tìm hiểu về chuyển động Brown (bước ngẫu nhiên, quá trình Wiener)

Bài tập lớn môn quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng. Tên đề tài: Tìm hiểu về chuyển động Brown (bước ngu nhiên, quá trình Wiener)

VI ỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

-

Đề tài 6: tìm hiểu về chuyển động Brown (bước ng u nhiên, quá trình Wiener) và áp d ng làm các bài t ập

và th ử nghiệm dùng phần mềm Matlab

Nhóm sinh viên:

Nguy ễn Việt Anh – 20121230

Vũ Quang Đại – 20121475 Nguy ễn Thế Hà – 20121622 Nguy ễn Anh Quân – 20122276 Nguy ễn Mạnh Tuấn – 20122695 Đào Đ c Tùng – 20122731

Hà N ội, ngày 04 tháng 11 năm 2014

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 2

M C L C

PHÂN CÔNG CÔNG VI C 3

1 Định nghĩa và tính chất c a chuyển động Brown 4

1.1 Định nghĩa c a chuyển động Brown 4

1.2 Tính b ất bi n c a chuyển động Brown 5

1.3 Tính liên t c c a chuyển động Brown 5

1.4 Tính không kh vi c a chuy ển động Brown 6

2 Quá trình Wiener 7

2.1 Khái ni m 7

2.2 Các tính ch ất cơ b n 7

3 Bước ng u nhiên và chuyển động Brown 9

3.1 Khái ni m 9

3.2 Bước nh y ng u nhiên trong không gian nhiều chiều 9

3.3 Bước nh y ng u nhiên với quá trình Wiener 10

3.4 M ột số ng d ng c a bước nh y ng u nhiên 11

4 M ột ng d ng c a quá trình ng u nhiên ậ chuyển động Brown 12

4.1 M ở đầu 13

4.2 Nội dung 13

4.3 K t lu n 17

5 Minh họa chuyển động Brown trên Matlab 17

5.1 S ử d ng thư vi n c a Matlab 17

5.2 Đồ thị c a chuy n động Brown 18

5.2.1 Chuyển động Brown một chiều 18

5.2.2 Chuyển động Brown hai chiều 20

5.2.3 Đồ thị chuyển động Brown 20

6 Gi i bài t p chương III 22

6.1 Bài 1 tờ bài t p 22

6.2 Bài 2 tờ bài t p 23

6.3 Bài 3 tờ bài t p 24

6.4 Bài 4 trên b ng 24

6.5 Bài 6 trên b ng 25

K T LU N 26

TÀI LI U THAM KH O 26

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 3

PHÂN CÔNG CÔNG VI ỆC

1 Định nghĩa và tính chất chuyển động Brown: Vũ Quang Đ i

2 Quá trình Wiener: Nguy n Vi t Anh

3 Bước ng u nhiên và chuyển động Brown: Nguy n Th Hà

4 ng d ng chuy ển động Brown trong thực ti n: Đào Đ c Tùng

5 Minh h ọa trên Matlab: Nguy n Anh Quân, Nguy n M nh Tuấn

6 Gi i bài t p: Nguy n Anh Quân, Nguy n M nh Tu ấn

* M ỗi thành viên tự tìm tài li u tham kh o, làm báo cáo, slide nội dung

do thành viên đó ph trách

* T ổng h p báo cáo: Nguy n Anh Quân

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 4

Chuyển động Brown được liên kết chặt chẽ đến sự phân bố bình thư ng Nhớ lại

rằng một biến ngẫu nhiên X được phân bố chuẩn với trung bình µ và phương sai �

nếu

2 2

2 2

12

Một quá trình ngẫu nhiên giá trị thực B t :t 0được gọi là ( tuyến tính) Chuyển

động Brown với sự bắt đầu x R nếu những điều sau đây:

