Chuyển động brownian

Một biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối chuẩn nếu với kì vọng µ và độ lệch chuẩn σ ta có: với mọi Một quá trình ngẫu nhiên có giá trị thực được gọi là chuyển động Brownian nếu có

Báo cáo môn học Quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng

Đề tài 9:

Chuyển động Brownian

Sinh viên thực hiện:

Mục lục

Chuyển động Brownian

I.Định nghĩa và tính chất của chuyển động Brownian (Brownian Motion) 1.1 Định nghĩa về chuyển động Brownian

Chuyển động Brownian Motion được lấy theo tên của nhà thực vật học Robert Brown Nó miêu tả quá trình chuyển động của các hạt di chuyển ngẫu nhiên trong chất lỏng hoặc không khí Trong toán học, nó dùng để biểu diễn các quá trình dịch chuyển ngẫu nhiên Ngoài ra chuyển động Brownian còn có rất nhiều ứng dụng trong lĩnh vực kinh tế và vật lí Một ứng dụng thực tế của chuyển động Brownian đó là biểu diễn sự biến động của cổ phiếu trong thị trường chứng khoán

Chuyển động Brownian là một trong những quá trình ngẫu nhiên đơn giản nhất, nó liên quan chặt chẽ với luật phân phối chuẩn Một biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối chuẩn nếu với kì vọng µ và độ lệch chuẩn σ ta có:

với mọi

Một quá trình ngẫu nhiên có giá trị thực được gọi là chuyển động Brownian nếu có giá trị của ta luôn có:

•

tăng độc lập (independent increments), có nghĩa là tại mọi thời điểm t với

thì sự tăng giá trị của không phụ thuộc vào t.

Với mọi và , sự tăng giá trị của tuân theo luật phân phối chuẩn với kì vọng bằng 0 và phương sai h

Hàm liên tục

Ta nói rằng là chuyển động Brownian chuẩn nếu x = 0

Như vậy chúng ta có thể định nghĩa chuyển động Brownian như một quá trình ngẫu nhiên

với một tập hợp các biến ngẫu nhiên được định nghĩa trong không gian xác suất ( Đồng thời, quá trình ngẫu nhiên đó còn được hiểu như một hàm ngẫu nhiên với mọi tính chất của quá trình ngẫu nhiên tương ứng.

Hình 1.Đồ thị của chuyển động Brownian

Xác suất biên của một quá trình ngẫu nhiên được hiểu là luật phân bố của tất cả vector ngẫu nhiên hữu hạn chiều

với mọi

Giả sử U là một biến ngẫu nhiên có phân phối đều trong Khi đó quá trình { : t} với

cũng có cùng luật phân phối biên với chuyển động Brownian, nhưng vì không liên tục nên nó không phải là chuyển động Brownian.

1.2 Sự tồn tại của chuyển động Brownian

Đây là vấn đề không hề đơn giản vì nó phụ thuộc vào phân phối biên trong định nghĩa của chuyển động Brownian, tính liên tục của quá trình và giải quyết các mẫu thuẫn gặp phải Vào năm 1923 Norbert Wiener đã chứng mình được sự tồn tại của chuyển động Brownian Ta có định

lí Wiener

Định lí Wiener : Tồn tại chuyển động Brownian chuẩn

1.3 Tính chất của chuyển động Brownian

a.Tính bất biến

Đây là một trong những tính chất quan trọng nhất của chuyển động Brownian, nó cho phép xây dựng và mở rộng chuyển động Brownian mà luật phân phối của nó không thay đổi Từ tính bất biến ta xây dựng được 2 bổ đề

Bổ đề 1: Giả sử là chuyển động Brownian chuẩn, cho ta có với

cũng là chuyển động Brownian chuẩn

Chứng minh:

