Bộ lọc số có đặc tính xung hữu hạn, pha tuyến tính

Bộ lọc số có đặc tính xung hữu hạn, pha tuyến tính

Chương năm: Bộ lọc số có đặc tính xung hữu hạn, pha tuyến tính

Giống như các bộ lọc tín hiệu tương tự, bộ lọc số là mạch thực hiện chức năng chọn lọc tín hiệu theo tần số Các mạch lọc số cho tín hiệu

số có phổ nằm trong một dải tần số nhất định đi qua và không cho các tín hiệu có phổ nằm ngoài dải tần số đó đi qua.

Dải tần số mà mạch lọc cho tín hiệu đi qua được gọi là dải thông, còn dải tần số mà mạch lọc không cho tín hiệu đi qua được gọi là dải chặn Tần số phân cách giữa dải thông và dải chặn là tần số cắt và được ký hiệu là c Theo dạng của đặc tính biên độ tần số H (e j ), người ta chia các bộ lọc số thành các loại :

- Bộ lọc thông thấp, có dải thông  (0 ,c )

- Bộ lọc thông cao, có dải thông  (c , ).

- Bộ lọc dải thông, có dải thông  (c1 , c2 ).

- Bộ lọc dải chặn, có dải thông  (0 ,c1) và  (c2 , ).

Theo dạng của đặc tính xung h(n), người ta phân biệt các bộ lọc số :

- Bộ lọc số có đặc tính xung hữu hạn (bộ lọc số FIR)

- Bộ lọc số có đặc tính xung vô hạn (bộ lọc số IIR)

Chương năm trình bầy các phương pháp phân tích và tổng hợp các bộ lọc số có đặc tính xung hữu hạn, pha tuyến tính (gọi vắn tắt là bộ lọc

số FIR pha tuyến tính).

5.1 các bộ lọc số lý tưởng

Bộ lọc số lý tưởng có đặc tính biên độ tần số dạng chữ nhật :











chÆn i d¶

Khi

th«ng i d¶

Khi ω ω

e j

H

0 1 ) ( 

[5.1-1]

Trên thực tế không thể xây dựng được bộ lọc số có đặc tính biên độ tần số H (e j ) như vậy, tuy nhiên các bộ lọc

số lý tưởng là cơ sở để phân tích và tổng hợp các bộ lọc số thực tế

ở chương ba chúng ta đã biết rằng, đặc tính tần số H (e j ) của hệ xử lý số là hàm tuần hoàn của biến  với chu kỳ

2, hơn nữa đặc tính biên độ tần số H (e j ) là hàm chẵn và đối xứng qua trục tung Vì thế, chỉ cần nghiên cứu đặc tính tần

số của các bộ lọc số lý tưởng trong một chu kỳ tần số  [ - ,  ], hoặc trong nửa chu kỳ  [ 0 ,  ] Dưới đây sẽ trình

bầy về đặc tính tần số và đặc tính xung của các bộ lọc số lý tưởng thuộc các loại thông thấp, thông cao, dải thông , và dải chặn

5.1.1 Bộ lọc thông thấp lý tưởng

5.1.1a Định nghĩa : Bộ lọc thông thấp lý tưởng có đặc tính biên độ tần số khi  [- ,  ] như sau :



















] [ ] [

0

] [

1 ) (







, ω ω ω , ω Khi

ω , ω ω Khi e

c c

c c j

lp

H

Đặc tính biên độ tần số của bộ lọc thông thấp lý tưởng ở hình 5.1

( j )

lp e

H



- -c 0 c 

Hình 5.1 : Đặc tính biên độ tần số của bộ lọc thông thấp lý tưởng

5.1.1b Các tham số thực của bộ lọc thông thấp lý tưởng

- Tần số cắt : f c

- Dải thông : f  [ 0 , f c ]

- Dải chặn : f  [f c ,  ]

Bộ lọc thông thấp lý tưởng cho tín hiệu số có phổ nằm trong dải tần f < f c đi qua, chặn không cho tín hiệu số

trong dải tần f > f c đi qua

5.1.1c Đặc tính xung hlp (n) của bộ lọc thông thấp lý tưởng

Xét bộ lọc thông thấp lý tưởng pha tuyến tính ()  , đặc tính tần số của nó có dạng :





















] [ ]