 B(0)x

 Quá trình này có tính tăng cư ng độc lập Ví dụ với mọi 0    t1 t2 t n

các số gia B t       n B t n1 ,B t n1 B t n2 , ,B t   2 B t1 là các biến

ngẫu nhiên độc lập

 Với mọi t và h > 0, số gia 0 B t  h B t được phân phối bình thư ng

với kì vọng bằng 0 và phương sai h

 Gần như chắc chắn hàm số t B t là liên tục

Chúng ta nói rằng B t :t 0là một chuyển động Brown chuẩn nếu x = 0

Chúng ta hãy quay lại và nhìn vào một số điểm về kỹ thuật Chúng ta đã định nghĩa chuyển động Brown là một quá trình ngẫu nghiên B t :t0mà chỉ là một họ

c a các biến ngẫu nhiên  B t , được xác định trên 1 khoảng không gian xác

suất đơn  , , P Đồng th i, một quá trình ngẫu nhiên cũng có thể được hiểu như là một hàm ngẫu nhiên với các hàm mẫu xác định b i t B t ,

Nhận xét 1.2:

Khi xem xét một quá trình ngẫu nhiên như là một hàm ngẫu nhiên đôi khi có ích để

giả định rằng ánh xạ  t, B t , là có thể đo được trên không gian tích số

 0,  b i các bản phân phối biên c a một quá trình ngẫu nhiên B t :t0

chúng ta hiểu là luật c a tất cả các vecto ngẫu nhiên hữu hạn nhiều chiều

B t1 ,B t2 , ,B t n  với mọi 0    t1 t2 t n

Định nghĩa 2:

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 5

 Chuyển động Brown chuẩn trong không gian d chiều B(t): d

R R là tập

hợp c a d các chuyển động Brown độc lập B t B t1 , ,B d  t trong

đó B t i  với i = 1, , d, là các chuyển động Brown 1 chiều độc lập

 Chuyển động Brown thư ng được dùng tham chiếu như quá trình Wiener

Định lý: ( Sự đ o ngư c thời gian )

Giả sử B t :t0là một chuyển động Brown tiêu chuẩn Vậy quá trình X t :t 0

được đinh nghĩa b i:

{ ớ = ớ >

cũng là chuyển động Brown tiêu chuẩn

1.3 Tính liên t c c a chuyển động Brown

Định nghĩa c a chuyển động Brown đã đòi hỏi rằng các hàm mẫu là liên tục gần như chắc

chắn Điều này có nghĩa rằng trên khoảng [0,1] (hoặc bất kỳ khoảng nhỏ khác) các hàm

mẫu được đều liên tục t c là có tồn tại 1 số (ngẫu nhiên ) hàm  với limh0 h  gọi là 0modun liên tục c a hàm B : [0, 1] → R như vậy:

cho tất cả các phép hoán vị hữu hạn  : N → N đây phép hoán vị hữu hạn có nghĩa là σ

là một song ánh với n  cho tất cả n đ lớn n

Bổ đề (Hewitt-Savage 0-1 law):

Nếu A là 1 sự kiện có thể trao đổi được cho một dãy phân phối độc lập giống nhau thì P(A)

là 0 hoặc 1

tế và vật lý

Quá trình Wiener đóng một vai trò quan trọng cả trong toán học thuần túy và

ng dụng Nó thích hợp để mô tả sự thay đổi có tính liên tục c a các biến ngẫu nhiên

cơ s như W(t), với khoảng th i gian quan sát dù nhỏ nhưng vẫn có thể quan sát được

sự thay đổi c a W(t), và điều này thích hợp với tính chất c a các biến cố thư ng

Ta có thể nghĩ rằng quá trình Wiener tổng quát hơn chuyển động Brown vì nó không xét đến quy luật phân phối nhưng thực chất theo định lý Lévy thì hai quá trình này không có sự khác biệt Định lý đó như sau: “mọi quá trình Wiener W(t) liên quan đến tập thông tin I(t) đều là chuyển động Brown” Như vậy hai khái niệm này là tương đương

2.2 Các tính ch ất cơ b n

Vì quá trình Wiener là chuyển động Brownian nên nó có tính chất

giống như chuyển động Brownian có 3 tính chất :

