tìm hiểu về chuyển động brown (bước ngẫu nhiên, quá trình wiener)

Vậy thì được xác đinh bởi cũng là một chuyển động Brown tiêu chuẩn Định lý: Sự đảo ngược thời gian Giả sử là một chuyển động Brown tiêu chuẩn.. Một số tính chất khác Tính co dãn của c

Đề tài 6: tìm hiểu về chuyển động Brown (bước ngẫu nhiên, quá trình Wiener) và thử nghiệm dùng phần mềm Matlab

Nguyễn Việt Anh – 20121230

Vũ Quang Đại – 20121475 Nguyễn Thế Hà – 20121622 Nguyễn Anh Quân – 20122276 Nguyễn Mạnh Tuấn – 20122695 Đào Đức Tùng – 20122731

1

PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC

I. Định nghĩa và tính chất của chuyển động Brown – Vũ Quang Đại

II. Quá trình Wiener – Nguyễn Việt AnhIII. Bước nhảy ngẫu nhiên – Nguyễn Thế Hà

IV. Ứng dụng chuyển động Brown trong thực tiễn – Đào Đức Tùng

V. Minh họa bằng MATLAB – Nguyễn Anh Quân, Nguyễn Mạnh Tuấn

2

Phần I: Định nghĩa và tính chất của chuyển động Brown

Vũ Quang Đại

• Quá trình này có tính tăng cường độc lập Ví dụ với mọi

các số gia là các biến ngẫu nhiên độc lập

• Với mọi t > 0 và h > 0, số gia B(t+h) – B(t) được phân phối chuẩn với kì vọng bằng 0 và phương sai h

• Gần như chắc chẵn các hàm số là liên tục

Chúng ta nói rằng là một chuyển động Brown chuẩn nếu x = 0.

4

II Tính chất cơ bản

1 Tính bất biến của chuyển động Brown

Bổ đề: ( Mở rộng quy mô bất biến )

Giả sử là một chuyển động Brown tiêu chuẩn và giả sử a > 0

Vậy thì được xác đinh bởi cũng là một chuyển động Brown tiêu chuẩn

Định lý: ( Sự đảo ngược thời gian )

Giả sử là một chuyển động Brown tiêu chuẩn Vậy quá trình được đinh nghĩa bởi:

cũng là chuyển động Brown tiêu chuẩn

Sự kiện được gọi là có thể đổi được nếu

cho tất cả các phép hoán vị hữu hạn σ: N → N Ở đây phép hoán vị hữu hạn có nghĩa là σ là một song ánh với cho tất cả n đủ lớn

8

Phần ii Quá trình wiener

_Nguyễn Việt Anh _

- Đóng một vai trò quan trọng cả trong toán học thuần túy và ứng dụng

9

Quá trình wiener một chiều

Một số tính chất khác

 Tính co dãn của chuyển động Brown

Với c>0 ta có cũng là một quá trình Wiener

 Tính chất phục hồi theo thời gian

Quá trình có phân phối giống như

 Tính chất đảo ngược theo thời gian

Quá trình cũng là quá trình Wiener

12

Phần III Bước nhảy ngẫu

nhiên và chuyển động

Brown

Nguyễn Thế Hà

-13

Bước nhảy ngẫu nhiên là gì?

• Bước nhảy ngẫu nhiên là một hình thức toán học của một đường bao gồm một chuỗi các bước ngẫu nhiên Ví dụ như đường được vẽ ra khi một phân tử di chuyển trong chất lỏng hoặc khí, giá

cổ phiếu biến động và tình hình tài chính của một nhà đầu tư chứng khoán đều có thể được mô hình hóa như các bước nhảy ngẫu nhiên

• Bước nhảy ngẫu nhiên được sử dụng trong nhiều lĩnh vực như: Sinh thái, kinh tế, tâm lý học, khoa học máy tính, vật lý, hóa học và sinh học Bước nhảy ngẫu nhiên giải thích những hành vi

đã được quan sát của nhiều quá trình trong các lĩnh vực này, và do đó phục vụ như là một mô hình cơ bản cho hoạt động ngẫu nhiên được ghi lại.

• Bước nhảy ngẫu nhiên khác nhau liên quan đến các thông số thời gian Thông thường, bước nhảy ngẫu nhiên là trong thời điểm rời rạc, và được thống kê bởi các số tự nhiên, ví dụ như X0, X1, X2, X3, Tuy nhiên, một số bước nhảy ngẫu nhiên thực hiện tại các thời điểm ngẫu nhiên, trong trường hợp đó X(t) là vị trí được xác định cho sự liên tục của thời gian t ≥ 0

14

Bước nhảy ngẫu nhiên trong không gian một chiều

• Một ví dụ đơn giản của bước nhảy ngẫu nhiên trong không gian một chiều

là bước nhảy ngẫu nhiên trên trục số nguyên, bắt đầu từ 0 và mỗi bước di chuyển 1 hoặc -1 với xác suất như nhau

• Để xác định bước nhảy này, lấy các biến ngẫu nhiên độc lập Z1,Z2, , mỗi biến chỉ nhận giá trị là 1 hoặc -1 với xác suất là 50% Lấy S0 = 0 và Tập hợp {Sn } được gọi là bước nhảy ngẫu nhiên trên tập số nguyên

•

15

• Tập hợp này tạo ra khoảng cách bước Nếu mỗi bước có chiều dài là 1 thì kì vọng E(Sn) = 0.