[

] [

) (





, ω ω ω , ω Khi

ω , ω ω Khi e

e

c c

c c j

j

lp

H

Đặc tính xung h lp (n) của bộ lọc trên được xác định bằng IFT :















e IFT n

lp

j lp

2 1

c

c c

c

n j n

j j

n j d

e e n

h

































)

2

1 2

1

1

) (

)]

( sin[

) (

)]

( sin[

) (





























n

n n

n n

h

c

c c

c

Theo [5.1-4], bộ lọc thông thấp lý tưởng pha tuyến tính có đặc tính xung h lp (n) dạng hàm sin giảm dần về 0 khi n

   Tại n = 0 có :















c

c c

n lp

n

n Lim

n h Lim





















)]

( sin[

) ( )

(

0 0

0

Đặc tính xung h lp (n) đạt cực đại tại n = 0 , và h lp(n)  0tại các điểm n k c , với k là số nguyên

Ví dụ 5.1 : Hãy xác định và vẽ đồ thị đặc tính xung hlp (n) của bộ lọc số thông thấp lý tưởng pha không [() 0], có tần số cắt c  3

Giải : Đặc tính xung của bộ lọc thông thấp pha không lý tưởng :





) sin(

)

n

n n

h lp  Theo công thức trên lập được bảng 5.1 :

Bảng 5.1

h lp (n) 0,33 0,28 0,14 0 -0,07 -0,05 0 0,04 0,03

Theo các số liệu trên, xây dựng được đồ thị đặc tính xung h lp (n) của bộ lọc thông thấp lý tưởng pha không với

3



c  trên hình 5.2

-9 -6 -3 -2 -1 0 1 2 3 6 9

Hình 5.2: h lp (n) của bộ lọc thông thấp lý tưởng pha không với c  3.

Nhận xét : Đặc tính xung h lp (n) của bộ lọc thông thấp lý tưởng là dãy chẵn, đối xứng qua trục tung, có độ dài vô

hạn và không nhân quả, nên không thể thực hiện được trên thực tế

5.1.2 Bộ lọc thông cao lý tưởng

5.1.2a Định nghĩa : Bộ lọc thông cao lý tưởng có đặc tính biên độ tần số khi   [- ,  ] như sau :



















] [

0

] [

] [

1 )

(

c c

c c

j hp

ω , ω ω

Khi

, ω ω ω

, Khi

e

[5.1-5]

Đồ thị đặc tính biên độ tần số của bộ lọc thông cao lý tưởng ở hình 5.3

( j )

hp e

H



- -c 0 c 

Hình 5.3 : Đặc tính biên độ tần số của bộ lọc thông cao lý tưởng.

5.1.2b Các tham số thực của bộ lọc thông cao lý tưởng

- Tần số cắt : f c

- Dải thông : f  [f c ,  ]

- Dải chặn : f  [ 0 , f c ]

Bộ lọc thông cao lý tưởng cho tín hiệu số có phổ nằm trong dải tần f > f c đi qua, chặn không cho tín hiệu trong

dải tần f < f c đi qua

5.1.2c Đặc tính xung hhp (n) của bộ lọc thông cao lý tưởng

Xét bộ lọc thông cao lý tưởng pha tuyến tính ()  , đặc tính tần số của nó có dạng :





















] [

0

] [

] [

) (

c c

c c

j j

hp

ω , ω ω

Khi

, ω ω ω

, ω

Khi e

e

[5.1-6]

Vì dải thông và dải chặn của bộ lọc thông cao ngược với bộ lọc thông thấp, nên có thể biểu diễn H hp (e j ) qua

H lp (e j ) như sau :

196

0,33

h lp (n)

0,28 0,28

0,14

-0,07

0,14

-0,07

0,04

1

) ( )

lp j

Theo [5.1-7] có thể tìm được đặc tính tần số của bộ lọc thông cao từ đặc tính tần số của bộ lọc thông thấp có cùng tần số cắt

Đặc tính xung h hp (n) của bộ lọc trên được xác định bằng IFT :

















e IFT

n

lp

j hp

2 1





























c

c

d e e d

e n

hp

2

1 2

1

) (

c

c

n j n

j

n j

e jn n

h





















) ( )

2

1 1

2 1

) (

)]

( sin[

) sin(

) (



















n

n n

n n

Hay :

) (

)]

( sin[

) sin(

) (





















n

n n

n n

h

c

c c

) sin(

.