2 Hàm → liên t ục

3 tăng độc lập Với − ℎ tuân theo luật phân phối chuẩn với kì

v ọng bằng 0 và phương sai t-h W(t) ~ � , − ℎ

Quá trình Wiener có thể được xây dựng trên độ co giới hạn (scaling limit) c a

một bước ngẫu nhiên Hoặc một quá trình r i rạc khác có tính chất tăng độc lập a) Tính chất c a quá trình Wiener một chiều

- Hàm m ật độ xác suất không điều kiện tại thời điểm t cố định

V ới c>0 ta có √� � cũng là một quá trình Wiener

-Tính chất phục hồi theo th i gian

Quá trình ′ = − − ớ ≤ ≤ có phân phối giống như

-Tính chất đảo ngược theo th i gian

Quá trình ′ = / cũng là quá trình Wiener

c) Các tính chất được suy ra từ các tính chất cơ bản trên (giống như các tính chất

c a chuyển động Brownian)

*Tính chất định tính (Qualitative properties)

-V ới mọi � > , v ừa có giá trị âm vừa có giá trị dương trong khoảng , �

-Hàm là luôn luôn liên tục nhưng không khả vi trong mọi trường hợp

- Điểm cực đại của w là một một tập điểm dày đặc đếm được, giá trị cực đại khác nhau t ừng đôi một, mỗi khoảng cực đại tuân theo đặc điểm sau: nếu w có một khoảng

c ực đại tại t thì | | − |− |→ ∞ khi → Tính chất tương tự với cực tiểu và giá trị

c ủa nó

-Không t ồn tại điểm tăng của

-Hàm W là hàm không có biên v ới tất cả mọi khoảng

-Luôn t ồn tại điểm 0 của W(t)

*Tính chất định lượng (Quantitative properties)

-Lu ật logarit lặp (Law of the iterated logarithm):

tế Tên gọi bước nhảy ngẫu nhiên lần đầu tiên đưa ra b i Karl Pearson vào năm 1905 Bước nhảy ngẫu nhiên được sử dụng trong nhiều lĩnh vực như: Sinh thái, kinh tế, tâm

lý học, khoa học máy tính, vật lý, hóa học và sinh học Bước nhảy ngẫu nhiên giải thích những hành vi đã được quan sát c a nhiều quá trình trong các lĩnh vực này, và

do đó phục vụ như là một mô hình cơ bản cho hoạt động ngẫu nhiên được ghi lại

Các hình th c khác nhau c a bước nhảy ngẫu nhiên được quan tâm Thông thư ng, bước nhảy ngẫu nhiên được giả định là chuỗi Markov hoặc các quá trình εarkov, nhưng các bước nhảy ngẫu nhiên khác có độ ph c tạp cao hơn cũng được quan tâm Một số bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị, trên đư ng dây, trong máy bay, không gian nhiều chiều, thậm chí là cả bề mặt cong, trong khi một số bước nhảy ngẫu nhiên nằm trong một nhóm Bước nhảy ngẫu nhiên khác nhau liên quan đến các thông

số th i gian Thông thư ng, bước nhảy ngẫu nhiên là trong th i điểm r i rạc, và được

thống kê b i các số tự nhiên, ví dụ như X0, X1, X2, X3, Tuy nhiên, một số bước

nhảy ngẫu nhiên thực hiện tại các th i điểm ngẫu nhiên, trong trư ng hợp đó X(t) là vị trí được xác định cho sự liên tục c a th i gian t ≥ 0 Các trư ng hợp cụ thể hoặc giới

hạn c a bước nhảy ngẫu nhiên bao gồm “δevy flight” Bước nhảy ngẫu nhiên liên quan đến các mô hình phổ biến và là một ch đề cơ bản trong các cuộc thảo luận về quá trình Markov Một số tính chất c a bước nhảy ngẫu nhiên bao gồm phân phối phân tán

3.2 Bước nh y ng u nhiên trong không gian nhi ều chiều

Hãy tư ng tượng có một ngư i say đi bộ ngẫu nhiên trong một thành phố lý

tư ng Thành phố này có hiệu quả vô hạn và sắp xếp trong một ô vuông, và tại mỗi ngã tư, ngư i này chọn một trong bốn tuyến đư ng (bao gồm cả đư ng mà ngư i này