Sử dụng tính chất độc lập của các biến ngẫu nhiên

Điều này cho ta thấy là )

•

16

Bước nhảy ngẫu nhiên với quá trình Wiener

Một quá trình Wiener là giới hạn rộng của bước nhảy ngẫu nhiên trong không gian 1 chiều Điều này có nghĩa rằng nếu bạn tạo bước nhảy ngẫu nhiên với những bước rất nhỏ, bạn nhận được xấp xỉ với một quá trình Wiener Để được chính xác hơn, nếu kích thước bước là ε, cần bước nhảy có chiều dài xấp xỉ chiều dài Wiener của L Khi kích thước bước tiến tới 0 (và số lượng các bước tăng tương ứng), bước nhảy ngẫu nhiên hội tụ thành một quá trình Wiener trong một điều kiện thích hợp

•

17

Bước nhảy ngẫu nhiên với quá trình Wiener

soát bởi các định lý giới hạn trung tâm Đối với một hạt ở một vị trí cố định đã biết tại t = 0, định lý nói với chúng ta rằng sau khi một số lượng lớn các bước

độc lập trong bước nhảy ngẫu nhiên, vị trí của bước nhảy được phân phối theo phân phối chuẩn của phương sai:

trong đó t là thời gian qua kể từ khi bắt đầu bước nhảy ngẫu nhiên, ε là kích thước của một bước đi bộ ngẫu nhiên, và δt là thời gian giữa hai bước kế tiếp.

•

18

Phần Iv ứng dụng của Chuyển động

Vào đầu thế kỷ XX, nhà toán học Pháp Louis Bachelier cũng đã lần đầu tiên đề xuất rằng, các thị trường tài chính cũng tuân theo một “chuyển động ngẫu nhiên” có thể được mô hình hóa bằng các phép tính xác suất thông thường

Ở đây, các phương pháp thống kê có thể được áp dụng với độ chính xác cao và đem lại sự giải thích có thể coi là hoàn hảo Chính vì vậy, khi gặp phải một quá hình đa chiều kiểu như

sự vận động của một thị trường chứng khóan thì các nhà phân tích vẫn có xu hướng chuyển nó thành một bài toán tương tự như chuyển động Brown

20

Hình 1 Chỉ số UK FTA, 1962-1992

Vào năm 1900, Louis Bachelier đã giới thiệu mô hình giá của các cổ phiếu như chuyển động Brown:

Mặt hạn chê của mô hình này là nó cho phép giá trở nên âm Osborne (1959) đã làm mịn mô hình của Bachelier bằng cách đề nghị số mũ exp (B-t ) của chuyển động Brown như là mô hình giá của một cổ phiếu Năm 1965, cũng quá trình exp (B-t ) nhưng Samuelson đã trình bày một cách có hệ thống để mô tả giá của một cổ phiếu Ở đây, logarit các giá cổ phiếu được làm mô hình như một quá trình Winner Mô hình này được gọi là chuyển động Brown hình học Sau đó, mô hình này là nền tán của mô hình Black-Scholes:

với µ là hằng số

22

Cho tới nay, mô hình nổi tiếng nhất cũng như phổ biến nhất trong thể giới tài chính là mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes.

Mô hình Black-Scholes cho phép chúng ta xác định giá trị tương đối của một option (quyền chọn) Mô hình Black- Scholes cho chúng ta biết, làm thế nào để sản xuất ra một quyền chọn đưa trên một cổ phiếu gốc và cung cấp chi phí ước tính để làm việc này

• Những áp dụng của lý thuyết ngẫu nhiên này thực ra là rất sâu và rộng Trong lĩnh vực kinh tế, các biến

cố ngẫu nhiên có tác dụng thúc đẩy sự đổi mới Đã có nhiều công trình nghiên cứu về định giá quyền chọn, nhưng hiện nay định giá quyền chọn còn là lĩnh vực rất mới ở Việt Nam Nếu chúng ta mà biết được chính xác điều gì sẽ đến thì chúng ta chẳng cần phải học hành hay nghiên cứu gì nữa

• Ở đây không có gì đảm bảo là chúng ta sẽ thắng lớn trong một vụ buôn cổ phiếu nhờ vào hiểu biết về chuyển động Brown, bởi vì nó chỉ đơn giản là đem lại cho chúng ta một cách tiếp cận để hiểu về sự vận động của các thị trường cổ phiếu

• Tuy nhiên, dù sao thì lý thuyết về chuyển động Brown cũng giúp chúng ta có khả năng tốt hơn trong việc phát triển các chiến thuật đầu tư cũng như đánh giá rủi ro.

23

Cú pháp

BM = bm(Mu, Sigma)

BM = bm(Mu, Sigma, 'Name1', Value1, 'Name2', Value2, )

Với là một quá trình ngẫu nhiên tuyến tính trôi.

Với Mu : là đại lượng , Sigma là đại lượng V Với chuyển động Brownian ta khởi tạo μ = 0

VD: khởi tạo chuyển động Brown đơn biến:

>> BM = bm(0, 0.5)

25

Code Matlab:

N = 1000;

particle = struct();

particle.x = cumsum( randn(N, 1) );

particle.y = cumsum( randn(N, 1) );

plot(particle.x, particle.y);

27

Nội dung

I. Định nghĩa và tính chất của

chuyển động Brown

II. Quá trình Wiener

III. Bước nhảy ngẫu nhiên

IV. Ứng dụng chuyển động Brown

V. Minh họa bằng MATLAB

Tài liệu tham khảo

and Yuval Peres

Lan – Bộ môn: Truyền thông và Mạng máy tính – Viện CNTT&TT – ĐHBKHN

Finance, Chapman&Hall, Florida.

Fluctuations of Lévy Processes with Applications, Springer-Verlag, Germany

28

- Hết -29