Với ta có

Theo định nghĩa của chuyển động Brownian ta có có phương sai

và kì vọng bằng 0 nên là chuyển động Brownian

Từ bổ đề 1 ta có được bổ đề 2

Bổ đề 2: Giả sử là chuyển động Brownian chuẩn thì quá trình với

cũng là chuyển động Brownian chuẩn

*Xét quá trình khuyếch đại Ornstein-Uhlenbeck với với mọi là một quá trình Markov, nó tuân theo luật phân phối chuẩn với mọi t Không giống như chuyển động Brownian, Ornstein-Uhlenbeck là

một quá trình hồi phục (time reversible) Công thức đảo thời gian được cho bởi và đều có quy luật giống nhau, có nghĩa là và

Bổ đề 3: Luật số lớn (Law of large number)

Chứng minh:

Áp dụng bổ đề 2 ta có

b.Tính chất liên tục của chuyển động Brownian

Theo định nghĩa của chuyển động Brownian, ta cần có một hàm liên tục Có nghĩa là trong khoảng (hoặc bất kì một khoảng nào khác), hàm chúng ta cần phải liên tục đều,tức là tồn tại

một hàm với Hàm được gọi là Mô đun liên tục (modulus of continuity ) của hàm nếu như:

Vậy câu hỏi đặt ra là có tồn tại một mô đun liên tục không ngẫu nhiên cho chuyển động

Brownian Câu trả lời là có, ta có các định lí.

Định lí 1:

Tồn tại một hằng số để với mỗi số đủ nhỏ và với mọi , ta có:

Định lí 2:

Với mỗi hằng số và luôn tồn tại và để:

Định lí 3:

Mô đun liên tục Levy

c.Tính chất không khả vi (Non differentiability) của chuyển động Brownian

Phần trước ta đã nói rằng chuyển động Brownian là liên tục, trong phần này ta sẽ tìm hiểu tại sao đồ thị của chuyển động Brownian (hình 1) lại không ổn định.

Mệnh đề 1:

Với mọi a,b sao cho Chuyển động Brownian không đơn điệu trên

Chứng minh:

Xét chuyển động Brownian được gọi là đơn điệu tăng trên [a,b] nếu như với ta có Chia khoảng [a,b] ra làm n khoảng [] với ta có giá trị của có cùng dấu Theo định nghĩa của chuyển động Brownian thì giá trị của là tăng độc lập nên có xác suất bằng Cho ta có xác suất trên dần đến 0.

Từ đó ta có suy ra được mệnh đề 1.

Chứng minh tương tự với B(t) đơn điệu giảm.

Từ mệnh đề 1 ta có thể suy ra được mệnh đề 2.

Mệnh đề 2:

và

Vấn đề đặt ra là tại điểm t=0 thì có tồn tại khoảng nào để chuyển động Brownian là đơn điệu hay không? Đây là điểm mấu chốt để chứng mình được sự không khả vi của chuyển động Brownian Vào năm 1933 thì Paley, Wiener and Zygmund đã chứng mình được là không tồn tại bất kì khoảng nào như vậy và chuyển động Brownian là không khả vi.

Định lí 4: Paley, Wiener and Zygmund

Chuyển động Brownian không tồn tại bất kì khoảng khả vi nào.

II Chuyển động Brownian và bước ngẫu nhiên (random walk)

2.1.Khái niệm bước ngẫu nhiên

Phần lớn lí thuyết xác suất là dùng để mô tả các đối tượng, hiện tượng ngẫu nhiên Chuyển động

Brownian (Brownian Motion) cho ta một cái nhìn trực quan về quá trình dịch chuyển của các hạt trong

không gian d chiều Ở mức độ vi mô, chuyển động của các hạt là ngẫu nhiên, giả sử vị trí của một hạt ban đầu (lúc t=0) là , vị trí của nó tại t=n được cho bởi

Nếu như độc lập và có phân phối giống nhau với giá trị trong thì quá trình gọi là bước ngẫu nhiên.

Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu một số định lí về sư liên quan giữa chuyển động

Brownian và bước ngẫu nhiên Trong phần đầu tiên ta sẽ tìm hiểu về quy luật và các định lí của

hàm logarit lặp, và phần thứ hai là về điểm tăng của chuyển động Brownian

2.2 Quy luật của hàm logarit lặp

Định lí 1 : Quy tắc logarit lặp cho chuyển động Brownian

Giả sử là quá trình tuân theo chuyển động Brownian chuẩn Khi đó đó luôn có:

Theo tính chất đối xưng ta có:

Do đó với , luôn tồn tại để với mọi , đồng thời luôn tồn tại t lớn tùy ý để

Hình 1.

Hình bên trái cho ta thấy tiệm cận trên và đồ thị phân bố điển hình của chuyển động Brownian ( phân bố gần tiệm cận trên rất thưa) Hình bên phải biểu diễn phân phân bố không điển của chuyển động Brownian

Định lí 2:

Giả sử là chuyển động Brownian chuẩn thì ta có:

Định lí 3: Quy luật logarit lặp với bước ngẫu nhiên đơn giản

Cho bước ngẫu nhiên đơn giản , khi đó ta có:

Định lí 4:

Nếu liên tục theo thời gian sao cho và , ta có

Mở rộng nếu thì

2.3.Điểm tăng của bước ngẫu nhiên và chuyển động Brownian

a.Định nghĩa điểm tăng

Điểm được gọi là điểm tăng của hàm nếu như cho ta có với mọi và với mọi

b.Một số định lí và bổ đề

Định lí 5: Bất đẳng thức Harris

Giả sử là một biến ngẫu nhiên với giá trị thuộc và có tọa độ độc lập Cho là hàm đo được và không giảm thì

Từ bất đẳng thức Harris ta có được 2 bổ đề

Bổ đề 1: Cho 2 hằng số dương khi đó ta có :

Định nghĩa 1:

(a) Một tập hợp số thực có một điểm tăng nếu khi và khi

(b) Hàm có giá trị thực f có một điểm tăng toàn cục (global point of increase) trên khoảng (a,b) nếu có

để với mọi và với mọi Điểm t gọi là điểm tăng cục bộ (local point of increase) nếu như nó là điểm

tăng toàn cục trên nhiều khoảng

Định lí 6:

Cho là những bước ngẫu nhiên đơn giản Khi đó ta có:

với mọi n > 1 và C là hằng số.

Từ định nghĩa 1 và định lí 6 ta có bổ đề 2:

Bổ đề 2:

Cho bước ngẫu nhiên bất kì ta có

Định lí về điểm tăng của chuyển động Brownian

Định lí 7:

Không tồn tại điểm tăng cục bộ của chuyển động Brownian

III Quá trình Wiener (Wiener Process)

Quá trình Wiener là quá trình liên tục theo thời gian, tên của nó được đặt theo tên của nhà toán học Norbert Weiner Nó còn thường được biết đến như là một chuyển động Brownian chuẩn

3.1 Tính chất của quá trình Weiner

Vì quá trình Wiener là chuyển động Brownian nên nó có tính chất giống như chuyển động Brownian

có 3 tính chất :

1.

2 Hàm liên tục

3 tăng độc lập Với tuân theo luật phân phối chuẩn với kì vọng bằng 0 và phương sai t-h W(t) ~

Quá trình Wiener có thể được xây dựng trên độ co giới hạn (scaling limit) của một bước ngẫu nhiên

Hoặc một quá trình rời rạc khác có tính chất tăng độc lập

a) Tính chất của quá trình Wiener một chiều

- Hàm mật độ xác suất không điều kiện tại thời điểm t cố định

-Kì vọng bằng 0

-Phương sai bằng t

-Hiệp phương sai (covariance):

Chứng minh

Giả sử ta có

Vì nên ta có:

Theo tính chất 3 của ta có và độc lập nên:

vì

Từ đó suy ra:

[]=

Tương tự ta có:

-Hệ số tương quan (correlation):

corr(=

b) Một số tính chất khác

-Tính co dãn của chuyển động Brownian

Với c>0 ta có cũng là một quá trình Wiener

-Tính chất phục hồi theo thời gian

Quá trình có phân phối giống như

-Tính chất đảo ngược theo thời gian

Quá trình cũng là quá trình Wiener

c)Các tính chất được suy ra từ các tính chất cơ bản trên (giống như các tính chất của chuyển động Brownian)

*Tính chất định tính (Qualitative properties)

-Với mọi , vừa có giá trị âm vừa có giá trị dương trong khoảng

-Hàm là luôn luôn liên tục nhưng không khả vi trong mọi trường hợp

-Điểm cực đại của w là một một tập điểm dày đặc đếm được, giá trị cực đại khác nhau từng đôi một, mỗi khoảng cực đại tuân theo đặc điểm sau: nếu w có một khoảng cực đại tại t thì khi Tính chất tương tự với cực tiểu và giá trị của nó.

-Không tồn tại điểm tăng của

-Hàm W là hàm không có biên với tất cả mọi khoảng.

-Luôn tồn tại điểm 0 của W(t)

*Tính chất định lượng (Quantitative properties)

-Luật logarit lặp (Law of the iterated logarithm):

-Mô đun liên tục cục bộ (Local modulus of continuity):

-Mô đun liên tục toàn cục (Global modulus of continuity) :

3.2 Một số quá trình ngẫu nhiên liên quan tới quá trình Wiener

Một số quá trình khác được suy ra từ quá trình Wiener

-Quá trình ngẫu nhiên Lévy

là quá trình Wiener với độ rời và phương sai

-Chuyển động Brownian hình học (geometric Brownian motion)

trong trường hợp này B(t) chỉ nhận giá trị dương

-Chuyển động Wiener phức

Một quá trình Wiener phức có thể được định nghĩa như sau:

với là hai quá trình Wiener độc lập với nhau

IV Minh họa chuyển động Brownian trên matlab

4.1 Sử dụng thư viện của Matlab

Hàm hỗ trợ chuyển động Brownian trong Matlab là bm

Cú pháp

BM = bm(Mu, Sigma)

Hàm trên có chức năng khởi tạo chuyển động Brownian (hoặc quá trình Wiener) Nó cho phép chúng ta giả lập một quá trình ngẫu nhiên theo mẫu sau:

Với là một quá trình ngẫu nhiên tuyến tính trôi

Với Mu : là đại lượng , Sigma là đại lượng V Với chuyển động Brownian ta khởi tạo μ = 0

Ví dụ: Khởi tạo một chuyển động Brownian đơn biến

Code Matlab

BM = bm(0, 0.3)

Ta có kết quả :

Class BM: Brownian Motion

Dimensions: State = 1, Brownian = 1

StartTime: 0

StartState: 0

Correlation: 1

Drift: drift rate function F(t,X(t))

Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t))

Simulation: simulation method/function simByEuler

Mu: 0

Sigma: 0.3

4.2 Đồ thị của chuyển động Brownian Motion

a Chuyển động Brownian một chiều

Chuyển động Brownian 1 chiều mô tả một vị trí của hạt chuyển động ngẫu nhiên Ta sử dụng hàm randn, hàm này trả về một ma trận ngâu nhiên với phân phối chuẩn và độ lệch chuẩn 1, tham số N là kích thước của ma trận 1xN

Code Matlab

N = 1100;

displacement = randn( ,1100);

plot(displacement);

drawnow; pause( )

Ta có hình vẽ :

b Chuyển động Brownian 2 chiều

Hàm cumsum trả về một tổng chập của các vector ngẫu nhiên

particle = struct();

particle.x = cumsum( randn( , 1 );

particle.y = cumsum( randn( , 1 );

plot(particle , particle );