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 10

đã đi trước đó) với xác suất bằng nhau Rõ ràng, đây là bước nhảy ngẫu nhiên trên các thiết lập c a tất cả các điểm trên mặt phẳng tọa độ với số nguyên

Liệu ngư i say rượu đó có bao gi tr về được ngôi nhà c a mình từ quán bar

không? Điều này tương đương với 2 chiều c a vấn đề thảo luận trên Nó chỉ ra rằng

gần như chắc chắn ngư i đó sẽ thực hiện một bước nhảy ngẫu nhiên 2 chiều, nhưng đối với 3 chiều hoặc nhiều hơn, khả năng tr lại điểm bắt đầu giảm khi kích thước tăng lên Trong 3 chiều, xác suất giảm xuống còn 34%

Quỹ đạo c a một bước nhảy ngẫu nhiên là tập hợp các vị trí được đi qua Trong

một chiều, quỹ đạo đơn giản chỉ là tất cả các điểm giữa chiều cao tối thiểu và tối đa bước nhảy ngẫu nhiên đạt được

3.3 Bước nh y ng u nhiên với quá trình Wiener

Một quá trình Wiener là một quá trình ngẫu nhiên với hành vi tương tự như chuyển động Brown, các hiện tượng vật lý c a một hạt khuếch tán trong chất lỏng Một quá trình Wiener là giới hạn rộng c a bước nhảy ngẫu nhiên trong không gian 1 chiều Điều này có nghĩa rằng nếu bạn tạo bước nhảy ngẫu nhiên với những bước rất nhỏ, bạn nhận được xấp xỉ với một quá trình Wiener Để được chính xác hơn,

nếu kích thước bước là ł, cần bước nhảy có chiều dài δ / ł2 xấp xỉ chiều dài Wiener

c a L Khi kích thước bước tiến tới 0 (và số lượng các bước tăng tương ng), bước

nhảy ngẫu nhiên hội tụ thành một quá trình Wiener trong một điều kiện thích hợp Chính th c, nếu B là không gian c a tất cả các đư ng đi có chiều dài L với cấu trúc liên kết tối đa, và nếu ε là không gian đo lư ng trên B với cấu trúc liên kết tiêu chuẩn, sau đó là sự hội tụ trong không gian ε Tương tự như vậy, một quá trình Wiener trong một số không gian là giới hạn rộng c a bước nhảy ngẫu nhiên trong không gian đó

Một bước nhảy ngẫu nhiên là một phân đoạn riêng biệt (một hàm với kích thước nguyên, 1, 2, ), nhưng một quá trình Wiener quỹ đạo là một fractal sự thật, và có một liên kết giữa bước nhảy ngẫu nhiên và quá trình Wiener Ví dụ,lấy bước nhảy ngẫu nhiên cho đến khi nó chạm một vòng tròn bán kính r lần chiều dài bước Số lượng trung bình các bước nó thực hiện là r2

Trong không gian hai chiều, số lượng trung bình c a các điểm bước ngẫu nhiên

giống nhau có trên ranh giới c a quỹ đạo c a nó là r 4/3 Điều này tương ng với thực

tế là các ranh giới c a quỹ đạo c a một quá trình Wiener là một fractal c a không gian 4/3 chiều, một thực tế được dự đoán b i Mandelbrot sử dụng mô phỏng nhưng chỉ

ch ng minh vào năm 2000 b i Lawler, Schramm và Werner

Một quá trình Wiener có nhiều tính chất đối x ng mà bước nhảy ngẫu nhiên không có Ví dụ, một quá trình Wiener là bất biến để quay, nhưng bước nhảy ngẫu nhiên thì không như vậy (bước nhảy ngẫu nhiên là bất biến đối với phép quay 90 độ, nhưng quá trình Wiener là bất biến để quay, ví dụ, 17 độ) Điều này có nghĩa rằng trong nhiều trư ng hợp, các vấn đề về bước nhảy ngẫu nhiên sẽ dễ dàng hơn để giải