)

sin(

0 0

0 1

n n

n n

Khi

n Khi n

n



























Nên có thể viết lại [5.1-8] dưới dạng :

) (

)]

( sin[

) ( ) sin(

) ( ) (

























n

n n

n

n n

n

h

c

c c

c

So sánh [5.1-9] với [5.1-4], có thể biểu diễn đặc tính xung h hp (n) của bộ lọc thông cao qua đặc tính xung h lp (n) của

bộ lọc thông thấp :

) ( )

( )

Theo [5.1-10] có thể tìm được đặc tính xung h hp (n) của bộ lọc thông cao từ đặc tính xung h lp (n) của bộ lọc thông

thấp có cùng tần số cắt c

Đặc tính xung h hp (n) của bộ lọc thông cao lý tưởng là dãy chẵn, đối xứng qua trục tung và đạt cực đại tại n = 0 Khi tần số cắt c  N thì đặc tính xung h hp (k N ) = 0 tại các điểm n = k N , với k là số nguyên.

Ví dụ 5.2 : Hãy xác định và vẽ đặc tính xung hhp (n) của bộ lọc số thông cao lý tưởng pha không có tần số cắt

3



Giải : Có đặc tính xung của bộ lọc thông cao pha không lý tưởng :









) sin(

) ( ) ( )

( )

n

n n

n h n n

Theo công thức trên và kết quả của ví dụ 5.1 lập được bảng 5.2 :

Bảng 5.2

h lp (n) 0,33 0,28 0,14 0 -0,07 -0,05 0 0,04 0,03

h hp (n) 0,77 -0,28 -0,14 0 0,07 0,05 0 -0,04 -0,03

Theo các số liệu trên, xây dựng được đồ thị đặc tính xung của bộ lọc thông cao lý tưởng pha không với 3



c  trên hình 5.4

hhp (n)

0,77

-0,14 -0,14

0,07 0,07

0,05 0,05

n

-0,04 -0,04

-9 -6 -5 -4 -3 0 3 4 5 6 9

Hình 5.4: Đặc tính xung của bộ lọc thông cao lý tưởng với c  3.

Nhận xét : Theo [5.1-9] , bộ lọc thông cao lý tưởng là hệ xử lý số IIR không nhân quả, vì thế không thể thực hiện được trên thực tế

5.1.3 Bộ lọc dải thông lý tưởng

5.1.3a Định nghĩa : Bộ lọc dải thông lý tưởng có đặc tính biên độ tần số khi   [- ,  ] như sau :





n.

trª ng kho¶

c¸c ngoµi n»m

vµ ω

Khi

ω , ω ω ω

, ω ω

Khi

bp

H

0

] [

] [

1 )

[5.1-11]

Đồ thị đặc tính biên độ tần số của bộ lọc dải thông lý tưởng ở hình 5.5

( j )

bp e

H



- -c1 -c2 0 c1 c2 

Hình 5.5 : Đặc tính biên độ tần số của bộ lọc dải thông lý tưởng

5.1.3b Các tham số thực của bộ lọc dải thông lý tưởng

- Tần số cắt : f c1 , f c2

- Dải thông : f  [f c1 , f c2 ]

- Dải chặn : f  [ 0 , f c1 ] và [f c2 ,  ]

Bộ lọc dải thông lý tưởng cho tín hiệu số có phổ nằm trong dải tần f c1 < f > f c2 đi qua, chặn không cho tín hiệu ngoài dải tần đó đi qua

5.1.3c Đặc tính xung hbp (n) của bộ lọc dải thông

Xét bộ lọc dải thông lý tưởng có pha tuyến tính ()  , đặc tính tần số của nó có dạng :







n.

trª ng kho¶

c¸c ngoµi n»m

vµ ω

Khi

ω , ω ω ω

, ω ω

Khi e

bp

H

0

] [

] [

)

[5.1-12]

Có thể biểu diễn H bp (e j ) qua đặc tính tần số H lp1 (e j ) và H lp2 (e j ) của các bộ lọc thông thấp lý tưởng có tần số cắt

c1 và c2 tương ứng :

) ( )

( )

lp

j lp

j

Theo [5.1-13] có thể tìm được đặc tính tần số của bộ lọc dải thông có tần số cắt c1 và c2 , từ đặc tính tần số của hai bộ lọc thông thấp có tần số cắt c1 và c2 tương ứng

Đặc tính xung h bp (n) của bộ lọc trên được xác định bằng IFT :























e IFT

n

lp

j lp

j bp

bp( ) H ( ) H 2( ) H 1( )

2 1













1

1 2

1 2

1

) (

c

c c

c

d e e d

e e n

bp

























) (

)]

( sin[

) (

)]

( sin[

)

(

.

