y(n- 1)

Hình 6.20

y(n)

kza

Hay w(n) = x(n) + ∑

=

N 1 k k

Tương tự từ (6.16) ta có : y(n) =∑

=

M 0 k k

Từ 2 phương trình (17),(18) ta có sơ đồ cấu trúc mạch lọc như hình vẽ sau :

• Dạng loại 3 : Lọc IIR được thực hiện bởi các khâu lọc cơ bản bậc 1 và bậc 2(dạng gián tiếp)

Hai sơ đồ trước thực hiện trực tiếp hàm truyền đạt Nếu ta phân tích hàm truyềnđạt thành tích hoặc tổng của các hàm bậc 1 và bậc 2 thì mỗi hàm thành phần được thựchiện bằng một mạch điện được gọi là các khâu cơ bản rối sau đó theo dạng của hàmtruyền đạt mà ta mắc chúng song song hay dây chuyền với nhau

6.5.1 Cấu Trúc Nối Tiếp

Ta có thể viết H(z) dưới dạng như sau:

N 1 k

1

* k

1 k

1 k

M 1 k

M 1 k

1

* k

1 k

1 k

) z p 1 )(

z p 1 ( ) z f 1 (

) z z 1 )(

z z 1 ( ) z g 1 (

• Trường hợp hàm truyền đạt H(z) là tổng hợp của các hàm truyền đạt Hk(z) củacác khâu bậc 2 :

H(z) = A ∏

+

=

2 ) 1 N (

1 k

2 ) 1 N (

1

1 k

2 k

1 k ok

z a z a 1

z b z b b

Thực hiện từng khâu bậc 2 ghép nối tiếp nhau, các khâu bậc 2 này có sơ đồ cấutạo dựa trên dạng trực tiếp 2 (H.20)

Nếu có 1 khâu cơ bản bậc 1, thì đó là trường hợp đặc biệt b2k hay a2k = 0

Ở trên là cách thực hiện cấu trúc nối tiếp Bây giờ ta thực hiện cấu trúc song song

6.5.2 Cấu Trúc Song Song

Khai triển H(z) thành tổng các phân số riêng phần có dạng :

H(z) = C + ∏

+

=

2 ) 1 N (

1 k

k(z)HH(z) là 1 khâu cơ bản có dạng :

H(z) = 2

k

1 k

1 k ok

zaza1

zbb

−

−

−

++

1 1

1 1

1

z 2

1 j 2

1 1 z 2

1 j 2

1 1 z 8

1 1 z 4

3 1

z 2 1 z 3

2 1 z 2

1 1 10

Giải :

Cấu trúc nối tiếp : H(z) = 10H1(z).H2(z)

Hình 6.23 : Cấu trúc song song

z-1

+

z-1+

C

y(n)

Với H1(z) =

2 1

1

z32

3z8

71

z3

21

2 1

z2

1z1

zz2

31

Cấu trúc song song :

H(z) =

2 1

1

z32

3z8

71

z90,1275,14

1

z2

1z1

z82,2650,24

Hình 6.24

z-1

+

z-1+

+

– 14.75

– 12.90

26.8224.50

21

8

323x(n)

y(n)

BÀI TẬP CHƯƠNG VI

Bài Tập 6.1

Hãy tính toán thời gian truyền nhóm của một bộ lọc số IIR có hàm truyền đạt nhưsau :

2 2

1

1z a za

1

1)

z(

++

2s(

1)

s(

1s(

s)

s(

Ha

++

2s)

s(

++

+

=Hãy tìm hàm truyền đạt H(z) của bộ lọc số IIR tương ứng bằng phương pháp bất

biến xung Sau đó vẽ sơ đồ bộ lọc số

Bài Tập 6.6

Cho mạch lọc thông thấp tương tự sau :

Hãy chuyển mạch điện này thành mạch số bằng phương pháp bất biến xung

Bài Tập 6.7

Cho hàm truyền đạt Ha(s) của một bộ lọc tương tự như sau :

9)2s(

2s)

s(

++

+

=

- Hãy tìm hàm truyền đạt H(z) của bộ lọc số IIR tương ứng bằng phương pháp biến

đổi song tuyến

- Vẽ sơ đồ bộ lọc số

Bài Tập 6.8

Cho mạch điện tương tự sau :

Hãy chuyển mạch điện này thành mạch số bằng phương pháp biến đổi song tuyến

Bài Tập 6.9

Cho mạch điện tương tự sau :

Hãy chuyển mạch điện này thành

mạch số bằng phương pháp tương

R1

Hình BT.

CR

Cho mạch điện tương tự sau :

Hãy chuyển các mạch điện này thành mạch số bằng phương pháp :

- Biến đổi song tuyến

- Tương đương vi phân

Bài Tập 6.11

Cho mạch điện tương tự sau :

Hãy chuyển các mạch điện này thành mạch số bằng phương pháp :

- Biến đổi song tuyến

- Tương đương vi phân

Bài Tập 6.12

Cho hàm truyền đạt Ha(s) của một hệ thống tương tự như sau :

)3s4s)(

2

1s(

10s7s)

s(H

2

2 a

+++

++

Hình BT.

CL

Uvà

Ura(hở

Hình BT.

LC

Uvà

Ura(hở

Hình BT.

CL

Uvà

Ura(hở

Hình BT.

R

LC

R

- Tương đương vi phân

- Bất biến xung

- Tương đương vi phân

- Bất biến xung

,0)e(H

1lg20LO

1 lg 20 LO

s

j

với ωp = 0,2π ; ωs = 0,3 π

- Bất biến xung

- Biến đổi song tuyến

- Tương đương vi phân

Bài Tập 6.19

Cho các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số thông thấp như sau :

LOp = 10 dB; LOs = 30 dB; ωp = 0,3π ; ωs = 0,5 πHãy tổng hợp bộ lọc số thông thấp trên từ bộ lọc tương tự Cauer bằng các phương pháp

- Bất biến xung

- Biến đổi song tuyến

- Tương đương vi phân

Bài Tập 6.20

Cho các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số thông thấp như sau :

δ1 = δ2 = 0,1; ωp = 0,4π ; ωs = 0,6 πHãy tổng hợp bộ lọc số thông thấp trên từ bộ lọc tương tự Cauer bằng các phương pháp

- Bất biến xung

- Biến đổi song tuyến

- Tương đương vi phân

Bài Tập 6.21

Cho các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số thông thấp như sau :

δ1 = 0,07; δ2 = 00,9; ωp = 0,5π ; ωs = 0,6 πHãy tổng hợp bộ lọc số thông thấp trên từ bộ lọc tương tự Cauer bằng các phương pháp

- Bất biến xung

- Biến đổi song tuyến

- Tương đương vi phân

Hãy biến đổi bộ lọc tương tự thông thấp với tần số cắt ωac này thành :

a Bộ lọc tương tự thông thấp khác với tần số cắt ω’

ac = 1,5ωac

b Bộ lọc tương tự thông cao với tần số cắt ω’

ac = 2ωac

c Bộ lọc tương tự thông dải với tần số cắt dưới ω’

ac1 và tần số cắt trên ω’

ac2

d Bộ lọc tương tự chắn dải với tần số cắt dưới ω’

ac1 và tần số cắt trên ω’

ac2