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 11

quyết bằng cách dịch chúng vào một quá trình Wiener, giải quyết vấn đề đó, và sau đó chuyển tr lại Mặt khác, một số vấn đề được dễ dàng hơn để giải quyết với bước nhảy

ngẫu nhiên do tính chất riêng biệt c a nó

Bước nhảy ngẫu nhiên và quá trình Wiener có thể được kết hợp, cụ thể là biểu

hiện trên không gian xác suất giống nhau

Sự hội tụ c a một bước nhảy ngẫu nhiên đối với quá trình Wiener được kiểm soát b i các định lý giới hạn trung tâm Đối với một hạt một vị trí cố định đã biết tại

t = 0, định lý nói với chúng ta rằng sau khi một số lượng lớn các bước độc lập trong bước nhảy ngẫu nhiên, vị trí c a bước nhảy được phân phối theo phân phối chuẩn c a

tổng phương:

trong đó t là th i gian qua kể từ khi bắt đầu bước nhảy ngẫu nhiên, ł là kích thước c a một bước đi bộ ngẫu nhiên, và Łt là th i gian giữa hai bước kế tiếp

Điều này tương ng với hàm Green c a phương trình khuếch tán để điều khiển

quá trình Wiener, trong đó ch ng minh rằng, sau khi một số lượng lớn các bước, bước

nhảy ngẫu nhiên hội tụ tới một quá trình Wiener

Trong 3D, phương sai tương ng với hàm Green c a phương trình khuếch tán là:

Bằng cách cân bằng số lượng này với phương sai liên quan đến vị trí c a bước

nhảybộ ngẫu nhiên, có được một hệ số khuếch tán tương đương được xem xét quá trình Wiener tiệm cận về phía mà bước nhảy ngẫu nhiên hội tụ sau khi một số lượng

lớn các bước

3.4 M ột số ng d ng c a bước nh y ng u nhiên

 Trong kinh tế học, các "giả thuyết bước nhảy ngẫu nhiên" được sử dụng để mô hình giá cổ phiếu và các yếu tố khác Nghiên c u thực nghiệm tìm thấy một số sai lệch so với mô hình lý thuyết này, đặc biệt là trong ngắn hạn v à dài hạn tương quan

 Trong di truyền học dân số, đi bộ ngẫu nhiên mô tả các tính chất thống kê khuynh hướng di truyền

 Trong vật lý, bước nhảy ngẫu nhiên được sử dụng như mô hình đơn giản c a chuyển động Brown vật lý và phổ biến như chuyển động ngẫu nhiên c a các phân tử trong chất lỏng và chất khí Xem ví dụ phổ biến hạn chế tập hợp Cũng trong vật lý, bước nhảy ngẫu nhiên và một số các bước nhảy tự tương tác đóng

một vai trò trong lý thuyết trư ng lượng tử

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 12

 Trong toán học hệ sinh thái, bước nhảy ngẫu nhiên được sử dụng để mô tả chuyển động riêng biệt c a động vật, thực nghiệm quy trình hỗ trợ sinh học

phổ biến, và đôi khi để mô hình biến động dân số

 Trong vật lý polymer, bước nhảy ngẫu nhiên mô tả một chuỗi lý tư ng Đây là

mô hình đơn giản nhất để học polyme

 Trong các lĩnh vực khác c a toán học, bước nhảy ngẫu nhiên được sử dụng để tính toán các giải pháp cho phương trình δaplace, để ước tính các biện pháp hài hòa, và các công trình khác nhau trong phân tích và tổ hợp

 Trong khoa học máy tính, bước nhảy ngẫu nhiên được sử dụng để ước tính kích thước c a Web

 Trong phân tích ảnh, bước nhảy ngẫu nhiên được sử dụng để xác định các nhãn (ví dụ, "đối tượng" hoặc "nền") liên kết với mỗi điểm ảnh.Thuật toán này thư ng được gọi là thuật toán bước nhảy ngẫu nhiên phân tích