1 2

























n

n n

n n

) (

)]

( sin[

) (

)]

( sin[

)

(

1

1 1

2

2 2

































n

n n

n n

h

c

c c

c

c c

Hay : h bp(n) h lp2(n)  h lp1(n) [5.1-16]

Theo [5.1-16] có thể tìm được đặc tính xung h bp (n) của bộ lọc dải thông theo đặc tính xung h lp1 (n) và h lp2 (n) của

các bộ lọc thông thấp có tần số cắt c1 và c2 tương ứng

Ví dụ 5.3 : Hãy xác định và vẽ đặc tính xung hbp (n) của bộ lọc số dải thông lý tưởng pha không có các tần số cắt

3

1 

Giải : Có đặc tính xung của bộ lọc dải thông pha không lý tưởng :

198

1







) sin(

) sin(

) ( )

( )

n

n n

n n

h n h n

Theo công thức trên và kết quả của ví dụ 5.1 lập được bảng 5.3 :

Bảng 5.3

Theo các số liệu trên, xây dựng được đồ thị đặc tính xung của bộ lọc dải thông lý tưởng với c1  3 và 2

2 

c  trên hình 5.6

Hình 5.6 : Đặc tính xung của bộ lọc dải thông lý tưởng

Nhận xét : Bộ lọc dải thông lý tưởng là hệ xử lý số IIR không nhân quả, vì thế nó không thể thực hiện được trên thực tế

5.1.4 Bộ lọc dải chặn lý tưởng

5.1.4a Định nghĩa : Bộ lọc dải chặn lý tưởng có đặc tính biên độ tần số khi   [- ,  ] như sau :





n trª ng kho¶

c¸c thuéc kh«ng

vµ ω

Khi

ω , ω ω ω

, ω ω

Khi

bs

H

1

)

[5.1-17]

Đồ thị đặc tính biên độ tần số của bộ lọc dải chặn lý tưởng ở hình 5.7

5.1.4b Các tham số thực của bộ lọc dải chặn lý tưởng

- Tần số cắt : f c1 , f c2

- Dải thông : f  [ 0 , f c1 ] và [f c2 ,  ]

- Dải chặn : f  [f c1 , f c2 ]

Bộ lọc dải chặn lý tưởng chặn không cho tín hiệu số có phổ nằm trong dải tần f c1 < f > f c2 đi qua, cho tín hiệu số ngoài dải tần đó đi qua

( j )

bp e

H



- -c1 -c2 0 c1 c2 

Hình 5.7 : Đặc tính biên độ tần số của bộ lọc dải chặn lý tưởng.

5.1.4c Đặc tính xung hbs (n) của bộ lọc dải chặn lý tưởng

Xét bộ lọc dải chặn lý tưởng pha tuyến tính ()  , đặc tính tần số của nó có dạng :



n trª ng kho¶

c¸c thuéc kh«ng

vµ ω

Khi e

ω , ω ω ω

, ω ω

Khi

b s

H



)

[5.1-18]

Có thể biểu diễn H bs (e j ) qua đặc tính tần số H lp1 (e j ) và H lp2 (e j ) của các bộ lọc thông thấp lý tưởng có tần số cắt

c1 và c2 như sau :

) ( )

( )

lp

j lp

j

Theo [5.1-19] có thể tìm được đặc tính tần số của bộ lọc dải chặn có các tần số cắt c1 và c2 từ đặc tính tần số của hai bộ lọc thông thấp có tần số cắt c1 và c2 tương ứng

Biểu diễn H bs (e j ) qua đặc tính tần số H bp (e j ) của bộ lọc dải thông:

) ( )

bp j

Theo [5.1-20] có thể tìm được đặc tính tần số của bộ lọc dải chặn có các tần số cắt c1 và c2 , từ đặc tính tần số của bộ lọc dải thông có tần số cắt tương ứng

Đặc tính xung h bs (n) của bộ lọc trên được xác định bằng IFT :

-0,14 -0,14

h

bp (n)

0,17

0,04

0,07

-0,11

-0,08

-0,03 -0,03

n

1

























e IFT

n

lp

j lp

j bs

bs ) H ( ) 1 H 2( ) H 1( )

2 1























1

1 2

1 2

1 2

1

)

(

c

c c

c

d e e d

e e d

e n

bs



































1

1 2

2

) ( )

(

) ( )

( )

2

1 1

2

1 1

2

c c

c

n j n

j n

j

n j

e n j

e jn n

h



































) (

)]

( sin[

) (

)]

( sin[

) sin(

)

.