Trong t ất c những trường h p sau, bước nh y ng u nhiên thường đư c thay th cho chuy ển động Brown:

 Trong nghiên c u não bộ, bước nhảy ngẫu nhiên và tăng cư ng bước nhảy

ngẫu nhiên được sử dụng để mô hình tầng c a tế bào thần kinh giật (neuron firing) trong não

 Trong khoa học thị giác, cử động mắt vào một điểm cố định cũng được mô tả

b i một bước nhảy ngẫu nhiên

 Trong tâm lý học, bước nhảy ngẫu nhiên giải thích một cách chính xác mối quan hệ giữa th i gian cần thiết để đưa ra quyết định và xác suất mà một quyết định nào đó sẽ được thực hiện

 Bước nhảy ngẫu nhiên có thể được sử dụng để lấy mẫu từ một không gian

trạng thái chưa biết hoặc rất lớn, ví dụ như chọn một trang ngẫu nhiên trên internet hoặc, đối với nghiên c u điều kiện làm việc, một nhân viên ngẫu nhiên trong một quốc gia nhất định

 Bước nhảy ngẫu nhiên cũng được sử dụng để lấy mẫu đồ thị trực tuyến lớn như mạng xã hội trực tuyến

 Trong mạng không dây, bước nhảy ngẫu nhiên được sử dụng để mô tả chuyển động nút

 Bước nhảy ngẫu nhiên được sử dụng để mô hình ch ng khoán

 Trong vật lý, bước nhảy ngẫu nhiên là cơ s cho phương pháp ước lượng Fermi

 Trên trang web, trang web Twitter sử dụng bước nhảy ngẫu nhiên để tạo ra gợi

ý c a những ngư i theo dõi

Brown

Việc áp dụng các mô hình đó giúp các nhà đầu tư tối đa hóa các cơ hội đạt lợi nhuận

và tối thiểu hóa các nguy cơ r i ro

4.1 M ở đầu

Ngày nay, lý thuyết xác suất & thống kẻ đã được sử dụng để nghiên c u tìm ra các quy luật chi phối và đưa ra các phương pháp tính toán xác suất c a các hiện tượng ngẫu nhiên

Quá trình ngẫu nhiên là các mô hình toán học c a những hiện tượng ngẫu nhiên theo sự phát triển c a th i gian như: vị trí c a hạt trong một hệ Vật lý, giá c a một cổ phiếu trong một thị trư ng tài chính, lãi suất, .Nhiều ng dụng c a quá ninh ngẫu nhiên đã xuất hiện trong vật lý, kỹ thuật, sinh thái học, y khoa và các lĩnh vực khác

c a “giải tích toán học.Việc ng dụng quá trình ngẫu nhiên vào lĩnh vực tài chính là một thành công rất lớn c a toán học nói chung và lý thuyết xác suất & thống kê nói riêng Phái sinh tài chính là một đối tượng nghiên c u chính c a toán học tài chính Các quyền chọn, các hợp đồng kỳ hạn là những thí dụ điển hình về phái sinh tài chính Sau đây là bài giới thiệu ng dụng mô hình định giá quyền chọn dựa vào quá trình ngẫu nhiên

4.2 Nội dung

Vào năm 1827, nhà thực vật học Robert Brown đã quan sát thấy một hiện tượng

kỳ lạ c a những hạt phấn hoa lơ lửng trong một cốc nước Chúng liên tục lắc lư, chuyển động một cách ngẫu nhiên và dư ng như không bao gi dùng lại ngay cả khi cốc nước được giữ yên gần như tuyệt đối

εãi đến năm 1905, hiện tượng này mới được Einstein giải thích đến nơi đến chốn bằng những tính toán xác suất thống kê Sử dụng thuyết động học phân tử Thuyết này giải thích rằng, sự nhảy nhót c a các hạt phấn hoa được gây ra b i chuyển động hỗn độn không ngừng c a các phân từ nước và chuyển động này gọi là chuyển động Brown Và Einstein đã thành lập được những định luật toán học chi phối chuyển động

c a chúng