.



































n

n n

n n

n n

)]

( [

)]

( sin[

) (

)]

( sin[

) sin(

)

(

1

1 1

2

2 2

.











































n

n n

n n

n n

h

c

c c

c

c c

Hay : h bs(n) (n)  h lp2(n)  h lp1(n) [5.1-23]

Theo [5.1-23] có thể tìm được đặc tính xung h bp (n) của bộ lọc dải chặn khi biết đặc tính xung h lp1 (n) và h lp1 (n) của

các bộ lọc thông thấp tương ứng Theo [5.1-24] có thể tìm được đặc tính xung h bs (n) của bộ lọc dải chặn khi biết đặc tính

xung h bp (n) của bộ lọc dải thông tương ứng.

Ví dụ 5.4 : Hãy xác định và vẽ đặc tính xung hbs (n) của bộ lọc số dải chặn lý tưởng pha không có các tần số cắt

3

1 

Giải : Có đặc tính xung của bộ lọc dải chặn pha không lý tưởng :















) sin(

) sin(

) sin(

) ( )

( )

n

n n

n n

n n

h n n

Theo công thức trên và kết quả của ví dụ 5.3 lập được bảng 5.4 :

Bảng 5.4

Theo các số liệu trên, xây dựng được đồ thị đặc tính xung của bộ lọc dải chặn lý tưởng với c1  3 và 2

2 

c  trên hình 5.8

Hình 5.8 : Đặc tính xung của bộ lọc dải chặn lý tưởng

Theo biểu thức [5.1-22] và kết quả ví dụ 5.4 , có nhận xét : Bộ lọc dải chặn lý tưởng là hệ xử lý số IIR không nhân quả, vì thế nó không thể thực hiện được trên thực tế

5.1.5 Tham số của các bộ lọc số thực tế

200

h

hp (n)

0,83

0,14

-0,07 -0,07

0,14 0,11

0,08

0,11 0,08

n

-0,04 -0,04

Tất cả các bộ lọc số lý tưởng có đặc tính biên độ tần số dạng chữ nhật, nên đặc tính xung của chúng đều là dãy không nhân quả có độ dài vô hạn, vì thế không thể thực hiện được các bộ lọc số lý tưởng

Đặc tính biên độ tần số của bộ lọc số thực tế thường có độ nhấp nhô trong dải thông và dải chặn, với hai biên là sườn dốc (xem hình 5.9)

Hình 5.9 : Đặc tính biên độ tần số của một bộ lọc thông thấp thực tế

Để đặc trưng cho bộ lọc thực tế, người ta sử dụng các tham số sau :

1 Loại bộ lọc : Thông thấp, thông cao, dải thông, dải chặn

2 Tần số giới hạn dải thông c (hay f c )

3 Tần số giới hạn dải chặn p (hay f p )

4 Độ rộng dải quá độ  p = |p - c |(hay f p )

5 Độ nhấp nhô trong dải thông 1 Trong dải thông, đặc tính biên độ tần số H (e j ) phải thỏa mãn điều kiện :

(1 - 1)  H (e j )  (1 + 1) [5.1-25]

6 Độ nhấp nhô trong dải chặn 2 Trong dải chặn, đặc tính biên độ tần số H (e j ) phải thỏa mãn điều kiện :

Bộ lọc số thực tế có p , 1 và 2 càng nhỏ thì đặc tính biên độ tần số càng gần giống dạng chữ nhật, nên độ chọn lọc tín hiệu càng tốt

5.2 phân tích bộ lọc số fir pha tuyến tính

5.2.1 Đặc tính xung h(n) của các bộ lọc số FIR pha tuyến tính

Các bộ lọc số FIR có đặc tính xung h(n) hữu hạn, nên hàm hệ thống là : 









1

0

) ( )

(

N

n

n

z n h z

H